1、2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示平面向量的正交分解及坐标表示 2.3.3 平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算 基础过关 1给出下面几种说法: 相等向量的坐标相同; 平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标; 一个坐标对应于唯一的一个向量; 平面上一个点与以原点为始点、该点为终点的向量一一对应 其中正确说法的个数是( ) A1 B2 C3 D4 解析 由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量,故错误 答案 C 2已知AB (5,3),C(1,3),CD 2AB ,则点 D 坐标是( ) A(11,9) B(4,0) C(9,3) D(9,3) 解析 设 D(x,y),则(x1
2、,y3)(10,6),x9,y3,即点 D 的坐标是(9, 3) 答案 D 3已知向量 a(1,2),b(2,3),c(3,4),且 c1a2b,则 1,2的值分别为( ) A2,1 B1,2 C2,1 D1,2 解析 由 1223, 21324, 解得 11, 22. 答案 D 4在平行四边形 ABCD 中,若AB (2,4),AC(1,3),则AD _(用坐标表示) 解析 AD AC AB(1,3)(2,4)(1,1) 答案 (1,1) 5已知点 A(1,3),B(4,1),则与向量AB 同方向的单位向量为_ 解析 AB (4,1)(1,3)(3,4), 与AB 同方向的单位向量为AB |
3、AB | 3 5, 4 5 答案 3 5, 4 5 6向量 a,b,c 在正方形网格中的位置如图所示,若 cab(,R),求 的值 解 以向量 a 和 b 的交点为原点建立平面直角坐标系,则 a(1,1),b(6,2),c( 1,3),根据 cab(1,3)(1,1)(6,2),有61,23, 解之得 2 且 1 2,故 4 7已知点 A(3,4)与 B(1,2),点 P 在直线 AB 上,且|AP |2|PB|,求点 P 的坐标 解 设 P 点坐标为(x,y),|AP |2|PB| 当 P 在线段 AB 上时,AP 2PB (x3,y4)2(1x,2y), x322x, y442y, 解得
4、x1 3, y0. P 点坐标为(1 3,0) 当 P 在线段 AB 延长线上时,AP 2PB (x3,y4)2(1x,2y), x322x, y442y, 解得 x5, y8. 综上所述,点 P 的坐标为(1 3,0)或(5,8) 能力提升 8向量AB (7,5),将AB按向量 a(3,6)平移后得向量AB ,则AB 的坐标形 式为( ) A(10,1) B(4,11) C(7,5) D(3,6) 解析 AB 与AB 方向相同且长度相等, 故AB AB (7,5) 答案 C 9已知 a( 3,1),若将向量2a 绕坐标原点逆时针旋转 120 得到向量 b,则 b 的坐 标为( ) A(0,4
5、) B(2 3,2) C(2 3,2) D(2,2 3) 解析 a( 3,1),2a(2 3,2), 易知向量2a 与 x 轴正半轴的夹角 150 (如图) 向量2a 绕坐标原点逆时针旋转 120 得到向量 b,在第四象限,与 x 轴正半轴的夹角 30 ,b(2 3,2),故选 B 答案 B 10若向量 a(1,1),b(1,1),c(1,2),则 c_(用 a,b 表示) 解析 设 cxayb,即(1,2)(x,x)(y,y)(xy,xy),即 xy1, xy2, 解 得 x1 2, y3 2, 所以 c1 2a 3 2b 答案 1 2a 3 2b 11已知 A(1,2),B(2,3),C(
6、2,0),D(x,y),且AC 2BD ,则 xy_ 解析 AC (2,0)(1,2)(1,2), BD (x,y)(2,3)(x2,y3), 又 2BD AC ,即(2x4,2y6)(1,2), 2x41, 2y62, 解得 x3 2, y4, xy11 2 答案 11 2 12已知点 A(1,2),B(2,8)及AC 1 3AB ,DA 1 3BA ,求点 C,D 和CD 的坐标 解 设点 C(x1,y1),D(x2,y2), 由题意可得AC (x 11,y12),AB (3,6), DA (1x2,2y2),BA (3,6) AC 1 3AB ,DA 1 3BA , (x11,y12)1
7、 3(3,6)(1,2), (1x2,2y2)1 3(3,6)(1,2), 则有 x111, y122 和 1x21, 2y22, 解得 x10, y14 和 x22, y20. C,D 的坐标分别为(0,4)和(2,0), CD (2,4) 创新突破 13已知点 O(0,0),A(1,2),B(4,5),及OP OA tAB (1)t 为何值时,点 P 在 x 轴上?点 P 在 y 轴上?点 P 在第二象限? (2)四边形 OABP 能为平行四边形吗?若能,求 t 值;若不能,说明理由 解 (1)OP OA tAB (1,2)t(3,3) (13t,23t), 若点 P 在 x 轴上,则 23t0, t2 3 若点 P 在 y 轴上,则 13t0, t1 3 若点 P 在第二象限,则 13t0, 2 3t 1 3 (2)OA (1,2),PB OB OP (33t,33t) 若四边形 OABP 为平行四边形, 则OA PB , 33t1, 33t2, 该方程组无解 故四边形 OABP 不能成为平行四边形