1、微专题突破微专题突破四四 平面向量中的三角形平面向量中的三角形“四心四心”问题问题 在三角形中,“四心”是一组特殊的点,它们的向量表达形式具有许多重要的性质,在 近年高考试题中,总会出现一些新颖别致的问题,不仅考查了向量等知识点,还培养了考生 分析问题、解决问题的能力现就“四心”作如下介绍: 1重心 三角形三条中线的交点叫重心, 它到三角形顶点距离与该点到对边中点距离之比为 21.在向 量表达形式中,设点 G 是ABC 所在平面内的一点,则当点 G 是ABC 的重心时,有GA GB GC 0 或PG 1 3(PA PBPC)(其中 P 为平面上任意一点) 反之, 若GA GB GC 0, 则点
2、 G 是ABC 的重心在向量的坐标表示中,若 G,A,B,C 分别是三角形的重心和三个 顶点,且坐标分别为 G(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3), 则有 xx1x2x3 3 ,yy1y2y3 3 . 2垂心 三角形三条高线的交点叫垂心,它与顶点的连线垂直于对边在向量表达形式中,若 H 是 ABC 的垂心,则HA HB HB HC HC HA 或HA 2BC2HB2CA2HC2AB2.反之,若 HA HB HB HC HC HA ,则 H 是ABC 的垂心 向量 AB |AB |cos B AC |AC |cos C (0)所在的直线过ABC 的垂心(该向量在 BC
3、 边上的高 AD 所 在的直线上) 3内心 三角形三条内角平分线的交点叫内心内心就是三角形内切圆的圆心,它到三角形三边的距 离相等在向量表达形式中,若点 I 是ABC 的内心,则有|BC | IA|CA| IB|AB| IC0.反 之,若|BC | IA|CA| IB|AB| IC0,则点 I 是ABC 的内心 向量 AB |AB | AC |AC | (0)所在的直线过ABC 的内心(该向量在BAC 的平分线所在的直线 上) 4外心 三角形三条边的中垂线的交点叫外心外心就是三角形外接圆的圆心,它到三角形的三个顶 点的距离相等 在向量表达形式中, 若点 O 是ABC 的外心, 则(OA OB
4、) BA (OB OC ) CB (OC OA ) AC 0 或|OA |OB |OC |.反之, 若|OA |OB |OC |, 则点 O 是ABC 的外心 例 1 已知ABC 内一点 O 满足关系OA 2OB 3OC 0,试求 SBOCSCOASAOB的值 考点 平面几何中的向量方法 题点 向量在平面几何中的应用 解 如图,延长 OB 至 B1,使 BB1OB,延长 OC 至 C1,使 CC12OC,连接 AB1,AC1, B1C1. 则OB1 2OB ,OC1 3OC . 由条件,得OA OB1 OC1 0, 点 O 是AB1C1的重心 从而 1111 B OCC OAAOB SSS1
5、3S,其中 S 表示AB1C1 的面积 SCOA1 3 1 AOC S1 9S, SAOB1 2 1 AOB S1 6S, SBOC1 2 1 B OC S1 2 1 3 11 B OC S 1 18S. 于是 SBOCSCOASAOB 1 18 1 9 1 6123. 点评 本题条件OA 2OB 3OC 0 与三角形的重心性质GA GB GC 0 十分类似,因此 我们通过添加辅助线,构造一个三角形,使点 O 成为辅助三角形的重心,而三角形的重心与 顶点的连线将三角形的面积三等分,从而可求三部分的面积比 引申推广:已知ABC 内一点 O 满足关系 1OA 2OB 3OC 0,则 SBOCSCO
6、ASAOB 123. 例 2 已知点 O 是平面上一定点, A, B, C 是平面上不共线的三个点, 动点 P 满足OP OA AB |AB | AC |AC | (0,),则点 P 的轨迹一定通过ABC 的( ) A外心 B内心 C重心 D垂心 考点 平面几何中的向量方法 题点 向量在平面几何中的应用 答案 B 解析 AB |AB |为AB 方向上的单位向量, AC |AC |为AC 方向上的单位向量, 则 AB |AB | AC |AC |的方向为BAC 的角平分线AD 的方向 又 0,), 所以 AB |AB | AC |AC | 的方向与 AB |AB | AC |AC |的方向相同
7、而OP OA AB |AB | AC |AC | , 所以点 P 在AD 上移动, 所以点 P 的轨迹一定通过ABC 的内心 点评 根据向量加法的平行四边形法则可知 AB |AB | AC |AC |的方向为BAC 的平分线的方向, 体现 了向量的“几何”特性以及其在解题中的应用 例3 O是ABC所在平面内的一定点, 动点P满足OP OA AB |AB |cos B AC |AC |cos C , (0, ),则直线 AP 一定通过ABC 的( ) A外心 B内心 C重心 D垂心 考点 平面几何中的向量方法 题点 向量在平面几何中的应用 答案 D 解析 由OP OA AB |AB |cos B
8、 AC |AC |cos C ,得AP AB |AB |cos B AC |AC |cos C ,所以AP BC AB BC |AB |cos B AC BC |AC |cos C (|BC |BC|)0,所以AP与BC垂直,即直线 AP 一定通过ABC 的垂心,故选 D. 点评 注意到右边表达式分母部分“cos B”,“cos C”,联想到向量数量积的运算,通过两 边同时点乘同一向量,再利用数量积运算化简,从而使问题得解 例 4 已知 O 是平面内一定点, A, B, C 是平面内不共线的三点, 动点 P 满足OP OA (AB AC ),0,),则点 P 的轨迹一定经过ABC 的( ) A外心 B垂心 C内心 D重心 考点 平面几何中的向量方法 题点 向量在平面几何中的应用 答案 D 解析 设AB ACAD , 则可知四边形 BACD 是平行四边形 又OP OA AD , 得AP AD , 则 A,P,D 三点共线又 D 在边 BC 的中线所在的直线上,0,),于是点 P 的轨迹 一定经过ABC 的重心,故选 D. 点评 根据向量加法的几何意义知AB 和AC的和向量AD 所在直线平分 BC,即直线 AD 为 BC 边中线所在直线,从而本题答案也就显而易见了