1、 专题专题 01 动点问题中的最值、最短路径问题动点问题中的最值、最短路径问题 动点问题是初中数学阶段的难点，它贯穿于整个初中数学，自数轴起始，至几何图形的存在性、几何 图形的长度及面积的最值，函数的综合类题目，无不包含其中. 其中尤以几何图形的长度及面积的最值、最短路径问题的求解最为繁琐且灵活多变，而其中又有一些 技巧性很强的数学思想（转化思想） ，本专题以几个基本的知识点为经，以历年来中考真题为纬，由浅入深 探讨此类题目的求解技巧及方法. 一、基础知识点综述一、基础知识点综述 1. 两点之间，线段最短； 2. 垂线段最短； 3. 若 A、 B 是平面直角坐标系内两定点， P 是某直线上一动
2、点， 当 P、 A、 B 在一条直线上时，PAPB 最大，最大值为线段 AB 的长（如下图所示） ； 4. 最短路径模型 （1）单动点模型 作图方法：作已知点关于动点所在直线的对称点，连接成线段与动点所在直线的交点即为所求点的位 置. 如下图所示，P 是 x 轴上一动点，求 PA+PB 的最小值的作图. （2）双动点模型 x y A B l P P O x y A B P A P P 是AOB 内一点，M、N 分别是边 OA、OB 上动点，求作PMN 周长最小值. 作图方法：作已知点 P 关于动点所在直线 OA、OB 的对称点 P、P，连接 PP与动点所在直线的交 点 M、N 即为所求. 5.
3、 二次函数的最大（小）值 2 ya xhk，当 a0 时，y 有最小值 k；当 a0，Q 点在第四象限， 2 222 2 AMQMAMQM 所以只要构造出 2 2 AMQM 即可得到22AMQM的最小值 取 N（1,0） ，连接 AN，过 M 作 MGAN 于 G，连接 QM，如图所示， AGM 为等腰直角三角形， GM= 2 2 AM，即当 G、M、Q 三点共线时，GM+MQ 取最小值，即22AMQM取最小值， 此时MQH 为等腰直角三角形， QM=2QH= 3 2 24 b ，GM= 2 2 AM= 2 1 2 m 22333 2 222=212 22244 b AMQMAMQMm QH=
4、MH， 3 24 b = 1 2 bm，解得：m= 1 24 b 联立得：m= 7 4 ，b=4. 即当22AMQM的最小值为 33 2 4 时，b=4. 【点睛】此题需要利用等腰直角三角形将22AMQM转化为 2 2 2 AMQM ，进而根据两点 之间线段最短及等腰三角形性质求解. 例例 5. （2019舟山）如图，一副含 30 和 45 角的三角板ABC和EDF拼合在个平面上，边AC与EF 重合，12ACcm当点E从点A出发沿AC方向滑动时，点F同时从点C出发沿射线BC方向滑动当 点E从点A滑动到点C时，点D运动的路径长为 cm；连接BD，则ABD的面积最大值为 2 cm 【答案】24-1
5、2 236 224 312 6； 【解析】解：如图 1 所示，当 E 运动至 E，F 滑动到 F时， 图 1 过 D作 DGAC 于 G，DHBC 交 BC 延长线于点 H， 可得EDG=FDH，DE=DF， RtEDGRtFDH， DG=GH, D在ACH 的角平分线上， 即 C，D，D三点共线. 通过分析可知，当 DEAC 时，DD的长度最大，随后返回初始 D 点，如图 2 所示，D 点的运动路径 为 DDD，行走路线长度为 2DD； B C(F) D A(E) D E F H G 图 2 BAC=30，AC=12，DE=CD BC=4 3，CD=DE=6 2， 由图知：四边形 ECFD为
6、正方形，CD=EF=12， DD=CD-CD=12-6 2,D 点运动路程为 2DD=24-12 2； 图 3 如图 3 所示，当点 D 运动至 D时，ABD的面积最大，最大面积为： ABCAE DBD FE CF D SSSS 正方形 = 2 111 4 38 36 26 2126 26 24 36 2 222 =36 224 312 6 【点睛】准确利用全等、角平分线判定得到 D 点的运动轨迹是关键，利用三角函数及勾股定理求解， 计算较为繁琐，尤其是利用割补法求解三角形的面积时对学生计算能力要求较高，此题难度较大，新颖不 失难度. 例例 6. （2019巴中）如图，在菱形 ABCD 中，连
7、接 BD、AC 交于点 O，过点 O 作 OHBC 于点 H，以 O 为圆心，OH 为半径的半圆交 AC 于点 M. （1）求证：DC 是圆 O 的切线； （2）若 AC=4MC，且 AC=8，求图中阴影部分面积； （3）在（2）的前提下，P 是线段 BD 上的一动点，当 PD 为何值时，PH+PM 的值最小，并求出最小 B C(F) D A(E) E F D B C(F) D A(E) E F D 值. 【答案】见解析. 【解析】 （1）证明： 过点 O 作 ONCD 于 N， AC 是菱形 ABCD 的对角线， AC 平分BCD， OHBC，ONCD， OH=ON， 又 OH 为圆 O 的
8、半径， ON 为圆 O 的半径， 即 CD 是圆 O 的切线. （2）由题意知：OC=2MC=4，MC=OM=2， 即 OH=2， 在 RtOHC 中，OC=2OH， 可得：OCH=30，COH=60， 由勾股定理得：CH=2 3 = 2 2 3 3 OCHOMH SSS 阴影扇形 （3）作点 M 关于直线 BD 的对称点 M，连接 MH 交 BD 于点 P， A B C D H O M N 可知：PM=PM 即 PH+PM=PH+PM=HM，由两点之间线段最短，知此时 PH+PM 最小， OM=OM=OH，MOH=60， MMH=30=HCM， HM=HC=2 3 即 PH+PM 的最小值为2 3； 在 RtMPO 及 RtCOD 中， OP=OM tan30= 2 3 3 ， OD=OC tan30= 4 3 3 ， 即 PD=OP+OD=2 3. A B C D H O M P M
浙公网安备33030202001339号