1、 3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式两角和与差的正弦、余弦和正切公式 31.1 两角差的余弦公式两角差的余弦公式 学习目标 1.了解两角差的余弦公式的推导过程.2.理解用向量法导出公式的主要步骤.3.熟 记两角差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算 知识点 两角差的余弦公式 C()：cos()cos cos sin sin . (1)适用条件：公式中的角 ， 都是任意角 (2)公式结构：公式右端的两部分为同名三角函数的积，连接符号与左边角的连接符号相反 1存在角 ，使得 cos()cos cos .( ) 2任意角 ，cos()cos cos sin sin .( )
2、 3任意角 ，cos()cos cos sin sin .( ) 4任意角 ，cos cos cos()( ) 题型一 利用两角差的余弦公式化简求值 例 1 计算： (1)cos(15 )； (2)cos 15 cos 105 sin 15 sin 105 . 考点 两角差的余弦公式 题点 利用两角差的余弦公式化简求值 解 (1)方法一 原式cos(30 45 ) cos 30 cos 45 sin 30 sin 45 3 2 2 2 1 2 2 2 6 2 4 . 方法二 原式cos 15 cos(45 30 ) cos 45 cos 30 sin 45 sin 30 2 2 3 2 2 2
3、 1 2 6 2 4 . (2)原式cos(15 105 )cos(90 )cos 90 0. 反思感悟 利用两角差的余弦公式求值的一般思路 (1)把非特殊角转化为特殊角的差，利用公式直接求解 (2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的右边形式，然后逆用公式求 值 跟踪训练 1 (2018 广安期末)cos 80 cos 35 sin 80 cos 55 的值是( ) A. 2 2 B 2 2 C.1 2 D 1 2 考点 两角差的余弦公式 题点 利用两角差的余弦公式化简、求值 答案 A 解析 cos 80 cos 35 sin 80 cos 55 cos 80 cos 35
4、 sin 80 sin 35 cos(80 35 )cos 45 2 2 . 题型二 给值求值 例 2 (1)已知 sin sin 1 3 2 ，cos cos 1 2，则 cos()等于( ) A 3 2 B1 2 C. 1 2 D. 3 2 考点 两角差的余弦公式 题点 给值利用两角差的余弦公式求值 答案 D 解析 因为 sin sin 1 3 2 ，cos cos 1 2， 所以(cos cos )21 4，(sinsin ) 27 4 3. 两式相加，得 22cos()2 3. 所以 cos() 3 2 . (2)已知 ， 均为锐角，sin 8 17，cos() 21 29，求 cos
5、 的值 考点 两角差的余弦公式 题点 给值利用两角差的余弦公式求值 解 因为 0， 2 ，sin 8 17 1 2，所以 0 6. 又因为 2， 6 ，cos()21 29 3 2 ， 所以 2 6. 所以 cos 1sin21 8 17 215 17， sin() 1cos21 21 29 220 29， 所以 cos cos()cos cos()sin sin() 15 17 21 29 8 17 20 29 155 493. 反思感悟 给值求值问题的解题策略 (1)从角的关系中找解题思路：已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注 意观察已知角与所求表达式中的角的关系，根据需
6、要灵活地进行拆角或凑角的变换 (2)常见角的变换：(). 2 2 . 2()()2()() 跟踪训练 2 已知 4 3 4 ，cos()12 13，sin() 3 5，求 cos 2 的值 考点 两角差的余弦公式 题点 利用两角差的余弦公式求值 解 4 3 4 ， 0 2， 2 3 2 . 又 sin()3 5， 3 2 ， 从而有 cos()4 5. cos()12 13， sin() 5 13. sin() 5 13. cos 2cos()() cos()cos()sin()sin() 4 5 12 13 3 5 5 13 33 65. 题型三 给值求角 例 3 已知 cos 1 7，co
7、s() 11 14，且 ， 0， 2 ，求 的值 考点 两角差的余弦公式 题点 给值利用两角差的余弦公式求角 解 ， 0， 2 且 cos 1 7，cos() 11 14， 2， ，sin 1cos 24 3 7 ， sin() 1cos25 3 14 . 又()， cos cos()cos()cos sin()sin 11 14 1 7 5 3 14 4 3 7 1 2. 又 0， 2 ， 3. 引申探究 若本例条件中的“cos()11 14”改为“sin() 5 3 14 ”，则 的值是什么？ 解 ， 0， 2 ，(0，)， cos 1 7，sin() 5 3 14 ， sin 4 3 7
8、 ，cos() 11 14， 当 cos()11 14时， cos cos()cos()cos sin()sin 11 14 1 7 5 3 14 4 3 7 1 2， 0， 2 ， 3； 当 cos()11 14时， cos cos()cos()cos sin()sin 11 14 1 7 5 3 14 4 3 7 71 98，即 0，与已知矛盾，舍去， 3. 反思感悟 求解给值求角问题的一般步骤 (1)求角的某一个三角函数值 (2)确定角的范围 (3)根据角的范围写出所求的角 跟踪训练 3 已知 cos()12 13，cos() 12 13，且 2， ， 3 2 ，2 ，求 角 的值 考点
9、 两角差的余弦公式 题点 给值利用两角差的余弦公式求角 解 由 2， ， 且 cos()12 13，得 sin() 5 13. 由 3 2 ，2 ，且 cos()12 13， 得 sin() 5 13，cos 2cos()() cos()cos()sin()sin() 12 13 12 13 5 13 5 131. 又因为 2， ， 3 2 ，2 ， 所以 2 2， 3 2 ，所以 2，则 2. 两角差的余弦公式的应用 典例 如图，在平面直角坐标系中，锐角 和钝角 的终边分别与单位圆交于 A，B 两点 (1)如果 A，B 两点的纵坐标分别为4 5， 12 13，求 cos 和 sin ； (2
10、)在(1)的条件下，求 cos()的值 考点 两角差的余弦公式 题点 两角差的余弦公式的综合应用 解 (1)OA1，OB1，且点 A，B 的纵坐标分别为4 5， 12 13， sin 4 5，sin 12 13，cos 3 5. (2) 为钝角，由(1)知 cos 5 13， cos()cos cos sin sin 5 13 3 5 12 13 4 5 33 65. 素养评析 从已给信息得出角 ， 的正弦、余弦值是解决本题的关键，体现了从图形关系 中抽象出数学概念的思想，这正是数学核心素养数学抽象的具体表现. 1(2018 滨州期末)cos 165 等于( ) A.1 2 B. 3 2 C
11、6 2 4 D 6 2 4 考点 两角差的余弦公式 题点 利用两角差的余弦公式求值 答案 C 解析 cos 165 cos(180 15 )cos 15 cos(45 30 ) (cos 45 cos 30 sin 45 sin 30 ) 6 2 4 .故选 C. 2设 ， 都是锐角，且 cos 5 5 ，sin()3 5，则 cos 等于( ) A.2 5 25 B.2 5 5 C.2 5 25 或2 5 5 D. 5 5 或 5 25 考点 两角差的余弦公式 题点 利用两角差的余弦公式求值 答案 A 解析 依题意得 sin 1cos22 5 5 ，cos() 1sin2 4 5. 又 ，
12、均为锐角，所以 0cos() 因为4 5 5 5 4 5，所以 cos() 4 5. 于是 cos cos()cos()cos sin()sin 4 5 5 5 3 5 2 5 5 2 5 25 . 3(2018 河南商丘九校联考)cos(40 ) cos 20 sin(40 )sin(20 )_. 考点 两角差的余弦公式 题点 利用两角差的余弦公式求值 答案 1 2 解析 原式cos(40 )cos 20 sin(40 )sin 20 cos(40 20 )cos(60 )cos 60 1 2. 4已知 ， 均为锐角，且 sin 2 5 5 ，sin 10 10 ，求 的值 考点 两角差的余
13、弦公式 题点 给值利用两角差的余弦公式求角 解 ， 均为锐角， cos 5 5 ，cos 3 10 10 . cos()cos cos sin sin 5 5 3 10 10 2 5 5 10 10 2 2 . 又sin sin ，0 2， 0 2. 故 4. 5已知向量 a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，(0，)且 ab，求 的值 考点 两角差的余弦公式 题点 两角差的余弦公式综合应用 解 因为 ab，所以 a bcos cos sin sin cos()0. 因为，所以 2或 2. 1“给式求值”或“给值求值”问题，即由给出的某些函数关系式或某些角的三角函数值， 求另外一些角的三角函数值，关键在于“变式”或“变角”，使“目标角”换成“已知 角”注意公式的正用、逆用、变形用，有时需运用拆角、拼角等技巧 2“给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题，求一个角的值，可分以下三步 进行： (1)求角的某一三角函数值 (2)确定角所在的范围(找区间) (3)确定角的值 确定用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目而定.
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