1、2020 年四川省达州市中考数学试卷年四川省达州市中考数学试卷 一、选择题 1人类与病毒的斗争是长期的，不能松懈据中央电视台报道，截止北京时间 2020 年 6 月 30 日凌晨，全球新冠肺炎患者确诊病例达到 1002 万1002 万用科学记数法表示，正 确的是（ ） A1.002107 B1.002106 C1002104 D1.002102万 2下列各数中，比 3 大比 4 小的无理数是（ ） A3.14 B C D 3下列正方体的展开图上每个面上都有一个汉字其中，手的对面是口的是（ ） A B C D 4下列说法正确的是（ ） A为了解全国中小学生的心理健康状况，应采用普查 B确定事件一
2、定会发生 C某校 6 位同学在新冠肺炎防疫知识竞赛中成绩分别为 98、97、99、99、98、96，那 么这组数据的众数为 98 D数据 6、5、8、7、2 的中位数是 6 5图 2 是图 1 中长方体的三视图，用 S 表示面积，S主x2+3x，S左x2+x，则 S俯（ ） Ax2+3x+2 Bx2+2x+1 Cx2+4x+3 D2x2+4x 6如图，正方体的每条棱上放置相同数目的小球，设每条棱上的小球数为 m，下列代数式 表示正方体上小球总数，则表达错误的是（ ） A12（m1） B4m+8（ m2） C12（ m2）+8 D12m16 7 中国奇书 易经 中记载， 远古时期， 人们通过在绳
3、子上打结来计数， 即 “结绳计数” 如 图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满 5 进 1，用来记录孩子自出生后的天 数由图可知，孩子自出生后的天数是（ ） A10 B89 C165 D294 8如图，在半径为 5 的O 中，将劣弧 AB 沿弦 AB 翻折，使折叠后的恰好与 OA、OB 相切，则劣弧 AB 的长为（ ） A B C D 9如图，直线 y1kx 与抛物线 y2ax2+bx+c 交于 A、B 两点，则 yax2+（bk）x+c 的图 象可能是（ ） A B C D 10如图，BOD45，BODO，点 A 在 OB 上，四边形 ABCD 是矩形，连接 AC、BD 交于点 E，
4、 连接 OE 交 AD 于点 F 下列 4 个判断： OE 平分BOD； OFBD； DF AF；若点 G 是线段 OF 的中点，则AEG 为等腰直角三角形正确判断的个数 是（ ） A4 B3 C2 D1 二、填空题（每小题 3 分，共 18 分） 112019 年是中华人民共和国成立 70 周年，天安门广场举行了盛大的国庆阅兵式和群众游 行活动其中，群众游行队伍以“同心共筑中国梦”为主题，包含有“建国创业”“改 革开放”“伟大复兴”三个部分，某同学要统计本班学生最喜欢哪个部分，制作扇形统 计图以下是打乱了的统计步骤： 绘制扇形统计图 收集三个部分本班学生喜欢的人数 计算扇形统计图中三个部分所
5、占的百分比 其中正确的统计顺序是 12如图，点 P（2，1）与点 Q（a，b）关于直线 1（y1）对称，则 a+b 13小明为测量校园里一颗大树 AB 的高度，在树底部 B 所在的水平面内，将测角仪 CD 竖 直放在与 B 相距 8m 的位置， 在 D 处测得树顶 A 的仰角为 52 若测角仪的高度是 1m， 则大树 AB 的高度约为 （结果精确到 lm参考数据：sin520.78，cos52 0.61，tan521.28） 14如图，点 A、B 在反比函数 y的图象上，A、B 的纵坐标分别是 3 和 6，连接 OA、 OB，则OAB 的面积是 15已知ABC 的三边 a、b、c 满足 b+|
6、c3|+a28a419，则ABC 的内切圆半 径 16已知 k 为正整数，无论 k 取何值，直线 11：ykx+k+1 与直线 12：y（k+1）x+k+2 都 交于一个固定的点，这个点的坐标是 ；记直线 11和 12与 x 轴围成的三角形面积 为 Sk，则 S1 ，S1+S2+S3+S100的值为 三、解答题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（共 72 分） 17计算：22+（）2+（）0+ 18求代数式（x1）的值，其中 x +1 19如图，点 O 在ABC 的边 BC 上，以 OB 为半径作O，ABC 的平分线 BM 交O 于 点 D，过点 D 作 DEBA 于点 E （1
7、）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹），补全图形； （2）判断O 与 DE 交点的个数，并说明理由 20争创全国文明城市，从我做起尚理中学在八年级开设了文明礼仪校本课程，为了解学 生的学习情况，随机抽取了 20 名学生的测试成绩，分数如下： 94 83 90 86 94 88 96 100 89 82 94 82 84 89 88 93 98 94 93 92 整理上面的数据，得到频数分布表和扇形统计图： 等级 成绩/分 频数 A 95x100 a B 90 x95 8 C 85x90 5 D 80 x85 4 根据以上信息，解答下列问题 （1）填空：a ，b ； （2） 若成绩不低于 90 分
8、为优秀， 估计该校 1200 名八年级学生中， 达到优秀等级的人数； （3）已知 A 等级中有 2 名女生，现从 A 等级中随机抽取 2 名同学，试用列表或画树状图 的方法求出恰好抽到一男一女的概率 21如图，ABC 中，BC2AB，D、E 分别是边 BC、AC 的中点将CDE 绕点 E 旋转 180 度，得AFE （1）判断四边形 ABDF 的形状，并证明； （2）已知 AB3，AD+BF8，求四边形 ABDF 的面积 S 22某家具商场计划购进某种餐桌、餐椅进行销售，有关信息如下表： 原进价（元/张） 零售价（元/张） 成套售价（元/套） 餐桌 a 380 940 餐椅 a140 160
9、已知用 600 元购进的餐椅数量与用 1300 元购进的餐桌数量相同 （1）求表中 a 的值； （2）该商场计划购进餐椅的数量是餐桌数量的 5 倍还多 20 张，且餐桌和餐椅的总数量 不超过 200 张若将一半的餐桌成套（一张餐桌和四张餐椅配成一套）销售，其余餐桌、 餐椅以零售方式销售，请问怎样进货，才能获得最大利润？最大利润是多少？ 23如图，在梯形 ABCD 中，ABCD，B90，AB6cm，CD2cmP 为线段 BC 上 的一动点，且和 B、C 不重合，连接 PA，过点 P 作 PEPA 交射线 CD 于点 E聪聪根 据学习函数的经验，对这个问题进行了研究： （1）通过推理，他发现ABP
10、PCE，请你帮他完成证明 （2）利用几何画板，他改变 BC 的长度，运动点 P，得到不同位置时，CE、BP 的长度 的对应值： 当 BC6cm 时，得表 1： BP/cm 1 2 3 4 5 CE/cm 0.83 1.33 1.50 1.33 0.83 当 BC8cm 时，得表 2： BP/cm 1 2 3 4 5 6 7 CE/cm 1.17 2.00 2.50 2.67 2.50 2.00 1.17 这说明，点 P 在线段 BC 上运动时，要保证点 E 总在线段 CD 上，BC 的长度应有一定的 限制 填空： 根据函数的定义， 我们可以确定， 在 BP 和 CE 的长度这两个变量中， 的
11、长度为自变量， 的长度为因变量； 设 BCmcm，当点 P 在线段 BC 上运动时，点 E 总在线段 CD 上，求 m 的取值范围 24（1）阅读与证明 如图 1，在正ABC 的外角CAH 内引射线 AM，作点 C 关于 AM 的对称点 E（点 E 在 CAH 内），连接 BE，BE、CE 分别交 AM 于点 F、G 完成证明：点 E 是点 C 关于 AM 的对称点， AGE90，AEAC，12 正ABC 中，BAC60，ABAC， AEAB，得34 在ABE 中，1+2+60+3+4180，1+3 在AEG 中，FEG+3+190，FEG 求证：BFAF+2FG （2）类比与探究 把（1）中
12、的“正ABC”改为“正方形 ABDC”，其余条件不变，如图 2类比探究， 可得： FEG ； 线段 BF、AF、FG 之间存在数量关系 （3）归纳与拓展 如图 3，点 A 在射线 BH 上，ABAC，BAC（0180），在CAH 内引射 线 AM，作点 C 关于 AM 的对称点 E（点 E 在CAH 内），连接 BE，BE、CE 分别交 AM 于点 F、G则线段 BF、AF、GF 之间的数量关系为 25如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 yx2 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，过 A、B 两点的抛物线 yax2+bx+c 与 x 轴交于另一点 C（1，0） （1）求抛物线
13、的解析式； （2）在抛物线上是否存在一点 P，使 SPABSOAB？若存在，请求出点 P 的坐标，若不 存在，请说明理由； （3） 点 M 为直线 AB 下方抛物线上一点， 点 N 为 y 轴上一点， 当MAB 的面积最大时， 求 MN+ON 的最小值 参考答案 一、单项选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1人类与病毒的斗争是长期的，不能松懈据中央电视台报道，截止北京时间 2020 年 6 月 30 日凌晨，全球新冠肺炎患者确诊病例达到 1002 万1002 万用科学记数法表示，正 确的是（ ） A1.002107 B1.002106 C1002104 D1.002102万 【分析】科学记
14、数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相 同当原数绝对值大于 10 时，n 是正数；当原数的绝对值小于 1 时，n 是负数 解：1002 万用科学记数法表示为 1.002107， 故选：A 2下列各数中，比 3 大比 4 小的无理数是（ ） A3.14 B C D 【分析】由于带根号的要开不尽方是无理数，无限不循环小数为无理数，根据无理数的 定义即可求解 解：3，4， A、3.14 是有理数，故此选项不合题意； B、是有理数，故此选项不符合题意； C、是比 3 大比 4 小的无
15、理数，故此选项符合题意； D、比 4 大的无理数，故此选项不合题意； 故选：C 3下列正方体的展开图上每个面上都有一个汉字其中，手的对面是口的是（ ） A B C D 【分析】利用正方体及其表面展开图的特点解题 解：A、手的对面是勤，不符合题意； B、手的对面是口，符合题意； C、手的对面是罩，不符合题意； D、手的对面是罩，不符合题意； 故选：B 4下列说法正确的是（ ） A为了解全国中小学生的心理健康状况，应采用普查 B确定事件一定会发生 C某校 6 位同学在新冠肺炎防疫知识竞赛中成绩分别为 98、97、99、99、98、96，那 么这组数据的众数为 98 D数据 6、5、8、7、2 的中
16、位数是 6 【分析】根据抽样调查与普查的区别、确定性事件的概念、众数和中位数的定义逐一求 解可得 解：A为了解全国中小学生的心理健康状况，应采用抽样调查，此选项错误； B确定事件一定会发生，或一定不会发生，此选项错误； C某校 6 位同学在新冠肺炎防疫知识竞赛中成绩分别为 98、97、99、99、98、96，那 么这组数据的众数为 98 和 99，此选项错误； D数据 6、5、8、7、2 的中位数是 6，此选项正确； 故选：D 5图 2 是图 1 中长方体的三视图，用 S 表示面积，S主x2+3x，S左x2+x，则 S俯（ ） Ax2+3x+2 Bx2+2x+1 Cx2+4x+3 D2x2+4
17、x 【分析】由主视图和左视图的宽为 x，结合两者的面积得出俯视图的长和宽，从而得出答 案 解：S主x2+3xx（x+3），S 左x2+xx（x+1）， 俯视图的长为 x+3，宽为 x+1， 则俯视图的面积 S俯（x+3）（x+1）x2+4x+3， 故选：C 6如图，正方体的每条棱上放置相同数目的小球，设每条棱上的小球数为 m，下列代数式 表示正方体上小球总数，则表达错误的是（ ） A12（m1） B4m+8（ m2） C12（ m2）+8 D12m16 【分析】正方体有 12 条棱，每条棱上的小球数为 m，则有 12m 个小球，而每个顶点处的 小球重复计算 2 次， 则正方形边上的所有小球的个
18、数为 12m8212m16， 再将各选 项化简即可 解： 由题意得， 当每条棱上的小球数为 m 时， 正方体上的所有小球数为 12m8212m 16 而 12（m1）12m1212m16，4m+8（ m2）12m16，12（ m2）+812m 16， 所以 A 选项表达错误，符合题意； B、C、D 选项表达正确，不符合题意； 故选：A 7 中国奇书 易经 中记载， 远古时期， 人们通过在绳子上打结来计数， 即 “结绳计数” 如 图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满 5 进 1，用来记录孩子自出生后的天 数由图可知，孩子自出生后的天数是（ ） A10 B89 C165 D294 【分析
19、】 根据计数规则可知， 从右边第为的计数单位为 50， 右边第 2 位的计数单位为 51， 右边第 3 位的计数单位为 52，右边第 4 位的计数单位为 53依此类推，可求出结果 解：253+152+351+450294， 故选：D 8如图，在半径为 5 的O 中，将劣弧 AB 沿弦 AB 翻折，使折叠后的恰好与 OA、OB 相切，则劣弧 AB 的长为（ ） A B C D 【分析】作 O 点关于 AB 的对称点 O，连接 OA、OB，如图，利用对称的性质得 到OAOBOAOB， 则可判断四边形OAOB为菱形， 再根据切线的性质得到O AOA，OBOB，则可判断四边形 OAOB 为正方形，然后
20、根据弧长公式求解 解：如图，作 O 点关于 AB 的对称点 O，连接 OA、OB， OAOBOAOB， 四边形 OAOB 为菱形， 折叠后的与 OA、OB 相切， OAOA，OBOB， 四边形 OAOB 为正方形， AOB90， 劣弧 AB 的长 故选：B 9如图，直线 y1kx 与抛物线 y2ax2+bx+c 交于 A、B 两点，则 yax2+（bk）x+c 的图 象可能是（ ） A B C D 【分析】根据题意和题目中给出的函数图象，可以得到函数 yax2+（bk）x+c 的大致 图象，从而可以解答本题 解：设 yy2y1， y1kx，y2ax2+bx+c， yax2+（bk）x+c， 由
21、图象可知，在点 A 和点 B 之间，y0，在点 A 的左侧或点 B 的右侧，y0， 故选项 B 符合题意，选项 A、C、D 不符合题意； 故选：B 10如图，BOD45，BODO，点 A 在 OB 上，四边形 ABCD 是矩形，连接 AC、BD 交于点 E， 连接 OE 交 AD 于点 F 下列 4 个判断： OE 平分BOD； OFBD； DF AF；若点 G 是线段 OF 的中点，则AEG 为等腰直角三角形正确判断的个数 是（ ） A4 B3 C2 D1 【分析】由矩形得 EBEDEA，BAD 为直角，再由等腰三角形的三线合一性质可判 断的正误；证明AOFABD，便可判断的正误；连接 BF
22、，由线段的垂直平分 线得 BFDF，由前面的三角形全等得 AFAB，进而便可判断的正误；由直角三角形 斜边上的中线定理得 AGOG，进而求得AGE45，由矩形性质得 EDEA，进而 得EAD22.5，再得EAG90，便可判断的正误 解：四边形 ABCD 是矩形， EBED， BODO， OE 平分BOD， 故正确； 四边形 ABCD 是矩形， OADBAD90， ABD+ADB90， OBOD，BEDE， OEBD， BOE+OBE90， BOEBDA， BOD45，OAD90， ADO45， AOAD， AOFABD（ASA）， OFBD， 故正确； AOFABD， AFAB， 连接 BF，
23、如图 1， BF， BEDE，OEBD， DFBF， DF， 故正确； 根据题意作出图形，如图 2， G 是 OF 的中点，OAF90， AGOG， AOGOAG， AOD45，OE 平分AOD， AOGOAG22.5， FAG67.5，ADBAOF22.5， 四边形 ABCD 是矩形， EAED， EADEDA22.5， EAG90， AGEAOG+OAG45， AEG45， AEAG， AEG 为等腰直角三角形， 故正确； 故选：D 二、填空题（每小题 3 分，共 18 分） 112019 年是中华人民共和国成立 70 周年，天安门广场举行了盛大的国庆阅兵式和群众游 行活动其中，群众游行队
24、伍以“同心共筑中国梦”为主题，包含有“建国创业”“改 革开放”“伟大复兴”三个部分，某同学要统计本班学生最喜欢哪个部分，制作扇形统 计图以下是打乱了的统计步骤： 绘制扇形统计图 收集三个部分本班学生喜欢的人数 计算扇形统计图中三个部分所占的百分比 其中正确的统计顺序是 【分析】根据扇形统计图的制作步骤求解可得 解：正确的统计顺序是： 收集三个部分本班学生喜欢的人数； 计算扇形统计图中三个部分所占的百分比； 绘制扇形统计图； 故答案为： 12如图，点 P（2，1）与点 Q（a，b）关于直线 1（y1）对称，则 a+b 5 【分析】利用轴对称的性质求出等 Q 的坐标即可 解：点 P（2，1）与点
25、Q（a，b）关于直线 1（y1）对称， a2，b3， a+b235， 故答案为5 13小明为测量校园里一颗大树 AB 的高度，在树底部 B 所在的水平面内，将测角仪 CD 竖 直放在与 B 相距 8m 的位置， 在 D 处测得树顶 A 的仰角为 52 若测角仪的高度是 1m， 则大树 AB 的高度约为 11 （结果精确到 lm参考数据：sin520.78，cos52 0.61，tan521.28） 【分析】过点 D 作 DEAB，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系，求出 AE， 进而求出 AB 即可 解：如图，过点 D 作 DEAB，垂足为 E，由题意得，BCDE8，ADE52，DE C
26、D1 在 RtADE 中，ADDE tanADE8tan5210.24， ABAE+BE10.24+111（米） 故答案为：11 14如图，点 A、B 在反比函数 y的图象上，A、B 的纵坐标分别是 3 和 6，连接 OA、 OB，则OAB 的面积是 9 【分析】根据图象上点的坐标特征求得 A、B 的坐标，将三角形 AOB 的面积转化为梯形 ABED 的面积，根据坐标可求出梯形的面积即可， 解：点 A、B 在反比函数 y的图象上，A、B 的纵坐标分别是 3 和 6， A（4，3），B（2，6）， 作 ADy 轴于 D，BEy 轴于 E， SAODSBOE 126， SOABSAOD+S 梯形A
27、BEDSBOES梯形ABED， SAOB （4+2）（63）9， 故答案为 9 15已知ABC 的三边 a、b、c 满足 b+|c3|+a28a419，则ABC 的内切圆半 径 1 【分析】由非负性可求 a，b，c 的值，由勾股定理的逆定理可证ABC 是直角三角形， ABC90，由面积法可求ABC 的内切圆半径 解：b+|c3|+a28a419， |c3|+（a4）2+（）20， c3，a4，b5， 32+422552， c2+a2b2， ABC 是直角三角形，ABC90， 设内切圆的半径为 r， 根据题意，得 SABC343r+4r+ r5， r1， 故答案为：1 16已知 k 为正整数，无
28、论 k 取何值，直线 11：ykx+k+1 与直线 12：y（k+1）x+k+2 都 交于一个固定的点，这个点的坐标是 （1，1） ；记直线 11和 12与 x 轴围成的三角 形面积为 Sk，则 S1 ，S1+S2+S3+S100的值为 【分析】变形解析式得到两条直线都经过点（1，1），即可证出无论 k 取何值，直线 l1与 l2的交点均为定点（1，1）；先求出 ykx+k+1 与 x 轴的交点和 y（k+1）x+k+2 与 x 轴的交点坐标，再根据三角形面积公式求出 Sk，求出 S1（1），S2 （ ），以此类推 S100 （ ），相加后得到 （1） 解：直线 11：ykx+k+1k（x+1
29、）+1， 直线 12：y（k+1）x+k+2 经过点（1，1）； 直线 12：y（k+1）x+k+2k（x+1）+（x+1）+1（k+1）（x+1）+1， 直线 12：y（k+1）x+k+2 经过点（1，1） 无论 k 取何值，直线 l1与 l2的交点均为定点（1，1） 直线 11：ykx+k+1 与 x 轴的交点为（ ，0）， 直线 12：y（k+1）x+k+2 与 x 轴的交点为（ ，0）， SK |+ |1， S1 ； S1+S2+S3+S100 + （1）+（）+（） （1） 故答案为（1，1）； 三、解答题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（共 72 分） 17计算：2
30、2+（）2+（）0+ 【分析】直接利用零指数幂的性质和立方根的性质、负整数指数幂的性质分别化简得出 答案 解：原式4+9+15 1 18求代数式（x1）的值，其中 x +1 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将 x 的值代入计算可得 解：原式（） ） x（x1） 当 x+1 时， 原式（+1）（+11） （+1） 2 19如图，点 O 在ABC 的边 BC 上，以 OB 为半径作O，ABC 的平分线 BM 交O 于 点 D，过点 D 作 DEBA 于点 E （1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹），补全图形； （2）判断O 与 DE 交点的个数，并说明理由 【分析】（1）根
31、据要求，利用尺规作出图形即可 （2）证明直线 AE 是O 的切线即可解决问题 解：（1）如图，O，射线 BM，直线 DE 即为所求 （2）直线 DE 与O 相切，交点只有一个 理由：OBOD， ODBOBD， BD 平分ABC， ABMCBM， ODBABD， ODAB， DEAB， AEOD， 直线 AE 是O 的切线， O 与直线 AE 只有一个交点 20争创全国文明城市，从我做起尚理中学在八年级开设了文明礼仪校本课程，为了解学 生的学习情况，随机抽取了 20 名学生的测试成绩，分数如下： 94 83 90 86 94 88 96 100 89 82 94 82 84 89 88 93 9
32、8 94 93 92 整理上面的数据，得到频数分布表和扇形统计图： 等级 成绩/分 频数 A 95x100 a B 90 x95 8 C 85x90 5 D 80 x85 4 根据以上信息，解答下列问题 （1）填空：a 3 ，b 40 ； （2） 若成绩不低于 90 分为优秀， 估计该校 1200 名八年级学生中， 达到优秀等级的人数； （3）已知 A 等级中有 2 名女生，现从 A 等级中随机抽取 2 名同学，试用列表或画树状图 的方法求出恰好抽到一男一女的概率 【分析】（1）由四个等级的人数之和等于总人数可得 a 的值，利用百分比的概念可得 b 的值； （2）用总人数乘以样本中 A、B 等
33、级人数和所占比例即可得； （3）列表得出所有等可能的情况数，找出一男一女的情况数，即可求出所求的概率 解：（1）由题意知 a20（8+5+4）3，b%100%40%，即 b40； 故答案为：3、40； （2）估计该校 1200 名八年级学生中，达到优秀等级的人数为 1200660（人）； （3）列表如下： 男 女 女 男 （男，女） （男，女） 女 （男，女） （女，女） 女 （男，女） （女，女） 所有等可能的结果有 6 种，其中恰好是一名男生和一名女生的情况有 4 种， 恰好抽到一男一女的概率为 21如图，ABC 中，BC2AB，D、E 分别是边 BC、AC 的中点将CDE 绕点 E 旋转
34、 180 度，得AFE （1）判断四边形 ABDF 的形状，并证明； （2）已知 AB3，AD+BF8，求四边形 ABDF 的面积 S 【分析】 （1） 结论： 四边形 ABDF 是菱形 根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可 （2）设 OAx，OBy，构建方程组求出 2xy 即可解决问题 解：（1）结论：四边形 ABDF 是菱形 CDDB，CEEA， DEAB，AB2DE， 由旋转的性质可知，DEEF， ABDF，ABDF， 四边形 ABDF 是平行四边形， BC2AB，BDDC， BABD， 四边形 ABDF 是菱形 （2）连接 BF，AD 交于点 O 四边形 ABDF 是菱形， ADBF
35、，OBOF，AOOD，设 OAx，OBy， 则有， x+y4， x2+2xy+y216， 2xy7， S菱形ABDF BFAD2xy7 22某家具商场计划购进某种餐桌、餐椅进行销售，有关信息如下表： 原进价（元/张） 零售价（元/张） 成套售价（元/套） 餐桌 a 380 940 餐椅 a140 160 已知用 600 元购进的餐椅数量与用 1300 元购进的餐桌数量相同 （1）求表中 a 的值； （2）该商场计划购进餐椅的数量是餐桌数量的 5 倍还多 20 张，且餐桌和餐椅的总数量 不超过 200 张若将一半的餐桌成套（一张餐桌和四张餐椅配成一套）销售，其余餐桌、 餐椅以零售方式销售，请问怎
36、样进货，才能获得最大利润？最大利润是多少？ 【分析】（1）根据数量总价单价，即可得出结论，解之经检验后即可得出 a 值； （2）设购进餐桌 x 张，则购进餐椅（5x+20）张，由餐桌和餐椅的总数量不超过 200 张， 可得出关于 x 的一元一次不等式，解之即可得出 x 的取值范围，设销售利润为 y 元，根 据销售方式及总利润单件 （单套） 利润销售数量， 即可得出 y 关于 x 的函数关系式， 利用一次函数的性质即可解决最值问题 解：（1）根据题意得：， 解得 a260， 经检验，a260 是原分式方程的解 答：表中 a 的值为 260 （2）设购进餐桌 x 张，则购进餐椅（5x+20）张，
37、根据题意得：x+5x+20200， 解得：x30 设销售利润为 y 元， 根据题意得：y9402604（260110）x+（380260）x+160（260 110）（5x+204x）250 x+1000， k2500， 当 x30 时，y 取最大值，最大值为：25030+10008500 答：当购进餐桌 30 张、餐椅 170 张时，才能获得最大利润，最大利润是 8500 元 23如图，在梯形 ABCD 中，ABCD，B90，AB6cm，CD2cmP 为线段 BC 上 的一动点，且和 B、C 不重合，连接 PA，过点 P 作 PEPA 交射线 CD 于点 E聪聪根 据学习函数的经验，对这个问
38、题进行了研究： （1）通过推理，他发现ABPPCE，请你帮他完成证明 （2）利用几何画板，他改变 BC 的长度，运动点 P，得到不同位置时，CE、BP 的长度 的对应值： 当 BC6cm 时，得表 1： BP/cm 1 2 3 4 5 CE/cm 0.83 1.33 1.50 1.33 0.83 当 BC8cm 时，得表 2： BP/cm 1 2 3 4 5 6 7 CE/cm 1.17 2.00 2.50 2.67 2.50 2.00 1.17 这说明，点 P 在线段 BC 上运动时，要保证点 E 总在线段 CD 上，BC 的长度应有一定的 限制 填空：根据函数的定义，我们可以确定，在 BP
39、 和 CE 的长度这两个变量中， BP 的 长度为自变量， EC 的长度为因变量； 设 BCmcm，当点 P 在线段 BC 上运动时，点 E 总在线段 CD 上，求 m 的取值范围 【分析】（1）根据两角对应相等两三角形相似证明即可 （2）根据函数的定义判断即可 设 BPxcm，CEycm利用相似三角形的性质构建二次函数，两条二次函数的性质 求出 y 的最大值即可解决问题 【解答】（1）证明：ABCD， B+C90， B90， BC90， APPE， APE90， APB+EPC90， EPC+PEC90， APBPEC， ABPPCE （2）解：根据函数的定义，我们可以确定，在 BP 和 C
40、E 的长度这两个变量中，BP 的 长度为自变量，EC 的长度为因变量， 故答案为：BP，EC 设 BPxcm，CEycm ABPPCE， ， ， yx2+mx（xm）2+， 0， xm 时，y 有最大值， 点 E 在线段 CD 上，CD2cm， 2， m4， 0m4 24（1）阅读与证明 如图 1，在正ABC 的外角CAH 内引射线 AM，作点 C 关于 AM 的对称点 E（点 E 在 CAH 内），连接 BE，BE、CE 分别交 AM 于点 F、G 完成证明：点 E 是点 C 关于 AM 的对称点， AGE90，AEAC，12 正ABC 中，BAC60，ABAC， AEAB，得34 在ABE
41、 中，1+2+60+3+4180，1+3 60 在AEG 中，FEG+3+190，FEG 30 求证：BFAF+2FG （2）类比与探究 把（1）中的“正ABC”改为“正方形 ABDC”，其余条件不变，如图 2类比探究， 可得： FEG 45 ； 线段 BF、AF、FG 之间存在数量关系 BFAF+FG （3）归纳与拓展 如图 3，点 A 在射线 BH 上，ABAC，BAC（0180），在CAH 内引射 线 AM，作点 C 关于 AM 的对称点 E（点 E 在CAH 内），连接 BE，BE、CE 分别交 AM 于点 F、G则线段 BF、AF、GF 之间的数量关系为 BF2AF sin+ 【分析
42、】（1）利用等腰三角形的性质，三角形内角和定理解决问题即可 如图 1 中，连接 CF，在 FB 上取一点 T，使得 FTCF，连接 CT证明BCTACF （SAS）可得结论 （2）如图 2 中，利用圆周角定理解决问题即可 结论：BFAF+FG如图 2 中，连接 CF，在 FB 上取一点 T，使得 FTCF， 连接 CT证明BCTACF，推出，推出 BTCF 可得结论 （3）如图 3 中，连接 CF，BC，在 BF 上取一点 T，使得 FTCF构造相似三角形，利 用相似三角形的性质解决问题即可 【解答】（1）解：如图 1 中，点 E 是点 C 关于 AM 的对称点， AGE90，AEAC，12
43、正ABC 中，BAC60，ABAC， AEAB，得34 在ABE 中，1+2+60+3+4180， 1+360 在AEG 中，FEG+3+190， FEG30 故答案为 60，30 证明：如图 1 中，连接 CF，在 FB 上取一点 T，使得 FTCF，连接 CT C，E 关于 AM 对称， AM 垂直平分线段 EC， FEFC， FECFCE30，EF2FG， CFTFEC+FCE60， FCFT， CFT 是等边三角形， ACBFCT60，CFCTFT， BCTACF， CBCA， BCTACF（SAS）， BTAF， BFBT+FTAF+EFAF+2FG （2）解：如图 2 中，ABAC
44、AE， 点 A 是ECB 的外接圆的圆心， BECBAC， BAC90， FEG45 故答案为 45 结论：BFAF+FG 理由：如图 2 中，连接 CF，在 FB 上取一点 T，使得 FTCF，连接 CT AMEC，CGCE， FCEF， FECFCE45，EFFG， CFTFEC+FCE90， CFCT， CFT 是等腰直角三角形， CTCF， ABC 是等腰直角三角形， BCAC， ， BCATCF45， BCTACF， BCTACF， ， BTCF， BFBT+TFAF+EAF+FG （3）如图 3 中，连接 CF，BC，在 BF 上取一点 T，使得 FTCF ABAC，BAC， si
45、n， 2 sin， ABACAE， BECBAC，EF， FCFE， FECFCE， CFTFEC+FCE， 同法可证，BCTACF， 2 sin， BT2AF sin， BFBT+FT2AF sin+EF即 BF2AF sin+ 故答案为：BF2AF sin+ 25如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 yx2 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，过 A、B 两点的抛物线 yax2+bx+c 与 x 轴交于另一点 C（1，0） （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线上是否存在一点 P，使 SPABSOAB？若存在，请求出点 P 的坐标，若不 存在，请说明理由； （3） 点 M
46、 为直线 AB 下方抛物线上一点， 点 N 为 y 轴上一点， 当MAB 的面积最大时， 求 MN+ON 的最小值 【分析】（1）先求出点 A，点 B 坐标，利用待定系数法可求解析式； （2）分两种情况讨论，利用平行线之间的距离相等，可求 OP 解析式，EP的解析式， 联立方程组可求解； （3）过点 M 作 MFAC，交 AB 于 F，设点 M（m，m2m2），则点 F（m，m 2），可求 MF 的长，由三角形面积公式可求MAB 的面积（m2）2+4，利用二 次函数的性质可求点 M 坐标，过点 O 作KOB30，过点 N 作 KNOK 于 K 点，过 点 M 作 MROK 于 R， 延长 MF
47、 交直线 KO 于 Q， 由直角三角形的性质可得 KNON， 可得 MN+ONMN+KN， 则当点 M， 点 N， 点 K 三点共线， 且垂直于 OK 时， MN+ ON 有最小值，即最小值为 MP，由直角三角形的性质可求解 解：（1）直线 yx2 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B， 点 A（4，0），点 B（0，2）， 设抛物线解析式为：ya（x+1）（x4）， 24a， a， 抛物线解析式为：y（x+1）（x4）x2x2； （2）如图，当点 P 在直线 AB 上方时，过点 O 作 OPAB，交抛物线与点 P， OPAB， ABP 和ABP 是等底等高的两个三角形， SPABSABO， OPAB， 直线 PO 的解析式为 yx， 联立方程组可得， 解得：或， 点 P（2+2，1+）或（22 ，1）； 当点 P在直线 AB 下方时，在 OB 的延长线上截取 BEOB2，过点 E 作 EPAB，交 抛物线于点 P， ABE
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