1、集合 Ax|x22x0，Bx|x|2，则（ ） AAB BABA CABA DABR 2 （5 分）下面是关于复数 z2i 的四个命题：p1：|z|5；p2：z 的共轭复数为 2+i；p3： z234i；p4：其中真命题为（ ） Ap1，p2 Bp2，p3 Cp2，p4 Dp3，p4 3 （5 分）已知双曲线 my2x21（mR）与抛物线 x28y 有相同的焦点，则该双曲线的 渐近线方程为（ ） Ayx Byx Cyx Dy3x 4 （5 分）甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去 A、B、C 三个不同社区进行帮扶活动， 每人只能去一个社区，每个社区至少一人其中甲必须去 A 社区，乙不去 B 社
2、区，则不 同的安排方法种数为（ ） A8 B7 C6 D5 5 （5 分）已知ABC 中，AB10，AC6，BC8，M 为 AB 边上的中点，则+ （ ） A0 B25 C50 D100 6 （5 分）已知函数 f（x），则 f（x）的大致图象为（ ） A B 第 2 页（共 26 页） C D 7 （5 分）已知数列an为等比数列，Sn是它的前 n 项和，若 a2a32a1，且 a4与 2a7的等 差中项为，则 S5（ ） A35 B33 C31 D29 8 （5 分）根据如图程序框图，运行相应程序，则输出 S 的值为（ ） A B C D3 9 （5 分）一个几何体的三视图如图
3、所示，则该几何体的体积为（ ） A B C D8 第 3 页（共 26 页） 10 （5 分）如果的展开式中各项系数的和为 16，则展开式中 x3项的系 数为（ ） A B C D 11 （5 分） 已知直三棱柱 ABCA1B1C1的底面为等边三角形， 且底面积为， 体积为， 点 P，Q 分别为线段 A1B，B1C 上的动点，若直线 PQ平面 ACC1A1，点 M 为线段 PQ 的中点，则点 M 的轨迹长度为（ ） A B C D 12 （5 分）已知点 P（x0，y0） （x0a）在椭圆 C：（ab0）上，若点 M 为椭圆 C 的右顶点，且 POPM（O 为坐标原点） ，则椭圆 C 的离心率
4、 e 的取值范围是 （ ） A （0，） B （，1） C （，1） D （0，） 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分，将答案填在答题卡相应的位置上分，将答案填在答题卡相应的位置上 13 （5 分）若实数 x，y 满足不等式组则 x+y 的最小值等于 14 （5 分）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若其面积 S（b2+c2 a2） ，则A 15 （5 分）已知关于 x 的不等式 logm（mx2）0 在1，2上恒成立，则实数 m 的取 值范围为 16
5、（5 分）已知首项为 2 的正项数列an的前 n 项和为 Sn，且当 n2 时，3Sn2an23Sn 1若m 恒成立，则实数 m 的取值范围为 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17 （12 分）已知函数 （）求函数 f（x）图象的对称轴方程； （）将函数 f（x）图象向右平移个单位，所得图象对应的函数为 g（x） 当 第 4 页（共 26 页） 时，求函数 g（x）的值域 18 （12 分） 某理财公司有两种理财产品 A 和 B 这两种理财产品一年后盈亏的
6、情况如下 （每 种理财产品的不同投资结果之间相互独立） ： 产品 A 产品 B（其中 p、q0） 投资结果 获利 40% 不赔不赚 亏损 20% 概 率 投资结果 获利 20% 不赔不赚 亏损 10% 概 率 p （）已知甲、乙两人分别选择了产品 A 和产品 B 进行投资，如果一年后他们中至少有 一人获利的概率大于，求 p 的取值范围； （）丙要将家中闲置的 10 万元钱进行投资，以一年后投资收益的期望值为决策依据， 在产品 A 和产品 B 之中选其一，应选用哪个？ 19 （12 分）如图，在空间四边形 PABC 中，PAAC，PAAC，PC2，BC2，ACB 90，且平面 PAC平面 ABC
7、 （）求证：PABC； （）若直线 PC 与平面 ABM 所成角的余弦值为，求 PM 20 （12 分）设动圆 P（圆心为 P）经过定点（0，2） 、 （t+2，0） 、 （t2，0）三点，当 t 变 化时，P 的轨迹为曲线 C （1）求 C 的方程 （2）过点（0，2）且不垂直于坐标轴的直线 l 与 C 交于 A、B 两点，B 点关于 y 轴的对 第 5 页（共 26 页） 称点为 D，求证：直线 AD 经过定点 21 （12 分）已知函数 f（x）x22（a+1）x+2axlnx+2a+1（aR） （1）a2 时，求 f（x）在（0，2）上的单调区间； （2）x0 且 x1，均恒成立，求实
8、数 a 的取值范围 请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做则按所做的第一题记分题中任选一题作答如果多做则按所做的第一题记分选修选修 4-4：坐：坐 标系与参数方程标系与参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为（t 为参数，0 ） 以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系已知曲线 C 的极坐标 方程为：cos24sin （）求直线 l 的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程； （）设直线 l 与曲线 C 交于不同的两点 A、B，若|AB|8，求 的值 选修选修 4-1：不等式选讲：不等式选讲 23已知 a0，b0，函数 f（x）
9、|x+a|+|2xb|的最小值为 1 （1）求证：2a+b2； （2）若 a+2btab 恒成立，求实数 t 的最大值 第 6 页（共 26 页） 2018 年河南省信阳高中高考数学一模试卷（理科）年河南省信阳高中高考数学一模试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 （5 分）集合 Ax|x22x0，Bx|x|2，则（ ） AAB BABA CABA DABR 【分析】分别
10、求出关于 A、B 的不等式，根据集合的运算判断即可 【解答】解：Ax|x22x0x|0x2， Bx|x|2x|2x2， 则 ABA， 故选：B 【点评】本题考查了解不等式问题，考查集合的运算，是一道基础题 2 （5 分）下面是关于复数 z2i 的四个命题：p1：|z|5；p2：z 的共轭复数为 2+i；p3： z234i；p4：其中真命题为（ ） Ap1，p2 Bp2，p3 Cp2，p4 Dp3，p4 【分析】利用复数的模的计算公式、共轭复数、运算法则即可判断出真假 【解答】解：关于复数 z2i 的四个命题： p1：|z|，因此是假命题； p2：z 的共轭复数为 2+i，正确； p3：z241
11、4i34i，正确； p4：+i，因此是假命题 其中真命题为 p2，p3 故选：B 【点评】本题考查了复数的模的计算公式、共轭复数、运算法则，考查了推理能力与计 算能力，属于基础题 3 （5 分）已知双曲线 my2x21（mR）与抛物线 x28y 有相同的焦点，则该双曲线的 渐近线方程为（ ） 第 7 页（共 26 页） Ayx Byx Cyx Dy3x 【分析】由已知条件求出双曲线的一个焦点为（0，2） ，可得关于 m 的方程，求出 m，由 此能求出双曲线的渐近线方程 【解答】解：抛物线 x28y 的焦点为（0，2） ， 双曲线的一个焦点为（0，2） ， +14， m， 双曲线的渐近线方程为
12、yx 故选：A 【点评】本题主要考查圆锥曲线的基本元素之间的关系问题，同时双曲线、椭圆的相应 知识也进行了综合性考查 4 （5 分）甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去 A、B、C 三个不同社区进行帮扶活动， 每人只能去一个社区，每个社区至少一人其中甲必须去 A 社区，乙不去 B 社区，则不 同的安排方法种数为（ ） A8 B7 C6 D5 【分析】根据题意，分 2 种情况讨论：，乙和甲一起去 A 社区，此时将丙丁二人安排 到 B、C 社区即可，乙不去 A 社区，则乙必须去 C 社区，分别求出每种情况的安排 方法数目，由加法原理计算可得答案 【解答】解：根据题意，分 2 种情况讨论： ，乙和甲
13、一起去 A 社区，此时将丙丁二人安排到 B、C 社区即可，有 A222 种情况， ，乙不去 A 社区，则乙必须去 C 社区， 若丙丁都去 B 社区，有 1 种情况， 若丙丁中有 1 人去 B 社区，先在丙丁中选出 1 人，安排到 B 社区， 剩下 1 人安排到 A 或 C 社区，有 224 种情况， 则不同的安排方法种数有 2+1+47 种； 故选：B 【点评】本题考查排列、组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于基础题 5 （5 分）已知ABC 中，AB10，AC6，BC8，M 为 AB 边上的中点，则+ 第 8 页（共 26 页） （ ） A0 B25 C50 D100 【分析
14、】判断ABC 为直角三角形，可得 CMAB5，（+） ，再由向量 数量积的性质：向量的平方即为模的平方，计算可得所求值 【解答】解：ABC 中，AB10，AC6，BC8， 由 AB2AC2+BC2，即ABC 为以 AB 为斜边的直角三角形， M 为 AB 边上的中点，可得 CMAB5， （+） ， 则+ （+）2 225250 故选：C 【点评】本题考查向量数量积的定义和性质，以及中点向量表示形式，以及向量的平方 即为模的平方，考查运算能力，属于基础题 6 （5 分）已知函数 f（x），则 f（x）的大致图象为（ ） A B C D 【分析】判断函数的奇偶性和对称性，利用极限思想进
15、行排除即可 【解答】解：因为 f（x）f（x） ， 第 9 页（共 26 页） 所以函数为奇函数，排除 B 选项， 当 x+时，f（x）+，排除 C，D， 故选：A 【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用极限思想以及函数的奇偶性进行排 除是解决本题的关键 7 （5 分）已知数列an为等比数列，Sn是它的前 n 项和，若 a2a32a1，且 a4与 2a7的等 差中项为，则 S5（ ） A35 B33 C31 D29 【分析】用 a1和 q 表示出 a2和 a3代入 a2a32a1求得 a4，再根据 a4+2a7a4+2a4q3， 求得 q，进而求得 a1，代入 S5即可 【解答】解：a
16、2a3a1qa1q22a1 a42 a4+2a7a4+2a4q32 q，a116 故 S531 故选：C 【点评】本题主要考查了等比数列的性质属基础题 8 （5 分）根据如图程序框图，运行相应程序，则输出 S 的值为（ ） 第 10 页（共 26 页） A B C D3 【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的 值，模拟程序的运行过程，可得答案 【解答】解：由已知可得：sin的值，以 6 为周期呈周期性变化，且一个周期内的和 为 0， 由于循环变量的初值为 1，终值为 2018，步长为 1， 201863362， 故 Ssin+sin， 故选：B 【点评
17、】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟 循环的方法解答 9 （5 分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A B C D8 【分析】由三视图知该几何体是四棱锥，由三视图求出几何元素的长度，由锥体的体积 公式求出几何体的体积 【解答】解：根据三视图可知几何体是四棱锥， 且底面是边长为 2 和 4 的长方形，由侧视图是等腰直角三角形， 直角边长为 2， 该几何体的体积 V， 故选：B 第 11 页（共 26 页） 【点评】本题考查由三视图求几何体的体积，由三视图正确复原几何体是解题的关键， 考查空间想象能力 10 （5 分）如果的展开式中各项系数的
18、和为 16，则展开式中 x3项的系 数为（ ） A B C D 【分析】展开式中令 x1 求得各项系数和，得 a 的值； 再利用通项公式求得（x+）6展开式中含 x2、x4的系数， 即可求得对应展开式中 x3项的系数 【解答】解：展开式中， 令 x1 得展开式中各项系数的和为（a） （1+1）616， 解得 a1； （x） （x+）6， 又（x+）6的展开式通项公式为 Tr+1x6 r x6 2r， 由 62r2，解得 r2， （x+）6展开式中含 x2的系数为15； 令 62r4，解得 r1， （x+）6展开式中含 x4的系数为6； （x） （x+）6展开式中 x3项的系数为 1156 故选
19、：D 第 12 页（共 26 页） 【点评】本题考查了二项式展开式的通项公式应用问题，是中档题 11 （5 分） 已知直三棱柱 ABCA1B1C1的底面为等边三角形， 且底面积为， 体积为， 点 P，Q 分别为线段 A1B，B1C 上的动点，若直线 PQ平面 ACC1A1，点 M 为线段 PQ 的中点，则点 M 的轨迹长度为（ ） A B C D 【分析】以 A 为坐标原点，AC 所在直线为 x 轴，AA1 为 z 轴，垂直于 AC 的直线为 y 轴， 建立空间直角坐标系，求得三棱柱的底面边长和侧棱长，可得 A1，B1，B，C 以及向量 A1B，B1C 的坐标，由条件可得直线 PQ 平行于平面
20、 ACC1A1，运用向量垂直的条件：数 量积为 0，可得 M 的坐标和轨迹，计算长度即可 【解答】解：以 A 为坐标原点，AC 所在直线为 x 轴，AA1 为 z 轴，垂直于 AC 的直线为 y 轴， 如图建立空间直角坐标系， 直三棱柱 ABCA1B1C1的底面为等边三角形，且底面积为，体积为， 可得底面边长为 1，侧棱长也为 1， 则 A1（0，0，1） ，B（，0） ，C（1，0，0） ，B1（，1） ， （，1） ，（，1） ， 设 P（，） ，01，Q（，） ，01， （，（+） ，） ， 平面平面 ACC1A1的法向量为 （0，1，0） ， 由直线 PQ平面 ACC1A1， 可得 （
21、+）0， 即有 ， 可得 PQ 的中点坐标为（0，0） ， 由于 01，可得 M 的轨迹为线段，长度为， 故选：D 第 13 页（共 26 页） 【点评】本题考查空间点的轨迹和长度，注意运用空间直角坐标系，求得相应点的坐标， 运用向量的垂直和中点坐标公式，考查运算能力，属于中档题 12 （5 分）已知点 P（x0，y0） （x0a）在椭圆 C：（ab0）上，若点 M 为椭圆 C 的右顶点，且 POPM（O 为坐标原点） ，则椭圆 C 的离心率 e 的取值范围是 （ ） A （0，） B （，1） C （，1） D （0，） 【分析】根据平面向量的数量积运算得出 x0与 y0的关系，再代入椭圆方
22、程中， 整理得关于 x0的方程，构造函数 f（x） ，考查函数的零点情况， 从而求得a2、b2的关系，再求椭圆 C 的离心率 e 的取值范围 【解答】解：由题意知 M（a，0） ，点 P（x0，y0） ， 则（x0，y0） ，（ax0，y0） ， POPM，（x0） （ax0）+（y0） （y）0， ax00； 又ax0a，代入椭圆方程中， 整理得（b2a2）+a3x0a2b20； 令 f（x）（b2a2）x2+a3xa2b20，x（a，a） ； f（0）a2b20，f（a）0， 如图所示： （a3）24（b2a2）（a2b2）a2（ a44a2b2+4b4 ）a2（a22c2）20， &nb
23、sp;第 14 页（共 26 页） 对称轴满足 0a，即 0a， 1，e； 又 0e1， e1； 则椭圆 C 的离心率 e 的取值范围是（，1） 故选：C 【点评】本题考查了两个向量坐标形式的运算问题，也考查了一元二次方程在一个区间 上有实数根的应用问题，是难题 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分，将答案填在答题卡相应的位置上分，将答案填在答题卡相应的位置上 13 （5 分）若实数 x，y 满足不等式组则 x+y 的最小值等于 0 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优 解，把最优解的坐标代入
24、目标函数得答案 【解答】解：由实数 x，y 满足不等式组作出可行域如图， 化 zx+y 为 yx+z， 由图可知，当直线 yx+z 过 O 时，直线在 y 轴上的截距最小， z 有最小值为 0； 当直线过 O（0，0）时，直线在 y 轴上的截距最小， z 有最小值为 0 第 15 页（共 26 页） 故答案为：0 【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题 14 （5 分）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若其面积 S（b2+c2 a2） ，则A 【分析】根据三角形的面积公式 SbcsinA，而已知 S （b2+c2a2） ，两者相等得到 一
25、个关系式，利用此关系式表示出 sinA，根据余弦定理表示出 cosA，发现两关系式相等， 得到 sinA 等于 cosA，即 tanA 等于 1，根据 A 的范围利用特殊角的三角函数值即可得到 A 的度数 【解答】解：由已知得：SbcsinA（b2+c2a2） 变形为：sinA， 由余弦定理可得：cosA， 所以 cosAsinA 即 tanA1，又 A（0，） ， 则 A 故答案为： 【点评】此题考查学生灵活运用三角形的面积公式及余弦定理化简求值，是一道基础题 15 （5 分）已知关于 x 的不等式 logm（mx2）0 在1，2上恒成立，则实数 m 的取 值范围为 （，）（，+
26、） 【分析】由对数函数的单调性，讨论 m1，0m1，运用不等式恒成立问题解法，参 数分离和二次函数的最值求法，即可得到所求范围 第 16 页（共 26 页） 【解答】解：关于 x 的不等式 logm（mx2）0 在1，2上恒成立， 当 m1 时，mx21 在1，2恒成立， 即为 m在1，2恒成立， 由（+1）（+1）2， 可得 x1 时，取得最大值， 即 m； 当 0m1 时，0mx21 在1，2恒成立， 即有 m（1）2+， 显然 x1 时，m， 由 m1+1 且 4m2+1， 解得 m， 可得m， 综上可得 m 的范围是（，）（，+） ， 故答案为： （，）（，+） 【点评】本
27、题考查对数函数的性质和运用，以及不等式恒成立问题解法，注意运用分离 参数和分类讨论思想方法，考查化简整理的运算能力，属于中档题 16 （5 分）已知首项为 2 的正项数列an的前 n 项和为 Sn，且当 n2 时，3Sn2an23Sn 1若m 恒成立，则实数 m 的取值范围为 ，+） 【分析】由条件可得 a25，a38，再由数列递推式，可得 anan13，再由等差数列 的定义和通项公式可得 an，Sn，求得n的单调性，可得最大值，即可得到 m 的范 围 【解答】解：首项为 2 的正项数列an的前 n 项和为 Sn，且当 n2 时，3Sn2an23Sn 1， 第 17 页（共 26 页） 可得
28、3（a1+a2）2a223a1，由 a12，解得 a25， 又 3（a1+a2+a3）2a323（a1+a2） ，由 a1+a27，可得 a38， 当 n3 时，3Sn12an123Sn2， 又 3Sn2an23Sn1， 两式相减可得 3anan2an123an1， 即有 3（an+an1）（anan1） （an+an1） ， 可得 anan13， 正项数列an为首项为 2，公差为 3 的等差数列， 可得 an2+3（n1）3n1； Snn（3n+1） ， 设n， ， 可得 C1C2C3C4C5C6， m 恒成立， 可得 mC3， 即 m， 故答案为：，+） 【点评】本题考查数列的通项公式的求
29、法，注意运用数列的递推式，以及等差数列的定 义和通项公式，考查数列恒成立问题解法，注意运用数列的单调性，考查运算能力，属 于中档题 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤骤. 17 （12 分）已知函数 （）求函数 f（x）图象的对称轴方程； 第 18 页（共 26 页） （）将函数 f（x）图象向右平移个单位，所得图象对应的函数为 g（x） 当 时，求函数 g（x）的值域 【分析】 （）利用倍角公式及两角差的余弦变形，再由辅助角公式化积，由相位终边在 y 轴上可得函数 f（x）图
30、象的对称轴方程； （）由三角函数的图象平移得到 g（x） ，再由 x 的范围求得函数 g（x）的值域 【 解答】 解： （） 令，解得 函数 f（x）图象的对称轴方程为； （）把 f（x）的图象向右平移个单位， 可得 ， ， ， 即当时，函数 g（x）的值域为 【点评】本题考查三角函数的恒等变换应用，考查 yAsin（x+）型函数的图象和性 质，是中档题 18 （12 分） 某理财公司有两种理财产品 A 和 B 这两种理财产品一年后盈亏的情况如下 （每 种理财产品的不同投资结果之间相互独立） ： 产品 A 产品 B（其中 p、q0） 投资结果 获利 40% 不赔不赚 亏损 20% 概 率 投资
31、结果 获利 20% 不赔不赚 亏损 10% 第 19 页（共 26 页） 概 率 p （）已知甲、乙两人分别选择了产品 A 和产品 B 进行投资，如果一年后他们中至少有 一人获利的概率大于，求 p 的取值范围； （）丙要将家中闲置的 10 万元钱进行投资，以一年后投资收益的期望值为决策依据， 在产品 A 和产品 B 之中选其一，应选用哪个？ 【分析】 （）利用相互独立事件和对立事件的概率计算公式，求出“甲选择产品 A 且盈 利” 、 “乙选择产品 B 且盈利”和“一年后甲、乙两人中至少有一人投资获利”的概率值， 列出不等式求出 p 的取值范围； （）设丙选择产品 A 进行投资，记 X 为获利金
32、额，写出 X 的分布列，计算数学期望； 设丙选择产品 B 进行投资，记 Y 为获利金额，写出 Y 的分布列，计算数学期望； 讨论 p 的取值，得出 E（X）与 E（Y）的大小关系即可 【解答】解： （）记事件 A 为“甲选择产品 A 且盈利” ， 事件 B 为“乙选择产品 B 且盈利” ， 事件 C 为“一年后甲、乙两人中至少有一人投资获利” ， 则， 所以，所以；4 分 又因为， 所以； 所以；6 分 （）假设丙选择产品 A 进行投资，且记 X 为获利金额（单位：万元） ，所以随机变量 X 的分布列为： X 4 0 2 P 则8 分 假设丙选择产品 B 进行投资，且记 Y 为获利金额（单位：
33、万元） ，所以随机变量 Y 的分布 第 20 页（共 26 页） 列为： Y 2 0 1 P p q 则；10 分 当时，E（X）E（Y） ，选择产品 A 和产品 B 一年后投资收益的数学期望相同，可 以在产品 A 和产品 B 中任选一个； 当时，E（X）E（Y） ，选择产品 A 一年后投资收益的数学期望大，应选产品 A； 当时，E（X）E（Y） ，选择产品 B 一年后投资收益的数学期望大，应选产 品 B12 分 【点评】本题考查了古典概型的概率计算问题，也考查了离散型随机变量的分布列与数 学期望，是中等题 19 （12 分）如图，在空间四边形 PABC 中，PAAC，PAAC，PC2，BC2
34、，ACB 90，且平面 PAC平面 ABC （）求证：PABC； （）若直线 PC 与平面 ABM 所成角的余弦值为，求 PM 【分析】 （）利用面面垂直的性质及线面垂直的性质即可证明 PABC （）过点 A 在平面 ABC 内作 AEAC， 以 A 为坐标原点，分别以、，的方向为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角 坐标系， 求出平面AMB的法向量， 设（01） 可得则sin|cos| 第 21 页（共 26 页） 解得或，即可 【解答】 （）证明：平面 PAC平面 ABC，平面 PAC平面 ABCAC， PA平面 PAC，PAAC， PA平面 ABC， 又BC平面 ABC，PABC
35、 （）解：过点 A 在平面 ABC 内作 AEAC， 由（）知 PA平面 ABC，AE平面 ABC，AC平面 ABC， PAAE，PAAC， 以 A 为坐标原点，分别以、，的方向为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角 坐标系， 则 A（0，0，0） ，B（2，2，0） ，C（0，2，0） ，P（0，0，2） ， 由此（0，2，2） ，（2，2，0） ，设（01） 则 M（0，2，22） ，（0，2，22） 设平面 AMB 的法向量 （a，b，c） 则， 令 x1，得 （1，1，） 设直线 PC 与平面 AMB 所成角为 ， 直线 PC 与平面 ABM 所成角的余弦值为，即 cos 则
36、sin|cos| 解得或， PM 或 PM 第 22 页（共 26 页） 【点评】本题考查了面面、线面的位置关系，考查了线面角，属于中档题 20 （12 分）设动圆 P（圆心为 P）经过定点（0，2） 、 （t+2，0） 、 （t2，0）三点，当 t 变 化时，P 的轨迹为曲线 C （1）求 C 的方程 （2）过点（0，2）且不垂直于坐标轴的直线 l 与 C 交于 A、B 两点，B 点关于 y 轴的对 称点为 D，求证：直线 AD 经过定点 【分析】 （1）设 M（t+2，0） 、N（t2，0） 、R（0，2） ，当 t 变化时，总有 MN4，可 得圆 P 被 x 轴截得的弦长为 4，设动圆
37、P 圆心为（x，y） ，半径为 r，依题意列出方程组， 求解即可得答案； （2）由对称性知，直线 AD 经过的定点在 y 轴上，设 A（x1，y1）B（x2，y2） ，则 D（ x2， y2） ， 其中， 可得直线 AD 的方程， 令 x0， 把， 代入，可解得 AD 的 y 截距，然后设直线 l：ykx+2，代入抛物线方程，可得：x24kx 80，求出 x1x28，此时 y02，即可求出直线 AD 经过的定点 【解答】 （1）解：设 M（t+2，0） 、N（t2，0） 、R（0，2） ， 当 t 变化时，总有 MN4故圆 P 被 x 轴截得的弦长为 4， 设动圆 P 圆心为（x，y） ，半径
38、为 r， 依题意得，化简整理得 x24y P 的轨迹 C 的方程为 x24y； （2）证明：由对称性知，直线 AD 经过的定点在 y 轴上， 第 23 页（共 26 页） 设 A（x1，y1）B（x2，y2） ，则 D（x2，y2） ，其中， 直线 AD 的方程为：， 令 x0，把，代入，可解得 AD 的 y 截距： 设直线 l：ykx+2，代入抛物线方程，可得：x24kx80 x1x28，此时 y02 故直线 AD 经过定点（0，2） 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，考查了抛物线方程，是中档题 21 （12 分）已知函数 f（x）x22（a+1）x+2axlnx+2a+1（aR） （1
39、）a2 时，求 f（x）在（0，2）上的单调区间； （2）x0 且 x1，均恒成立，求实数 a 的取值范围 【分析】 （1）a2 时，求出导函数 f（x）2（x12lnx） ，设 h（x）f（x） ，利用 导函数的符号，判断函数的单调性，转化求解即可 （ 2 ） 通 过x 1时 ， 化 简 不 等 式 ， 0 x 1时 ， 化 简 不 等 式 ， 设 ，利用函数的导数，通过导函数的符号，判断单调 性，推出 a1 时，g（x）在（0，+）上单调递增，a1 符合题意；a1 时，a 1 时，都出现矛盾结果；得到 a 的集合 【解答】解： （1）a2 时，f（x）2（x12lnx） ，设 h（x）f（
40、x） ， 当 x（0，2）时，则 h（x）在（0，2）上是单调递减函数， 即则 f（x）在（0，2）上是单调递减函数， f（1）0，1x2 时，f（x）0；0x1 时，f（x）0 在（0，2）上 f（x）的单调增区间是（0，1） ，单调减区间是（1，2） ； （2）x1 时，2axlnx（2a+1x） （x1） ，即； 0x1 时，2axlnx（2a+1x） （x1） ，即； 设 第 24 页（共 26 页） 则，a1 时，（2a+1）1， ，g（x）在（0，+）上单调递增 x1 时，g（x）g（1）0；0x1 时，g（x）g（1）0， a1 符合题意；a1 时，（2a+1）1，1x（2a+1
41、）时，g（x）0， g（x）在（1，2a1）上单调递减， 当 1x（2a+1）时，g（x）g（1）0，与 x1 时，g（x）0 矛盾；舍去， a1 时，设 M 为（2a+1）和 0 中的最大值，当 Mx1 时，g（x）0， g（x）在（M，1）上单调递减， 当 Mx1 时，g（x）g（1）0，与 0x1 时，g（x）0 矛盾；舍去 综上，a1 【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查方利 用率思想以及转化思想的应用，构造法的应用，难度比较大 请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做则按所做的第一题记分题中任选一题作答如果多做则按所做的第一题记分
42、选修选修 4-4：坐：坐 标系与参数方程标系与参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为（t 为参数，0 ） 以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系已知曲线 C 的极坐标 方程为：cos24sin （）求直线 l 的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程； （）设直线 l 与曲线 C 交于不同的两点 A、B，若|AB|8，求 的值 【分析】 （）直线 l 的参数方程消去参数 t，得直线 l 普通方程，曲线 C 的极坐标方程转 化为 2cos24sin，再由 cosx，siny，能求出曲线 C 的直角坐标方程 （） 将（t 为参数， 0） 代入曲线
43、C： x24y， 得到： t2cos24tsin 40，由此利用弦长公式能求出 的值 【解答】解： （）直线 l 的参数方程为（t 为参数，0） 消去参数 t，得直线 l 普通方程为 sinaxcosay+cos0， 曲线 C 的极坐标方程为：cos24sin，即 2cos24sin， cosx，siny， 第 25 页（共 26 页） 曲线 C 的直角坐标方程为 C：x24y（5 分） （）将（t 为参数，0）代入曲线 C：x24y， 得到：t2cos24tsin40，（8 分） |AB|t1t2|8， cos，或（10 分） 【点评】本题考查直线的普通方程与曲线的直角坐标方程的求法，考查
44、的求法，考查 参数方程、普通方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能 力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题 选修选修 4-1：不等式选讲：不等式选讲 23已知 a0，b0，函数 f（x）|x+a|+|2xb|的最小值为 1 （1）求证：2a+b2； （2）若 a+2btab 恒成立，求实数 t 的最大值 【分析】 （1）根据不等式的性质求出 f（x）的最小值，证明结论即可； （2）求出恒成立，根据不等式的性质求出 t 的最大值即可 【解答】 （1）证明：， 且， ，当时取等号， 即 f（x）的最小值为， （2）解：a+2btab 恒成立，恒成立， ， 当时，取得最小值， ，即实数 t 的最大值为 【点评】本题考查了绝对值不等式问题，考查不等式的性质以及转化思想，是一道中档 题
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