1、DCBA 圆锥体圆锥体球体球体圆柱体圆柱体长方体长方体 B O A O F E D C B A 重庆市重庆市 20202020 年初中学业水平暨高中招生考试数学试题（年初中学业水平暨高中招生考试数学试题（B B 卷卷） （全卷共四个大题，满分全卷共四个大题，满分 150 分，考试时间分，考试时间 120 分钟）分钟） 参考公式：抛物线 y=ax2+bx+c(a0)的顶点坐标为( a2 b , a4 bac4 2 )，对称轴公式为 x= a2 b . 一、选择题（本大题 12 个小题，每小题 4 分，共 48 分） 1.5 的倒数是（ ） A.5 B. 5 1 C.-5 D. 5 1 提示：根据
2、倒数的概念.答案 B. 2.围成下列立体图形的各个面中，每个面都是平的是（ ） 提示：根据平面与曲面的意义.答案 A. 3.计算 aa2结果正确的是（ ） A.a B.a2 C.a3 D.a4 提示：根据同底数幂的乘法.答案 C. 4.如图，AB 是O 的直径，A 为切点，连接 OA,OB，若B=35 ， 则AOB 的度数为（ ） A.65 B.55 C.45 D.35 提示：利用圆的切线性质.答案 B. 5.已知 a+b=4，则代数式1 + 2 + 2的值为（ ） A.3 B.1 C.0 D.-1 提示：整体代入.答案 A. 6.如图，ABC 与DEF 位似，点 O 为位似中心.已知 OAO
3、D=12， 则ABC 与DEF 的面积比为（ ） A. 12 B. 13 C. 14 D.15 提示：根据位似图形的性质.答案 C. 7.小明准备用 40 元钱购买作业本和签字笔.已知每个作业本 6 元，每支签字笔 2.2 元.小明买 了 7 支签字笔，他最多还可以买的作业个数为（ ） A.5 B.4 C.3 D.2 提示：利用不等式的整数解或用计算验证法.答案 B. 8.下列图形都是由同样大小的实心圆点按一定规律组成的， 其中第个图形一共有 5 个实心 圆点，第个图形一共有 8 个实心圆点，第个图形一共有 11 个实心圆点，按此规律 排列下去，第个图形中实心圆点的个数为（ ） C B E D
4、 A G F E D A C B E D C BA F AB C D E A.18 B. 19 C.20 D.21 提示：横排规律 2n+1，除去横排后，竖排规律 n+1，总规律 3n+2.答案 C. 9.如图，垂直于水平面的 5G 信号塔 AB 建在垂直于水平面的悬崖边 B 点处，某测量员从山 脚 C 点出发沿水平方向前行 78 米到 D 点（点 A，B，C 在同一直线上） ，再沿斜坡 DE 方向前 行 78 米到 E 点（点 A，B，C，D，E 在同一平面内） ，在点 E 处测得 5G 信号塔顶端 A 的仰角 为 43 ，悬崖 BC 的高为 144.5 米，斜坡 DE 的坡度（或坡比）i=
5、12.4，则信号塔 AB 的高度 约为（ ） （参考数据：sin430.68，cos430.73，tan430.93） A.23 米 B.24 米 C.24.5 米 D.25 米 提示：如图，作 EFCD 于 F，EGBC 于 G.易求得 EF=30，DF=72，EG=150，AG=139.5.并注 意 AB+BC=AG+CG.答案 D. 10.若关于 x 的一元一次不等式组 ( ) ; 的解集为 x5，且关于 y 的分式方程 ; + ; = 有非负整数解，则符合条件的所有整数 a 的和为（ ） A.-1 B.-2 C.-3 D.0 提示：由不等式组的解集为 x5，得 a0，x0)的图象经过点
6、 B，则 k 的值为（ ） A.16 3 B.8 C.10 D.32 3 提示：由 D(-2,3)，AD=5 易得 A(2,0).设 AD 与 y 轴交于 E，易得 E(0,1.5)，作 BF 垂直于 x 轴于 F，易得AOEBFA，AF=2，进而可求得 B(4,8 3).答案 D. 二、填空题（本大题 6 个小题，每小题 4 分，共 24 分） 13.计算：(1 5) ;1 4 = . 提示：根据算术平方根、负整数指数幂的意义.答案 3. 14.经过多年的精准扶贫，截至 2019 年底，我国的农村贫困人口减少了约 94000000 人，请 把数 94000000 用科学记数法表示为 . 提示
7、：根据科学记数法的意义.答案 9.4107. 15.盒子里有 3 张形状、大小、质地完全相同的卡片，上面分别标着数字 1，2，3，从中随机 抽出 1 张后不放回，再随机抽出 1 张，则两次抽出的卡片上的数字之和为奇数的概率 是 . 提示：由树状图知总共有 6 种，符合条件的有 4 种.答案：2 3. 16.如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，ABC=120 ，AB=23，以点 O 为圆 心，OB 长为半径画弧，分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为 .（结果保 留 ） 提示：如图，菱形面积的二分之一减去两个 60 扇形的面积.答案：33 . y/米米 x/分钟分钟
8、2500 1500 86255 O 17.周末， 自行车骑行爱好者甲、 乙两人相约沿同一路线从A地出发前往B地进行骑行训练， 甲、 乙分别以不同的速度匀速骑行， 乙比甲早出发 5 分钟.乙骑行 25 分钟后， 甲以原速的8 5继 续骑行，经过一段时间，甲先到达 B 地，乙一直保持原速前往 B 地.在此过程中，甲、乙两 人相距的路程 y(单位:米)与乙骑行的时间 x(单位：分钟)之间的关系如图所示，则乙比甲晚 _分钟到达 B 地. 提示：由图及题意易乙的速度为 300 米/分，甲原速度为 250 米/分，当 x=25 后，甲提速为 400 米/分，当 x=86 时，甲到达 B 地，此时乙距 B
9、地为 250(25-5)+400(86-25)-30086=3600. 答案：12. 18.为刺激顾客到实体店消费， 某商场决定在星期六开展促销活动.活动方案如下： 在商场收 银台旁放置一个不透明的箱子，箱子里有红、黄、绿三种颜色的球各一个（除颜色外大小、 形状、 质地等完全相同） ， 顾客购买的商品达到一定金额可获得一次摸球机会， 摸中红、 黄、 绿三种颜色的球可分别返还现金 50 元、30 元、10 元.商场分三个时段统计摸球次数和返现 金额，汇总统计结果为:第二时段摸到红球次数为第一时段的 3 倍，摸到黄球次数为第一时 段的 2 倍,摸到绿球次数为第一时段的 4 倍；第三时段摸到红球次数
10、与第一时段相同，摸到 黄球次数为第一时段的 4 倍,摸到绿球次数为第一时段的 2 倍,三个时段返现总金额为 2510 元,第三时段返现金额比第一时段多 420 元,则第二时段返现金额为_元 提示：设第一时段统计摸到红、黄、绿球的次数分别为 a，b，c，则第二时段统计摸到红、 黄、绿球的次数分别为 3a，2b，4c，第三时段统计摸到红、黄、绿球的次数分别为 a，4b， 2c.由题意得250 + 210 + 70 = 2510 (50 + 120 + 20) (50 + 30 + 10) = 420，即, 25 + 21 + 7 = 251 9 + = 42 ， 其整数解为 = 42 37 = 2
11、5 21 = 231 225 (其中n为整数)， 又a， b， c均是正整数， 易得n=1.所以 = 5 = 4 = 6 .代入 150a+60b+40c 即可.答案：1230. 另解：由上 9b+c=42，得知 b=1，2，3，4.列举符合题意的解即可. 三、解答题（本大题 7 个小题，每小题 10 分，共 70 分） 19.计算： （1）(x+y)2+y(3x-y) 解：原式=x2+2xy+y2+3xy-y2 =x2+5xy. （2）(4; 2 ;1 + ) 2;16 ;1 解：原式=4; ;1 (:4)(;4) ;1 = 1 :4 F E D CB A 6 5 4 3 2 1 10978
12、65 4 0 90%85% c 7 ba 7.47.4 合格率合格率 众数众数 中位数中位数 平均数平均数 八年级八年级七年级七年级年级年级 成绩成绩 人数人数 七七、八年级抽取的学生的竞赛八年级抽取的学生的竞赛 成绩统计表成绩统计表 七年级抽取的学生的竞赛七年级抽取的学生的竞赛 成绩条形统计图成绩条形统计图 20.如图，在平行四边形 ABCD 中，AE，CF 分别平分BAD 和DCB，交对角线 BD 于 点 E，F. (1)若BCF=60 ，求ABC 的度数； (2)求证：BE=DF. 解与证： （1）CF 平分DCB BCD=2BCF=120 四边形 ABCD 是平行四边形 ABC=180
13、 -BCD=180 -120 =60 . （2）四边形 ABCD 是平行四边形 BAD=DCB，AB=CD，ABCD. ABE=CDF. AE，CF 分别平分BAD 和DCB， BAE=1 2BAD，CDF= 1 2DCB BAE=CDF， ABECDF， BE=DF 21. 每年的 4 月 15 日是我国全民国家安全教育日.某中学在全校七、 八年级共 800 名学生中 开展“国家安全法”知识竞赛，并从七、八年级学生中各抽取 20 名学生统计这部分学生的 竞赛成绩(竞赛成绩均为整数，满分 10 分，6 分及以上为合格).相关数据统计、整理如下： 八年级抽取的学生的竞赛成绩： 4，4，6，6，6
14、，6，7，7，7，8，8，8，8，8，8，9，9，9，10，10. 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：a=_，b=_，c=_. （2）估计该校七、八年级共 800 名学生中竞赛成绩达到 9 分及以上的人数； （3）根据以上数据分析，从一个方面评价两个年级“国家安全法”知识竞赛的学生成绩谁 更优异. 解： （1）a=7.5，b=8，c=8 （2）估计该校七、八年级共 800 名学生中竞赛成绩达到 9 分以上的人数为： 800 5:5 40 = 200（人）. （3）通过中位数、众数、合格率看，八年级的学生成绩更优异. 22.在数的学习过程中， 我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，
15、 如学习自然数时， 我们发现一种特殊的自然数“好数”. 定义：对于三位自然数 n，各位数字都不为 0，且百位数字与十位数字之和恰好能被个位数 y= 2 3 x 10 3 1 y xO -6 -5 -4 -3 -2 -1 4321-4 -3-2 -1 -1-2-3-4 123 4 -1 -2 -3 -4 -5 -6 Ox y 1 y= 2 3 x 10 3 字整除，则称这个自然数 n 为“好数”. 例如：426 是“好数” ，因为 4，2，6 都不为 0，且 4+2=6，6 能被 6 整除； 643 不是“好数” ，因为 6+4=10，10 不能被 3 整除. （1）判断 312，675 是否是
16、“好数”？并说明理由； （2）求出百位数字比十位数字大 5 的所有“好数”的个数，并说明理由. 解： （1）3，1，2 都不为 0，且 3+1=4，4 能被 2 整除，312 是“好数” ， 6，7，5 都不为 0，且 6+7=12，12 不能被 5 整除，675 不是“好数” ； （2） 设十位数字为 x， 个位数字为 y， 则百位数字为(x+5).其中 x， y 都是正整数， 且 1x4， 1y9.十位数字与个位数字的和为：2x+5. 当 x=1 时，2x+5=7，此时 y=1 或 7， “好数”有：611，617 当 x=2 时，2x+5=9，此时 y=1 或 3 或 9， “好数”有：
17、721，723，729 当 x=3 时，2x+5=11，此时 y=1， “好数”有：831 当 x=4 时，2x+5=13，此时 y=1， “好数”有：941 所以百位数字比十位数字大 5 的所有“好数”的个数是 7.理由如上. 23.探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概 括函数性质的过程.结合已有的学习经验， 请画出函数 = :的图象并探究该函数的性质. x x - -4 4 - -3 3 - -2 2 - -1 1 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 y y a a - -2 2 - -4 4 b b - -4 4 - -2 2 （1）列表，写出
18、表中 a，b 的值：a=_ ，b= . 描点、连线，在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象. （2）观察函数图象，判断下列关于函数性质的结论是否正确(在答题卡相应位置正确的用 “”作答，错误的用“”作答)： 函数 = :的图象关于 y 轴对称； 当 x=0 时，函数 = :有最小值，最小值为-6； 在自变量的取值范围内函数 y 的值随自变量 x 的增大而减小. （3）已知函数 = 2 3 10 3 的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式 12 2:2 2 3 10 3 的解集. 解： （1）a= 12 11，b=-6. y x O D C B E A 备用图备用图 y x O
19、C B E A 所画图象，如图所示. （2）；. （3）x-4 或-2x1. 24. 为响应“把中国人的饭碗牢牢端在自己手中”的号召，确保粮食安全，优选品种，提高 产量，某农业科技小组对 A、B 两个玉米品种进行实验种植对比研究.去年 A、B 两个品种 各种植了 10 亩.收获后 A、B 两个品种的售价均为 2.4 元/kg，且 B 品种的平均亩产量比 A 品种高 100 千克，A、B 两个品种全部售出后总收入为 21600 元. (1)求 A、B 两个品种去年平均亩产量分别是多少千克？ (2)今年，科技小组优化了玉米的种植方法，在保持去年种植面积不变的情况下，预计 A、B 两个品种平均亩产量
20、将在去年的基础上分别增加 a%和 2a%.由于 B 品种深受市场欢迎，预 计每千克售价将在去年的基础上上涨 a%，而 A 品种的售价保持不变，A、B 两个品种全部 售出后总收人将增加20 9 %，求 a 的值. 解： （1）设 A、B 两个品种去年平均亩产量分别是 x、y 千克，由题意得 = + 100 24 + 24 = 21600，解得 = 400 = 500. 答：A、B 两个品种去年平均亩产量分别是 400、500 千克 （2）根据题意得：24 400(1 + %) + 24(1 + %) 500(1 + 2%) = 21600(1 + 20 9 %). 令 a%=m，则方程化为：24
21、 400(1 + ) + 24(1 + ) 500(1 + 2) = 21600(1 + 20 9 ). 整理得 10m2-m=0，解得 m1=0（不合题意，舍去） ，m2=0.1 所以 a%=0.1，所以 a=10，即 a 的值为 10. 25. 如图，在平面直角坐标系中抛物线 y=ax2+bx+2(a0)与 y 轴交于点 C，与 x 轴交于 A，B 两点(点 A 在点 B 的左侧)，且 A 点坐标为(2,0)，直线 BC 的解析式为 = 2 3 + 2 （1）求抛物线的解析式； （2） 过点 A 作 AD/BC， 交抛物线于点 D， 点 E 为直线 BC 上方抛物线上一动点， 连接 CE，
22、 EB，BD，DC.求四边形 BECD 面积的最大值及相应点 E 的坐标； （3）将抛物线 y=ax2+bx+2(a0)向左平移2个单位，已知点 M 为抛物线 y=ax2+bx+2(a0) 的对称轴上一动点，点 N 为平移后的抛物线上一动点.在(2)中，当四边形 BECD 的面积最 大时，是否存在以 A，E，M，N 为顶点的四边形为平行四边形，若存在，直接写出点 N 的 坐标；若不存在，请说明理由. 提示： （1）易得 B(32,0)，C(0,2)，又 A(2,0)， 所以易求抛物线的解析式为 = 1 3 2 + 22 3 + 2； C BO y xA E M N y x O C B A E
23、M N y x O C B A E N M （2） 易求 AD 的解析式为 = 2 3 2 3， 进而 D(42, 10 3 ).CD 的解析式为： = 22 3 + 2.则 CD 与 x 轴的交点 F 为(32 2 ,0).所以易求BCD 的面积为42， 设 E(x, 1 3 2 + 22 3 + 2)， 则 SBECD 的面积=1 2 32 *( 1 3 2 + 22 3 + 2) ( 2 3 + 2)+ + 42= 2 2 2+ 3 + 42， 当 x=32 2 时，四边形 BECD 面积最大，其最大值为252 4 ，此时 E(32 2 ,5 2). （3）存在.N 的坐标为( 32 2
24、 ，7 6)，或( 2 2 ，5 2)，或( 72 2 ， 11 2 ). 注：抛物线 = 1 3 2 + 22 3 + 2的顶点是(2，0)，设 M(2，m)，N(xn，yn)，又 A(2,0)， E(32 2 ,5 2)，易求平移后抛物线解析式为 = 1 3 2 + 8 3. 根据平行四边形对角线互相平分及中点公式.分类： 当 AM 为对角线时，则+ 32 2 = 2 + (2)， 解得 xn= 32 2 ，代入解析式得 yn=7 6. 所以 N( 32 2 ，7 6)，如图 对角线交点坐标为(0,11 6 )，M 坐标为(2,11 3 ) 当 AE 为对角线时，则+ 2 = 32 2 +
25、 (2)， 解得 xn= 2 2 ，代入解析式得 yn=5 2. 所以 N( 2 2 ，5 2)，如图 对角线交点坐标为( 2 4 ,5 4)，M 坐标为(2,0) 当 AN 为对角线时，则+ (2) = 2 + 32 2 ， 解得 xn=72 2 ，代入解析式得 yn= 11 2 . 所以 N(72 2 ， 11 2 ).如图 对角线交点坐标为(52 4 , 11 4 )，M 坐标为(2,-8) CB A 备用图备用图 图图1 N G F E DCB A N M F E DCB A 图图2 H G A BCD E F M N 图图2 P N F E DCB A Q O P N F E DCB
26、 A 四、解答题（本大题 1 个小题，共 8 分） 26. ABC 为等边三角形，AB=8，ADBC 于点 D，E 为线段 AD 上一点，AE=23 .以 AE 为边在直线 AD 右侧构造等边三角形 AEF，连接 CE，N 为 CE 的中点. （1）如图 1，EF 与 AC 交于点 G，连接 NG ，求线段 NG 的长； （2）如图 2，将AEF 绕点 A 逆时针旋转，旋转角为 ，M 为线段 EF 的中点，连接 DN， MN.当 30120时，猜想DNM 的大小是否为定值，并证明你的结论； （3）连接 BN，在AEF 绕点 A 逆时针旋转过程中，当线段 BN 最大时，请直接写出ADN 的面积.
27、 提示： （1）易得CGE=90 ，NG=1 2CE，CD=4，DE=23.答案：NG=7. （2）DNM 的为定值 120 . 连 CF，BE，BE 交 AC 于 H，DN 交 AC 于 G，如图. 易得：BEDN，MNCF，ABEACF. 因此DGC=BHC，ENM=ECF，ABE=ACF 又BHC=ABE+BAH=ABE+60 DGC=ABE+60=ACF+60 又DGC=DNC+GCN=DNC+ACF-ECF DNC=60+ECF=60+ENM DGE=180-DNC=120-ENM DNM=DNE+ENM=120 . （3）AND 的面积为73 如图，取 AC 中点 P，因为 BP+PNBN，所以当 B、P、N 在一直线上，BN 最大. 易得 BN=BP+PN=BP+1 2AE=43 + 3 = 53 设 BP 与 AD 交于 O，NQAD 于 Q，如图. 易得 BO=2 3BP= 83 3 ，ON=73 3 ，BD=4，ONQOBD，可求得 NQ= 7 2. AND 的面积为：1 2ADNQ=73.
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