1、2020 年南充市各级各类学校在校学生人数约为 1150000 人，将 1150000 用科学记 数法表示为（ ） A1.15106 B1.15107 C11.5105 D0.115107 3 （4 分）如图，四个三角形拼成一个风车图形，若 AB2，当风车转动 90，点 B 运动 路径的长度为（ ） A B2 C3 D4 4 （4 分）下列运算正确的是（ ） A3a+2b5ab B3a2a6a2 Ca3+a4a7 D （ab）2a2b2 5 （4 分） 八年级某学生在一次户外活动中进行射击比赛， 七次射击成绩
2、依次为 （单位： 环） ： 4，5，6，6，6，7，8则下列说法错误的是（ ） A该组成绩的众数是 6 环 B该组成绩的中位数是 6 环 C该组成绩的平均数是 6 环 D该组成绩数据的方差是 10 6 （4 分）如图，在等腰ABC 中，BD 为ABC 的平分线，A36，ABACa，BC b，则 CD（ ） 第 2 页（共 29 页） A B Cab Dba 7 （4 分）如图，面积为 S 的菱形 ABCD 中，点 O 为对角线的交点，点 E 是线段 BC 的中点， 过点
3、E 作 EFBD 于 F，EGAC 于 G，则四边形 EFOG 的面积为（ ） AS BS CS DS 8 （4 分）如图，点 A，B，C 在正方形网格的格点上，则 sinBAC（ ） A B C D 9 （4 分）如图，正方形四个顶点的坐标依次为（1，1） ， （3，1） ， （3，3） ， （1，3） 若抛 物线 yax2的图象与正方形有公共点，则实数 a 的取值范围是（ ） Aa3 Ba1 Ca3 Da1 10 （4 分）关于二次函数 yax24ax5（a0）的三个结论：对任意实数 m，都有 x1
4、 第 3 页（共 29 页） 2+m 与 x22m 对应的函数值相等；若 3x4，对应的 y 的整数值有 4 个，则 a1 或 1a；若抛物线与 x 轴交于不同两点 A，B，且 AB6，则 a 或 a1其中正确的结论是（ ） A B C D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 24 分）请将答案填在答题卡对应的横线分）请将答案填在答题卡对应的横线 上上. 11 （4 分）计算：|1|+20 12 （4 分）如图，两直线交于点 O，若1+276，则1
5、; 度 13 （4 分）从长分别为 1，2，3，4 的四条线段中，任意选取三条线段，能组成三角形的概 率是 14 （4 分）笔记本 5 元/本，钢笔 7 元/支，某同学购买笔记本和钢笔恰好用去 100 元，那么 最多购买钢笔 支 15 （4 分）若 x2+3x1，则 x 16 （4 分）ABC 内接于O，AB 为O 的直径，将ABC 绕点 C 旋转到EDC，点 E 在 O 上，已知 AE2，tanD3，则 AB 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 9 个
6、小题，其个小题，其 86 分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤步骤 17 （8 分）先化简，再求值： （1），其中 x+1 18 （8 分）如图，点 C 在线段 BD 上，且 ABBD，DEBD，ACCE，BCDE求证： ABCD 第 4 页（共 29 页） 19 （8 分）今年，全球疫情大爆发，我国派遣医疗专家组对一些国家进行医疗援助某批 次派出 20 人组成的专家组，分别赴 A、B、C、D 四个国家开展援助工作，其人员分布情 况如统计图（不完整）所示： &n
7、bsp; （1）计算赴 B 国女专家和 D 国男专家人数，并将条形统计图补充完整 （2）根据需要，从赴 A 国的专家中，随机抽取两名专家对当地医疗团队进行培训，求所 抽取的两名专家恰好是一男一女的概率 20 （10 分）已知 x1，x2是一元二次方程 x22x+k+20 的两个实数根 （1）求 k 的取值范围 （2）是否存在实数 k，使得等式+k2 成立？如果存在，请求出 k 的值；如果 不存在，请说明理由 21 （10 分）如图，反比例函数 y（k0，x0）的图象与 y2x 的图象相交于点 C， 过直线上点 A（a，8）作 ABy
8、轴交于点 B，交反比例函数图象于点 D，且 AB4BD （1）求反比例函数的解析式 （2）求四边形 OCDB 的面积 第 5 页（共 29 页） 22 （10 分）如图，点 A，B，C 是半径为 2 的O 上三个点，AB 为直径，BAC 的平分线 交圆于点 D，过点 D 作 AC 的垂线交 AC 的延长线于点 E，延长 ED 交 AB 的延长线于点 F （1）判断直线 EF 与O 的位置关系，并证明 （2）若 DF4，求 tanEAD 的值 23 （10 分）某工厂计划在每个生产周
9、期内生产并销售完某型设备，设备的生产成本为 10 万元/件 （1）如图，设第 x（0 x20）个生产周期设备售价 z 万元/件，z 与 x 之间的关系用图 中的函数图象表示求 z 关于 x 的函数解析式（写出 x 的范围） （2）设第 x 个生产周期生产并销售的设备为 y 件，y 与 x 满足关系式 y5x+40（0 x 20） 在（1）的条件下，工厂第几个生产周期创造的利润最大？最大为多少万元？（利 润收入成本） 24 （10 分）如图，边长为 1 的正方形 ABCD 中，点 K 在 AD 上，连接 BK，过点 A，C 作 BK 的垂线，垂足分别为 M
10、，N，点 O 是正方形 ABCD 的中心，连接 OM，ON 第 6 页（共 29 页） （1）求证：AMBN （2）请判定OMN 的形状，并说明理由 （3）若点 K 在线段 AD 上运动（不包括端点） ，设 AKx，OMN 的面积为 y，求 y 关 于 x 的函数关系式 （写出 x 的范围） ； 若点 K 在射线 AD 上运动， 且OMN 的面积为， 请直接写出 AK 长 25 （12 分）已知二次函数图象过点 A（2，0） ，B（4，0） ，C（0，4） （1）求二次函数的解析式 （2）如
11、图，当点 P 为 AC 的中点时，在线段 PB 上是否存在点 M，使得BMC90？ 若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由 （3） 点 K 在抛物线上， 点 D 为 AB 的中点， 直线 KD 与直线 BC 的夹角为锐角 ， 且 tan ，求点 K 的坐标 第 7 页（共 29 页） 2020 年四川省南充市中考数学试卷年四川省南充市中考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 40 分）每小题
12、都有代号为分）每小题都有代号为 A、B、C、 D 四个答案选项，其中只有一个是正确的，请根据正确选项的代号填涂答题卡对应位置填四个答案选项，其中只有一个是正确的，请根据正确选项的代号填涂答题卡对应位置填 涂正确记涂正确记 4 分，不涂、错涂或多涂记分，不涂、错涂或多涂记 0 分分 1 （4 分）若4，则 x 的值是（ ） A4 B C D4 【分析】根据倒数的定义求出即可 【解答】解：4， x， 故选：C 【点评】本题考查了倒数的定义，能熟记倒数的定义的内容是解此题的关键 2 （4 分）2020 年
13、南充市各级各类学校在校学生人数约为 1150000 人，将 1150000 用科学记 数法表示为（ ） A1.15106 B1.15107 C11.5105 D0.115107 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相 同当原数绝对值10 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 【解答】解：11500001.15106， 故选：A 【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a1
14、0n的形式，其 中 1|a|10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值 3 （4 分）如图，四个三角形拼成一个风车图形，若 AB2，当风车转动 90，点 B 运动 路径的长度为（ ） 第 8 页（共 29 页） A B2 C3 D4 【分析】 由题意可得点 B 的轨迹是以 A 为圆心， AB 长为半径的弧， 利用弧长公式可求解 【解答】解：由题意可得：点 B 运动路径的长度为， 故选：A 【点评】本题考查了轨迹，弧长公式，掌握弧长公式是本题的轨迹 4
15、（4 分）下列运算正确的是（ ） A3a+2b5ab B3a2a6a2 Ca3+a4a7 D （ab）2a2b2 【分析】各项计算得到结果，即可作出判断 【解答】解：A、原式不能合并，不符合题意； B、原式6a2，符合题意； C、原式不能合并，不符合题意； D、原式a22ab+b2，不符合题意 故选：B 【点评】此题考查了完全平方公式，合并同类项，以及单项式乘单项式，熟练掌握运算 法则及公式是解本题的关键 5 （4 分） 八年级某学生在一次户外活动中进行射击比赛， 七次射击成
16、绩依次为 （单位： 环） ： 4，5，6，6，6，7，8则下列说法错误的是（ ） A该组成绩的众数是 6 环 B该组成绩的中位数是 6 环 C该组成绩的平均数是 6 环 D该组成绩数据的方差是 10 【分析】根据平均数、中位数、众数和方差的意义分别对每一项进行分析，即可得出答 案 【解答】解：A、6 出现了 3 次，出现的次数最多，该组成绩的众数是 6 环，故本选 第 9 页（共 29 页） 项正确； B、该组成绩的中位数是 6 环，故本选项正确； C、该组成绩的平均数是
17、：（4+5+6+6+6+7+8）6（环） ，故本选项正确； D、该组成绩数据的方差是（46）2+（56）2+3（66）2+（76）2+（86） 2 ，故本选项错误； 故选：D 【点评】此题考查了平均数、中位数、众数和方差的意义，解题的关键是正确理解各概 念的含义 6 （4 分）如图，在等腰ABC 中，BD 为ABC 的平分线，A36，ABACa，BC b，则 CD（ ） A B Cab Dba 【分析】根据等腰三角形的性质和判定得出 BDBCAD，进而解答即可 【解答】解：在等腰ABC 中，BD 为ABC 的
18、平分线，A36， ABCC2ABD72， ABD36A， BDAD， BDCA+ABD72C， BDBC， ABACa，BCb， CDACADab， 故选：C 【点评】 此题考查等腰三角形的性质， 关键是根据等腰三角形的性质和判定得出 BDBC AD 解答 第 10 页（共 29 页） 7 （4 分）如图，面积为 S 的菱形 ABCD 中，点 O 为对角线的交点，点 E 是线段 BC 的中点， 过点 E 作 EFBD 于 F，EGAC 于 G，则四
19、边形 EFOG 的面积为（ ） AS BS CS DS 【分析】由菱形的性质得出 OAOC，OBOD，ACBD，SACBD，证出四边形 EFOG 是矩形，EFOC，EGOB，得出 EF、EG 都是OBC 的中位线，则 EFOC AC，EGOBBD，由矩形面积即可得出答案 【解答】解：四边形 ABCD 是菱形， OAOC，OBOD，ACBD，SACBD， EFBD 于 F，EGAC 于 G， 四边形 EFOG 是矩形，EFOC，EGOB， 点 E 是线段 BC 的中点， EF、EG 都是OBC 的中
20、位线， EFOCAC，EGOBBD， 矩形 EFOG 的面积EFEGACBDS； 故选：B 【点评】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；熟练 掌握菱形的性质和矩形的性质是解题的关键 8 （4 分）如图，点 A，B，C 在正方形网格的格点上，则 sinBAC（ ） A B C D 第 11 页（共 29 页） 【分析】作 BDAC 于 D，根据勾股定理求出 AB、AC，利用三角形的面积求出 BD，最 后在直角ABD 中根据三角函数的意义求解 【
21、解答】解：如图，作 BDAC 于 D， 由勾股定理得，AB，AC3， SABCACBD3BD13， BD， sinBAC 故选：B 【点评】本题考查了勾股定理，解直角三角形，三角形的面积，三角函数的意义等知识， 根据网格构造直角三角形和利用三角形的面积求出 BD 是解决问题的关键 9 （4 分）如图，正方形四个顶点的坐标依次为（1，1） ， （3，1） ， （3，3） ， （1，3） 若抛 物线 yax2的图象与正方形有公共点，则实数 a 的取值范围是（ ） Aa3 Ba1 Ca3 Da1 &n
22、bsp;【分析】求出抛物线经过两个特殊点时的 a 的值即可解决问题 【解答】解：当抛物线经过（1，3）时，a3， 当抛物线经过（3，1）时，a， 观察图象可知a3， 第 12 页（共 29 页） 故选：A 【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上的点的坐标特征等知识， 解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型 10 （4 分）关于二次函数 yax24ax5（a0）的三个结论：对任意实数 m，都有 x1 2+m 与 x22m 对应的函数值相等；若 3x4，对应的 y 的整数值
23、有 4 个，则 a1 或 1a；若抛物线与 x 轴交于不同两点 A，B，且 AB6，则 a 或 a1其中正确的结论是（ ） A B C D 【分析】由题意可求次函数 yax24ax5 的对称轴为直线 x，由对称性可 判断；分 a0 或 a0 两种情况讨论，由题意列出不等式，可求解，可判断；分 a 0 或 a0 两种情况讨论，由题意列出不等式组，可求解，可判断；即可求解 【解答】解：二次函数 yax24ax5 的对称轴为直线 x， x12+m 与 x22m 关于直线 x2 对称， 对任意实数 m，都有 x12+m 与 x22m 对应的函
24、数值相等； 故正确； 当 x3 时，y3a5，当 x4 时，y5， 若 a0 时，当 3x4 时，3a5y5， 当 3x4 时，对应的 y 的整数值有 4 个， 1a， 若 a0 时，当 3x4 时，5y3a5， 当 3x4 时，对应的 y 的整数值有 4 个， a1， 故正确； 若 a0，抛物线与 x 轴交于不同两点 A，B，且 AB6， 0，25a20a50， ， a1， 第 13 页（共 29 页） &nbs
25、p; 若 a0，抛物线与 x 轴交于不同两点 A，B，且 AB6， 0，25a20a50， ， a， 综上所述：当 a或 a1 时，抛物线与 x 轴交于不同两点 A，B，且 AB6 故选：D 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次 函数图象与 x 轴的交点等知识，理解题意列出不等式（组）是本题的关键 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 个小题个小题，每小题，每小题 4 分，共分，共 24 分）请将答案填在答题卡对应的横线分）请将答案填在答题卡对应的横线 上上. &
26、nbsp;11 （4 分）计算：|1|+20 【分析】原式利用绝对值的代数意义，以及零指数幂法则计算即可求出值 【解答】解：原式1+1 故答案为： 【点评】此题考查了实数的运算，零指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键 12 （4 分）如图，两直线交于点 O，若1+276，则1 38 度 【分析】直接利用对顶角的性质结合已知得出答案 【解答】解：两直线交于点 O， 12， 1+276， 138 故答案为：38 【点评】此题主要考查了对
27、顶角，正确把握对顶角的定义是解题关键 13 （4 分）从长分别为 1，2，3，4 的四条线段中，任意选取三条线段，能组成三角形的概 第 14 页（共 29 页） 率是 【分析】画出树状图，共有 24 个等可能的结果，能组成三角形的结果有 6 个，由概率公 式即可得出答案 【解答】解：画树状图如图： 共有 24 个等可能的结果，能组成三角形的结果有 6 个， 能组成三角形的概率为； 故答案为： 【点评】本题考查了列表法与树状图法以及概率公式；正确画出树状图是解题的关键
28、14 （4 分）笔记本 5 元/本，钢笔 7 元/支，某同学购买笔记本和钢笔恰好用去 100 元，那么 最多购买钢笔 10 支 【分析】首先设某同学买了 x 支钢笔，则买了 y 本笔记本，根据题意购买钢笔的花费+购 买笔记本的花费100 元，即可求解 【解答】解：设某同学买了 x 支钢笔，则买了 y 本笔记本，由题意得： 7x+5y100， x 与 y 为整数， x 的最大值为 10， 故答案为：10 【点评】此题主要考查了二元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的相 等关系 15 （4
29、分）若 x2+3x1，则 x 2 【分析】根据分式的减法可以将所求式子化简，然后根据 x2+3x1，可以得到 x21 3x，代入化简后的式子即可解答本题 【解答】解：x 第 15 页（共 29 页） ， x2+3x1， x213x， 原式2， 故答案为：2 【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法 16 （4 分）ABC 内接于O，AB 为O 的直径，将ABC 绕点 C 旋转到EDC，点 E 在 O 上，已知 AE
30、2，tanD3，则 AB 【分析】根据圆周角定理得到AEBACB90，根据旋转的性质得到 ACCE，BC CD，ACEBCD，ECDACB90，设 CE3x，CDx，由勾股定理得到 DEx，根据相似三角形的性质得到 BD根据勾股定理即可得到结论 【解答】解：AB 为O 的直径， AEBACB90， 将ABC 绕点 C 旋转到EDC， ACCE，BCCD，ACEBCD，ECDACB90， tanD3， 设 CE3x，CDx， DEx， ACEBCD，DABCAEC， &nbs
31、p;ACEDCB， 3， AE2， 第 16 页（共 29 页） BD BEDEBDx， AE2+BE2AB2， 22+（x）2（x）2， x， ABDE， 故答案为： 【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，相似三角形的判定和性质，三角函数的定 义，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 9 个小题，其个小题，其 86 分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算分）解答应写出必要的文字说明、证
32、明过程或演算 步骤步骤 17 （8 分）先化简，再求值： （1），其中 x+1 【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将 x 的值代入化简后的式 子即可解答本题 【解答】解： （1） ， 当 x+1 时，原式 【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法 18 （8 分）如图，点 C 在线段 BD 上，且 ABBD，DEBD，ACCE，BCDE求证： ABCD 第 17 页（共 29 页）
33、 【分析】证明ABCCDE（ASA） ，可得出结论 【解答】证明：ABBD，EDBD，ACCE， ACEABCCDE90， ACB+ECD90，ECD+CED90， ACBCED 在ABC 和CDE 中， ， ABCCDE（ASA） ， ABCD 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质；熟练掌握三角形全等的判定定理是解题 的关键 19 （8 分）今年，全球疫情大爆发，我国派遣医疗专家组对一些国家进行医疗援助某批 次派出 20 人组成的专家组，分别赴 A、B、C、
34、D 四个国家开展援助工作，其人员分布情 况如统计图（不完整）所示： （1）计算赴 B 国女专家和 D 国男专家人数，并将条形统计图补充完整 （2）根据需要，从赴 A 国的专家中，随机抽取两名专家对当地医疗团队进行培训，求所 抽取的两名专家恰好是一男一女的概率 第 18 页（共 29 页） 【分析】 （1）先用赴 A 国的专家的人数除以它所占的百分比得到调查的总比分人数，再 计算出赴 B 国女专家人数和赴 D 国男专家人数，然后补全条形统计图； （2）画树状图展示所有 20 种等可能的结果数，找出所抽取的两名专家恰好是
35、一男一女 的结果数，然后根据概率公式求解 【解答】解： （1） （2+3）25%20（人） ， 所以调查的总人数为 20 人， 赴 B 国女专家人数为 2040%53（人） 赴 D 国男专家人数为 20（120%40%25%）21（人） 条形统计图补充为： （2）画树状图为： 共有 20 种等可能的结果数，其中所抽取的两名专家恰好是一男一女的结果数为 12， 所以所抽取的两名专家恰好是一男一女的概率 【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求 出
36、n，再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后根据概率公式计算事件 A 或事件 B 的概率也考查了统计图 第 19 页（共 29 页） 20 （10 分）已知 x1，x2是一元二次方程 x22x+k+20 的两个实数根 （1）求 k 的取值范围 （2）是否存在实数 k，使得等式+k2 成立？如果存在，请求出 k 的值；如果 不存在，请说明理由 【分析】 （1）根据方程的系数结合0，即可得出关于 k 的一元一次不等式，解之即可 得出 k 的取值范围； （2）根据根与系数的关系可得出 x1+x22，x
37、1x2k+2，结合+k2，即可得出 关于 k 的方程，解之即可得出 k 值，再结合（1）即可得出结论 【解答】解： （1）一元二次方程 x22x+k+20 有两个实数根， （2）241（k+2）0， 解得：k1 （2）x1，x2是一元二次方程 x22x+k+20 的两个实数根， x1+x22，x1x2k+2 +k2， k2， k260， 解得：k1，k2 又k1， k 存在这样的 k 值，使得等式+k2 成立，k 值为 【点评】本题考查了根
38、与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是： （1）牢记“当 0 时，方程有两个实数根” ； （2）根据根与系数的关系结合+k2，找出关于 k 的方程 21 （10 分）如图，反比例函数 y（k0，x0）的图象与 y2x 的图象相交于点 C， 过直线上点 A（a，8）作 ABy 轴交于点 B，交反比例函数图象于点 D，且 AB4BD （1）求反比例函数的解析式 （2）求四边形 OCDB 的面积 第 20 页（共 29 页） 【分析】 （1）想办法求出点 D 的坐标即可解决问题 （2）构建方程组求出
39、点 C 的坐标，利用分割法求面积即可 【解答】解： （1）点 A（a，8）在直线 y2x 上， a4，A（4，8） ， ABy 轴于 D，AB4BD， BD1，即 D（1，8） ， 点 D 在 y上， k8 反比例函数的解析式为 y （2）由，解得或（舍弃） ， C（2，4） ， S四边形OBDCSAOBSADC484310 【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是熟练掌握基本知识， 属于中考常考题型 22 （10 分）如图，点
40、 A，B，C 是半径为 2 的O 上三个点，AB 为直径，BAC 的平分线 第 21 页（共 29 页） 交圆于点 D，过点 D 作 AC 的垂线交 AC 的延长线于点 E，延长 ED 交 AB 的延长线于点 F （1）判断直线 EF 与O 的位置关系，并证明 （2）若 DF4，求 tanEAD 的值 【分析】 （1）连接 OD，由 OAOD 知OADODA，由 AD 平分EAF 知DAE DAO，据此可得DAEADO，继而知 ODAE，根据 AEEF 即可得证； （2）根据勾股定理得到 OF6，根据平行线分线段成比
41、例定理和三角函 数的定义即可得到结论 【解答】 （1）证明：连接 OD，如图所示： OAOD， OADODA， AD 平分EAF， DAEDAO， DAEADO， ODAE， AEEF， ODEF， EF 是O 的切线； （2）解：在 RtODF 中，OD2，DF4， OF6， ODAE， ， ， AE，ED， 第 22 页（共 29 页） tanEAD
42、; 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，角平分线的定义，圆周角定理，解直角三角 形，正确的识别图形是解题的关键 23 （10 分）某工厂计划在每个生产周期内生产并销售完某型设备，设备的生产成本为 10 万元/件 （1）如图，设第 x（0 x20）个生产周期设备售价 z 万元/件，z 与 x 之间的关系用图 中的函数图象表示求 z 关于 x 的函数解析式（写出 x 的范围） （2）设第 x 个生产周期生产并销售的设备为 y 件，y 与 x 满足关系式 y5x+40（0 x 20） 在（1）的条件下，工厂第几个生产周期创造的利润最大？最大为多少万元？（利 润
43、收入成本） 【分析】 （1）分别得出当 0 x12 时和当 12x20 时，z 关于 x 的函数解析式即可得 出答案； （2）设第 x 个生产周期工厂创造的利润为 w 万元，当 0 x12 时，可得出 w 关于 x 的一次函数，根据一次函数的性质可得相应的最大值；当 12x20 时，可得出 w 关 于 x 的二次函数， 根据二次函数的性质可得相应的最大值 取中较大的最大值即可 【解答】解： （1）由图可知，当 0 x12 时，z16， 当 12x20 时，z 是关于 x 的一次函数，设 zkx+b， 则 第
44、 23 页（共 29 页） 解得： zx+19， z 关于 x 的函数解析式为 z （2）设第 x 个生产周期工厂创造的利润为 w 万元， 当 0 x12 时，w（1610）（5x+40）30 x+240， 由一次函数的性质可知，当 x12 时，w最大值3012+240600（万元） ； 当 12x20 时， w（x+1910） （5x+40） x2+35x+360 （x14）2+605， 当 x14 时，w最大值605（万元） 综上所述，工厂第
45、14 个生产周期创造的利润最大，最大是 605 万元 【点评】本题考查了一次函数与二次函数在销售问题中的应用，明确一次函数与二次函 数的性质并分类讨论是解题的关键 24 （10 分）如图，边长为 1 的正方形 ABCD 中，点 K 在 AD 上，连接 BK，过点 A，C 作 BK 的垂线，垂足分别为 M，N，点 O 是正方形 ABCD 的中心，连接 OM，ON （1）求证：AMBN （2）请判定OMN 的形状，并说明理由 （3）若点 K 在线段 AD 上运动（不包括端点） ，设 AKx，OMN 的面积为 y，求 y 关 于 x 的函数
46、关系式 （写出 x 的范围） ； 若点 K 在射线 AD 上运动， 且OMN 的面积为， 请直接写出 AK 长 【分析】 （1）由“AAS”可证ABMBCN，可得 AMBN； 第 24 页（共 29 页） （2）连接 OB，由“SAS”可证AOMBON，可得 MONO，AOMBON，由 余角的性质可得MON90，可得结论； （3）由勾股定理可求 BK 的值，由面积法可求 AMBN，由锐角三角函数可 求 BN 的值，可求 MN 的长，由三角形面积公式可求 y（0 x1） ，即可求 解 【解答】证明： （1）四边形 AB
47、CD 是正方形， ABBC，ABC90， ABM+CBM90， AMBM，CNBN， AMBBNC90， MAB+MBA90， MABCBM， ABMBCN（AAS） ， AMBN； （2）OMN 是等腰直角三角形， 理由如下：如图，连接 OB， 点 O 是正方形 ABCD 的中心， OAOB，OBAOAB45OBC，AOBO， MABCBM， MABOABCBMOBC， MAONBO， 又AMBN，O
48、AOB， AOMBON（SAS） ， MONO，AOMBON， 第 25 页（共 29 页） AON+BON90， AON+AOM90， MON90， MON 是等腰直角三角形； （3）在 RtABK 中，BK， SABKAKABBKAM， AM， BNAM， cosABK， BM， MNBMBN SOMNMN2， y（0 x1） ； 当点 K 在线段 AD 上时，则， &nb
49、sp;解得：x13（不合题意舍去） ，x2， 当点 K 在线段 AD 的延长线时，同理可求 y（x1） ， ， 解得：x13，x2（不合题意舍去） ， 第 26 页（共 29 页） 综上所述：AK 的值为 3 或时，OMN 的面积为 【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰 直角三角形的判定和性质，锐角三角函数，利用参数求线段的长度是本题的关键 25 （12 分）已知二次函数图象过点 A（2，0） ，B（4，0） ，C（0，4） （1）求二次函数
50、的解析式 （2）如图，当点 P 为 AC 的中点时，在线段 PB 上是否存在点 M，使得BMC90？ 若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由 （3） 点 K 在抛物线上， 点 D 为 AB 的中点， 直线 KD 与直线 BC 的夹角为锐角 ， 且 tan ，求点 K 的坐标 【分析】 （1）设二次函数的解析式为 ya（x+2） （x4） ，将点 C 坐标代入可求解； （2）利用中点坐标公式可求 P（1，2） ，点 Q（2，2） ，由勾股定理可求 BC 的长，由 待定系数法可求 PB 解析式，设点 M（c，c+） ，由两点距离公式可得（
51、c2） 2+（ c+2）28，可求 c4 或，即可求解； （3） 过点D作DEBC于点E， 设直线DK与BC交于点N， 先求出DEBE， 由锐角三角函数可求 NE，分 DK 与射线 EC 交于点 N（m，4m）和 DK 与射线 EB 交于 N（m，4m）两种情况讨论，求出直线 DK 解析式，联立方程组可 求点 K 坐标 【解答】解： （1）二次函数图象过点 B（4，0） ，点 A（2，0） ， 设二次函数的解析式为 ya（x+2） （x4） ， 二次函数图象过点 C（0，4） ， 4a（0+2） （04） ， a， &nb
52、sp; 第 27 页（共 29 页） 二次函数的解析式为 y（x+2） （x4）x2+x+4； （2）存在， 理由如下：如图 1，取 BC 中点 Q，连接 MQ， 点 A（2，0） ，B（4，0） ，C（0，4） ，点 P 是 AC 中点，点 Q 是 BC 中点， P（1，2） ，点 Q（2，2） ，BC4， 设直线 BP 解析式为：ykx+b， 由题意可得：， 解得： 直线 BP 的解析式为：yx+， BMC90 点 M 在以 BC 为直径的圆上
53、， 设点 M（c，c+） ， 点 Q 是 RtBCM 的中点， MQBC2， MQ28， （c2）2+（c+2）28， c4 或， 当 c4 时，点 B，点 M 重合，即 c4，不合题意舍去， c，则点 M 坐标（，） ， 第 28 页（共 29 页） 故线段 PB 上存在点 M（，） ，使得BMC90； （3）如图 2，过点 D 作 DEBC 于点 E，设直线 DK 与 BC 交于点 N， 点 A（2，0） ，B（4，0） ，C（0
54、，4） ，点 D 是 AB 中点， 点 D（1，0） ，OBOC4，AB6，BD3， OBC45， DEBC， EDBEBD45， DEBE， 点 B（4，0） ，C（0，4） ， 直线 BC 解析式为：yx+4， 设点 E（n，n+4） ， n+4， n， 点 E（，） ， 在 RtDNE 中，NE， 若 DK 与射线 EC 交于点 N（m，4m） ， NEBNBE， （4m）， m， &
55、nbsp;第 29 页（共 29 页） 点 N（，） ， 直线 DK 解析式为：y4x4， 联立方程组可得：， 解得：或， 点 K 坐标为（2，4）或（8，36） ； 若 DK 与射线 EB 交于 N（m，4m） ， NEBEBN， （4m） ， m， 点 N（，） ， 直线 DK 解析式为：yx， 联立方程组可得：， 解得：或， 点 K 坐标为（，）或（，） ， 综上所述： 点 K 的坐标为 （2， 4） 或 （8， 36） 或 （，） 或 （， ） 【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，待定系数 法求解析式，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数，中点坐标公式，两点距离公式等 知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键
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