1、3 31.21.2 函数的表示法函数的表示法( (二二) ) 学习目标 1.会用解析法及图象法表示分段函数.2.给出分段函数，能研究有关性质 知识点 分段函数 1一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量 x 的不同取值范围，有着不同的对应 关系的函数 2分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数 的定义域的交集是空集 3作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象 1函数 f(x) 1，x0， 1，x0 是分段函数( ) 2分段函数尽管在定义域不同的部分有不同的对应关系，但它们是一个函数( ) 3分段函数各段上的函数值集合的交集为.( ) 4分段函数的定义
2、域是各段上自变量取值的并集( ) 一、分段函数求值 例 1 已知函数 f(x) x1，x2， x22x，2x2， 2x1，x2. 试求 f(5)，f( 3)，f f 5 2 的值 解 由5(，2， 3(2,2)，5 2(，2，知 f(5)514， f( 3)( 3)22( 3)32 3. 因为 f 5 2 5 21 3 2， 23 22 不合题意，舍去 当2a3，求 x 的取值范围 解 当 x2 时，x13 得 x2， 又 x2，所以 x. 当2x3 得 x1 或 x3， 又2x2，所以 1x3，得 x2， 又 x2，所以 x2， 综上有 x 的取值范围是 1x2. 反思感悟 (1)求分段函数
3、的函数值的方法 确定要求值的自变量属于哪一段区间 代入该段的解析式求值，当出现 f(f(x0)的形式时，应从内到外依次求值 (2)求某条件下自变量的值的方法 先对 x 的取值范围分类讨论，然后代入不同的解析式，解方程求解，注意需检验所求的值是 否在所讨论的区间内 跟踪训练 1 已知 f(x) x2，1x1， 1，x1或x1或x1或x1， 11 4， 解得 x1 2或 x 1 2， x 的取值范围是 ，1 2 1 2， . 二、分段函数的图象及应用 例 2 已知函数 f(x)x22，g(x)x，令 (x)minf(x)，g(x)(即 f(x)和 g(x)中的较小者) (1)分别用图象法和解析式表
4、示 (x)； (2)求函数 (x)的定义域，值域 解 (1)在同一个坐标系中画出函数 f(x)，g(x)的图象如图. 由图中函数取值的情况，结合函数 (x)的定义，可得函数 (x)的图象如图. 令x22x 得 x2 或 x1. 结合图，得出 (x)的解析式为 (x) x22，x2， x，2x1， x22，x1. (2)由图知，(x)的定义域为 R，(1)1， (x)的值域为(，1 反思感悟 分段函数图象的画法 (1)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作第一段图象时，先不管定义域的限制， 作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不 重不漏 (2)对含
5、有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数 转化为分段函数，然后分段作出函数图象 跟踪训练 2 (1)已知函数 f(x) x1，x1，0， x21，x0，1， 则函数 f(x)的图象是( ) 答案 A 解析 当 x1 时，y0，即图象过点(1,0)，D 错；当 x0 时，y1，即图象过点(0,1)， C 错；当 x1 时，y2，即图象过点(1,2)，B 错故选 A. (2)已知函数 f(x)的图象如图所示，则 f(x)的解析式是_ 答案 f(x) x1，1x0， x，0 x1 解析 由图可知，图象由两条线段(其中一条不含右端点)组成， 当1x0 时，设 f(x)
6、axb(a0)， 将(1,0)，(0,1)代入解析式， 则 ab0， b1. a1， b1. f(x)x1. 当 0 x1 时，设 f(x)kx(k0)， 将(1，1)代入，则 k1.f(x)x. 即 f(x) x1，1x0， x，0 x1. 三、分段函数的实际应用 例 3 A，B 两地相距 150 公里，某汽车以每小时 50 公里的速度从 A 地到 B 地，在 B 地停留 2 小时之后，又以每小时 60 公里的速度返回 A 地写出该车离 A 地的距离 s(公里)关于时间 t(小时)的函数关系，并画出函数图象 解 (1)汽车从 A 地到 B 地，速度为 50 公里/小时， 则有 s50t，到达
7、 B 地所需时间为150 50 3(小时) (2)汽车在 B 地停留 2 小时，则有 s150. (3)汽车从 B 地返回 A 地，速度为 60 公里/小时， 则有 s15060(t5)45060t， 从 B 地到 A 地用时150 60 2.5(小时) 综上可得：该汽车离 A 地的距离 s 关于时间 t 的函数关系为 s 50t，0t3， 150，3t5， 45060t，5t7.5. 函数图象如图所示 反思感悟 分段函数模型应用的关键是确定分段的各分界点，即明确自变量的取值区间，对 每一个区间进行分类讨论，从而写出相应的函数解析式 1函数 f(x)|x1|的图象是( ) 答案 B 解析 方法
8、一 函数的解析式可化为 y x1，x1， 1x，x0， 1，x0， 1，x0. 若 f()4，则实数 等于( ) A4 或2 B4 或 2 C2 或 4 D2 或 2 答案 B 4函数 f(x) x21，0x1， 0，x0， x21，1x0 的定义域为_，值域为_ 答案 (1,1) (1,1) 解析 定义域为各段的并集，即(0,1)0(1,0)(1,1) 值域为各段的并集(0,1)0(1,0)(1,1) 5已知 f(n) n3，n10， fn5，n10， 则 f(8)_. 答案 10 解析 因为 810，所以 f(13)13310，所以 f(8)10. 1知识清单： (1)分段函数的概念及求值
9、 (2)分段函数的图象 2方法归纳：分类讨论、数形结合法 3常见误区： (1)分段函数是一个函数，而不是几个函数 (2)作分段函数图象时要注意衔接点的虚实 1函数 f(x) x2，x2， 2 x，x2， 则 f(2)等于( ) A1 B0 C1 D2 答案 A 2下列图形是函数 yx|x|的图象的是( ) 答案 D 解析 函数 yx|x| x2，x0， x2，x0， 故选 D. 3设 f(x) x2，x1， x2，1x2， 2x，x2， 若 f(x)3，则 x 等于( ) A1 B 3 C.3 2 D. 3 答案 D 解析 若 x1， x23， 即 x1， x1， 无解 若 1x2， x23，
10、 即 1x2， x 3， x 3. 若 x2， 2x3， 即 x2， x3 2， 无解 故 x 3. 4.已知函数 f(x)的图象是两条线段(如图所示，不含端点)，则 f 1 3 等于( ) A1 3 B.1 3 C2 3 D.2 3 答案 C 解析 f(x) x1，0x1， x1，1x0. f 1 3 2 3. 5电讯资费调整后，市话费标准为：通话时间不超过 3 分钟收费 0.2 元；超过 3 分钟后，每 增加 1 分钟收费 0.1 元，不足 1 分钟按 1 分钟计费通话收费 S(元)与通话时间 t(分钟)的函数 图象可表示为下图中的( ) 答案 B 6函数 f(x) 2x，0 x1， 2，
11、1x10. 由 y16m，可知 x10. 令 2mx10m16m，解得 x13(立方米) 8设函数 f(x) 1 2x1，x0， 1 x，x1，则实数 a 的取值范围是_ 答案 (4，) 解析 当 a0 时，f(a)1 2a11， 解得 a4，符合 a0； 当 a1，无解 故 a4. 9已知函数 f(x)的解析式为 f(x) 3x5，x0， x5，01. (1)求 f 3 2 ，f 1 ，f(1)的值； (2)画出这个函数的图象； (3)求 f(x)的最大值 解 (1)3 21， f 3 2 23 285. 01 1，f 1 1 5 51 . 10，f(1)352. (2)这个函数的图象如图
12、在函数 y3x5 的图象上截取 x0 的部分， 在函数 yx5 的图象上截取 01 的部分 图中实线组成的图形就是函数 f(x)的图象 (3)由函数图象可知，当 x1 时，f(x)取最大值 6. 10已知函数 f(x)1|x|x 2 (2x2) (1)用分段函数的形式表示函数 f(x)； (2)画出函数 f(x)的图象； (3)写出函数 f(x)的值域 解 (1)当 0 x2 时，f(x)1xx 2 1， 当2x0 时，f(x)1xx 2 1x. 所以 f(x) 1，0 x2， 1x，2x0. (2)函数 f(x)的图象如图所示 (3)由(2)知，f(x)在(2,2上的值域为1,3) 11设函
13、数 f(x) x，x0， x，x0， 若 f(a)f(1)2，则 a 等于( ) A3 B 3 C1 D 1 考点 分段函数 题点 分段函数求值 答案 D 解析 f(1) 11. f(a)f(1)f(a)12. f(a)1，即 a0， a1 或 a0， a1， 解得 a1，解得 a1. a 1. 12若定义运算 ab b，ab， a，ab. 则函数 f(x)x(2x)的值域为_ 答案 (，1 解析 由题意得 f(x) 2x，x1， x，x1， 画出函数 f(x)的图象得值域是(，1 13设函数 f(x) 3xb，x1， 2x，x1， 若 f f 5 6 4，则 b_. 答案 1 2 解析 f
14、5 6 35 6b 5 2b，f 5 2b 4， 5 2b1， 3 5 2b b4， 无解； 5 2b1， 2 5 2b 4， 解得 b1 2. 综上，b1 2. 14.某工厂八年来产品累积产量 C(即前 t 年年产量之和)与时间 t(年)的函数如图，下列四种说 法中正确的是_ 前三年中，产量增长的速度越来越快； 前三年中，产量增长的速度越来越慢； 第三年后，这种产品停止生产； 第三年后，年产量保持不变 答案 解析 由于纵坐标表示八年来前 t 年产品生产总量，正确 15已知函数 f(x) 2，1x1， 4x，x1， 若 f(1x)2，则 x 的取值范围是( ) A B0,2 C2,0 D10,
15、2 考点 分段函数 题点 分段函数求值 答案 D 解析 当11x1，即 0 x2 时，f(1x)2，满足条件， 所以 0 x2， 当 1x1 即 x2 时，f(1x)4(1x)x32，解得 x1，满足 条件， 综上有 0 x2 或 x1. 16如图，该曲线表示一人骑自行车离家的距离与时间的关系骑车者 9 时离开家，15 时回 家根据这个曲线图，请你回答下列问题： (1)最初到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？ (2)何时开始第一次休息？休息多长时间？ (3)第一次休息时，离家多远？ (4)1100 到 1200 他骑了多少千米？ (5)他在 9001000 和 10001030 的平均速度分别是多少？ (6)他在哪段时间里停止前进并休息用午餐？ 解 (1)最初到达离家最远的地方的时间是 12 时，离家 30 千米 (2)1030 开始第一次休息，休息了半小时 (3)第一次休息时，离家 17 千米 (4)1100 至 1200 他骑了 13 千米 (5)9001000 的平均速度是 10 千米/时；10001030 的平均速度是 14 千米/时 (6)从 12 时到 13 时停止前进，并休息用午餐较为符合实际情形
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