3.4 函数的应用（一）学案（含答案）

1、3 34 4 函数的应用函数的应用( (一一) ) 学习目标 初步体会一次函数、二次函数、幂函数、分段函数模型的广泛应用，能运用函数 思想处理现实生活中的简单应用问题 知识点一 一次函数模型 形如 ykxb 的函数为一次函数模型，其中 k0. 知识点二 二次函数模型 1一般式：yax2bxc(a0) 2顶点式：ya(xh)2k(a0) 3两点式：ya(xm)(xn)(a0) 知识点三 幂函数模型 1解析式：yaxb(a，b， 为常数，a0) 2单调性：其增长情况由 x中的 的取值而定 预习小测 自我检验 1小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速 度行驶与

2、以上事件吻合得最好的图象是( ) 答案 C 解析 由题意，先匀速行驶，位移时间图象应是直线，停留一段时间，应该是平行于 x 轴的 一段线段，之后加速，应该是上凸的曲线 2随着海拔高度的升高，大气压强下降，空气中的含氧量也随之下降，且含氧量 y(g/m3)与 大气压强 x(kPa)成正比例函数关系当 x36 kPa 时，y108 g/m3，则 y 与 x 的函数关系式 为( ) Ay3x(x0) By3x Cy1 3x(x0) Dy1 3x 答案 A 一、一次函数模型的应用实例 例 1 某报刊亭从报社买进报纸的价格是每份 0.24 元，卖出的价格是每份 0.40 元，卖不掉的 报纸可以以每份 0

3、.08 元的价格退回报社 在一个月(以 30 天计算)里， 有 20 天每天可卖出 400 份，其余 10 天每天只能卖出 250 份，但每天从报社买进的报纸份数必须相同，试问报刊亭摊 主应该每天从报社买进多少份报纸，才能使每月所获利润最大 解 设每天从报社买进 x 份(250 x400)报纸； 每月所获利润是 y 元，则每月售出报纸共(20 x10250)份； 每月退回报社报纸共 10(x250)份 依题意得，y(0.400.24)(20 x10250)(0.240.08)10(x250) 即 y0.16(20 x2 500)0.16(10 x2 500)， 化简得 y1.6x800，其中

4、250 x400， 因为此一次函数(ykxb，k0)的 k1.60， 所以 y 是一个单调增函数，再由 250 x400 知， 当 x400 时，y 取得最大值， 此时 y1.64008001 440(元) 所以买进 400 份所获利润最大，获利 1 440 元 反思感悟 一次函数模型的特点和求解方法 (1)一次函数模型的突出特点是其图象是一条直线 (2)解一次函数模型时，注意待定系数法的应用，主要步骤是：设元、列式、求解 跟踪训练 1 某长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定质量的行李 若超过规定的质量， 则需购买行李票，行李费用 y(元)是行李质量 x(kg)的一次函数，其图象如图所示 (

5、1)根据图象数据，求 y 与 x 之间的函数关系式 (2)问旅客最多可免费携带行李的质量是多少？ 解 (1)设 y 与 x 之间的函数关系式为 ykxb. 由图象可知，当 x60 时，y6； 当 x80 时，y10. 所以 60kb6 ， 80kb10. 解得 k1 5，b6. 所以 y 与 x 之间的函数关系式为 y 1 5x6，x30， 0，x30. (2)根据题意，当 y0 时，x30. 所以旅客最多可免费携带行李的质量为 30 kg. 二、二次函数模型的应用实例 例 2 牧场中羊群的最大蓄养量为 m 只，为保证羊群的生长空间，实际蓄养量不能达到最大 蓄养量，必须留出适当的空闲率已知羊群

6、的年增长量 y 只和实际蓄养量 x 只与空闲率的乘 积成正比，比例系数为 k(k0)(空闲率指空闲量与最大蓄养量的比值) (1)写出 y 关于 x 的函数关系式，并指出这个函数的定义域； (2)求羊群年增长量的最大值； (3)当羊群的年增长量达到最大值时，求 k 的取值范围 解 (1)根据题意，由于最大蓄养量为 m 只，实际蓄养量为 x 只， 则蓄养率为x m，故空闲率为 1 x m， 由此可得 ykx 1 x m (0xm) (2)对原二次函数配方，得 y k m(x 2mx) k m xm 2 2km 4 . 即当 xm 2时，y 取得最大值 km 4 . (3)由题意知为给羊群留有一定的

7、生长空间， 则有实际蓄养量与年增长量的和小于最大蓄养量， 即 0xym. 因为当 xm 2时，ymax km 4 ， 所以 0m 2 km 4 m， 解得2k0，所以 0k0，则 0x13. y(52040 x)x20040 x2520 x200 40(x6.5)21 490,0x13. 易知，当 x6.5 时，y 有最大值 所以只需将销售单价定为 11.5 元，就可获得最大利润 三、幂函数与分段函数模型 例 3 (1)某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入 x(万元)与药品利润 y(万元)存 在的关系为 yx( 为常数)，其中 x 不超过 5 万元，已知去年投入广告费用为 3 万元时

8、，药 品利润为 27 万元，若今年广告费用投入 5 万元，预计今年药品利润为_万元 答案 125 解析 由已知投入广告费用为 3 万元时，药品利润为 27 万元，代入 yx中，即 327，解 得 3，故函数解析式为 yx3，所以当 x5 时，y125. (2)手机上网每月使用量在 500 分钟以下(包括 500 分钟)、60 分钟以上(不包括 60 分钟)按 30 元计费，超过 500 分钟的部分按 0.15 元/分钟计费，假如上网时间过短，使用量在 1 分钟以 下不计费，在 1 分钟以上(包括 1 分钟)按 0.5 元/分钟计费，手机上网不收通话费和漫游费 12 月份小王手机上网使用量 20

9、 小时，要付多少钱？ 小舟 10 月份付了 90 元的手机上网费，那么他上网时间是多少？ 电脑上网费包月 60 元/月，根据时间长短，你会选择哪种方式上网呢？ 解 设上网时间为 x 分钟，由已知条件知所付费用 y 关于 x 的函数解析式为 y 0，0 x1， 0.5x，1x60， 30，60500. 当 x20601 200，即 x500 时，应付 y300.15(1 200500)135(元) 90 元已超过 30 元，所以上网时间超过 500 分钟，由 300.15(x500)90 可得，上网时 间为 900 分钟 令 60300.15(x500)， 解得 x700. 故当一个月经常上网(

10、一个月使用量超过 700 分钟)时选择电脑上网，而当短时间上网(一个月 使用量不超过 700 分钟)时选择手机上网 反思感悟 (1)处理幂函数模型的步骤 阅读理解、认真审题 用数学符号表示相关量，列出函数解析式 根据幂函数的性质推导运算，求得结果 转化成具体问题，给出解答 (2)应用分段函数时的三个注意点 分段函数的“段”一定要分合理，不重不漏 分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集 分段函数的值域求法为：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论 跟踪训练 3 经市场调查，某种商品在过去 50 天的销售量和价格均为销售时间 t(天)的函数， 且销售量近似地满足f(t)2t200(1t50

11、， tN)， 前30天价格为g(t)1 2t30(1t30， tN)，后 20 天价格为 g(t)45(31t50，tN) (1)写出该种商品的日销售额 S 与时间 t 的函数关系； (2)求日销售额 S 的最大值 解 (1)根据题意得 S 2t200 1 2t30 ，1t30，tN， 452t200，31t50，tN， 即 S t240t6 000，1t30，tN， 90t9 000，31t50，tN. (2)当 1t30，tN 时，S(t20)26 400， 当 t20 时，S 的最大值为 6 400. 当 31t50，tN 时，S90t9 000 为减函数， 当 t31 时，S 的最大值

12、是 6 210. 因为 6 2106 400， 所以当 t20 时，日销售额 S 有最大值 6 400. 1某厂日产手套总成本 y(元)与手套日产量 x(副)的函数解析式为 y5x4 000，而手套出厂 价格为每副 10 元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为( ) A200 副 B400 副 C600 副 D800 副 答案 D 解析 每天的利润 W(x)10 xy 10 x(5x4 000) 5x4 000. 令 W(x)0，5x4 0000，解得 x800. 所以为了不亏本，日产手套至少为 800 副 2一辆汽车在某段路程中的行驶速度 v 与时间 t 的关系图象如图所示，则当 t2 时，汽

13、车 已行驶的路程为( ) A100 km B125 km C150 km D225 km 答案 C 解析 t2 时，汽车行驶的路为 s500.57511000.5257550 150(km) 3按复利计算利率的储蓄，存入银行 5 万元，年息为 6%，利息税为 20%,4 年后支取，可得 利息税为人民币( ) A5(10.06)4万元 B(50.06)4万元 C(10.06)41万元 D(10.06)31万元 答案 C 解析 由已知 4 年利息和为 5(16%)45，扣除 20%的利息税， 即得利息税为人民币 5(16%)4120%(16%)41(10.06)41. 4用长度为 24 m 的材料

14、围成一矩形场地，并且中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则 隔墙的长度为_ m. 答案 3 解析 设隔墙的长为 x m，矩形面积为 S m2， 则 Sx 244x 2 x(122x)2x212x 2(x3)218,0x6， 所以当 x3 时，S 有最大值为 18. 5某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本 y(万元)与年产量 x(吨) 之间的函数关系式可以近似地表示为 yx 2 548x8 000，已知此生产线年产量最大为 210 吨若每吨产品平均出厂价为 40 万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大 利润是多少？ 解 设可获得总利润为 R(x)万元， 则 R(x)40 xy40 xx 2 548x8 000 x 2 588x8 000 1 5(x220) 21 680,0 x210. R(x)在0,210上是增函数， 当 x210 时， R(x)max1 5(210220) 21 6801 660(万元) 年产量为 210 吨时，可获得最大利润 1 660 万元 1知识清单：实际问题中四种函数模型：一次函数模型，二次函数模型，幂函数模型，分段 函数模型 2方法归纳： 解函数应用题的基本步骤：审题，建模，求模，还原 3常见误区：函数的实际应用问题易忽视函数的定义域