1、若复数 z 满足（34i）z5（1i） ，其中 i 为虚数单位，则 z 的虚部为（ ） A1 B C D1 2 （5 分）已知集合 Ax|log2x1，Bx|x24x50，则 BRA（ ） Ax|1x2 Bx|1x5 Cx|1x2 Dx|2x5 3 （5 分）如图为某市国庆节 7 天假期的商品房日认购量（单位：套）与日成交量（单位： 套的折线图，则下面结论中正确的是（ ） A日成交量的中位数是 16 B日成交量超过日平均成交量的有 1 天 C日认购量与日期是正相关关系 D日认购量的方差大于日成交量的方差 4 （5 分）某公司的班车分别在 7：15
2、，7：45，8：15 发车，某人在 7：40 至 8：20 之间到 达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过 10 分钟的概率 是（ ） A B C D 5 （5 分）已知函数 f（x）（x2） （ax+b）为偶函数，且在（0，+）上单调递减，则 f （1x）0 的解集为（ ） A （，1）（3，+） B （1，3） C （1，1） D （，1）（1+） 6 （5 分）我国古代的劳动人民曾创造了灿烂的中华文明，戍边的官兵通过在烽火台上举火 向国内报告，烽火台上点火表示数字 1，不点火表示数字 0，这蕴含了进位制的思想如 第 2 页（共 27 页） 图所示的程
3、序框图的算法思路就源于我国古代戍边官兵的“烽火传信”执行该程序框图， 若输入 a110101，k2，n6，则输出 b 的值为（ ） A21 B43 C51 D53 7 （5 分）设 （x，y）|，给出下列两个命题：p：（x，y）， 2；q：（x，y），2x+y5，则下面命题中真命题是（ ） Apq Bpq Cpq Dq 8 （5 分）已知函数 f（x）Asin（x+） （A0，0，|）的最大值为 2，其图 象相邻两条对称轴之间的距离为且 f（x）的图象关于点（，0）对称，则下列判 断不正确的是（ ） A要得到函数 f（x）的图象，只需将 y2cos2x 的图象向右平移个单位 B函数
4、 f（x）的图象关于直线 x对称 第 3 页（共 27 页） Cx时，函数 f（x）的最小值为 D函数 f（x）在上单调递减 9 （5 分）湖北省按气象地理区划分为鄂西北、鄂东北、鄂西南、江汉平原、鄂东南 5 部分 （如图所示） 现在提供 5 种颜色给图中 5 个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相 邻区域颜色不同，则不同的涂色方案有（ ）种 A360 B420 C480 D540 10 （5 分）已知 F1，F2分别为双曲线 C：1（a0，b0）的左右焦点，过点 F1的直线 l 与双曲线 c 的左右两支分别交于 A， B 两点， 若 ABBF2， cosF1AF2，
5、 则双曲线的离心率为（ ） A2 B C D 11 （5 分）如图所示为某三棱锥的三视图，若该三棱锥的体积为，则它的外接球表面积 为（ ） A B6 C12 D24 12 （5 分）已知 a0，函数 f（x）aex，g（x）ealnx+b，e 为自然对数的底数若存在一 条直线与曲线 yf（x）和 yg（x）均相切，则的取值范围为（ ） A （，e B （0，e C （，1 D （0，1 二、填空题二、填空题：本题有：本题有 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）已知向量 、 ，满足 （1，3） ，| |4，且（） ，则 在 上的投 影为 &n
6、bsp;第 4 页（共 27 页） 14 （5 分）在（1+x）4（2x1）的展开式中，若 x2项的系数为 a， 15 （5 分）已知圆 C： （x+1）2+（y1）24，直线：xy10 上有两个动点 A，B，且 |AB|2若圆 C 上存在点 P，使APB90，则线段 AB 中点 M 的横坐标取值范围 为 16 （5 分）如图所示，在平面四边形 ABCD 中，AB1，BC2，ADCD，ADC120， 则 ABCD 面积的最大值为 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、
7、证明过程或演算步骤.第第 17-21 题为必做考题，题为必做考题， 个试题考生都必须作答个试题考生都必须作答.第第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分 17 （12 分）已知数列an的前 n 项和为 Sn，且 2Sn3n+， （其中 、p 为常数） ，又 a1 1，a23 （）求数列an的通项公式； （）设 bn1+2log3an，求数列anbn的前 n 项和 Tn 18 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，ABCD，AB1，CD3，AP2，DP2， PAD60，AB平面 PAD，点 M 在棱 PC 上 （
8、）求证：平面 PAB平面 PCD； （）若直线 PA平面 MBD，求此时锐二面角 MBDC 的余弦值 19 （12 分）今年，我们将迎来中华人民共和国 70 周年华诞，70 年披荆斩棘，70 年砥砺奋 进，70 年风雨兼程，70 年沧桑巨变，勤劳勇敢的中国人用自己的双手创造了一项项辉煌 的成绩，取得了令人瞩目的成就某媒体平台开设了“壮丽 70 年奋斗新时代”专栏，收 到了来自全国各地的纪念建国 70 年变化的老照片， 并从众多作品中抽取了 100 张照片参 第 5 页（共 27 页） 加建国 70 年图片展，其作者年龄集中在25，85之间，根据统计结果，作出频率分布直 方图如图，已知第二组35
9、，45）与第三组45，55）的频数之和等于第四组55，65）的 频数，观察图形的信息，回答下列问题 （）求这位 100 作者年龄的样本平均数 （同一组数据用该区间的中点值作代表） （）该媒体平台从年龄在35，45）和65，75）的作者中，按照分层抽样的方法，抽出 来 8 人参加“纪念建国 70 年图片展”表彰大会，现要从中选出 3 人作为代表发言，设这 3 位发言者的年龄落在区间35，45）的人数是 ，求变量 的分布列和数学期望 20 （12 分）已知椭圆 C：1（ab0）的一个焦点与抛物线 y24x 的焦点 相同，且椭圆 C 过点（，） （）求椭圆 C 的标准方程； （）若椭圆 C 的右顶点
10、为 A，与 x 轴不垂直的直线 l 交椭圆 C 于 M，N 两点（MN 与 A 点不重合， ） ，且满足 AMAN，若点 P 为 MN 中点，求直线 MN 与 AP 的斜率之积的取 值范围 21 （12 分）已知函数 f（x）（x22x）lnx+kx4（5k+1）x3+2kx2+2x （）若 k0，求 f（x）的最大值； （）若 f（x）在（0，4）内存在唯一的极值点，求 k 的取值范围 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一如果多做，则按所做的第一 题计分题计分选修选修 44：坐标系与参数方程
11、：坐标系与参数方程 第 6 页（共 27 页） 22（10 分） 已知直线 l 的参数方程为（t 为参数） ， 曲线 C 的极坐标方程为 sin2 4cos0 线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，点 P（1，1） （）求直线 l 的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程； （）求的值 选修选修 45：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|x+1|+|2xm| （1）当 m1 时求不等式 f（x）4 的解集； （2）设关于 x 的不等式 f（x）|x3|的解集为 M，且0， M，求实数 m 的取值范围 第 7 页（共 27 页） 2019 年湖北省鄂东南省级示范高中教育教学
12、改革联盟学校高考年湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校高考 数学一模试卷（理科）数学一模试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的 1 （5 分）若复数 z 满足（34i）z5（1i） ，其中 i 为虚数单位，则 z 的虚部为（ ） A1 B C D1 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案 【解答】解：由（34i）z5（1i） ， 得 z z
13、 的虚部为 故选：C 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题 2 （5 分）已知集合 Ax|log2x1，Bx|x24x50，则 BRA（ ） Ax|1x2 Bx|1x5 Cx|1x2 Dx|2x5 【分析】求出集合的等价条件，结合补集交集的定义进行判断即可 【解答】解：Ax|log2x1x|x2，Bx|x24x50x|1x5， 则RAx|x2，BRAx|1x2， 故选：A 【点评】本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价，结合补集交集的定义是解决 本题的关键 3 （5 分）如图为某市国庆节 7 天假期的商品房日认购量（单位：套）与日成交量（单位： 套的折线图，
14、则下面结论中正确的是（ ） 第 8 页（共 27 页） A日成交量的中位数是 16 B日成交量超过日平均成交量的有 1 天 C日认购量与日期是正相关关系 D日认购量的方差大于日成交量的方差 【分析】根据折线图中数据分析可得 【解答】解：将日成交量按照从小到大排序得：119，32，26，18，16，13，8，故中位 数为 18； 日平均成交量为：33，故日成交量超过日平均成交 量的是第 7 天； 日认购量与日期不是正相关也不是负相关； 日认购量的方差大于日成交量的方差是正确的，因为日认购量的数据分布较分散些，方 差大些 故选：D 【点评】本题考查了频率分布折线
15、图，密度曲线，属中档题 4 （5 分）某公司的班车分别在 7：15，7：45，8：15 发车，某人在 7：40 至 8：20 之间到 达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过 10 分钟的概率 是（ ） A B C D 【分析】由几何概型中的线段型可得：他等车时间不超过 10 分钟的概率是， 得解 【解答】解：某人在 7：40 至 8：20 之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是 随机的，若他等车时间不超过 10 分钟， 则此人 7：407：45，8：058：15 到站满足要求， 由几何概型中的线段型可得： 第 9 页（共 27 页） 他等车时间不超过 10 分钟
16、的概率是， 故选：B 【点评】本题考查了几何概型中的线段型，属中档题 5 （5 分）已知函数 f（x）（x2） （ax+b）为偶函数，且在（0，+）上单调递减，则 f （1x）0 的解集为（ ） A （，1）（3，+） B （1，3） C （1，1） D （，1）（1+） 【分析】根据题意，由函数的解析式可得 f（2）的值，结合函数的奇偶性与单调性可得 f（1x）0f（|1x|）f（2）|x1|2，解可得 x 的取值范围，即可得答案 【解答】解：根据题意，函数 f（x）（x2） （ax+b） ，有 f（2）0， 又由 f（x）为偶函数，在（0，+）上单调递减，则 f（1x）0f（|
17、1x|）f（2） |x1|2， 解可得：1x3 即不等式的解集为（1，3） ； 故选：B 【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是得到关于 x 的不等式，属 于基础题 6 （5 分）我国古代的劳动人民曾创造了灿烂的中华文明，戍边的官兵通过在烽火台上举火 向国内报告，烽火台上点火表示数字 1，不点火表示数字 0，这蕴含了进位制的思想如 图所示的程序框图的算法思路就源于我国古代戍边官兵的“烽火传信”执行该程序框图， 若输入 a110101，k2，n6，则输出 b 的值为（ ） 第 10 页（共 27 页） A21 B43 C51 D53 【分析】由题意，b125+124+023+12
18、2+021+120，计算可得结论 【解答】解：由题意，b125+124+023+122+021+12053 故选：D 【点评】本题考查程序框图，考查学生的计算能力，正确读图是关键，属于基础题 7 （5 分）设 （x，y）|，给出下列两个命题：p：（x，y）， 2；q：（x，y），2x+y5，则下面命题中真命题是（ ） Apq Bpq Cpq Dq 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合进行判断即可 【解答】解：作出不等式对应的区域如图： 由图象知阴影部分都在直线 y12x 的上方， 阴影部分都在直线 2x+y50 的下方， 故命题 p 是假命题，q 是真命题， 第 11 页（共 27
19、 页） 则pq 为真命题，其余为假命题， 故选：B 【点评】本题主要考查复合命题真假关系的判断，利用二元一次不等式组表示平面区域， 利用数形结合判断命题 p，q 的真假是解决本题的关键 8 （5 分）已知函数 f（x）Asin（x+） （A0，0，|）的最大值为 2，其图 象相邻两条对称轴之间的距离为且 f（x）的图象关于点（，0）对称，则下列判 断不正确的是（ ） A要得到函数 f（x）的图象，只需将 y2cos2x 的图象向右平移个单位 B函数 f（x）的图象关于直线 x对称 Cx时，函数 f（x）的最小值为 D函数 f（x）在上单调递减 【分析】由题意
20、可求 A，f（x）的周期 T，利用周期公式可求 ，利用正弦函数的对称性 可求 ，可得 f（x）的解析式，利用正弦函数的图象和性质逐一分析各个选项即可判断 求解 【解答】解：函数 f（x）Asin（x+） （A0，0，|） ，函数的最大值是 2， A2， 其图象相邻两条对称轴之间的距离为， 第 12 页（共 27 页） T，解得：2， f（x）的图象关于点（，0）对称， 2（）+k，kZ，解得：k+，kZ， 又|，解得：可得：f（x）2sin（2x+） 对于 A，将 y2cos2x 的图象向右平移个单位， 可得：y2cos2（x）2cos（2x）2sin（2x+）的图象，故正确； 对于 B，由于
21、 2sin（2+）2，故正确； 对于 C，x时，2x+，可得 f（x）2sin（2x+）1， 2，故错误； 对于 D，由 x，可得：2x+，由正弦函数的图象和性质可 得函数 f（x）单调递减，故正确 故选：C 【点评】本题主要考查了由 yAsin（x+）的部分图象确定其解析式，正弦函数的图 象和性质，考查了计算能力和数形结合的方法，属于中档题 9 （5 分）湖北省按气象地理区划分为鄂西北、鄂东北、鄂西南、江汉平原、鄂东南 5 部分 （如图所示） 现在提供 5 种颜色给图中 5 个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相 邻区域颜色不同，则不同的涂色方案有（ ）种 A360 B420 C480 D
22、540 【分析】根据题意，分 2 步进行分析；，对于鄂西北、鄂西南、江汉平原三个区域， 由排列数公式计算三个区的情况数目，对于鄂东北、鄂东南，分 2 种情况讨论求出 涂色方案；由分步计数原理计算可得答案 【解答】解：根据题意，分 2 步进行分析； ，对于鄂西北、鄂西南、江汉平原三个区域，两两互相相邻，需要在 5 种颜色中任选 第 13 页（共 27 页） 3 种，有 A5360 种选法； ，对于鄂东北、鄂东南，分 2 种情况讨论：鄂东北的颜色与鄂西南颜色相同，则鄂东 南有 3 种颜色可选， 鄂东北的颜色与鄂西南颜色不相同，鄂东北有 2 种情况，鄂东南有 3 种颜色可选， 则鄂东北、鄂东南的涂色
23、方案有 3+329 种； 则不同的涂色方案 609540 种； 故选：D 【点评】本题考查分步计数原理的应用，涉及排列、组合的应用，属于基础题 10 （5 分）已知 F1，F2分别为双曲线 C：1（a0，b0）的左右焦点，过点 F1的直线 l 与双曲线 c 的左右两支分别交于 A， B 两点， 若 ABBF2， cosF1AF2， 则双曲线的离心率为（ ） A2 B C D 【分析】 运用双曲线的定义和直角三角形的正弦函数、 余弦函数定义， 计算即可得到|BF2| 2a，再在直角三角形 BF1F2中，运用勾股定理，结合离心率公式，计算即可得到 【解答】解：设|BF2|n， 由双曲线的定义可得，
24、|BF1|BF2|+2an+2a， 设|AF2|m，有|AF1|m2a， 即|AB|4a+nm， ABBF2，可得（4a+nm）2+n2m2， cosF1AF2即有 cosF2AB， sinF2AB， 解得 n2a，ma， 在直角三角形 BF1F2中， |F1F2|2|BF1|2+|BF2|2， 即有 4c2（2a+n）2+n2（4a）2+4a2， 即有 c25a2， 即离心率 e 第 14 页（共 27 页） 故选：B 【点评】本题考查双曲线的定义和性质，主要考查离心率的求法，同时考查解直角三角 形，运用双曲线的定义和勾股定理是解题的关键，属于中档题 11 （5 分）如图所示为某三棱锥的三视
25、图，若该三棱锥的体积为，则它的外接球表面积 为（ ） A B6 C12 D24 【分析】由三视图还原原几何体，再由分割补形法求它的外接球表面积 【解答】解：由三视图还原原几何体如图， ，所以 x2， 该几何体为三棱锥 PABC，则其外接球的半径为， 它的外接球表面积为 4 故选：B 【点评】本题考查由三视图还原原几何体，考查多面体外接球表面积的求法，训练了“分 第 15 页（共 27 页） 割补形法” ，是中档题 12 （5 分）已知 a0，函数 f（x）aex，g（x）ealnx+b，e 为自然对数的底数若存在一 条直线与曲线 yf（x）和 yg（x）均相切，则的取值范围为（ ） A （，e
26、 B （0，e C （，1 D （0，1 【分析】分别求得 f（x） ，g（x）的导数，设出切点，求得切线方程，可得 me1 t，b （1t）aetaelnm+ae，表达的函数式，求得右边函数的导数和最值即可 【解答】解：函数 f（x）aex，g（x）aelnx+b， f（x）aex，g（x），设切点分别为（t，aet） ， （m，aelnm+b） ， 与 f（x） ，yg（x）相切的直线方程为 yaetaet（xt） ，yaelnmb（xm） 由题意存在一条直线与曲线 yf（x）和 yg（x）均相切可得 aet，且 b（1t） aetaelnm+ae aet，已知 a0 （1t）
27、etelnm+e（1t）ete（1t）+eet+ettet 令 h（t）（1t）etelnm+e（1t）ete（1t）+eet+ettet h（t）tet+e， 当 t1 时，h（t）tet+e0， 当 t1 时，h（t）tet+e0，h（t）是单调递增函数 当 t1 时，h（t）tet+e0，h（t）是单调递减函数 h（t）et+ettet在当 t1 时取得最大值，最大值为 h（1）et+ettete 则的取值范围：e 故选：A 【点评】本题考查导数的综合运用运用，求切线方程以及运算能力求函数是最值问题， 属于中档题 二、填空题：本题有二、填空题：本题有 4 小题，每小题小题，每小题 5 分
28、，共分，共 20 分分 13 （5 分）已知向量 、 ，满足 （1，3） ，| |4，且（） ，则 在 上的投 影为 第 16 页（共 27 页） 【分析】由向量垂直的性质得 2+ 0，从而，由 此能求出 在 上的投影 【解答】解：向量 、 ，满足 （1，3） ，| |4，且（） ， 2+ 0， ， 在 上的投影为：| |cos 故答案为： 【点评】本题考查一个向量在另一个向量上的投影的求法，考查向量垂直的性质、投影 公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 14 （5 分）在（1+x）4（2x1）的展开式中，若 x2项的系数为 a， 2 【分析】由题意利用二项式展开
29、式的通项公式求得 a 的值，再根据定积分的意义以及运 算，求得结果 【解答】解： （1+x）4（2x1）（1+4x+6x2+4x3+x4） （2x1）的展开式中，若 x2项的 系数为 a862， dxxdx+dx0+ 222， 故答案为：2 【点评】本题主要考查二项式展开式的通项公式，定积分的意义以及运算，属于基础题 15 （5 分）已知圆 C： （x+1）2+（y1）24，直线：xy10 上有两个动点 A，B，且 |AB|2若圆 C 上存在点 P，使APB90，则线段 AB 中点 M 的横坐标取值范围为 1，2 【分析】问题转化为以 AB 为直径的圆 M 与圆 C 有公共点 【解
30、答】解：问题转化为以 AB 为直径的圆 M 与圆 C 有公共点， 设 M（a，a1） ，圆 M 的半径为 1，圆 M 的方程为： （xa）2+（ya+1）21， 依题意得 21|MC|2+1，即 1|MC|3， 第 17 页（共 27 页） 1（a+1）2+（a11）29，即， 解得1a2 故答案为：1，2 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题 16 （5 分）如图所示，在平面四边形 ABCD 中，AB1，BC2，ADCD，ADC120， 则 ABCD 面积的最大值为 【分析】根据 SABCDSADC+SABC，将面积用角 B 表示，然后利用三角函数的图象与性 质求解即可
31、 【解答】解：在ADC 中，ADCD，ADC120， 设 ADx，则 CDx，AC， 在ABC 中，由余弦定理有， ， SABCDSADC+SABC ， 当，即时，SABCD的最大值为： 故答案为： 【点评】本题考查了解三角形中的余弦定理和面积公式，关键是将面积用角表示，属中 档题 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 17-21 题为必做考题，题为必做考题， 第 18 页（共 27 页） 个试题考生都必须作答个试题考生都必须作答.第第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.
32、（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分 17 （12 分）已知数列an的前 n 项和为 Sn，且 2Sn3n+， （其中 、p 为常数） ，又 a1 1，a23 （）求数列an的通项公式； （）设 bn1+2log3an，求数列anbn的前 n 项和 Tn 【分析】 （）分别令 n1，2 解方程可得 1，1，即 2Sn3n1，再将 n 换为 n 1，相减可得所求通项公式； （）求得 bn2n1，anbn（2n1） 3n 1，再由数列的错位相减法求和，以及等比数 列的求和公式，计算可得所求和 【解答】解： （）2Sn3n+， （其中 、p 为常数） ，又 a11，a23， 可得 n1 时，
33、3+2，n2 时，2（1+3）9+8， 解得 1，1， 即 2Sn3n1，当 n2 时，2Sn13n 11， 两式相减可得 2an23n 1， 即有 an3n 1，对 n1 也成立， 则 an3n 1，nN*； （）bn1+2log3an1+2（n1）2n1， anbn（2n1） 3n 1， 前 n 项和 Tn11+33+59+（2n1） 3n 1， 3Tn13+39+527+（2n1） 3n， 相减可得2Tn1+2（3+9+3n 1）（2n1） 3n 1+2（2n1） 3n， 化简可得 Tn1+（n1） 3n 【点评】本题考查数列的递推式的运用，考查数列的错位相减法求和，以及等比数列的 求和
34、公式，考查方程思想和运算能力，属于基础题 18 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，ABCD，AB1，CD3，AP2，DP2， PAD60，AB平面 PAD，点 M 在棱 PC 上 （）求证：平面 PAB平面 PCD； （）若直线 PA平面 MBD，求此时锐二面角 MBDC 的余弦值 第 19 页（共 27 页） 【分析】 （）推导出 ABDP，由，得 sinPDA，从而 PDA30，APD90，进而 DPAP，由此能证明 DP平面 PAB，从而平面 PAB 平面 PCD （）以点 A 为坐标原点，在平面 APD 中过 A 作 AD 的垂线为 x 轴，AD 所在直线为 y 轴，AB 所
35、在直线为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出锐二面角 MBDC 的余弦值 【解答】证明： （）AB平面 PAD，ABDP， DP2，AP2，PAD60， 由，解得 sinPDA， PDA30，APD90，即 DPAP， ABAPA，DP平面 PAB， DP平面 PCD，平面 PAB平面 PCD 解： （）以点 A 为坐标原点，在平面 APD 中过 A 作 AD 的垂线为 x 轴， AD 所在直线为 y 轴，AB 所在直线为 z 轴，建立空间直角坐标系， A（0，0，0） ，B（0，0，1） ，C（0，4，3） ，D（0，4，0） ，P（） ， （0，4，1） ，（） ，（） ， 设，
36、从而得 M（，3+1，31） ， （，3+1，31） ， 设平面 MBD 的法向量 （x，y，z） ， 直线 PA平面 MBD， 第 20 页（共 27 页） ，即， 解得 ，取 x，得 （，3，12） ， 又平面 MBC 的一个法向量 （1，0，0） ， cos， 锐二面角 MBDC 的余弦值为 【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线 面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题 19 （12 分）今年，我们将迎来中华人民共和国 70 周年华诞，70 年披荆斩棘，70 年砥砺奋 进，70 年风雨兼程，70 年沧
37、桑巨变，勤劳勇敢的中国人用自己的双手创造了一项项辉煌 的成绩，取得了令人瞩目的成就某媒体平台开设了“壮丽 70 年奋斗新时代”专栏，收 到了来自全国各地的纪念建国 70 年变化的老照片， 并从众多作品中抽取了 100 张照片参 加建国 70 年图片展，其作者年龄集中在25，85之间，根据统计结果，作出频率分布直 方图如图，已知第二组35，45）与第三组45，55）的频数之和等于第四组55，65）的 频数，观察图形的信息，回答下列问题 （）求这位 100 作者年龄的样本平均数 （同一组数据用该区间的中点值作代表） （）该媒体平台从年龄在35，45）和65，75）的作者中，按照分层抽样的方法，抽出
38、 来 8 人参加“纪念建国 70 年图片展”表彰大会，现要从中选出 3 人作为代表发言，设这 3 位发言者的年龄落在区间35，45）的人数是 ，求变量 的分布列和数学期望 第 21 页（共 27 页） 【分析】 （） 根据概率的性质频率之和为 1 列式可得 a， b， 再利用直方图可求得平均数； （）根据古典概型的概率公式求得概率和分布列，期望 【解答】解： （）设第三组45，55） ，第四组55，56）的频率分别为 a，b，则 ， 解得， 所以年龄在第三组45，55）之间的频率为 0.15，在第四组55，65）之间的频率为 0.3， 这 100 位作者年龄的样本平均数为：300.
39、1+400.15+500.15+600.3+70 0.25+800.0556 （）根据分层抽样的原理，可知这 8 人中年龄在35，45）内有 3 人，在65，75）内有 5 人， 故 可能的取值为 0，1，2，3， P（0）， P（1）， P（2）， P（3）， 所以 的分布列为： 0 1 2 3 P 第 22 页（共 27 页） 所以 E（）0+1+2+3 【点评】本题考查了离散型随机变量的期望与方差，属中档题 20 （12 分）已知椭圆 C：1（ab0）的一个焦点与抛物线 y24x 的焦点 相同，且椭圆 C 过点（，） （）求椭圆 C 的标准方程； （）若椭圆 C 的右顶点为 A，与 x
40、轴不垂直的直线 l 交椭圆 C 于 M，N 两点（MN 与 A 点不重合， ） ，且满足 AMAN，若点 P 为 MN 中点，求直线 MN 与 AP 的斜率之积的取 值范围 【分析】 （I）根据焦点坐标和椭圆过点（，）列方程组求出 a，b 的值即可得出椭圆 方程； （II）设 AM 斜率为 k，用 k 表示出 M 的坐标，同理求出 N 点坐标，根据根与系数的关系 计算直线 MN 与 AP 的斜率之积，得出关于 k 的函数，利用基本不等式和 k 的范围得出答 案 【解答】解： （I）抛物线 y24x 的焦点为（，0） ， c， 又椭圆过点（，） ，即1， 解得：a2，b1， 椭圆 C 的标准方程
41、为：+y21 （II）题意的右顶点为 A（2，0） ，由题意可知直线 AM 的斜率存在且不为 0， 设 AM 的方程为 yk（x2） ，由 MN 与 x 轴不垂直，故 k1 联立方程组，消元可得： （1+4k2）x216k2x+16k240， 第 23 页（共 27 页） 设 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ， 由根与系数的关系可得：2x1，故 x1，y1k（x12）， AMAN，故直线 AN 的方程为 y（x2） ， 用替换 k 可得：x2，y2， P 点坐标为 P（，） ， 直线 PA 的斜率 k1， 直线 MN 的斜率 k2， k1k2， k20 且 k21，2k2+24， 0 即
42、 k1k2（0，） 直线 MN 与 AP 的斜率之积的取值范围是（0，） 【点评】本题考查了椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，属于中档题 21 （12 分）已知函数 f（x）（x22x）lnx+kx4（5k+1）x3+2kx2+2x （）若 k0，求 f（x）的最大值； （）若 f（x）在（0，4）内存在唯一的极值点，求 k 的取值范围 【分析】 （）将 k0 代入 f（x）中，对 f（x）求导判断其单调性，然后根据其单调性 得到最大值； 第 24 页（共 27 页） （）由条件可得 f（x）（x1）2lnx+kx2（4k+1）x，令 h（x）2lnx+kx2（4k+1） x（0x4） ，根据
43、 h（x）的符号判断 f（x）的单调情况，结合条件得到 k 的取值范围 【解答】解： （）当 k0 时，f（x）（x0） ，则 f（x）2（x1）lnxx2+x（x1） （2lnxx） ， 令 g（x）2lnxx（x0） ，则 g（x）， 当 0x2 时，g（x）0，此时 g（x）单调递增； 当 x2 时，g（x）0，此时 g（x）单调递减， 当 x0 时，g（x）g（2）2（ln21）0， 又 f（x）（x1）g（x） ，当 0x1 时，f（x）0，此时 f（x）单调递增； 当 x1 时，f（x）0，此时 f（x）单调递减， ，即当 k0 时，f（x）的最大值为：； （）f（x）
44、（x22x）lnx+kx4（5k+1）x3+2kx2+2x，0x4， f（x）（x1）2lnx+kx2（4k+1）x， 令 h（x）2lnx+kx2（4k+1）x（0x4） ，则， 当 k0 时，2kx10，当 0x2 时，h（x）0，此时 h（x）单调递增； 当 2x4 时，h（x）0，此时 h（x）单调递减， 又h（4）2（ln21）0，0e2k1， h（e2k）4k+ke4k4ke2ke2k4k4ke2k4k（1e2k）0，即 h（e2k）0， 当 h（x）maxh（2）0，即， 在（0，1）上，h（x）0；在（1，4）上，h（x）0， 此时 x1 是 h（x）在（0，4）内唯一的极值点，且为极大值点； 当 h（x）maxh（2）0，即时， h（x）在（0，2）和（2，4）上分别存在唯一的零点 x1和 x2， 若 x11，即时，在（0，1）上，x10，h（x）0，f（x）0； 在（1，x2）上，x10，h（x）0，f（x）0； 在（x2，4）上，x10，h（x）0，f（x）0 此时 xx2是 f（x）在（0，4）内唯一的极值点，且为极大值点 第 25 页（共 27 页） 若 x11 时，f（x）在（0，4）内存在三个极值点，不符合 当 k0 时，h（x）2lnx+kx2（4k+1）x2lnx+kx（x4）x2lnxx0， 类似，可
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