1、2020 年吉林省长春市朝阳区中考数学一模试卷年吉林省长春市朝阳区中考数学一模试卷 一选择题（共一选择题（共 8 小题）小题） 1 实数 a、 b、 c、 d 在数轴上的对应点的位置如图所示， 这四个数中， 绝对值最大的是 （ ） Aa Bb Cc Dd 212 月 24 日，第八次中日韩领导人会议在四川成都举行，数据表明 2018 年三国间贸易总 额超过 7200 亿美元，请将数据 7200 亿用科学记数法表示为（ ） A7.21010 B72108 C72109 D7.21011 3如图是由 5 个完全相同是正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ） A B C D 4下列计算正确的是（ ）
2、 Aaa2a2 Ba3aa3 C （ab2）2a2b4 D （a3）2a5 5我国古代数学著作孙子算经中有“多人共车”问题：今有三人共车，二车空；二人 共车，九人步问人与车各几何？其大意是：每车坐 3 人，两车空出来；每车坐 2 人， 多出 9 人无车坐问人数和车数各多少？设车 x 辆，根据题意，可列出的方程是（ ） A3x22x+9 B3（x2）2x+9 C D3（x2）2（x+9） 6如图，在相距 am 的东西两座炮台 A、B 处同时发现入侵敌舰 C，在炮台 A 处测得敌舰 C 在它的南偏东 度的方向，在炮台 B 测得敌舰在它的正南方，则敌舰 C 与炮台 B 之间的 距离为（ ） A Ba
3、sinm C Datanm 7如图，在平面直角坐标系中，点 A、B 在函数 y（x0）的图象上，分别过点 A、B 作 x 轴的垂线交函数 y （x0，k0）的图象于点 C、D，E 是 y 轴上的点，连结 AB、 AD、AE、CE，若点 A、B 的横坐标分别为 2、3，ACE 与ABD 的面积之和为 2，则 k 的值为（ ） A B5 C6 D12 8 如图， 在ABC 中， ACB110， A25， 用直尺和圆规过点 C 作射线 CDAB， 交边 AB 于点 D，则下列作法中错误的是（ ） A B C D 二填空题（共二填空题（共 6 小题）小题） 9计算： 10 原价为 x 元的衬衫， 若打
4、六折销售， 则现在的售价为 元 （用含 x 的代数式表示） 11为增强学生体质，感受中国的传统文化，某学校将国家非物质文化遗产“抖空竹”引 入阳光特色大课间，某同学“抖空竹”的一个瞬间如图 1 所示，若将图 1 抽象成图 2 的 数学问题：ABCD，EAB80，ECD110，则E 的大小是 度 12 如图， 在平面直角坐标系中， 直线 yx+3 分别交 x 轴、 y 轴于 A、 B 两点， 点 P （m， 1）在AOB 的内部（不包含边界） ，则 m 的值可能是 （写一个即可） 13把边长为 2 的正方形纸片 ABCD 分割成如图的三块，其中点 O 为正方形的中心，E 为 AD 的中点， 用这
5、三块纸片拼成与该正方形不全等且面积相等的四边形 MNPQ （要求这三 块纸片不重叠无缝隙） ，若四边形 MNPQ 为矩形，则四边形 MNPQ 的周长是 14如图，有一座抛物线拱桥，在正常水位时水面 AB 的宽为 20m，如果水位上升 3m 达到 警戒水位时，水面 CD 的宽是 10 米，建立如图所示的平面直角坐标系，O 为坐标原点， 如果水位以 0.2m/h 的速度匀速上涨，那么达到警戒水位后，再过 h 水位达到桥拱 最高点 O 三解答题（共三解答题（共 10 小题）小题） 15先化简，再求值： （2a1）2+2a（32a） ，其中 a2020 16甲、乙两个不透明的袋子中分别装有三个标有数字
6、的小球，小球除数字不同外，其余均 相同，甲袋中三个小球上分别标有数字 1、2、7，乙袋中三个小球上分别标有数字 4、5、 6，小明分别从甲、乙口袋中通随机摸出一个小球，用画树状图（或列表）的方法，求小 明摸出两个小球上的数字之和为 4 的倍数的概率 17为迎接五一国际劳动节，某商店准备采购一批服装，经调查，用 1000 元采购 A 种服 装的件数与用800元采购B种服装的件数相等， A种服装每件的进价比B种服装多10元， 求 B 种服装每件的进价 18如图，AB 为O 的直径，AC 切O 于点 A，连结 BC 交 O 于点 D，E 是O 上一点， 且与点 D 在 AB 异侧，连结 DE （1）
7、求证：CBED； （2）若C50，AB2，则的长为（结果保留 ） 192020 年 2 月 21 日，某市有 600 名教师参加了“网络”培训活动，会议就“网络授课” 和“家庭教育”这两个问题随机调查了 60 位教师，并对数据进行了整理、描述和分析， 下面给出了部分信息： a关于“网络授课”问题发言次数的频数分布直方图如下： （数据分成 6 组：0 x4，4x8，8x12，12x16，16x20，20 x24） b关于“网络授课”问题发言次数在 8x12 这一组的是： 8 8 9 9 9 10 10 10 10 10 10 11 11 11 11 c “网络授课”和“家庭教育”这两问题发言次数
8、的平均数、中位数、众数如下： 问题 平均数（单位：次） 中位数（单位：次） 众数（单位：次） 网络授课 12 m 10 家庭教育 11 10 9 根据以上信息，回答下列问题： （1）上表中 m 的值为 （2）在这次培训会中，参会教师更感兴趣的问题是 （填“网络授课”或“家庭 教育” ） ，并说明理由 （3）如果参加这次培训的 600 名教师都接受调查，估计在“网络授课”这个问题上发言 次数不小于 8 次的参会教师的人数 20图、图、图都是 66 的正方形网格，每个小正方形的边长均为 1，每个小正方 形的顶点叫做格点，线段 AB 的端点都在格点上，在图、图、图中，分别以 AB 为边画一个面积为的
9、三角形， 在给定的网格中， 只用无刻度的直尺， 按下列要求画图， 只保留作图痕迹，不要求写画法 （1）在图中画ABC，使BAC45 （2）在图中画ABD，使ABD 是轴对称图形 （3）在图中画ABE，使 AB 边上的高将ABE 分成面积比为 1：2 的两部分 21如图，一个底面是正方形的长方体铁块放置在高为 50cm 的圆柱形容器内，现以一定 的速度往容器内注水， 注满容器为止， 容器顶部离水面的距离 y （cm） 与注水时间 x （min） 之间的函数图象如图所示 （1）长方体的高度为 cm （2） 求该容器水面没过长方体后 y 与 x 之间的函数关系式， 并写出自变量 x 的取值范围 （3
10、）若该长方体的底面边长为 15cm，直接写出该圆柱形容器的底面积 22 【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第 117 页的部分内容 结合图，补全证明过程 【应用】如图，直线 EF 分别交矩形 ABCD 的边 AD、BC 于点 E、F，将矩形 ABCD 沿 EF 翻折，使点 C 的对称点与点 A 重合，点 D 的对称点为 D，若 AB3，BC4，则四 边形 ABFE 的周长为 【拓展】如图，直线 EF 分别交ABCD 的边 AD、BC 于点 E、F，将ABCD 沿 EF 翻 折，使点 C 的对称点与点 A 重合，点 D 的对称点为 D，若 AB，BC4，C 45，则 EF 的长为 23如
11、图，在ABC 中，ABBC15，sinB，动点 P 从点 B 出发，以每秒 3 个单位长 度的速度沿 BA 向终点 A 运动，过点 P 作 PDAB，交射线 BC 于点 D，E 为 PD 中点， 以 DE 为边作正方形 DEFG， 使点 A、 F 在 PD 的同侧， 设点 P 的运动时间为 t 秒 （t0） （1）求点 A 到边 BC 的距离 （2）当点 G 在边 AC 上时，求 t 的值 （3）设正方形 DEFG 与ABC 的重叠部分图形的面积为 S，当点 D 在边 BC 上时，求 S 与 t 之间的函数关系式 （4）连结 EG，当DEG 一边上的中点在线段 AC 上时，直接写出 t 的值
12、24定义：在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，对于任意两点 P（m，y） 、Q（x，y0） ，m 为任意实数，若，则称点 Q 是点 P 的变换点，例如：若点 P（m， y） 在直线 yx 上， 则点 P 的变换点 Q 在函数的图象上， 设点 P （m， y）在函数 yx22x 的图象上，点 P 的变换点 Q 所在的图象记为 G （1）直接写出图象 G 对应的函数关系式 （2）当 m3，且2x3 时，求图象 G 的最高点与最低点的坐标 （3）设点 A、B 的坐标分别为（m1，2） 、 （2m+2，2） ，连结 AB，若图象 G 与线 段 AB 有交点，直接写出 m 的取值范围 （4）若图象 G
13、上的点 Q 的纵坐标 y0的取值范围是 y0k 或 y0n，其中 kn，令 sk n，求 s 与 m 之间的函数关系式，并写出 m 的取值范围 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 8 小题）小题） 1 实数 a、 b、 c、 d 在数轴上的对应点的位置如图所示， 这四个数中， 绝对值最大的是 （ ） Aa Bb Cc Dd 【分析】直接利用绝对值的性质结合各字母的位置进而得出答案 【解答】解：由数轴可得：|a|3，|b|1，|c|0，1|d|2， 故这四个数中，绝对值最大的是：a 故选：A 212 月 24 日，第八次中日韩领导人会议在四川成都举行，数据表明 201
14、8 年三国间贸易总 额超过 7200 亿美元，请将数据 7200 亿用科学记数法表示为（ ） A7.21010 B72108 C72109 D7.21011 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相 同当原数绝对值10 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 【解答】解：7200 亿7200 0000 00007.21011， 故选：D 3如图是由 5 个完全相同是正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ） A B C D 【分析】根据从正面看得到的图形是
15、主视图，可得答案 【解答】解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层左边有一个小正方形， 故选：B 4下列计算正确的是（ ） Aaa2a2 Ba3aa3 C （ab2）2a2b4 D （a3）2a5 【分析】根据同底数幂的乘法运算法则和除法运算法则，积的乘方的性质、幂的乘方的 性质进行计算即可 【解答】解：A、aa2a3，故原题计算错误； B、a3aa2，故原题计算错误； C、 （ab2）2a2b4，故原题计算正确； D、 （a3）2a6，故原题计算错误； 故选：C 5我国古代数学著作孙子算经中有“多人共车”问题：今有三人共车，二车空；二人 共车，九人步问人与车各几何？其大意是：每车坐 3 人，
16、两车空出来；每车坐 2 人， 多出 9 人无车坐问人数和车数各多少？设车 x 辆，根据题意，可列出的方程是（ ） A3x22x+9 B3（x2）2x+9 C D3（x2）2（x+9） 【分析】设车 x 辆，根据乘车人数不变，即可得出关于 x 的一元一次方程，此题得解 【解答】解：设车 x 辆， 根据题意得：3（x2）2x+9 故选：B 6如图，在相距 am 的东西两座炮台 A、B 处同时发现入侵敌舰 C，在炮台 A 处测得敌舰 C 在它的南偏东 度的方向，在炮台 B 测得敌舰在它的正南方，则敌舰 C 与炮台 B 之间的 距离为（ ） A Basinm C Datanm 【分析】根据炮台 B 在
17、炮台 A 的正东方向，敌舰 C 在炮台 B 的正南方向，得出ABC 90，再利用 tanACB，求出 BC 的值即可 【解答】解：根据题意，得ACBDAC，ABam 在 RtABC 中，tanACB， tan， BC， 即敌舰 C 与炮台 B 之间的距离为m， 故选：C 7如图，在平面直角坐标系中，点 A、B 在函数 y（x0）的图象上，分别过点 A、B 作 x 轴的垂线交函数 y （x0，k0）的图象于点 C、D，E 是 y 轴上的点，连结 AB、 AD、AE、CE，若点 A、B 的横坐标分别为 2、3，ACE 与ABD 的面积之和为 2，则 k 的值为（ ） A B5 C6 D12 【分析
18、】根据题意由对应的反比例函数的解析式求出 A、B、C、D 点坐标，进而得 AC、 BD，再根据三角形的面积公式，由ACE 与ABD 的面积之和为 2，列出 k 的方程，便 可求得 k 的值 【解答】解：点 A、B 的横坐标分别为 2、3，点 A、B 在函数 y （x0）的图象上， A（2，） ，B（3，1） ， 分别过点 A、B 作 x 轴的垂线交函数 y（x0，k0）的图象于点 C、D， C（2，） ，D（3，） ， AC，BD， ACE 与ABD 的面积之和为 2， ， 解得，k6， 故选：C 8 如图， 在ABC 中， ACB110， A25， 用直尺和圆规过点 C 作射线 CDAB，
19、交边 AB 于点 D，则下列作法中错误的是（ ） A B C D 【分析】依据基本作图，圆周角定理以及线段垂直平分线的判定方法，即可得出结论 【解答】解：A由作图痕迹可得，属于过一点作已知直线的垂线，故 CDAB，作法正 确； B由作图痕迹可得，直径所对的圆周角等于 90，故 CDAB，作法正确； C由作图痕迹可得，AB 是线段的垂直平分线，故 ABCD，作法正确； D由作图痕迹可得，CD 与 AB 不一定垂直，故作法错误； 故选：D 二填空题（共二填空题（共 6 小题）小题） 9计算： 3 【分析】直接化简二次根式进而利用二次根式的加减运算法则计算得出答案 【解答】解：+2 3 故答案为：3
20、 10 原价为 x 元的衬衫， 若打六折销售， 则现在的售价为 0.6x 元 （用含 x 的代数式表示） 【分析】根据“原价现售价”列出代数式便可 【解答】解：由题意得， 现在的售价为 x60%0.6x 元， 故答案为 0.6x 11为增强学生体质，感受中国的传统文化，某学校将国家非物质文化遗产“抖空竹”引 入阳光特色大课间，某同学“抖空竹”的一个瞬间如图 1 所示，若将图 1 抽象成图 2 的 数学问题：ABCD，EAB80，ECD110，则E 的大小是 30 度 【分析】 直接利用平行线的性质得出EABEFC80， 进而利用三角形的外角得出 答案 【解答】解：如图所示：延长 DC 交 AE
21、 于点 F， ABCD，EAB80，ECD110， EABEFC80， E1108030 故答案为：30 12 如图， 在平面直角坐标系中， 直线 yx+3 分别交 x 轴、 y 轴于 A、 B 两点， 点 P （m， 1）在AOB 的内部（不包含边界） ，则 m 的值可能是 1（答案不唯一） （写一个即 可） 【分析】直线 yx+3，当 y1 时，即 1x+3，即 x4，故 0m4，即可求 解 【解答】解：直线 yx+3， 当 y1 时，即 1x+3，即 x4， 故 0m4， m 可以在 0 到 4 任意取一个实数， 故答案为：1（答案不唯一） 13把边长为 2 的正方形纸片 ABCD 分割
22、成如图的三块，其中点 O 为正方形的中心，E 为 AD 的中点， 用这三块纸片拼成与该正方形不全等且面积相等的四边形 MNPQ （要求这三 块纸片不重叠无缝隙） ，若四边形 MNPQ 为矩形，则四边形 MNPQ 的周长是 10 【分析】根据四边形 MNPQ 为矩形，点 O 为正方形的中心，E 为 AD 的中点，可得 OE 1，根据图形的剪拼即可求出矩形 MNPQ 的周长 【解答】解：如图所示： 四边形 MNPQ 为矩形， 点 O 为正方形的中心，E 为 AD 的中点， OE1， MBOECN1， 且 PNAF1， 所以矩形 MNPQ 的周长是： 2（MB+BC+CN+PN） 2（1+2+1+1
23、） 10 故答案为：10 14如图，有一座抛物线拱桥，在正常水位时水面 AB 的宽为 20m，如果水位上升 3m 达到 警戒水位时，水面 CD 的宽是 10 米，建立如图所示的平面直角坐标系，O 为坐标原点， 如果水位以 0.2m/h 的速度匀速上涨，那么达到警戒水位后，再过 5 h 水位达到桥拱最 高点 O 【分析】根据题目中所给的数据求出函数解析式，再求出时间 t 【解答】解：设抛物线解析式为 yax2， 因为抛物线关于 y 轴对称，AB20，所以点 B 的横坐标为 10， CD10 米，所以 D 点横坐标为 5， 设点 B（10，n） ，点 D（5，n+3） ， ， 解得：， 抛物线解析
24、式为 yx2， 当 x5 时，y1， 则 t10.25， 故答案为：5 三解答题（共三解答题（共 10 小题）小题） 15先化简，再求值： （2a1）2+2a（32a） ，其中 a2020 【分析】直接利用完全平方公式以及单项式乘以多项式进而合并同类项，再把 a 的值代 入求出答案 【解答】解： （2a1）2+2a（32a） 4a2+14a+6a4a2 2a+1， 当 a2020 时， 原式22020+1 4041 16甲、乙两个不透明的袋子中分别装有三个标有数字的小球，小球除数字不同外，其余均 相同，甲袋中三个小球上分别标有数字 1、2、7，乙袋中三个小球上分别标有数字 4、5、 6，小明分
25、别从甲、乙口袋中通随机摸出一个小球，用画树状图（或列表）的方法，求小 明摸出两个小球上的数字之和为 4 的倍数的概率 【分析】画树状图得出所有 9 种等可能的结果数，然后根据概率公式求解 【解答】解：如图所示： ， P（小明摸出的两个小球上的数字之和为 4 的倍数） 17为迎接五一国际劳动节，某商店准备采购一批服装，经调查，用 1000 元采购 A 种服 装的件数与用800元采购B种服装的件数相等， A种服装每件的进价比B种服装多10元， 求 B 种服装每件的进价 【分析】直接根据题意表示出采购 A、B 种服装的件数，进而得出等式求出答案 【解答】解：设 B 种服装每件的进价为 x 元，由题意
26、可得： ， 解得：x40， 经检验得：x40 为原方程的解，且符合题意， 答：B 种服装每件的进价为 40 元 18如图，AB 为O 的直径，AC 切O 于点 A，连结 BC 交 O 于点 D，E 是O 上一点， 且与点 D 在 AB 异侧，连结 DE （1）求证：CBED； （2）若C50，AB2，则的长为（结果保留 ） 【分析】 （1）连接 AD，如图，根据圆周角定理得到ADB90，根据切线的性质得到 BAC90，则利用等角的余角相等得到DABC，然后根据圆周角定理和等量代 换得到结论； （2）连接 OD，如图，利用（1）中结论得到BEDC50，再利用圆周角定理得 到BOD 的度数，然后根
27、据弧长公式计算的长度 【解答】 （1）证明：连接 AD，如图， AB 为O 的直径， ADB90， AC 切O 于点 A CAAB， BAC90， C+ABD90， 而DAB+ABD90， DABC， DABBED， CBED； （2）解：连接 OD，如图， BEDC50， BOD2BED100， 的长度 192020 年 2 月 21 日，某市有 600 名教师参加了“网络”培训活动，会议就“网络授课” 和“家庭教育”这两个问题随机调查了 60 位教师，并对数据进行了整理、描述和分析， 下面给出了部分信息： a关于“网络授课”问题发言次数的频数分布直方图如下： （数据分成 6 组：0 x4，
28、4x8，8x12，12x16，16x20，20 x24） b关于“网络授课”问题发言次数在 8x12 这一组的是： 8 8 9 9 9 10 10 10 10 10 10 11 11 11 11 c “网络授课”和“家庭教育”这两问题发言次数的平均数、中位数、众数如下： 问题 平均数（单位：次） 中位数（单位：次） 众数（单位：次） 网络授课 12 m 10 家庭教育 11 10 9 根据以上信息，回答下列问题： （1）上表中 m 的值为 11 （2） 在这次培训会中， 参会教师更感兴趣的问题是 网络授课 （填 “网络授课” 或 “家 庭教育” ） ，并说明理由 （3）如果参加这次培训的 60
29、0 名教师都接受调查，估计在“网络授课”这个问题上发言 次数不小于 8 次的参会教师的人数 【分析】 （1）根据直方图中的数据，可以得到 m 的值； （2）根据表格中的数据，可知教师更感兴趣的问题是网络授课，然后根据表格中的数据 说明理由即可； （3）根据直方图中的数据，可以计算出在“网络授课”这个问题上发言次数不小于 8 次 的参会教师的人数 【解答】解： （1）由直方图可知， 网络授课的中位数落在 8x12 这一组，m（11+11）211， 故答案为：11； （2）在这次培训会中，参会教师更感兴趣的问题是网络授课， 理由：网络授课问题的发言次数的平均数、中位数都大于家庭教育问题发言次数的平
30、均 数、中位数，说明参会教师网络授课的发言次数高于家庭教育的发言次数，故在这次培 训会中，参会教师更感兴趣的问题是网络授课； 故答案为：网络授课； （3）600420（人） ， 答：发言次数不小于 8 次的参会教师有 420 人 20图、图、图都是 66 的正方形网格，每个小正方形的边长均为 1，每个小正方 形的顶点叫做格点，线段 AB 的端点都在格点上，在图、图、图中，分别以 AB 为边画一个面积为的三角形， 在给定的网格中， 只用无刻度的直尺， 按下列要求画图， 只保留作图痕迹，不要求写画法 （1）在图中画ABC，使BAC45 （2）在图中画ABD，使ABD 是轴对称图形 （3）在图中画A
31、BE，使 AB 边上的高将ABE 分成面积比为 1：2 的两部分 【分析】 （1）利用数形结合的思想画出三角形即可 （2）利用勾股定理结合数形结合的思想解决问题即可（答案不唯一） （3）取格点 E，连接 AE，BE 即可 【解答】解： （1）如图中，ABC 即为所求 （2）如图中，ABD 即为所求（答案不唯一） （3）如图中，ABE 即为所求（答案不唯一） 21如图，一个底面是正方形的长方体铁块放置在高为 50cm 的圆柱形容器内，现以一定 的速度往容器内注水， 注满容器为止， 容器顶部离水面的距离 y （cm） 与注水时间 x （min） 之间的函数图象如图所示 （1）长方体的高度为 20
32、cm （2） 求该容器水面没过长方体后 y 与 x 之间的函数关系式， 并写出自变量 x 的取值范围 （3）若该长方体的底面边长为 15cm，直接写出该圆柱形容器的底面积 【分析】 （1）直接利用一次函数图象结合水面高度的变化得出长方体的高； （2）直接利用待定系数法求出一次函数解析式，再利用函数图象得出自变量 x 的取值范 围； （3）利用一次函数图象结合水面高度的变化得出该圆柱形容器的底面积 【解答】解： （1）由题意可得：0 至 3min 时，容器顶部离水面的距离变小得快，3 分钟 后容器顶部离水面的距离变小减慢， 故长方体的高为 503020（cm） ； 故答案为：20 （2）容器水面
33、没过长方体后 y 与 x 之间的函数关系式为 ykx+b， 由题意得，解得， 该容器水面没过长方体后 y 与 x 之间的函数关系式为， 当 y0 时，解答 x21， 自变量 x 的取值范围为 3x21 （3）设每分钟的注水量为 mcm3 则下底面中未被长方体覆盖部分的面积是：m（cm2） ， 圆柱体的底面积为：m（cm2） ， 二者比为， 长方体底面积：圆柱体底面积3：4 该圆柱形容器的底面积为：（cm2） ， 答：该圆柱形容器的底面积为 300cm2 22 【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第 117 页的部分内容 结合图，补全证明过程 【应用】如图，直线 EF 分别交矩形 ABCD
34、 的边 AD、BC 于点 E、F，将矩形 ABCD 沿 EF 翻折，使点 C 的对称点与点 A 重合，点 D 的对称点为 D，若 AB3，BC4，则四 边形 ABFE 的周长为 【拓展】如图，直线 EF 分别交ABCD 的边 AD、BC 于点 E、F，将ABCD 沿 EF 翻 折，使点 C 的对称点与点 A 重合，点 D 的对称点为 D，若 AB，BC4，C 45，则 EF 的长为 【分析】 【教材呈现】 由“ASA”可证AOECOF，可得 OEOF，由对角线互相平分的四边形是平行四边 形可证四边形 AFCE 是平行四边形，即可证平行四边形 AFCE 是菱形； 【应用】 过点 F 作 FHAD
35、 于 H，由折叠的性质可得 AFCF，AFEEFC，由勾股定理可求 BF 的长，EF 的长， 【拓展】 过点 A 作 ANBC，交 CB 的延长线于 N，过点 F 作 FMAD 于 M，由等腰直角三角形 的性质可求 ANBN2， 由勾股定理可求 AEAF， 再利用勾股定理可求 EF 的长 【解答】解： 【教材呈现】 四边形 ABCD 是矩形， AECF， EAOFCO， EF 垂直平分 AC， AOCO，AOECOF90， AOECOF（ASA） OEOF， 又AOCO， 四边形 AFCE 是平行四边形， EFAC， 平行四边形 AFCE 是菱形； 【应用】 如图，过点 F 作 FHAD 于
36、H， 将矩形 ABCD 沿 EF 翻折，使点 C 的对称点与点 A 重合， AFCF，AFEEFC， AF2BF2+AB2， （4BF）2BF2+9， BF， AFCF， ADBC， AEFEFCAFE， AEAF， BBADAHF90， 四边形 ABFH 是矩形， ABFH3，AHBF， EH， EF， 四边形 ABFE 的周长AB+BF+AE+EF3+， 故答案为： 【拓展】 如图，过点 A 作 ANBC，交 CB 的延长线于 N，过点 F 作 FMAD 于 M， 四边形 ABCD 是平行四边形，C45， ABC135， ABN45， ANBC， ABNBAN45， ANBNAB2， 将A
37、BCD 沿 EF 翻折，使点 C 的对称点与点 A 重合， AFCF，AFEEFC， ADBC， AEFEFCAFE， AEAF， AF2AN2+NF2， AF24+（6AF）2， AF， AEAF， ANMF，ADBC， 四边形 ANFM 是平行四边形， ANBC， 四边形 ANFM 是矩形， ANMF2， AM， MEAEAM， EF， 故答案为： 23如图，在ABC 中，ABBC15，sinB，动点 P 从点 B 出发，以每秒 3 个单位长 度的速度沿 BA 向终点 A 运动，过点 P 作 PDAB，交射线 BC 于点 D，E 为 PD 中点， 以 DE 为边作正方形 DEFG， 使点
38、A、 F 在 PD 的同侧， 设点 P 的运动时间为 t 秒 （t0） （1）求点 A 到边 BC 的距离 （2）当点 G 在边 AC 上时，求 t 的值 （3）设正方形 DEFG 与ABC 的重叠部分图形的面积为 S，当点 D 在边 BC 上时，求 S 与 t 之间的函数关系式 （4）连结 EG，当DEG 一边上的中点在线段 AC 上时，直接写出 t 的值 【分析】 （1）如图 1，过点 A 作 AHBC 于点 H，在 RtABH 中，解直角三角形即可； （2）如图 2，在 RtBDP 中，用含 t 的式子分别表示出 BD、PD、DE、DG 和 CD，根 据题意得关于 t 的方程，解得 t
39、即可； （3）分三种情况：当 0t时，重叠部分为正方形 DEFG，当t时， 如图 3， 重叠部分为五边形 DEFMN， 当t3 时， 如图 4， 重叠部分为梯形 DEMN， 分别根据重叠部分的图形形状，计算出 S 与 t 之间的函数关系式即可； （4）分三种情况：当 DG 的中点 O 在线段 AC 上时，如图 5，此时 DCDO，当 EG 的中点 O 在线段 AC 上时，如图 6，此时 NCNO，当 DE 的中点 O 在线段 AC 上 时，如图 7，此时 NCNO，分别列出关于 t 的方程得出 t 的值即可 【解答】解： （1）如图 1，过点 A 作 AHBC 于点 H， 在 RtABH 中，
40、AHB90，AB15， sinB， AHAB1512 （2）如图 2，在 RtBDP 中，BPD90，BP3t， sinB， cosB， BD5t，PD4t， DEDG2t，CD155t 155t2t， t （3）当 0t时，重叠部分为正方形 DEFG， S（2t）24t2； 当t时，如图 3，重叠部分为五边形 DEFMN， SS正方形DEFGSMGN4t22t（155t）245t2+210t225； 当t3 时，如图 4，重叠部分为梯形 DEMN， S2t（154t+155t）9t2+30t （4）当 DG 的中点 O 在线段 AC 上时，如图 5， ABBC， AC， DGAB， CODA
41、 CCOD， DCDO， 155tt， 解得 t； 当 EG 的中点 O 在线段 AC 上时，如图 6，此时 NCNO， 155tt+t， 解得 t； 当 DE 的中点 O 在线段 AC 上时，如图 7，此时 NCNO， 155tt， 解得 t 24定义：在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，对于任意两点 P（m，y） 、Q（x，y0） ，m 为任意实数，若，则称点 Q 是点 P 的变换点，例如：若点 P（m， y） 在直线 yx 上， 则点 P 的变换点 Q 在函数的图象上， 设点 P （m， y）在函数 yx22x 的图象上，点 P 的变换点 Q 所在的图象记为 G （1）直接写出图象 G
42、对应的函数关系式 （2）当 m3，且2x3 时，求图象 G 的最高点与最低点的坐标 （3）设点 A、B 的坐标分别为（m1，2） 、 （2m+2，2） ，连结 AB，若图象 G 与线 段 AB 有交点，直接写出 m 的取值范围 （4）若图象 G 上的点 Q 的纵坐标 y0的取值范围是 y0k 或 y0n，其中 kn，令 sk n，求 s 与 m 之间的函数关系式，并写出 m 的取值范围 【分析】 （1）根据变换点的定义即可求解； （2）根据配方法和二次函数的增减性即可求解； （3） 由x2+x+12 求出 x 的值， 再根据点 P 的变换点 Q 在函数 的图象上求解即可； （4）分当 m1、m
43、1 两种情况求解即可 【解答】解： （1）图象 G 对应的函数关系式 y； （2）当 m3 时，图象 G 对应的函数关系式 y， 当 x3 时，y9612 当2x3 时，yx2+x+1（x1）2+， 当 x1 时，y 取得最大值为； 当 x2 时，y 取得最小值为3 故图象 G 的最高点的坐标为（3，2） ，最低点的坐标为（2，3） （3）当 y2 时，x2+x+12， 解得 x11，x21+， 点 P 的变换点 Q 在函数的图象上， m 的取值范围为 1m2或m1 或 1+m2+； （4）当 m1 时，xm 左侧的最高点的坐标为（1，） ，xm 右侧的最低点的坐标为 （m，m22m1） ， 点 Q 的纵坐标 y0的取值范围是 y0k 或 y0n， y0m22m1 或 y0， km22m1，n， 当 k时，m22m1， 解得 m11+，m21（舍去） ， kn， 当 m1+时，sm22m1m22m； 当 m1 时，xm 左侧图象无最高点，xm 右侧的最低点的坐标为（1，2） ， 没有符合点 Q 的纵坐标 y0的取值范围是 y0k 或 y0n 综上所述，求 s 与 m 之间的函数关系式为 sm22m（m1+）
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