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    2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 学案(含答案)

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    2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 学案(含答案)

    1、24.2 平面向量数量积的坐标表示平面向量数量积的坐标表示、模模、夹角夹角 学习目标 1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程,能运用数量积的坐标表示进行向量 数量积的运算.2.能根据向量的坐标计算向量的模,并推导平面内两点间的距离公式.3.能根据 向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直 知识点一 平面向量数量积的坐标表示 设非零向量 a(x1,y1),b(x2,y2),a 与 b 的夹角为 . 数量积 a bx1x2y1y2 向量垂直 abx1x2y1y20 知识点二 平面向量模的坐标形式及两点间的距离公式 向量 模长 a(x,y) |a| x2y2 以 A(x1,y1),B(x2,y2)

    2、为端点的向量AB |AB | x 2x1 2y 2y1 2 知识点三 平面向量夹角的坐标表示 cos a b |a|b| x1x2y1y2 x21y21 x22y22. 思考 若两个非零向量的夹角满足 cos 0,则两向量的夹角 一定是钝角吗? 答案 不一定,当 cos 0,则两向量的夹角 一定是锐角( ) 提示 当两向量同向共线时,cos 10,但夹角 0,不是锐角 3 两个非零向量 a(x1, y1), b(x2, y2), 满足 x1y2x2y10, 则向量 a 与 b 的夹角为 0 .( ) 题型一 数量积的坐标运算 例 1 (1)已知 a(2,1),b(1,1),则(a2b) (a3

    3、b)等于( ) A10 B10 C3 D3 考点 平面向量数量积的坐标表示与应用 题点 坐标形式下的数量积运算 答案 B 解析 a2b(4,3),a3b(1,2),所以(a2b) (a3b)4(1)(3)210. (2)如图所示,在矩形 ABCD 中,AB 2,BC2,点 E 在边 CD 上,且DE 2EC ,则AE BE 的值是_ 考点 平面向量数量积的坐标表示与应用 题点 坐标形式下的数量积运算 答案 32 9 解析 以 A 为原点, AB 所在直线为 x 轴、 AD 所在直线为 y 轴建立如图所示平面直角坐标系 AB 2,BC2, A(0,0),B( 2,0),C( 2,2),D(0,2

    4、), 点 E 在边 CD 上,且DE 2EC , E 2 2 3 ,2 .AE 2 2 3 ,2 ,BE 2 3 ,2 , AE BE4 94 32 9 . 反思感悟 数量积坐标运算的技巧 (1)进行数量积运算时,要正确使用公式 a bx1x2y1y2,并能灵活运用以下几个关系: |a|2a a. (ab) (ab)|a|2|b|2. (ab)2|a|22a b|b|2. (2)在平面几何图形中求数量积,若几何图形规则易建系,可先建立坐标系,写出相关向量的 坐标,再求数量积 跟踪训练 1 向量 a(1,1),b(1,2),则(2ab) a 等于( ) A1 B0 C1 D2 考点 平面向量数量

    5、积的坐标表示与应用 题点 坐标形式下的数量积运算 答案 C 解析 因为 a(1,1),b(1,2),所以 2ab2(1,1)(1,2)(1,0),则(2ab) a (1,0) (1,1)1,故选 C. 题型二 平面向量的模 例 2 已知平面向量 a(3,5),b(2,1) (1)求 a2b 及其模的大小; (2)若 ca(a b)b,求|c|. 考点 平面向量模的坐标表示与应用 题点 利用坐标求向量的模 解 (1)a(3,5),b(2,1), a2b(3,5)2(2,1)(34,52)(7,3), |a2b|7232 58. (2)a b651, cab(1,6), |c|1262 37. 反

    6、思感悟 求向量 a(x,y)的模的常见思路及方法 (1)求模问题一般转化为求模的平方,与向量数量积联系要灵活应用公式 a2|a|2x2y2,求 模时,勿忘记开方 (2)a aa2|a|2或|a| a2 x2y2,此性质可用来求向量的模,可以实现实数运算与向量 运算的相互转化 跟踪训练 2 已知向量 a(2,1),a b10,|ab|5 2,则|b|等于( ) A. 5 B. 10 C5 D25 考点 平面向量模的坐标表示与应用 题点 利用坐标求向量的模 答案 C 解析 a(2,1),a25, 又|ab|5 2,(ab)250, 即 a22a bb250, 5210b250,b225,|b|5.

    7、 题型三 平面向量的夹角与垂直问题 命题角度 1 向量的夹角 例 3 已知点 A(3,0),B(0,3),C(cos ,sin ),O(0,0),若|OA OC | 13,(0,),则OB , OC 的夹角为( ) A. 2 B. 4 C. 3 D. 6 考点 平面向量夹角的坐标表示与应用 题点 求坐标形式下的向量的夹角 答案 D 解析 因为|OA OC |2(OA OC )2OA 22OA OC OC 296cos 113, 所以 cos 1 2, 因为 (0,),所以 3,所以 C 1 2, 3 2 , 所以 cosOB ,OC OB OC |OB |OC | 3 3 2 31 3 2 ,

    8、 因为 0OB ,OC ,所以OB ,OC 6, 所以OB ,OC 的夹角为 6,故选 D. 反思感悟 利用向量的数量积求两向量夹角的一般步骤 (1)利用向量的坐标求出这两个向量的数量积 (2)利用|a| x2y2求两向量的模 (3)代入夹角公式求 cos ,并根据 的范围确定 的值 跟踪训练 3 已知 a(1,1),b(,1),若 a 与 b 的夹角 为钝角,求 的取值范围 考点 平面向量夹角的坐标表示与应用 题点 已知坐标形式下的向量夹角求参数 解 a(1,1),b(,1), |a| 2,|b|12,a b1. 又a,b 的夹角 为钝角, 10, 2 121, 即 1, 2210. 0),

    9、 AB2, 点 B 的坐标是(2,0), AB (2,0),BC(x2,y) AB BC1, 2(x2)1,解得 x5 2. 又 SABC3 2, 1 2 |AB| y 3 2,y 3 2, C 点坐标为 5 2, 3 2 ,则AC 5 2, 3 2 , |AC | 5 2 2 3 2 2 34 2 , 故边 AC 的长为 34 2 . 素养评析 本题通过建立直角坐标系,从而建立形与数的联系利用平面向量的坐标解决 线段的长度问题,提升了学生数形结合的能力,培养了学生数学运算及直观想象的数学核心 素养 1已知 a(3,4),b(5,12),则 a 与 b 夹角的余弦值为( ) A.63 65 B

    10、. 65 C. 13 5 D. 13 考点 平面向量夹角的坐标表示与应用 题点 求坐标形式下的向量的夹角 答案 A 解析 |a|32425,|b|5212213. a b3541263. 设 a,b 夹角为 ,所以 cos 63 513 63 65. 2若向量 a(x,2),b(1,3),a b3,则 x 等于( ) A3 B3 C.5 3 D 5 3 考点 平面向量数量积的坐标表示与应用 题点 已知数量积求参数 答案 A 解析 a bx63,故 x3. 3已知向量 m(1,1),n(2,2),若(mn)(mn),则 等于( ) A4 B3 C2 D1 考点 平面向量平行与垂直的坐标表示与应用

    11、 题点 已知向量垂直求参数 答案 B 解析 因为 mn(23,3),mn(1,1), 由(mn)(mn),可得(mn) (mn)(23,3) (1,1)260,解得 3. 4若平面向量 a(1,2)与 b 的夹角是 180 ,且|b|3 5,则 b 等于( ) A(3,6) B(3,6) C(6,3) D(6,3) 考点 平面向量数量积的坐标表示与应用 题点 平面向量模与夹角的坐标表示的综合应用 答案 A 解析 由题意设 ba(,2)(0), 则|b|222 5|3 5, 又 0,3,故 b(3,6) 5已知三个点 A(2,1),B(3,2),D(1,4)求证:ABAD. 证明 A(2,1),

    12、B(3,2),D(1,4), AB (1,1),AD (3,3) 又AB AD 1(3)130, AB AD ,即 ABAD. 6已知 a(4,3),b(1,2) (1)求 a 与 b 的夹角的余弦值; (2)若(ab)(2ab),求实数 的值 考点 平面向量平行与垂直的坐标表示与应用 题点 已知向量垂直求参数 解 (1)a b4(1)322, |a| 42325,|b| 1222 5, cosa,b a b |a|b| 2 5 5 2 5 25 . (2)ab(4,32),2ab(7,8), (ab)(2ab), (ab) (2ab)7(4)8(32)0, 52 9 . 1平面向量数量积的定

    13、义及其坐标表示,提供了数量积运算的两种不同的途径准确地把握 这两种途径,根据不同的条件选择不同的途径,可以优化解题过程同时,平面向量数量积 的两种形式沟通了“数”与“形”转化的桥梁,成为解决距离、角度、垂直等有关问题的有 力工具 2应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题,在学习中要不 断地提高利用向量工具解决数学问题的能力 3注意区分两向量平行与垂直的坐标形式,二者不能混淆,可以对比学习、记忆若两非零 向量 a(x1,y1),b(x2,y2),则 abx1y2x2y10,abx1x2y1y20. 4 事实上应用平面向量的数量积公式解答某些平面向量问题时, 向量夹角问题却隐藏了许多 陷阱与误区,常常会出现因模糊“两向量的夹角的概念”而忽视“两向量夹角”的范围,稍 不注意就会带来失误与错误.


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