1、高中数学 必修第一册 1 / 12 第四章综合第四章综合测试测试 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分. .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的）要求的） 1.已知集合 |3Mx x， 3 |log1xNx，则MN等于（ ） A. B.|03xx C.|3x x D.| 33xx 2.下列四个函数中，在整个定义域内单调递减的是（ ） A. 101 ( ) 100 x f x B. 1 2 1 ( )logf xx x C. 1 2 ( )logf xx D. 2 3 (
2、 )f xx 3.函数(01) | x xa ya x 的大致图像是（ ） A B C D 4.若 1.2 16 log 64,lg0.2,2abc，则, , a b c的大小关系是（ ） A.cba B.bac C.abc D.bca 5.设不为 1 的实数, , a b c满足0abc ，则（ ） A.loglog ca bb B.loglog aa bc 高中数学 必修第一册 2 / 12 C. ac bb D. bb ac 6.若幂函数( )f x的图象过点(3, 3)，则( )20f xx的解为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 7.已知函数 2 ,3 ( ) (1),3, x
3、x f x f xx 则 2 1log 3f的值为（ ） A.3 B.6 C.12 D.24 8.已知0,0ab，且1,1ab，若log1 ab ，则（ ） A.(1)(1)0ab B.(1)()0aab C.(1)()0bba D.(1)()0bba 9.已知 (2)33,1 ( ) log,1 a a xax f x x x 是R上单调递增函数，那么a的取值范围是（ ） A.(1,2) B. 5 1, 4 C. 5 ,2 4 D.(1,) 10.若函数 2 ( )log (1)f xax在( 3, 2) 上为减函数，且函数 | | 1 4 , 2 ( ) 1 log, 2 x a x g
4、x x x 在R上有最大值，则a的 取值范围为（ ） A. 21 , 22 B. 1 1, 2 C. 21 , 22 D. 21 ,00, 22 11.某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司 2015 年全年投入研发资金 130 万元，在此 基础上，每年投入的研发资金比上一年增加 12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过 200 万元的年份 是（参考数据：lg1.120.05,lg1.30.11,lg20.30） （ ） 高中数学 必修第一册 3 / 12 A.2018 年 B.2019 年 C.2020 年 D.2021 年 12.函数 yf x的定义域为D，如果满足：( )
5、yf x在D内是连续单调函数，存在 , a bD，使 ( )yf x在 , a b上的值域为, 2 2 a b ，那么就称为( )yf x为“半保值函数”.若函数 2 ( )log x a f xat （0a，且1a ）是“半保值函数” ，则t的取值范围为（ ） A. 1 0, 4 B. 11 ,00, 22 C. 1 0, 2 D. 1 1 , 2 2 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. .请把正确答案填在题中的横线上）请把正确答案填在题中的横线上） 13.已知集合 |12xMy y ，集合 2 |lg1Ny yx，则MN_
6、. 14.设 19 28,93 xyyx ，则xy_. 15.设25 ab m，且2 ab ab ，则m _. 16.已知对数函数( )f x的图象过点(4, 2)，则不等式(1)(1) 3f xf x 的解集为_. 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分. .解答时写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）解答时写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 17.10 分已知14x ，求函数 22 ( )loglog 42 xx f x 的最大值与最小值. 18.12 分已知函数( )24 xx f x . （1）求( )yf x在 1,1上的值域； （2）解不
7、等式( ) 169 2xf x ； 高中数学 必修第一册 4 / 12 （3）若关于x的方程( )10f xm 在 1,1上有解，求m的取值范围. 19.12 分已知幂函数 2 1 ( )() mm f xxm N*. （1）试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性； （2）若该函数图象还经过点(2, 2)，试确定m的值，并求满足条件(2)(1)faf a的实数a的取值范围. 20.12 分已知函数 | | 3 ( )1, ( )1 x x f xeg x e . （1）求函数( )g x的值域； （2）求满足方程( )( )0f xg x的x的值. 21.12 分已知函数 22
8、 ( ) 21 x x aa f x ，其中a为常数. 高中数学 必修第一册 5 / 12 （1）判断函数( )f x的单调性并证明； （2）当1a 时，对于任意 2,2x ，不等式 2 6( 2)0f xmfmx恒成立，求实数m的取值范围. 22.12 分已知 1,0, 0,0, 1,0 ( ) , x xg x x | | | | ( ) ( ) x x g x f xa a ，其中0a且1a ，若 3 ( 1) 2 f . （1）求实数a的值； （2）解不等式 3 ( ) 2 f x ； （3）若(2 )( )40ftmf t 对任意的正实数t恒成立，求实数m的取值范围. 高中数学 必修
9、第一册 6 / 12 第四章综合测试第四章综合测试 答案解析答案解析 一、一、 1.【答案】B 2.【答案】C 3.【答案】D 4.【答案】B 5.【答案】D 6.【答案】D 7.【答案】C 8.【答案】D 9.【答案】C 10.【答案】A 【解析】 2 ( )log (1)f xaxQ在( 3, 2) 上为减函数， 0a 且1 0ax 在( 3, 2) 上恒成立，21 0a ， 1 2 a. 又( )g x在R上有最大值，且( )g x在 1 , 2 上单调递增， ( )g x在 1 , 2 上单调递减，且 1 2 1 log42 2 a ， 2 01 1 2 a a ， ，解得 2 0 2
10、 a， 高中数学 必修第一册 7 / 12 2 0 2 a 或 2 0 2 a . 综上所述， 21 22 a .故选 A. 11.【答案】B 【解析】设 2015 年后的第n年该公司全年投入的研发资金开始超过 200 万元.由130(1 12%)200 n ，得 20 1.12 13 n ， 两边取对数并整理，得 lg2lg1.30.300.11 3.8 lg1.120.05 n ， 4n ，从 2019 年开始该公司全年投入的研发资金开始超过 200 万元. 12.【答案】B 【解析】函数 2 ( )log x a f xat（0a且1a 是“半保值函数” ，且定义域为R，当1a时， 2x
11、 zat 在R上递增，logayz在(0,)上递增，可得( )f x为R上的增函数；当01a 时，( )f x仍为R上的增 函数. ( )f x在其定义域R内为增函数. Q函数 2 ( )log x a f xat（a0且1a ）是“半保值函数” ， 2 log x a yat与 1 2 yx的图象有两个不同的交点， 2 1 log 2 x a atx有两个不同的根， 11 22 22 0,0 xx xx tataaat . 令 1 2 x ua，0u，则 22 0uut有两个不同的正数根， 高中数学 必修第一册 8 / 12 2 140r ，且 2 0t ，解得 11 ,00, 22 t U
12、，故选 B. 二二、 13.【答案】0,1) 14.【答案】27 15.【答案】10 【解析】因为25 ab m，则 25 log,logam bm， 利用换底公式可得 lg lg2 m a ， lg lg5 m b . 因为2 ab ab ，即 11 2 ba ， 所以 lg2lg51 2 lglglgmmm ，所以10m. 16.【答案】 9 1, 7 【解析】 设( )logaf xx（0a且1a ） .将点4, 2的坐标代入得log 42 a ， 故 1 2 a ， 则 1 2 ( )logf xx. 故原不等式可化为 11 22 log (1)log (1) 3xx ， 即 11 2
13、2 11 loglog 18 x x ，所以 1 0, 1 0, 11 0, 18 x x x x 解得 9 1 7 x ，故原不等式的解集为 9 1, 7 . 三三、 17. 【答案】 2 222 31 ( )logloglog2log1log 4224 zz xx f xxxx Q，14x ，0log2 zx ， 高中数学 必修第一册 9 / 12 当 3 log 2 zx ，即 3 2 22 2x 时， f x取得最小值 1 4 ，当log0 zx ，即1x 时，( )f x取得最大值 2. 函数( )f x的最大值是 2，最小值是 1 4 . 18. 【答案】 （1） 设2xt ， 1
14、,1x Q， 2 2 111 ,2 , 224 tyttt ，当 1 2 t 时， max 1 ( ) 4 f x， 当2t 时， min ( )2f x .( )f x的值域为 1 2, 4 . （2） 设2xt ， 由( ) 169 2xf x ， 得 2 169ttt， 即 2 10160tt，28t ， 即228 x ，13x ， 不等式的解集为(1,3). （3） 方程有解等价于函数ym与1( )yf x 的图像在 1,1内有交点， 令2xt ， 1,1x Q， 1 ,2 2 t . 2 2 13 1( )1421 24 xx yf xttt ，其在 1,1x 时的值域为 3 ,3
15、4 .m的取值范围为 3 ,3 4 . 19.【答案】 （1） 2 (1)mmm mQ，m N，m与1m 中必有一个为偶数， 2 mm为偶数，函 数 2 1 ( ) mm f xxm N的定义域为0,)，并且该函数在其定义域上为增函数. （2）Q函数( )f x的图像经过点(2, 2)， 2 2 22m m ， 即 2 1 1 2 22 mm ， 2 2mm， 即 2 20mm， 1m或2m .又,1mm NQ. ( )f xQ在0,)上是增函数，由(2)(1)faf a得 20 1 0 21, a a aa ， ， 解得 3 1 2 a . 故m的值为 1，满足条件(2)(1)faf a的实
16、数a的取值在相 3 1, 2 . 高中数学 必修第一册 10 / 12 20.【答案】 （1） 31 ( )131 e e x x g x ， 因为0 x，所以e1 x ， 所以 11 01,0 33 ee xx ， 则1( )4g x，故( )g x是值域是(1,4. （2）由( )( )0f xg x，得 3 e20 e x x ， 当0 x时，方程无解；当0 x时， 3 e20 e x x ，整理得 2 e2e30 xx ，即e1 e30 xx . 因为e0 x ，所以e3 x ，即ln3x . 21.【答案】 （1）函数( )f x在R上是增函数. 证明：函数 212 2 ( ) 21
17、21 x xx a f xa ，任取 12 ,x x R，且 12 xx，则 12 12 12 12 2 22 22 212121 21 xx xx xx f xf xaa . 12 xxQ， 12 220 xx ， 1 21 0 x ， 2 21 0 x ， 12 0f xf x， 12 f xf x，函数( )f x在R上是增函数. （2） 由 （1） 知函数( )f x在定义域上是增函数， 当1a 时， 21 ( ) 21 x x f x ， 则 211 2 ()( ) 2112 xx xx fxf x ， 函数( )f x是奇函数. 对于任意 2,2x ，不等式 2 6( 2)0f x
18、mfmx恒成立，等价于对于任意 2,2x ，不等式 2 6( 2)(2)f xmfmxfmx恒 成 立 ， 即 2 62xmmx 在 2,2x 时 恒 成 立 ， 即 2 260 xmxm 在 2,2x 时恒成立，设 2 ( )26g xxmxm，则 min ( )0g x即可. 高中数学 必修第一册 11 / 12 222 ( )26()6g xxmxmxmmm，则在 2, 2上，当2m时，函数( )g x的最小值为 ( 2)510 0gm，得2m，不成立；当22m 时，函数( )g x的最小值为 2 ( )60g mmm， 解得22m ；当2m时，函数( )g x的最小值为(2)310 0
19、gm，解得 10 2 3 m 综上，实数m的取 值范围为 10 2 3 m . 22.【答案】 （1）由题意，得 13 ( 1) 2 fa a ， 2a或 1 2 a （舍去） ，2a. （2）当0 x时， 13 ( )2 22 x x f x，不等式无解. 当0 x 时， 3 ( )1 2 f x ，0 x . 当0 x时， 13 ( )2 22 x x f x ， 1 2 2 x ，1x，10 x . 综上所述，不等式的解集为 1,0. （3）0t Q， 1 ( )2 2 t t f t， 2 2 1 (2 )2 2 t t ft ， 2 2 11 (2 )( )4224 0(0) 22 tt tt ftmf tmt 恒成立. 令 1 2(1 0),2 2t t uu， 则 22 (2 )( )4242 0(2)ftmf tumuumuu恒成立， 2 (2)muu u 恒成立. 又函数 2 yu u 在(2,)上单调递减， 高中数学 必修第一册 12 / 12 2 3,3um u . 综上所述，m的取值范围为3m.
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