1、2 22 2 基本不等式基本不等式 第第 1 1 课时课时 基本不等式基本不等式 学习目标 1.掌握基本不等式及推导过程.2.能熟练运用基本不等式比较两实数的大小.3.能 初步运用基本不等式进行证明和求最值 知识点 基本不等式 1如果 a0,b0, abab 2 ,当且仅当 ab 时,等号成立 其中ab 2 叫做正数 a,b 的算术平均数, ab叫做正数 a,b 的几何平均数 2变形:ab ab 2 2,a,bR,当且仅当 ab 时,等号成立 ab2 ab,a,b 都是正数,当且仅当 ab 时,等号成立 1对于任意 a,bR,a2b22ab.( ) 2nN*时,n2 n2 2.( ) 3x0
2、时,x1 x2.( ) 4若 a0,则 a3 1 a2的最小值为 2 a.( ) 一、利用基本不等式比较大小 例 1 某工厂生产某种产品,第一年产量为 A,第二年的增长率为 a,第三年的增长率为 b, 这两年的平均增长率为 x(a,b,x 均大于零),则( ) Axab 2 Bxab 2 Cxab 2 Dxab 2 考点 基本不等式比较大小 题点 利用基本不等式比较大小 答案 B 解析 第二年产量为 AA aA(1a), 第三年产量为 A(1a)A(1a) bA(1a)(1b) 若平均增长率为 x,则第三年产量为 A(1x)2. 依题意有 A(1x)2A(1a)(1b), a0,b0,x0,
3、(1x)2(1a)(1b) 1a1b 2 2, 1x2ab 2 1ab 2 ,xab 2 . 反思感悟 基本不等式ab 2 ab一端为和,一端为积,使用基本不等式比较大小要善于利 用这个桥梁化和为积或者化积为和 跟踪训练 1 若 0a1,0b1,且 ab,试找出 ab,a2b2,2 ab,2ab 中的最大者 解 0a1,0b2 ab,a2b22ab, 四个数中最大的应从 ab,a2b2中选择 而 a2b2(ab)a(a1)b(b1), 0a1,0b1, a(a1)0,b(b1)0, a2b2(ab)0, 即 a2b20 时,求12 x 4x 的最小值; (2)当 x1 时,求 2x 8 x1的
4、最小值; (4)已知 4xa x(x0,a0)在 x3 时取得最小值,求 a 的值 解 (1)x0,12 x 0,4x0. 12 x 4x2 12 x 4x8 3. 当且仅当12 x 4x,即 x 3时取最小值 8 3, 当 x0 时,12 x 4x 的最小值为 8 3. (2)x0. 则 12 x(4x)2 12 x 4x8 3, 当且仅当 12 x4x 时,即 x 3时取等号 12 x 4x8 3. 当 x1,x10, 2x 8 x122 4210, 当且仅当 x1 4 x1,即 x3 时,取等号 (4)4xa x2 4x a x4 a, 当且仅当 4xa x,即 a4x 236 时取等号
5、, a36. 反思感悟 在利用基本不等式求最值时要注意三点: 一是各项均为正;二是寻求定值,求和式最小值时应使积为定值,求积式最大值时应使和为 定值(恰当变形,合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧);三是考虑等号成立的条件是否 具备 跟踪训练 2 已知 x0,y0,且 xy8,则(1x) (1y)的最大值为( ) A16 B25 C9 D36 答案 B 解析 因为 x0,y0,且 xy8, 所以(1x)(1y)1xyxy9xy9 xy 2 294225, 因此当且仅当 xy4 时, (1x) (1y)取最大值 25. 三、用基本不等式证明不等式 例 3 已知 a,b,c 都是正数,求证:abc
6、 ab bc ac0. 证明 a,b,c 都是正数, ab2 ab,bc2 bc,ac2 ac, abbcac2( ab bc ac), abc ab bc ac, 即 abc ab bc ac0. 反思感悟 利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项 (1)策略:从已证不等式和问题的已知条件出发,借助不等式的性质和有关定理,经过逐步的 逻辑推理,最后转化为所求问题,其特征是以“已知”看“可知”,逐步推向“未知” (2)注意事项: 多次使用基本不等式时, 要注意等号能否成立; 累加法是不等式证明中的一种常用方法, 证明不等式时注意使用;对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合,形成基本不等式 模
7、型,再使用 跟踪训练 3 若实数 a0,求证:a1 a2,并指出等号成立的条件 证明 根据题意,a0, 左式a1 a a 1 a , 又由(a) 1 a 2a 1 a 2, 则有 a1 a2, 当且仅当 a1 时,等号成立 故 a1 a2,当且仅当 a1 时,等号成立 1若 0aab 2 abb Bb abab 2 a Cbab 2 aba Dbaab 2 ab 考点 基本不等式的理解 题点 基本不等式的理解 答案 C 解析 0aab,bab 2 ab. 又ba0,aba2, aba.故 bab 2 aba. 2下列不等式正确的是( ) Aa1 a2 B(a) 1 a 2 Ca2 1 a22
8、D(a)2 1 a 22 答案 C 解析 a20,故 a2 1 a22 成立 3下列等式中最小值为 4 的是( ) Ayx4 x By2t1 t Cy4t1 t(t0) Dyt1 t 答案 C 解析 A 中 x1 时,y54,B 中 t1 时,y34,C 中 y4t1 t2 4t 1 t4, 当且仅当 t1 2时等号成立,D 中 t1 时,y24.故选 C. 4下列不等式中,正确的是( ) Aa4 a4 Ba2b24ab C. abab 2 Dx2 3 x22 3 答案 D 解析 a0,则 a4 a4 不成立,故 A 错; a1,b1,则 a2b24ab,故 B 错; a4,b16,则 ab1,则x10 x2 x1 的最小值为_ 答案 16 解析 x10 x2 x1 x19x11 x1 x1 210 x19 x1 (x1) 9 x110, x1,x10, (x1) 9 x1102 91016. 当且仅当 x1 9 x1, 即 x2 时,等号成立 1知识清单: 两个不等式:a2b22ab(a,bR),ab 2 ab(a,b 都是正数) 2方法归纳:通过拆项、加项配凑成基本不等式的形式 3常见误区:一正、二定、三相等,常缺少条件导致错误