1、3 31.21.2 函数的表示法函数的表示法( (一一) ) 学习目标 1.了解函数的三种表示法及各自的优缺点.2.掌握求函数解析式的常见方法.3.尝 试作图并从图象上获取有用的信息 知识点 函数的表示方法 思考 函数三种表示法的优缺点? 答案 1任何一个函数都可以用解析法表示( ) 2任何一个函数都可以用图象法表示( ) 3函数 f(x)2x1 不能用列表法表示( ) 4函数的图象一定是一条连续不断的曲线( ) 一、函数的表示方法 例 1 某商场新进了 10 台彩电,每台售价 3 000 元,试求售出台数 x(x 为正整数)与收款数 y 之间的函数关系,分别用列表法、图象法、解析法表示出来
2、解 (1)列表法: x/台 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y/元 3 000 6 000 9 000 12 000 15 000 18 000 21 000 24 000 27 000 30 000 (2)图象法:如图所示 (3)解析法:y3 000 x,x1,2,3,10 反思感悟 应用函数三种表示方法应注意以下三点 (1)解析法必须注明函数的定义域; (2)列表法必须罗列出所有的自变量与函数值的对应关系; (3)图象法必须清楚函数图象是“点”还是“线” 跟踪训练 1 由下表给出函数 yf(x),则 f(f(1)等于( ) x 1 2 3 4 5 y 4 5 3 2 1 A.1
3、B2 C4 D5 答案 B 解析 由题中表格可知 f(1)4,所以 f(f(1)f(4)2. 二、求函数解析式 例 2 求下列函数的解析式: (1)已知函数 f( x1)x2 x,求 f(x); (2)已知函数 f(x)是二次函数,且 f(0)1,f(x1)f(x)2x,求 f(x) 解 (1)方法一 (换元法) 设 t x1,则 x(t1)2(t1) f(t)(t1)22(t1)t22t12t2t21, f(x)x21(x1) 方法二 (配凑法) x2 x( x)22 x11( x1)21, f( x1)( x1)21( x11), f(x)x21(x1) (2)设 f(x)ax2bxc(a
4、0) f(0)1,c1. 又f(x1)f(x)2x, a(x1)2b(x1)1(ax2bx1)2x, 整理,得 2ax(ab)2x. 由恒等式的性质,知上式中对应项的系数相等, 2a2, ab0, 解得 a1, b1, f(x)x2x1. 反思感悟 求函数解析式的常用方法 (1)换元法(有时可用“配凑法”): 已知函数f(g(x)的解析式求f(x)的解析式可用换元法(或“配 凑法”),即令 g(x)t,反解出 x,然后代入 f(g(x)中求出 f(t),从而求出 f(x) (2)待定系数法:若已知函数的类型,可用待定系数法求解,即由函数类型设出函数解析式, 再根据条件列方程(组),通过解方程(
5、组)求出待定系数,进而求出函数解析式 跟踪训练 2 (1)已知 f(x22)x44x2,则 f(x)的解析式为_ 答案 f(x)x24(x2) 解析 因为 f(x22)x44x2(x22)24, 令 tx22(t2),则 f(t)t24(t2), 所以 f(x)x24(x2) (2)已知 f(x)是一次函数,且 f(f(x)4x1,则 f(x)_. 答案 2x1 3或2x1 解析 因为 f(x)是一次函数,设 f(x)axb(a0), 则 f(f(x)f(axb)a(axb)ba2xabb. 又因为 f(f(x)4x1,所以 a2xabb4x1. 所以 a24, abb1, 解得 a2, b1
6、 3 或 a2, b1. 所以 f(x)2x1 3或 f(x)2x1. 三、函数的图象 例 3 作出下列函数的图象 (1)y2x1,x0,2; (2)y2 x,x2,); (3)yx22x,x2,2 解 (1)当 x0,2时,图象是直线 y2x1 的一部分 (2)当 x2,)时,图象是反比例函数 y2 x的一部分 (3)当2x2 时,图象是抛物线 yx22x 的一部分 延伸探究 根据作出的函数图象求其值域 解 观察图象可知: (1)中函数的值域为1,5 (2)中函数的值域为(0,1 (3)中函数的值域为1,8 反思感悟 作函数 yf(x)图象的方法 (1)若 yf(x)是已学过的函数,则描出图
7、象上的几个关键点,直接画出图象即可,有些可能需 要根据定义域进行取舍 (2)若 yf(x)不是所学过的函数之一,则要按:列表;描点;连线三个基本步骤作出 y f(x)的图象 跟踪训练 3 作出下列函数的图象: (1)y1x(xZ); (2)yx24x3,x1,3 解 (1)因为 xZ, 所以图象为直线 y1x 上的孤立点,其图象如图所示 (2)yx24x3(x2)21, 当 x1,3 时,y0; 当 x2 时,y1,其图象如图所示 函数图象的应用 典例 (1)已知 f(x)的图象如图所示,则 f(x)的定义域为_,值域为_ 考点 函数图象 题点 函数图象的应用 答案 2,45,8 4,3 解析
8、 函数的定义域对应图象上所有点横坐标的取值集合,值域对应纵坐标的取值集合 (2)若函数 f(x)x24x3(x0)的图象与 ym 有两个交点,求实数 m 的取值范围 考点 函数图象 题点 函数图象的应用 解 f(x)x24x3(x0)的图象如图, f(x)的图象与直线 ym 有 2 个不同交点, 由图易知1m3. 素养提升 (1)函数图象很直观,在解题过程中常用来帮助理解问题的数学本质,依托函数 图象可以更直观地寻求问题的解决思路和要点 (2)借助几何直观认识事物的位置关系,形态变化与运动规律;利用图形分析数学问题,是直 观想象的核心内容,也是数学的核心素养 1已知函数 f(x)由下表给出,则
9、 f(f(3)等于( ) x 1 2 3 4 f(x) 3 2 4 1 A1 B2 C3 D4 考点 函数的表示法 题点 函数的表示法 答案 A 2已知函数 f(2x1)6x5,则 f(x)的解析式是( ) Af(x)3x2 Bf(x)3x1 Cf(x)3x1 Df(x)3x4 答案 A 解析 方法一 令 2x1t,则 xt1 2 . 所以 f(t)6t1 2 53t2, 所以 f(x)3x2. 方法二 因为 f(2x1)3(2x1)2, 所以 f(x)3x2. 3 某同学从家里到学校, 为了不迟到, 先跑, 跑累了再走余下的路, 设在途中花的时间为 t, 离开家里的路程为 d,下面图形中,能
10、反映该同学的行程的是( ) 考点 函数图象 题点 函数图象的判断与理解 答案 C 4设函数 f 1x 1x x,则 f(x)的表达式为( ) A.1x 1x(x1) B.1x x1(x1) C.1x 1x(x1) D. 2x x1(x1) 答案 C 解析 令 t1x 1x,则 x 1t 1t, f(t)1t 1t, 即 f(x)1x 1x. 5 已知二次函数f(x)的图象经过点(3,2), 顶点是(2,3), 则函数f(x)的解析式为_ 答案 f(x)x24x1 解析 设 f(x)a(x2)23(a0), 由 yf(x)过点(3,2),得 a1, f(x)(x2)23x24x1. 1知识清单: (1)函数的表示方法 (2)求函数解析式 (3)函数的图象 2方法归纳: (1)待定系数法、换元法 (2)数形结合法 3常见误区:求函数解析式时易忽视定义域