1、若复数 z 满足 z（1+i）5+3i，其中 i 为虚数单位，则 z 的虚部为（ ） A4 Bi C1 D 2 （5 分）已知集合 Ax|log2x1，Bx|0，则 B（RA）（ ） Ax|2x5 Bx|1x5 Cx|1x2 Dx|1x2 3 （5 分）如图为某市国庆节 7 天假期的商品房日认购量（单位：套）与日成交量（单位： 套的折线图，则下面结论中正确的是（ ） A日成交量的中位数是 16 B日成交量超过日平均成交量的有 1 天 C日认购量与日期是正相关关系 D日认购量的方差大于日成交量的方差 4 （5 分）已知命题 p：xN*， （）x（）x（e 为自
2、然对数的底数） ；命题 q：xR， 使得 3x+31 x2 ，则下列命题是真命题的是（ ） Apq B （p）q Cp（q） D （p）（q） 5 （5 分）已知函数 f（x）（x2） （ax+b）为偶函数，且在（0，+）上单调递减，则 f （1x）0 的解集为（ ） A （，1）（3，+） B （1，3） C （1，1） D （，1）（1+） 6 （5 分）已知向量 、 满足| |2，且（ + ） ，则 在 上的投影为（ ） A2 B2 C D 第 2 页（共 25 页） 7 （5 分）已知等比数列an各项均为正数，满足 a2a1616，记等比数列an 的前 n 项的积为 Tn，
3、则当 Tn取得最大值时，n（ ） A8 或 9 B9 或 10 C10 或 11 D11 或 12 8 （5 分）已知双曲线 C：1（ab0）的离心率为，则它的一条渐近线被圆 x2+y26x0 截得的线段长为（ ） A B2 C D3 9 （5 分）我国古代的劳动人民曾创造了灿烂的中华文明，戍边的官兵通过在烽火台上举火 向国内报告，烽火台上点火表示数字 1，不点火表示数字 0，这蕴含了进位制的思想如 图所示的程序框图的算法思路就源于我国古代戍边官兵的“烽火传信”执行该程序框图， 若输入 a110101，k2，n6，则输出 b 的值为（ ） A21 B43 C51 D53 第 3 页（共 25
4、页） 10 （5 分）已知函数 f（x）Asin（x+） （A0，0|）的最大值为，其 图象相邻两条对称轴之间的距离为，且 f（x）的图象关于点（，0）对称，则下 列判断正确的是（ ） A要得到函数 f（x）的图象，只需将 ycos2x 的图象向右平移个单位 B函数 f（x）的图象关于直线 x对称 Cx时，函数 f（x）的最小值为 D函数 f（x）在上单调递增 11 （5 分）已知 F1，F2是双曲线的两个焦点，点 A 是双曲线的 右顶点，M（x0，y0） （x00，y00）是双曲线的渐近线上一点，满足 MF1MF2，如果 以点 A 为焦点的抛物线 y22p
5、x（p0）经过点 M，则此双曲线的离心率为（ ） A B2 C D 12 （5 分）已知直线 l 即是曲线 C1：yex的切线，又是曲线 C2：ye2x2的切线，则直 线 l 在 x 轴上的截距为（ ） A2 B1 Ce2 De2 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分，请将答案填在答题卡对应题号的位分，请将答案填在答题卡对应题号的位 置上置上.答错位置、书写不清、模棱两可均不得分答错位置、书写不清、模棱两可均不得分 13 （5 分）已知 x，y 满足，则 z2xy 的最大值为 14 （5 分）设计下面的实验
6、来估计圆周率 的值：从区间0，1内随机抽取 200 个实数对 （x，y） ，其中 x，y，1 三个数能构成三角形且为钝角三角形的数对（x，y）共有 58 个， 则用随机模拟的方法估计 的近似值为 15 （5 分） 已知圆锥的顶点为 S， 母线 SA 与圆锥底面所成的角为 30， 若圆锥的体积为 8， 则此圆锥的侧面积为 16 （5 分）正项数列an满足 a11，a2，且anan+1是公比为的等比数列，则使不等 式2019 成立的最小整数 n 为 第 4 页（共 25 页） 三、解答题：本大题三、解答题：本大题 6 小题，共小题，共 70 分
7、，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （12 分）已知菱形 ABCD 中，DAB60，E 是边 BC 上一点，线段 DE 交 AC 与点 F （1）若DCE 的面积为，DE，求菱形的边长 AB （2）若，求 cosDFC 18 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD中，ABCD，AB1，CD3，AP2，DP2， PAD60，AB平面 PAD，点 M 在棱 PC 上 （）求证：平面 PAB平面 PCD； （）若直线 PA平面 MBD，求此时三棱锥 PMBD 的体积 19 （12 分）某大学就业部从该大学 2018 年毕业且已就业的大
8、学本科生中随机抽取了 100 人进行了问卷调查，其中有一项是他们的薪酬，经调查统计，他们的月薪在 3000 元到 10000 元之间，根据统计数据得到如下频率分布直方图： 若月薪在区间（ 2s， +2s）的左侧，则认为该大学本科生属“就业不理想”的学生， 学校将与本人联系， 为其提供更好的指导意见其中 ， s 分别是样本平均数和样本标准差， 计算得 s1500（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） 第 5 页（共 25 页） （1） 现该校 2018 届本科毕业生张静的月薪为 3600 元， 判断张静是否属于 “就业不理想” 的学生？用样本估计总体， 从该校 2018 届本科毕业生随机选取
9、一人， 属于 “就业不理想” 的概率？ （2）为感谢同学们对调查的支持配合，该校利用分层抽样的方法从样本的前 3 组中抽出 6 人，每人赠送一份礼品，并从这 6 人中再抽取 2 人，每人赠送新款某手机 1 部，求获赠 手机的 2 人中恰有 1 人月薪不超过 5000 元的概率； 20 （12 分）已知椭圆 C：1（ab0）的离心率为，且经过点（，1） （1）求椭圆 C 的方程； （2）过点 P（0，2）作直线交椭圆 C 于 A，B 两点，若点 B 关于 y 轴的对称点为 B，证 明直线 AB过定点 21 （12 分）已知函数 f（x）x2+ax+lnx（aR） （1）当 a3 时，求 f（x）
10、的极值； （2）若 x1，x2（x1x2）是函数 f（x）的两个极值点，求 f（x2）f（x1）的取值范围 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一如果多做，则按所做的第一 题计分题计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22（10 分） 已知直线 l 的参数方程为（t 为参数） ， 曲线 C 的极坐标方程为 sin2 4cos0 线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，点 P（1，1） （）求直线 l 的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程； （）求的值 选修选修 4
11、5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|x+1|+|2xm| 第 6 页（共 25 页） （1）当 m1 时求不等式 f（x）4 的解集； （2）设关于 x 的不等式 f（x）|x3|的解集为 M，且0， M，求实数 m 的取值范围 第 7 页（共 25 页） 2019 年湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校高考年湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校高考 数学一模试卷（文科）数学一模试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，在每个小题给出的四个
12、选项中，分，在每个小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的. 1 （5 分）若复数 z 满足 z（1+i）5+3i，其中 i 为虚数单位，则 z 的虚部为（ ） A4 Bi C1 D 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案 【解答】解：由 z（1+i）5+3i， 得 z z 的虚部为1 故选：C 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题 2 （5 分）已知集合 Ax|log2x1，Bx|0，则 B（RA）（ ） Ax|2x5 Bx|1x5 Cx|1x2 Dx|1x2 【分析】求出集合的等价条件，结合补集交集的定义
13、进行求解即可 【解答】解：Ax|log2x1x|x2，Bx|0x|1x5， 则RAx|x2，B（RA）x|1x2， 故选：D 【点评】本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件以及利用补集交集的定义 是解决本题的关键 3 （5 分）如图为某市国庆节 7 天假期的商品房日认购量（单位：套）与日成交量（单位： 套的折线图，则下面结论中正确的是（ ） 第 8 页（共 25 页） A日成交量的中位数是 16 B日成交量超过日平均成交量的有 1 天 C日认购量与日期是正相关关系 D日认购量的方差大于日成交量的方差 【分析】根据折线图中数据分析可得 【解答】解：将日
14、成交量按照从小到大排序得：119，32，26，18，16，13，8，故中位 数为 18； 日平均成交量为：33，故日成交量超过日平均成交 量的是第 7 天； 日认购量与日期不是正相关也不是负相关； 日认购量的方差大于日成交量的方差是正确的，因为日认购量的数据分布较分散些，方 差大些 故选：D 【点评】本题考查了频率分布折线图，密度曲线，属中档题 4 （5 分）已知命题 p：xN*， （）x（）x（e 为自然对数的底数） ；命题 q：xR， 使得 3x+31 x2 ，则下列命题是真命题的是（ ） Apq B （p）q Cp（q） D （p）（q） 【分析】根据条件判断命题 p，q 的真假，结合复
15、合命题真假关系进行判断即可 【解答】解：xN*，则幂函数在（0，+）上为增函数，则：xN*， （）x（）x 成立，即命题 p 是真命题， 3x+31 x2 2，当且仅当 3x31 x，即 x1x，x 时取等号，即命 题 q 是真命题， 则 pq 是真命题，其余为假命题， 故选：A 第 9 页（共 25 页） 【点评】本题主要考查复合命题真假关系应用，根据条件判断命题的真假是解决本题的 关键 5 （5 分）已知函数 f（x）（x2） （ax+b）为偶函数，且在（0，+）上单调递减，则 f （1x）0 的解集为（ ） A （，1）（3，+） B （1，3） C （1，1） D （，1）
16、（1+） 【分析】根据题意，由函数的解析式可得 f（2）的值，结合函数的奇偶性与单调性可得 f（1x）0f（|1x|）f（2）|x1|2，解可得 x 的取值范围，即可得答案 【解答】解：根据题意，函数 f（x）（x2） （ax+b） ，有 f（2）0， 又由 f（x）为偶函数，在（0，+）上单调递减，则 f（1x）0f（|1x|）f（2） |x1|2， 解可得：1x3 即不等式的解集为（1，3） ； 故选：B 【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是得到关于 x 的不等式，属 于基础题 6 （5 分）已知向量 、 满足| |2，且（ + ） ，则 在 上的投影为（ ） A2 B2
17、 C D 【分析】由已知向量垂直得到数量积为 0，求出向量的数量积的值，然后求解 在 上的 投影 【解答】解：向量 、 满足| |2，且（ + ） ， 可得 + 20， 4， 则 在 上的投影为：2 故选：B 【点评】此题考查了平面向量数量积运算，熟练掌握平面向量数量积运算法则是解本题 的关键 第 10 页（共 25 页） 7 （5 分）已知等比数列an各项均为正数，满足 a2a1616，记等比数列an 的前 n 项的积为 Tn，则当 Tn取得最大值时，n（ ） A8 或 9 B9 或 10 C10 或 11 D11 或 12 【分析】利用等比数列通项公式求出 q，a11024，由1024（）
18、n 11，得 n11，a 101024 2，a1110241，由此能求出当 Tn取得 最大值时，n 的值 【解答】解：等比数列an各项均为正数，满足 a2a1616， ， q3，q， 解得 a11024， 1024（）n 11， 解得 n11，a1010242，a1110241， 记等比数列an的前 n 项的积为 Tn， 则当 Tn取得最大值时，n10 或 11 故选：C 【点评】本题考查等比数列的前 n 项积最大时项数 n 的求法，考查等比数列的性质等基 础知识，考查运算求解能力，是基础题 8 （5 分）已知双曲线 C：1（ab0）的离心率为，则它的一条渐近线被圆 x2+y26x0 截得的线
19、段长为（ ） A B2 C D3 【分析】根据双曲线的离心率得到双曲线是等轴双曲线，得到双曲线的渐近线方程为 y x，联立方程求出交点坐标即可得到结论 【解答】解：双曲线 C：1（ab0）的离心率为， 第 11 页（共 25 页） 双曲线的一条渐近线为 yx， 代入 x2+y26x0 得 x2+2x26x0， 即 x22x0，得 x0 或 x2， 对应的 y0 或 y， 则交点坐标为 A（0，0） ，B（2，2） ， 则|AB|2， 故选：B 【点评】本题主要考查双曲线的性质以及直线和圆相交的弦长的计算，根据双曲线的离 心率得到双曲线是等轴双曲线是解决本题的关键 9 （5 分）我国古代的劳动人
20、民曾创造了灿烂的中华文明，戍边的官兵通过在烽火台上举火 向国内报告，烽火台上点火表示数字 1，不点火表示数字 0，这蕴含了进位制的思想如 图所示的程序框图的算法思路就源于我国古代戍边官兵的“烽火传信”执行该程序框图， 若输入 a110101，k2，n6，则输出 b 的值为（ ） A21 B43 C51 D53 第 12 页（共 25 页） 【分析】由题意，b125+124+023+122+021+120，计算可得结论 【解答】解：由题意，b125+124+023+122+021+12053 故选：D 【点评】本题考查程序框图，考查学生的计算能力，正确读图是关键，属于基础题 10 （5 分）已知
21、函数 f（x）Asin（x+） （A0，0|）的最大值为，其 图象相邻两条对称轴之间的距离为，且 f（x）的图象关于点（，0）对称，则下 列判断正确的是（ ） A要得到函数 f（x）的图象，只需将 ycos2x 的图象向右平移个单位 B函数 f（x）的图象关于直线 x对称 Cx时，函数 f（x）的最小值为 D函数 f（x）在上单调递增 【分析】根据条件求出函数的解析式，分别利用对称性，单调性和最值性的性质进行判 断即可 【解答】解：由题意知 A，得 T，即 得 2， 则 f（x）sin（2x+） ， f（x）的图象关于点（，0）对称， 2+k，得 k+，kZ
22、， |， 当 k0 时， ， 即 f （x） sin （2x+） cos （2x+） cos（2x+）cos（2x） ， ycos2x 的图象向右平移个单位， 得到 ycos2 （x） cos （2x） ， 故 A 正确， 由 2x+k+得 x+， 则当 k0 时，x，k1 时，x，k2 时，x，即 x时，不是对称 轴，故 B 错误， 第 13 页（共 25 页） x，2x+，则当 2x+时，函数取得最小值 为 f（x）sin（），故 C 错误， 当 x，2x+，此时 f（x）不是单调函数，故 D 错误， 故正确的是 A， 故选：A 【点评】本题主要考查与三角函数图象和性质有关的命题的真假判断
23、，根据条件求出函 数的解析式，结合三角函数的单调性对称性最值以及图象变换关系是解决本题的关键 11 （5 分）已知 F1，F2是双曲线的两个焦点，点 A 是双曲线的 右顶点，M（x0，y0） （x00，y00）是双曲线的渐近线上一点，满足 MF1MF2，如果 以点 A 为焦点的抛物线 y22px（p0）经过点 M，则此双曲线的离心率为（ ） A B2 C D 【分析】设 M（x0，y0） ，F1（c，0） ，F2（c，0） ，由 MF1MF2以及点 M（x0，y0） 在直线 yx 和抛物线 y24ax 上，列出方程，然后最后求解双曲线的离心率即可 【解答】解：设 M（x0，y0） ，F1（c，
24、0） ，F2（c，0） ，A（a，0） 又点 M（x0，y0）在直线 yx 上， 以点 A 为焦点的抛物线 y22px（p0）即为 y24ax， 解得 x0，y0， MF1MF2， （cx0，y0） （cx0，y0）x02c2+y02c2+0， 整理可得e2+0， 设 e21t， 第 14 页（共 25 页） 则t1+0， 解得 t6， 即 e216， 解得 e 故选：D 【点评】本题考查抛物线以及双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力， 属于中档题 12 （5 分）已知直线 l 即是曲线 C1：yex的切线，又是曲线 C2：ye2x2的切线，则直 线 l 在 x 轴上的
25、截距为（ ） A2 B1 Ce2 De2 【分析】设出直线 l 与两曲线的切点，分别求出两曲线在切点处的切线方程，由斜率与 截距相等列式求得切点的横坐标，代入切线方程，则答案可求 【解答】解：设直线 l 与曲线 C1：yex的切点为（） ，与曲线 C2：ye2x2 的切点为（） ， 由 yex，得，由 ye2x2，得， 直线 l 的方程为，或， 则，解得 x1x22 直线 l 的方程为：ye2e2（x2） ，取 y0，可得 x1 直线 l 在 x 轴上的截距为 1 故选：B 【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查计算能力，是中档题 二、填空题：本大二、填空题：本
26、大题共题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分，请将答案填在答题卡对应题号的位分，请将答案填在答题卡对应题号的位 置上置上.答错位置、书写不清、模棱两可均不得分答错位置、书写不清、模棱两可均不得分 13 （5 分）已知 x，y 满足，则 z2xy 的最大值为 2 第 15 页（共 25 页） 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数 z 的几何意义，进行平移，结合 图象得到 z2xy 的最大值 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图： （阴影部分） 由 z2xy 得 y2xz， 平移直线 y2xz， 由图象可知当直线 y2xz 经过点 B（1，0）
27、时， 直线 y2xz 的截距最小， 此时 z 最大 即 zmax2102， 故答案为：2 【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数 学思想是解决此类问题的基本方法 14 （5 分）设计下面的实验来估计圆周率 的值：从区间0，1内随机抽取 200 个实数对 （x，y） ，其中 x，y，1 三个数能构成三角形且为钝角三角形的数对（x，y）共有 58 个， 则用随机模拟的方法估计 的近似值为 【分析】根据三角形的性质求出 x，y 满足的条件，得出数对（x，y）对于的平面区域， 根据模拟法计算此区域的面积得出 的值 【解答】解：根据题意，若 x，y，1
28、组成钝角三角形，且 x，y0，1， 则 x2+y21，且 x+y1 在平面坐标系中作出边长为 1 的正方形 OABC 和单位圆， 则符合条件的数对表示的点的区域为阴影部分弓形， 第 16 页（共 25 页） 则有， 变形可得：， 故答案为： 【点评】本题考查了模拟法与几何概型的计算，注意分析利用余弦定理分析 x，y，1 组 成钝角三角形的条件 15 （5 分） 已知圆锥的顶点为 S， 母线 SA 与圆锥底面所成的角为 30， 若圆锥的体积为 8， 则此圆锥的侧面积为 8 【分析】根据题意画出图形，结合图形设圆锥的高为 h，表示出底面半径和母线长， 利用圆锥的体积求出 h，再计算圆锥的侧面积 【
29、解答】解：如图所示， 由题意设圆锥的高为 h，则底面半径为h，母线长为 l2h； 所以圆锥的体积为 V圆锥3h2h8， 解得 h2，r2，l4， 所以此圆锥的侧面积为 第 17 页（共 25 页） S侧面积rl248 故答案为：8 【点评】本题考查了圆锥的体积与侧面积计算问题，是基础题 16 （5 分）正项数列an满足 a11，a2，且anan+1是公比为的等比数列，则使不等 式2019 成立的最小整数 n 为 6 【分析】运用等比数列的定义和通项公式，可得数列中的奇数项和偶数项都以为公比 的等比数列，再由等比数列的求和公式和不等式的解法，即可得到所求最小值 【解答】解：正项数列an满足 a1
30、1，a2，且anan+1是公比为的等比数列， 可得 anan+1 （）n 1（ ）n， 可得， 可得数列中的奇数项和偶数项都以为公比的等比数列， 可得（1+3+3n）+（3+9+3n） 1+233n+12， 由 3n+122019，可得 3n+12021， 即有 n6，可得 n 的最小值为 6 故答案为：6 【点评】本题考查等比数列的通项公式和前 n 项和，以及不等式的解法，考查运算能力， 属于中档题 三、解答题：本大题三、解答题：本大题 6 小题，共小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （12 分）已知菱形 ABCD 中，
31、DAB60，E 是边 BC 上一点，线段 DE 交 AC 与点 F （1）若DCE 的面积为，DE，求菱形的边长 AB （2）若，求 cosDFC 第 18 页（共 25 页） 【分析】 （1）利用面积公式和余弦定理分别建立关于 CD，CE 的方程，然后解方程即可； （2）利用正弦定理求出 sinCDF，然后求出 cosDFC 即可 【解答】解： （1）在DCE 中，设 CDx，CEy（xy） ， 则 Sxysin60，xy2， DE2x2+y22xycos60x2+y25， 解得 x2，y1，菱形的边长 ABCD2； （2）在DCF 中，DCF30， 由正弦定理得 s
32、inCDF， E 是边 BC 上一点，CDECDB60，cosCDF， 则 cosDFCcos（CDF+30）cos（CDF+30） 【点评】本题考查了正弦定理余弦定理和面积公式，考查了计算能力，属基础题 18 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD中，ABCD，AB1，CD3，AP2，DP2， PAD60，AB平面 PAD，点 M 在棱 PC 上 （）求证：平面 PAB平面 PCD； （）若直线 PA平面 MBD，求此时三棱锥 PMBD 的体积 【分析】 （）推导出 ABDP，DPAP，从而 DP平面 PAB，由此能证明平面 PAB 平面 PCD （）连结 AC，与 BD 交于点 N，连结
33、MN，推导出ABNCDN，PM，由 VPMBDVPBCDVMBCD， 得， 由此能求出三棱 锥 PMBD 的体积 【解答】证明： （）AB平面 PAD，ABDP， 第 19 页（共 25 页） DP2，AP2，PAD60， 由，得 sinPDA，PDA30， APD90，DPAP， ABAPA，DP平面 PAB， DP平面 PCD，平面 PAB平面 PCD 解： （）连结 AC，与 BD 交于点 N，连结 MN， PA平面 MBD，MN 为平面 PAC 与平面 MBD 的交线， PAMN， 在四边形 ABCD 中，ABCD，ABNCDN， 3，3，PM， AB平面 PAD，ABAD，且面 AP
34、D面 ABCD， 在平面 PAD 中，作 POAD，则 PO平面 ABCD， VPMBDVPBCDVMBCD， ， CD3，2， 三棱锥 PMBD 的体积 V 【点评】本题考查面面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、 面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 19 （12 分）某大学就业部从该大学 2018 年毕业且已就业的大学本科生中随机抽取了 100 人进行了问卷调查，其中有一项是他们的薪酬，经调查统计，他们的月薪在 3000 元到 10000 元之间，根据统计数据得到如下频率分布直方图： 第 20 页（共 25 页） 若月薪在区间（ 2s， +2s）的
35、左侧，则认为该大学本科生属“就业不理想”的学生， 学校将与本人联系， 为其提供更好的指导意见其中 ， s 分别是样本平均数和样本标准差， 计算得 s1500（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） （1） 现该校 2018 届本科毕业生张静的月薪为 3600 元， 判断张静是否属于 “就业不理想” 的学生？用样本估计总体， 从该校 2018 届本科毕业生随机选取一人， 属于 “就业不理想” 的概率？ （2）为感谢同学们对调查的支持配合，该校利用分层抽样的方法从样本的前 3 组中抽出 6 人，每人赠送一份礼品，并从这 6 人中再抽取 2 人，每人赠送新款某手机 1 部，求获赠 手机的 2 人中
36、恰有 1 人月薪不超过 5000 元的概率； 【分析】 （1）求出 ，由此能求出（ 2s， +2s）（3650，9650） ，由 36003650， 得到张静静属于“就业不理想”的学生 （2）分层抽样从前 3 组抽取 6 人，分别有 1 人，2 人，3 人，记为 1，2，3，4，5，6， 6 人中选 2 人，利用列举法能求出赠手机的 2 人种恰有 1 人月薪不超过 5000 元的概率 【解答】解： （1） 35000.05+45000.1+55000.15+65000.3+75000.2+8500 0.15+95000.056650， （ 2s， +2s）（3650，9650） ， 36003
37、650， 故张静静属于“就业不理想”的学生 （2）分层抽样从前 3 组抽取 6 人，分别有 1 人，2 人，3 人，记为 1，2，3，4，5，6， 6 人中选 2 人，有 15 种选法，恰有 1 人不超过 5000 的结果为： 14，15，16，24，25，26，34，35，36，共 9 种， 赠手机的 2 人种恰有 1 人月薪不超过 5000 元的概率 P 【点评】本题考查日用水量数据的频率分布直方图、概率、平均数的求法，考查古典概 第 21 页（共 25 页） 型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 20 （12 分）已知椭圆 C：1（ab0）的离心率为，且经过点（，
38、1） （1）求椭圆 C 的方程； （2）过点 P（0，2）作直线交椭圆 C 于 A，B 两点，若点 B 关于 y 轴的对称点为 B，证 明直线 AB过定点 【分析】 （1）由已知椭圆离心率可得 ac，bc，得到椭圆方程为，把 已知点的坐标代入求得 c，则椭圆方程可求； （2）当 AB 不垂直与 x 轴时，设直线 AB 的方程为 ykx+2（k0） ，与椭圆方程联立， 利用根与系数的关系及准线方程点斜式求得直线 AB的方程，取 x0 时，求得 y1，可 得直线 AB过定点 【解答】 （1）解：由题意可知：ac，bc 方程为， 把点（，1）代入方程，解得 c 椭圆 C 的方程为：； （2）证明：当
39、 AB 不垂直与 x 轴时，设直线 AB 的方程为 ykx+2（k0）代入 x2+2y2 4， 得（2k2+1）x2+8kx+40，由0，得， 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，则 B（x2，y2） ， ， AB：， 令 x0，得 第 22 页（共 25 页） 直线 AB过定点（0，1） ，当 AB 垂直于 x 轴时，AB即为 y 轴，过（0，1） 直线 AB过定点（0，1） 【点评】本题考查椭圆的几何性质，涉及直线与椭圆的位置关系，注意利用椭圆的几何 性质求出椭圆的标准方程，考查转化思想，属于中档题 21 （12 分）已知函数 f（x）x2+ax+lnx（aR） （1）当 a3 时
40、，求 f（x）的极值； （2）若 x1，x2（x1x2）是函数 f（x）的两个极值点，求 f（x2）f（x1）的取值范围 【分析】 （1）将 a3 代入 f（x）中求导后判断函数 f（x）的单调性，根据单调性求出 f（x）的极值即可； （2），设 g（x）2x2+ax+1（x0） ，根据条件 可得 g（x）0 有两个不等的正根 x1，x2，然后根据根与系数的关系将 x1用 x2表示后得 到 f（x2）f（x1），构造函数进一步求解即可 【解答】解： （1）当 a3 时，f（x）x23x+lnx（x0） ， 则 f（x）， 令 f（x）0，则 x，或 x1， 当，或 x1 时，f（x
41、）0；当时，f（x）0 f（x）在（0，）和（1，+）上单调递增，在（，1）上单调递减， ，f（x）极小值f（1）2； （2）， 设 g（x）2x2+ax+1（x0） ，函数 f（x）存在两个极值，则 g（x）0 有两个不等的 正根 x1，x2， 第 23 页（共 25 页） ， x1，x2是方程 2x2+ax+10 的两根， ，由于， ， ， ，（x2是 a 的减函数） 设， ，h（t）在（，+）上单调递减， h（t）h（）0，即 f（x2）f（x1）（，0） 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性和极值问题，考查了转化思想和构造法， 属中档题 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分
42、分.请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一如果多做，则按所做的第一 题计分题计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22（10 分） 已知直线 l 的参数方程为（t 为参数） ， 曲线 C 的极坐标方程为 sin2 4cos0 线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，点 P（1，1） （）求直线 l 的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程； （）求的值 【分析】本题第（）题可根据参数方程消去参数 t 可得直线 l 的普通方程，对于曲线 C 可联系 xcos，ysin 可得曲线 C 的直角坐标方程；第（）题可根据参数方程的 第
43、 24 页（共 25 页） 意义将直线的参数方程代入 y24x，然后设|PA|t1|，|PB|t2|，通过转化成 关于 t1、t2的表达式可算出结果 【解答】解： （）由题意，可知： 直线 l 的参数方程为（t 为参数） ，消去参数 t，可得： 直线 l 的普通方程为：4x3y70 曲线 C 的极坐标方程为 sin24cos0，即 2sin24cos， 由 xcos，ysin 可得： 曲线 C 的直角坐标方程为 y24x （）由题意，可将直线的参数方程代入 y24x，得t24t30 根据参数方程的意义，可设|PA|t1|，|PB|t2|，则： t1+t2，t1t2 +| 【点评】本题第（）题主
44、要考查直线的参数方程转化为普通方程，曲线的极坐标方程 化为直角坐标方程；第（）题主要考查参数方程的意义，及运用参数方程代入求值本 题属中档题 选修选修 45：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|x+1|+|2xm| （1）当 m1 时求不等式 f（x）4 的解集； （2）设关于 x 的不等式 f（x）|x3|的解集为 M，且0， M，求实数 m 的取值范围 【分析】 （1）当 m1 时，分 3 段去绝对值解不等式再相并； （2）问题转化为当 x0，时，关于 x 的不等式 f（x）|x3|恒成立，转化为即 4x 第 25 页（共 25 页） 2m2 在0，上恒成立可得 【解答】 解：（1） 当 m1 时， f （x） |x+1|+|2x1|4或 或， 解得x， 不等式 f（x）4 的解集为x|x （2）由题意可得，当 x0，时，关于 x 的不等式 f（x）|x3|恒成立， 即|x+1|+|2xm|x3|恒成立，即|2xm|3x（x+1）22x 恒成立， 即 2x22xm22x 恒成立，即 4x2m2 在0，上恒成立，0m2 故实数 m 的取值范围是0，2 【点评】本题考查了绝对值三角不等式，属中档题
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