1、第第 2 2 课时课时 等式性质与不等式性质等式性质与不等式性质 学习目标 1.了解等式的性质.2.掌握不等式的基本性质,并能运用这些性质解决有关问题 知识点一 等式的基本性质 (1)如果 ab,那么 ba. (2)如果 ab,bc,那么 ac. (3)如果 ab,那么 a cb c. (4)如果 ab,那么 acbc. (5)如果 ab,c0,那么a c b c. 知识点二 不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 abbb,bcac 不可逆 3 可加性 abacbc 可逆 4 可乘性 ab c0 acbc c 的符号 ab c0 acb cd acbd 同向 6 同向同正可乘性
2、 ab0 cd0 acbd 同向 7 可乘方性 ab0anbn(nN,n2) 同正 1若 ab,则 acbc.( ) 2.a b1ab.( ) 3abacbc.( ) 4. ab, cd acbd.( ) 一、利用不等式的性质判断或证明 例 1 (1)给出下列命题: 若 ab0,ab,则1 ab,cd,则 acbd; 对于正数 a,b,m,若 ab,则a b0,则 1 ab0, 又 ab,所以 a ab b ab,所以 1 a 1 b,所以正确; 对于,若 a7,b6,c0,d10, 则 706(10),错误; 对于,对于正数 a,b,m, 若 ab,则 ambm, 所以 amabbmab,
3、所以 0a(bm)0,所以 a bb0,cd0.求证: 3 a d 3 b c. 证明 因为 cdd0. 所以 01 cb0,所以a d b c0. 所以 3 a d 3 b c ,即 3 a d 3 b c, 两边同乘1,得 3 a d 3 b c. 反思感悟 (1)首先要注意不等式成立的条件,在解决选择题时,可利用特值法进行排除,注 意取值时一是满足题设条件,二是取值简单,便于计算 (2)应用不等式的性质证明时,应注意紧扣不等式的性质成立的条件,不可省略条件或跳步推 导 跟踪训练 1 若1 a 1 b|b|,ab,abb3. 则不正确的不等式的个数是( ) A0 B1 C2 D3 答案 C
4、 解析 由1 a 1 b0 可得 ba0,从而|a|b|,均不正确;ab0,则 abb3,正确 故不正确的不等式的个数为 2. 二、利用性质比较大小 例 2 若 P a6 a7,Q a5 a8(a5),则 P,Q 的大小关系为( ) APQ D不能确定 答案 C 解析 P22a132 a6a7, Q22a132 a5a8, 因为(a6)(a7)(a5)(a8)a213a42(a213a40)20, 所以 a6a7 a5a8, 所以 P2Q2,所以 PQ. 反思感悟 比较大小的两种方法 作商比较法 乘方比较法 依据 a0,b0,且a b1ab; a0,b0,且a b1ab2且 a0,b0ab 应
5、用范围 同号两数比较大小或指数式 之间比较大小 要比较的两数(式)中有根号 步骤 作商 变形 判断商值与 1 的大小 下结论 乘方 用作差比较法或作商比较法 跟踪训练 2 下列命题中一定正确的是( ) A若 ab,且1 a 1 b,则 a0,bb,b0,则a b1 C若 ab,且 acbd,则 cd D若 ab,且 acbd,则 cd 答案 A 解析 对于 A,1 a 1 b, ba ab 0, 又 ab,ba0,ab0,b0,b0 时,有a b23,但 1(2)3,但13,故 D 错 三、利用不等式的性质求范围 例 3 已知 12a60,15b36.求 ab 和a b的取值范围 解 15b3
6、6,36b15, 1236ab6015,即24ab45. 又 1 36 1 b 1 15, 12 36 a b 60 15,即 1 3 a b4. 故24ab45,1 3 a b4. 延伸探究 已知 1ab2 且 2ab4,求 4a2b 的取值范围 解 令 ab,ab,则 24,12. 由 ab, ab, 解得 a 2 , b 2 , 4a2b4 2 2 2 223. 而 24,336,则 5310, 54a2b10. 反思感悟 同向不等式是有可加性与可乘性(需同正),但不能相减或相除,应用时要充分利 用所给条件进行适当变形来求范围,注意变形的等价性 跟踪训练 3 已知 0ab2,1ba1,则
7、 2ab 的取值范围是_ 答案 3 22ab 5 2 解析 因为 0ab2,1ab1, 且 2ab1 2(ab) 3 2(ab), 结合不等式的性质可得, 3 22ab0,bbba Babab Cabba Dabab 答案 C 解析 由 ab0 知,ab,ab0. 又 b0,abba. 2已知 a,b,cR,则下列命题正确的是( ) Aabac2bc2 B.a c b cab C. ab ab 1 b D. ab0 ab 1 a 1 b 答案 C 解析 当 c0 时,A 不成立;当 c0 时,B 不成立;当 abb a ab 1 b,C 成立同理可证 D 不成立 3若 ab0,cd b c B.a d b d D.a c b d 答案 B 解析 因为 cdd0, 即 1 d 1 c0. 又 ab0,所以 a d b c, 从而有a dbc,则下列不等式成立的是( ) A. 1 ac 1 bc B. 1 acbc Dacbc,acbc0, 1 ac 1 bc, 故选 B. 5若 , 满足1 2 1 2,则 的取值范围是_ 答案 10 解析 1 2 1 2, 1 2 1 2, 11. 又 ,0,10. 1知识清单: (1)等式的性质 (2)不等式的性质及其应用 2方法归纳:作商比较法,乘方比较法 3常见误区:注意不等式性质的单向性或双向性,即每条性质是否具有可逆性