1、 2.4 平面向量的数量积平面向量的数量积 24.1 平面向量数量积的物理背景及其含义平面向量数量积的物理背景及其含义 一、选择题 1设非零向量 a，b，c 满足|a|b|c|，abc，则 a 与 b 的夹角 为( ) A150 B120 C60 D30 考点 平面向量数量积的应用 题点 利用数量积求向量的夹角 答案 B 解析 由|a|b|c|且 abc，得|ab|b|，平方得|a|2|b|22a b|b|22a b|a|2 2|a| |b| cos |a|2cos 1 2120 . 2已知|a|3，|b|4，且 a 与 b 的夹角 150 ，则 a b 等于( ) A6 B6 C6 3 D6
2、 3 考点 平面向量数量积的运算性质与法则 题点 数量积运算与求值 答案 C 3已知 a，b 方向相同，且|a|2，|b|4，则|2a3b|等于( ) A16 B256 C8 D64 考点 平面向量数量积的应用 题点 利用数量积求向量的模 答案 A 解析 |2a3b|24a29b212a b1614496256，|2a3b|16. 4已知|a|6，|b|3，a b12，则向量 a 在向量 b 方向上的投影是( ) A4 B4 C2 D2 考点 向量的投影 题点 求向量的投影 答案 A 解析 根据投影的定义，设 a，b 的夹角为 ，可得向量 a 在 b 方向上的投影是|a|cos a b |b|
3、 4，故选 A. 5已知平面上三点 A，B，C，满足|AB |3，|BC|4，|CA|5，则AB BCBC CACA AB的 值等于( ) A7 B7 C25 D25 考点 平面向量数量积的运算性质与法则 题点 数量积运算与求值 答案 D 解析 由条件知ABC90 ， 所以原式045cos(180 C)53cos(180 A) 20cos C15cos A 204 515 3 516925. 6设向量 a，b 满足|ab| 10，|ab| 6，则 a b 等于( ) A1 B2 C3 D5 考点 平面向量数量积的运算性质与法则 题点 数量积运算与求值 答案 A 解析 |ab|2(ab)2a22
4、a bb210， |ab|2(ab)2a22a bb26， 由得 4a b4，a b1. 7在ABC 中，AB6，O 为ABC 的外心，则AO AB 等于( ) A. 6 B6 C12 D18 考点 平面向量数量积的应用 题点 数量积在三角形中的应用 答案 D 解析 如图，过点 O 作 ODAB 于 D， 可知 AD1 2AB3， 则AO AB (AD DO ) AB AD AB DO AB 36018，故选 D. 8已知 a，b 是单位向量，a b0，若向量 c 满足|cba|1，则|c|的取值范围为( ) A 21， 21 B 21， 22 C1， 21 D1， 22 考点 平面向量数量积
5、的应用 题点 向量模与夹角的综合应用 答案 A 解析 如图所示， 令OA a，OB b，OD ab，OC c，则|OD | 2. 又|cba|1， 所以点 C 在以点 D 为圆心、 半径为 1 的圆上， 易知当点 C 与 O， D 共线时， |OC |取到最值，最大值为 21，最小值为 21，所以|c|的取值范围为 21， 21故 选 A. 二、填空题 9(2017 全国)已知向量 a，b 的夹角为 60 ，|a|2，|b|1，则|a2b|_. 考点 平面向量数量积的应用 题点 利用数量积求向量的模 答案 2 3 解析 方法一 |a2b| a2b2 a24a b4b2 22421cos 60
6、412 122 3. 方法二(数形结合法) 由|a|2b|2 知，以 a 与 2b 为邻边可作出边长为 2 的菱形 OACB，如图，则|a2b|OC |. 又AOB60 ，所以|a2b|2 3. 10设 e1，e2是两个单位向量，它们的夹角为 60 ，则(2e1e2) (3e12e2)_. 考点 平面向量数量积的运算性质与法则 题点 数量积运算与求值 答案 9 2 11已知在ABC 中，ABAC4，AB AC8，则ABC 的形状是_ 考点 平面向量数量积的应用 题点 数量积在三角形中的应用 答案 等边三角形 解析 AB AC|AB|AC|cosBAC，即 844cosBAC，于是 cosBAC
7、1 2， 因为 0 BAC180 ，所以BAC60 . 又 ABAC，故ABC 是等边三角形 12 已知|a|4， |b|3， (2a3b) (2ab)61.则向量a在向量ab方向上的投影为_ 考点 向量的投影 题点 求向量的投影 答案 10 13 13 解析 (2a3b) (2ab)4a23b24a b416394a b61，解得 a b6， |ab|2a2b22a b1691213，a (ab)a2a b10， |ab| 13，设 a 与 ab 的夹角为 ， cos 10 4 13 5 2 13，则 a 在 ab 方向上的投影为|a|cos 4 5 2 13 10 13 13 . 三、解答
8、题 13在平行四边形 ABCD 中，AD1，BAD60 ，E 为 CD 的中点，若AC BE1，求 AB 的长 考点 平面向量数量积的应用 题点 利用数量积求向量的模 解 如图，由题意可知，AC ABAD ，BE 1 2AB AD . 因为AC BE1， 所以(AB AD ) 1 2AB AD 1， 即AD 21 2AB AD 1 2AB 21. 因为|AD |1，BAD60 ， 所以式可化为 11 4|AB |1 2|AB |21. 解得|AB |0(舍去)或|AB|1 2，所以 AB 的长为 1 2. 14(2018 吉林长春调研)已知|a|1，a b1 2，(ab) (ab) 1 2，求
9、： (1)a 与 b 的夹角； (2)ab 与 ab 的夹角的余弦值 考点 平面向量数量积的应用 题点 向量模与夹角的综合应用 解 (1)(ab) (ab)|a|2|b|21 2， 又|a|1，|b|21 2，|b| 2 2 . 设 a 与 b 的夹角为 ，则 cos a b |a|b| 1 2 1 2 2 2 2 ， 0 180 ，45 ，a 与 b 的夹角为 45 . (2)|ab|ab2 a22a bb2121 2 1 2 2 2 ， |ab|ab2 a22a bb2121 2 1 2 10 2 ， 设 ab 与 ab 的夹角为 ， 则 cos ab ab |ab|ab| 1 2 10 2 2 2 5 5 .
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