1、23.2 平面向量的正交分解及坐标表示平面向量的正交分解及坐标表示 23.3 平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算 学习目标 1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示.2.掌握两个向量和、差及数乘 向量的坐标运算法则.3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来 知识点一 平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解 知识点二 平面向量的坐标表示 1在平面直角坐标系中，分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量 i，j 作为基底对于 平面内的一个向量 a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数 x，y，使得 axiyj. 平面内的任一向
2、量 a 都可由 x，y 唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量 a 的坐标，记作 a(x，y) 2在直角坐标平面中，i(1,0)，j(0,1)，0(0,0) 思考 点的坐标与向量坐标有什么区别和联系？ 答案 区 别 表示形 式不同 向量 a(x，y)中间用等号连接，而点 A(x，y)中间没有等号 意义 不同 点 A(x，y)的坐标(x，y)表示点 A 在平面直角坐标系中的位置，a(x，y) 的坐标(x，y)既表示向量的大小，也表示向量的方向另外(x，y)既可以 表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点(x，y)或向量(x，y) 联系 当平面向量的始点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相
3、同 知识点三 平面向量的坐标运算 设 a(x1，y1)，b(x2，y2)， 数学公式 文字语言表述 向量加法 ab(x1x2，y1y2) 两个向量和的坐标分别等于这两个向 量相应坐标的和 向量减法 ab(x1x2，y1y2) 两个向量差的坐标分别等于这两个向 量相应坐标的差 向量数乘 a(x1，y1) 实数与向量的积的坐标等于用这个实 数乘原来向量的相应坐标 已知点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么向量AB (x 2x1，y2y1)，即任意一个向量的坐标等于表 示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标 1相等向量的坐标相等( ) 2在平面直角坐标系内，若 A(x1，y1)，B(x2
4、，y2)，则向量AB (x 1x2，y1y2)( ) 提示 AB (x 2x1，y2y1) 3与 x 轴，y 轴方向相同的两个单位向量分别为：i(1,0)，j(0,1)( ) 4当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标( ) 题型一 平面向量的坐标表示 例 1 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，OA4，AB3，AOx45 ，OAB105 ，OA a，AB b.四边形 OABC 为平行四边形 (1)求向量 a，b 的坐标； (2)求向量BA 的坐标； (3)求点 B 的坐标 考点 平向向量的正交分解及坐标表示 题点 平面向量的正交分解求向量的坐标 解 (1)作 AMx 轴于点 M
5、， 则 OMOA cos 45 4 2 2 2 2， AMOA sin 45 4 2 2 2 2. A(2 2，2 2)，故 a(2 2，2 2) AOC180 105 75 ，AOy45 ， COy30 . 又OCAB3， C 3 2， 3 3 2 ，AB OC 3 2， 3 3 2 ， 即 b 3 2， 3 3 2 . (2)BA AB 3 2， 3 3 2 . (3)OB OA AB (2 2，2 2) 3 2， 3 3 2 2 23 2，2 2 3 3 2 . 反思感悟 在表示点、向量的坐标时，可利用向量的相等、加减法运算等求坐标，也可以利 用向量、点的坐标定义求坐标 跟踪训练 1 在
6、平面直角坐标系 xOy 中，向量 a，b，c 的方向如图所示，且|a|2，|b|3，|c| 4，分别计算出它们的坐标 考点 平向向量的正交分解及坐标表示 题点 平面向量的正交分解求向量的坐标 解 设 a(a1，a2)，b(b1，b2)，c(c1，c2)， 则 a1|a|cos 45 2 2 2 2. a2|a|sin 45 2 2 2 2， b1|b|cos 120 3 1 2 3 2， b2|b|sin 120 3 3 2 3 3 2 ， c1|c|cos(30 )4 3 2 2 3， c2|c|sin(30 )4 1 2 2. 因此 a( 2， 2)，b 3 2， 3 3 2 ，c(2 3
7、，2) 题型二 平面向量的坐标运算 例 2 已知 a(1,2)，b(2,1)，求： (1)2a3b；(2)a3b；(3)1 2a 1 3b. 考点 平面向量加法与减法的坐标运算 题点 平面向量的坐标运算 解 (1)2a3b2(1,2)3(2,1) (2,4)(6,3)(4,7) (2)a3b(1,2)3(2,1) (1,2)(6,3)(7，1) (3)1 2a 1 3b 1 2(1,2) 1 3(2,1) 1 2，1 2 3， 1 3 7 6， 2 3 . 反思感悟 向量坐标运算的方法 (1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行 (2)若已知有向线段两端点的坐标，
8、则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算 (3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行 跟踪训练 2 已知点 A(0,1)，B(3,2)，向量AC (4，3)，则向量BC等于( ) A(7，4) B(7,4) C(1,4) D(1,4) 考点 平面向量加法与减法的坐标运算 题点 平面向量的坐标运算 答案 A 解析 设 C(x，y)，则AC (x，y1)(4，3)， 即 x4，y2， 故 C(4，2)，则BC (7，4)， 故选 A. 向量坐标运算的应用 典例 已知点 A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)，若第三象限的点 P 满足AP ABAC，则实数 的 取值范围是( ) A(，
9、1) B. ，3 5 C. 1，4 7 D. 1，3 5 答案 A 解析 方法一 设 P(x，y)，则AP (x2，y3)， 又AP ABAC(3,1)(5,7)(35，17)， 于是由AP ABAC，可得 (x2，y3)(35，17)， 所以 x235， y317， 即 x55， y74. 因为点 P 在第三象限，所以 550， 740， 解得 1. 故所求实数 的取值范围是(，1) 方法二 OP OA AP OA AB AC OB AC (5,4)(5,7) (55，47)，所以 P(55，47)， 因为点 P 在第三象限，所以 550， 470， 所以 1. 素养评析 明确向量的坐标运算
10、主要是利用加、减、数乘运算法则进行，正确进行向量的 坐标运算是解题的关键，这正是数学核心素养数学运算的具体体现. 1已知 a(1,1)，b(1，1)，则1 2a 3 2b 等于( ) A(1,2) B(1，2) C(1，2) D(1,2) 考点 平面向量加法和减法的坐标运算 题点 平面向量的坐标运算 答案 A 解析 1 2a 3 2b 1 2(1,1) 3 2(1，1) 1 2 3 2， 1 2 3 2 (1,2) 2已知向量OA (3，2)，OB (5，1)，则向量1 2AB 的坐标是( ) A. 4，1 2 B. 4，1 2 C(8,1) D(8,1) 考点 平面向量加法和减法的坐标运算
11、题点 平面向量的坐标运算 答案 A 解析 AB OB OA (8,1)，1 2AB 4，1 2 . 3已知四边形 ABCD 的三个顶点 A(0,2)，B(1，2)，C(3,1)，且BC 2AD ，则顶点 D 的 坐标为( ) A. 2，7 2 B. 2，1 2 C(3,2) D(1,3) 考点 平面向量的坐标运算的应用 题点 利用平面向量的坐标运算求点的坐标 答案 A 解析 设 D 点坐标为(x，y)，则BC (4,3)， AD (x，y2)， 由BC 2AD ，得 42x， 32y2， x2 y7 2 ，D 2，7 2 . 4已知向量 a(2，3)，b(1,2)，p(9,4)，若 pmanb
12、，则 mn_. 考点 平面向量的坐标运算的应用 题点 利用平面向量的坐标运算求参数 答案 7 解析 由于 pmanb， 即(9,4)(2m，3m)(n,2n)(2mn，3m2n)， 所以 2mn9 且3m2n4， 解得 m2，n5，所以 mn7. 5已知点 A(2,1)，B(2,3)，且AC 1 2AB ，则点 C 的坐标为_ 考点 平面向量的坐标运算的应用 题点 利用平面向量的坐标运算求点的坐标 答案 (0,2) 解析 设 C(x，y)，则(x2，y1)1 2(4,2)(2,1)， x0，y2. 1 向量的正交分解是把一个向量分解为两个互相垂直的向量， 是向量坐标表示的理论依据 向 量的坐标表示，沟通了向量“数”与“形”的特征，使向量运算完全代数化 2要区分向量终点的坐标与向量的坐标由于向量的起点可以任意选取，如果一个向量的起 点是坐标原点，这个向量终点的坐标就是这个向量的坐标；若向量的起点不是原点，则向量 的终点坐标不是向量的坐标，若 A(xA，yA)，B(xB，yB)，则AB (x BxA，yByA) 3向量和、差的坐标就是它们对应向量坐标的和、差，数乘向量的坐标等于这个实数与原来 向量坐标的积
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