1、20202020 年普通高等学校招生模拟年普通高等学校招生模拟文科数学文科数学试题（一）试题（一） 本试卷共 4 页，23 题（含选考题） 。全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的 指定位置。 2.选择题的作答：选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题 卡，上的非答题区域均无效。 4.选考题的作答：先把所选题目的题
2、号在答题卡上指定的位置用 2B 铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应 的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域无效。 第 I 卷 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.复数 34 1 2 i i 的虚部为（ ） A. 2 5 B. 2 5 C. 11 5 D. 2 5 i 2.已知集合| 12Axx ， 2 |,By yxxA，则 R C AB （ ） A. B.1,4 C.2,4 D.2,4 3.已知向量a，b满足2,3a ，231,9ab，则a b的值为（ ） A.1 B.1 C.2 D.2 4.2020 年是中国
3、农历的鼠年，中国邮政为此发行了一枚名为“鼠兆丰年”的生肖鼠年邮票，两只大老鼠带 着萌动可爱的小老鼠侧身远望，身边是寓意丰收的花生，表情欢喜、得意，寓意着鼠到福来的含义.该邮票 的规格为 3636mm，为了估算图中 3 只老鼠图案的面积，现向该邮票内随机投掷 200 粒芝麻，已知恰有 120 粒芝麻落在老鼠图案内，据此可估计老鼠图案的面积大约为（ ） A.791mm2 B.778mm2 C.745mm2 D.700mm2 5.函数 sinf xxx在,x 上的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6.定义轴截面为正方形的圆柱为正圆柱.某正圆柱的一个轴截面是四边形ABCD，点 P 在母线BC上
4、，且 24BPPC.一只蚂蚁从圆柱底部的 A 点出发沿着圆柱体的表面爬行到点 P，则这只蚂蚁行走的最短路 程为（ ） A.213 B. 2 94 C. 2 916 D. 2 2 94 7.若sin2sin 63 ，则tan（ ） A.3 3 B.85 3 C.85 3 D.85 3 8.秤漏是南北朝时期发明的-种特殊类型的漏刻，它通过漏水的重量和体积来计算时间，即“漏水一斤，秤 重一斤，时经一刻” （一斤水对应一“古刻” ，相当于 14.4 分钟） ，计时的精度还可以随着秤的精度的提高而 提高.如图所示的程序框图为该秤漏的一个计时过程，若输出的 t 值为 57.6，则判断框中应填入（ ） A.
5、6?i B.8?i C.10?i D.8?i 9.已知函数 f x的图象可看作是由函数 sin2g xx的图象向右平移 8 个单位长度得到的， 则函数 f x 的一个单调递减区间为（ ） A., 4 4 B. 7 , 48 C. 3 , 88 D. 5 , 88 10.已知双曲线 22 22 :10,0 xy Cab ab 的左焦点为,0Fc，圆 2 22 :Fxcyc与 x 轴的负半 轴交于点 A，与 C 的一条渐近线的一个交点为 B（点 B 与原点 O 不重合） ，若4ABa，则 C 的离心率为 （ ） A.2 B.3 C.5 D.2 5 11.在ABC中， 内角 A， B， C 的对边分
6、别是 a， b， c，sinsinsinsinacACbBaB，24ba， 点 D 在边AB上，且2ADDB，则线段CD长度的最小值为（ ） A. 2 3 3 B. 2 2 3 C.3 D.2 12.已知函数 f x满足：对任意 12 0 xx，都有 12 12 0 f xf x xx ；函数2yf x的图象关于 点2,0对称.若实数a， b满足 22 22f abfba ， 则当 1 ,1 2 a 时， a ab 的取值范围为 （ ） A. 1 1 , 8 2 B. 1 1 , 4 2 C. 1 ,1 2 D.2,4 第卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第 1321 题为必考题，每个试题考生
7、都必须作答。第 2223 题为 选考题，考生根据要求作答。 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分。 13.第 32 届夏季奥运会将在日本东京举行，某校为此举办了主题为“奥运知识知多少”的知识竞赛，共有 200 名学生参加.竞赛过后，决定从这 200 名学生中抽取 10 名学生的竞赛成绩进行分析.现采用系统抽样的 方法，将这 200 名学生从 1 开始进行编号，已知被抽取到的号码有 176，则样本中所抽取到的最小号码为 _. 14.已知椭圆 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，若 C 的短轴长为4 6，且两个焦点恰好为长轴的 2 个相邻 的五等分点，则此椭圆的标准方程为_. 15.已知函
8、数 2 1 lnf xxfx，点 P 是曲线 yf x上任意一点，则点 P 到直线:40l xy的 最小距离为_. 16.以一个正多面体每条棱的中点为顶点，可以得到一个多面体，且该多面体是由一种或一种以上的正多边 形构成的.如图（1） ，以棱长为 2 的正四面体每条棱的中点为顶点，形成一个正多面体，则该正多面体外接 球的表面积为_.如图 （2） ， 以 （1） 形成的正多面体每条棱的中点为顶点， 又可以形成一个多面体， 则该多面体的表面积为_.（本题第一空 2 分，第二空 3 分） 图（1） 图（2） 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.（本小题满分 12 分） 202
9、0 年春季延期开学期间，为保证防控疫情期间中小学校“停课不停学” ，各地教育行政部门、中小学及教 育网站积极提供免费线上课程，为中小学生如期学习提供了便利条件.某教育网站针对高中学生的线上课程 播出后，社会各界反响强烈.该网站为了解高中学生对他们的线上课程的满意程度，从收看该课程的高中学 生中随机抽取了 1000 名学生对该线.上课程进行评分（满分 100 分） ，并把相关的统计结果记录如下： 评分分组 50,60 60,70 70,80 80,90 90,100 频数 100 200 400 250 50 （1）计算这 1000 名学生评分的中位数、平均数，根据样本估计总体的思想，若平均数低
10、于 70 分，视为不 满意，试判断高中学生对该线上课程是否满意？ （2）为了解部分学生评分偏低的原因，该网站利用分层抽样的方法从评分为50,60，60,70的高中学 生中抽取 6 人，再从中随机抽取 2 名学生进行详细调查，求这 2 名学生的评分来自不同评分分组的概率. 18.（本小题满分 12 分） 在数列 n a中， 1 8a ， 1 43 4n nn aa . （1）求证：数列4n n a 为等差数列； （2）设1 n nn ba ，求数列 n b的前 n 项和 n S. 19.（本小题满分 12 分） 如图，在四棱锥ABCED中，BD 平面ABC，底面BCED为梯形，CEBD，且 22
11、ABBCACBDCE，点 F 为AD的中点. （1）求证：EF 平面ABD； （2）求点 F 到平面ABE的距离. 20.（本小题满分 12 分） 设函数 6sin0 2 f xxmxx . （1）若 f x为单调函数，求实数 m 的取值范围； （2）当6m时，证明： 3 0 xf x. 21.（本小题满分 12 分） 已知抛物线 2 :20C xpy p的焦点为 F，点 Q 在抛物线 C 上，点 P 的坐标为 1 1, 2 ，且满足 2OFFPFQ（O 为坐标原点）. （1）求抛物线 C 的方程； （2）若直线 l 交抛物线 C 于 A，B 两点，且弦AB的中点 M 在直线2y 上，试求OA
12、B的面积的最大值. 请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。 22.（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，直线 1: 20lxy，曲线 22cos : 2sin x C y （为参数） ，以坐标原点 O 为 极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求直线 1 l与曲线 C 的极坐标方程； （2） 若直线 2 l的极坐标方程为R ， 直线 2 l与直线 1 l交于点 A， 与曲线 C 交于点 O 与点 B， 求 OB OA 的最大值. 23.（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数 ()211f
13、 xxx . （1）解不等式 4f x ； （2）记函数 31yf xx的最小值为 m，正实数 a，b 满足abm，试求 14 12ab 的最小值. 文科数学（一） 一、选择题 1.B 【解析】因为 341 23411 2 1 21 21 25 iiii iii ，所以其虚部为 2 5 .故选 B. 2.D 【解析】由题得，|04Byy， , 12, R C A ，所以2,4 R C AB .故选 D. 3.A 【解析】因为231,9ab，所以 34,61,93, 3b ，所以1, 1b ，所以 2,31, 1231a b .故选 A. 4.B 【解析】根据题意可估计老鼠图案的面积大约是 12
14、0 36 36777.6 200 S mm2，对照各选项，与 777.6mm2最接近的是 778mm2.故选 B. 5.C 【解析】当0,x时， sinf xxx， 1 cos0fxx ，则 f x单调递增，排除 D；当 ,0 x 时， sinf xxx， 1 cos0fxx ， 则 f x单调递增， 排除 B； 因为 fxf x 且 fxf x，所以 f x是非奇非偶函数，排除 A.故选 C. 6.C 【解析】 将该圆柱沿母线AD剪开， 得到其侧面展开图， 如下图所示.设底面圆半径为 r， 则26rBC， 3r ，在侧面展开图中3ABr.在RtABP中， 222 916APABBP.故选 C
15、. 7.D 【解析】由sin2sin 63 ，得sin2sin2cos 6266 ，所 以tan2 6 ，则 3 2 3 tantan85 3 662 3 1 3 .故选 D. 8.B 【解析】 初始值，0L ，0t ，1i ， 进人循环，1L ，14.4t ，3i ；2L ，28.8t ，5i ； 3L，43.2t ，7i ；4L ，57.6t ，9i ；若要输出57.6t ，则需满足判断条件，从而跳出 循环，对照各选项可知，可填人8?i .故选 B. 9.D 【解析】由题得， sin 2 84 f xg xx ，令 3 222 242 kxkk Z， 解得 37 88 kxkk Z，即函数
16、 f x的单调递减区间为 37 , 88 kkk Z.当 0k 时， 37 88 x ；当1k 时， 5 88 x ，对照各选项，D 正确.故选 D. 10.C 【解析】如图，由题意知ABOB，过点 F 作FDOB于点 D，则由AFOF知，点 D 为线 段OB的中点，且FDb，又 F 为OA的中点，所以2ABFD，从而42ab，即2ab，故 C 的 离心率为 22 22 4 115 ba aa .故选 C. 11.A 【解析】由sinsinsinsinacABbBaB及正弦定理，得 2 acacbab，即 222 babac， 由余弦定理得， 222 1 cos 22 abc C ab ， 0
17、,C， 3 C .由于2ADDB， 12 33 CACBCD ，两边平方，得 2 2 22 2222 14414212112 cos22 99999999992 ba CDbaabCbaabbaabba ， 当 且仅当22ba时取等号，即 2 214 2 123 CDba，线段CD长度的最小值为 2 3 3 .故选 A. 12.B 【解析】由对任意 12 0 xx，都有 12 12 0 f xf x xx ，可得， f x在0,上单调递减.由函 数2yf x的图象关于点2,0对称，得函数 yf x的图象关于原点对称，可得函数 yf x为 奇函数，故 f x在R上单调递减.于是得 22 22f
18、abf ba， 22 22abba， 22 220baab，20baba .则当 1 ,1 2 a 时，令ax，by，则问题等价于点 , x y满足区域 20 1 1 2 yxyx x ，如图阴影部分，由线性规划知识可知 y x 为, x y与0,0连线 的斜率，由图可得1,3 by ax ， 11 1 , 4 2 1 a b ab a .故选 B. 二、填空题 13.16 【解析】根据系统抽样得，样本间隔为 20010=20，从而可将 200 名学生分成 10 组，每组 20 名学 生.由题意可知，176 为倒数第 2 组的第 16 个号码，故所抽取的最小号码为 16. 14. 22 1 2
19、524 xy 【解析】椭圆的短轴长为4 6，即4 62b，2 6b ，即 22 24ac（*）.2 个焦点恰好为长轴的 2 个相邻的五等分点， 1 22 5 ca，得5ac，代入（*）式，解得1c ，5a ， 故该椭圆的标准方程为 22 1 2524 xy . 15.2 2 【解析】由题得， 1 2 f fxx x ， 121ff ， 11 f ，即 1 2fxx x . 令 1fx，可得1x 或 1 2 x （舍去） ，在曲线 yf x 上与直线:40l xy平行的切线经过 的切点坐标为1,1，则点 P 到直线:40l xy的最小距离为 1 1 4 2 2 1 1 . 16.2， 33 2
20、【解析】由图（1）可知，以正四面体每条棱的中点为顶点形成的正多面体为正八面体， 且该正八面体的棱长为正四面体棱长的一半，即棱长为 1.正八面体可看作是棱长都相等的两个正四棱锥的 组合体，由对称性可知，正八面体外接球的球心为正四棱锥底面正方形的中心，故该球的一条直径为正四 棱锥底面正方形的对角线，设该外接球的半径为 R，则22R ，即 2 2 R ，即所求的外接球的表面积 2 42SR.由图（2）可知，以新形成的正八面体每条棱的中点为顶点形成的多面体是由 6 个正方形 和 8 个正三角形构成的十四面体，且该多面体的棱长为 1 2 ，则该多面体的表面积为 22 31133 86 4222 S .
21、三、解答题 17.解： （1）设中位数为 a， 则由题意可得 70 0.1 0.20.40.5 10 a ， 解得75a ，即中位数为 75.（3 分） 又各组中间值分别为 55、65、75、85、95， 故平均数为 550.1+650.2+750.4+850.25+950.05=74.5， （5 分） 74.570， 高中学生对该线上课程是满意的.（6 分） （2）由题意知，从评分为50 60，的学生中抽取了 2 人，分别记为 x，y；从评分为60,70的学生中抽取 了 4 人，分别记为 a，b，c，d，则所有可能的结果有：, x y，, x a，, x b，, x c，, x d，, y
22、a， , y b，, y c，, y d，, a b，, a c，, a d，, b c，, b d，, c d，共 15 个.（8 分） 记两人来自同一组为事件 A， 则事件 A 包括的可能结果有：, x y，, a b，, a c，, a d，, b c，, b d， , c d，共 7 个， （10 分） 故所求的概率为 78 1 1515 P .（12 分） 18.解： （1）因为 1 43 4n nn aa ， 所以 11 1 43 44444 nnnn nnn aaa ， （3 分） 即 1 1 444 nn nn aa ， 又 1 44a ， 所以数列4n n a 是首项为 4，
23、公差为 4 的等差数列.（5 分） （2）由（1）可知，44414 n n ann， 所以44 n n an，414 nn n bn .（6 分） 当 n 为偶数时， 12 44441 2341 n n Snn 14 14 44 42 1425 n n n n .（9 分） 当 n 为奇数时，1n为偶数， 故 1 1 4444414 2141421442 5555 nnn nn n nnn SSbnnnnn . （11 分） 所以 1 1 44 2 , 5 414 2 55 n n n n n Sn n 为偶数 ， 为奇数 （12 分） 19.解： （1）取AB的中点 M，连接FM，CM. 因
24、为点 F 为AD的中点， 所以FMBD， 1 2 FMBD， 因为CEBD，2BDCE， 所以FMCE，FMCE， 因此四边形CEFM为平行四边形， 所以FECM.（3 分） 因为ABC为等边三角形，点 M 为AB的中点， 所以CMAB. 因为BD 平面ABC， 所以BDCM. 又ABBDB， 所以CM 平面ABD. 由得，EF 平面ABD.（6 分） （2）设点 D 到平面ABE的距离为 d， 则由 D ABEE ABD VV ， 得 11 33 ABEABD SdSEF ， 可得 ABD ABE SEF d S .（8 分） 因为 22 5BEBCCE， 22 5AEACCE， 所以 22
25、 11 25 12 22 ABE SABAEAM ， 又 11 2 22 22 ABD SAB BD ， 所以 23 3 2 d .（11 分） 由 F 为AD的中点， 可得点 F 到平面ABE的距离为 13 22 d .（12 分） 20.解： （1）由题得， 6cosfxxm，其中0cos1x.（1 分） 若函数 f x为增函数，则 0fx恒成立， 即6cosmx恒成立，所以0m.（3 分） 若函数 f x为减函数，则 0fx恒成立， 即6cosmx恒成立，所以6m. 综上，实数 m 的取值范围是 ,06,.（5 分） （2）由（1）知，当6m时， 6 sin00f xxxf， 即sinx
26、x，故 2 2 sin 22 xx .（7 分） 令 33 6sing xf xxxmxx，0, 2 x . 则 2 2222 6cos36 12sin36 1236 22 xx gxxmxxmxmm . 当6m时， 60g xm， （10 分） 所以 g x在0, 2 上是单调递增函数， 从而 00g xg，即 3 0 xf x.（12 分） 21.解： （1）设 00 ,Q x y，0, 2 p F ， 00 220,2,1 22 pp OFFPFQOFFQFPxy ， 0 20 x ， 0 1 22 pp y ， 0 2x ， 0 1y ，即2,1Q.（2 分） 又点 Q 在抛物线 C
27、上， 2 221p，2p ， （3 分） 抛物线 C 的方程为 2 4xy.（4 分） （2）依题意，可知直线AB与 x 轴不垂直，故可设直线AB的方程为ykxb， 并设 11 ,A x y， 22 ,B x y，AB的中点,2 M M x. 联立方程组 2 4 ykxb xy 消去 y， 得 2 440 xkxb， 12 4xxk， 12 4x xb . 线段AB的中点的纵坐标为 2， 2 1212 2424yyk xxbkb，即 2 22bk.（7 分） 由 2 16160kb ，得 2 0kb， 故 222 220kbkk，则 2 0,2k . 由ykxb，令0 x ，得 2 22ybk
28、. 2 2 222 121212 11 224412 22 OAB Sbxxkxxx xkk （9 分） 设 2 1tk ，则 1,1t ， 2 22232 121ykktttt， 令 2 2 3230 3 yttt t ， 得0t 或 2 3 t ， 由0y ，得 2 1, 0,1 3 t ， 由0y，得 2 ,0 3 t ， 32 ytt的单调递增区间为 2 1, 3 ，0,1，单调递减区间为 2 ,0 3 ， 当 2 3 t 时，y 取得极大值 4 27 ， 当1t 时，2y ， 4 2 27 ， 当1t ，即 2 0k 时，max4 2 OAB S ， 即OAB的面积的最大值是4 2.
29、（12 分） 22.解： （1）因为cosx，siny， 所以直线 1 l的极坐标方程为cossin2，即cos2 4 .（2 分） 由 22cos 2sin x y ，消去参数，得 22 40 xyx， 将 222 xy，cosx入上式，得 2 4 cos. 即曲线 C 的极坐标方程为 2 4 cos.（5 分） （2）因为直线 2: l，则 1, A ， 2, B ， 则 1 2 cossin ， 2 4cos， 所以 2 1 2 coscossin2cos 21 4 OB OA .（9 分） 所以当cos 21 4 时， OB OA 取得最大值21.（10 分） 23.解： （1）依题意
30、得 2,1 1 3 , 1 2 1 2, 2 x x f xxx xx ， 于是得 1 24 x x 或 1 1 2 34 x x 或 1 2 24 x x 解得21x ，或 1 1 2 x ，或 1 6 2 x. 即不等式 4f x 的解集为| 26xx .（5 分） （2） 31212221223yf xxxxxx ， 当且仅当21 220 xx，即 1 1 2 x 时取等号. 即3ab.（7 分） 所以 14114 12 12612 ab abab 4112 5 612 ab ab 41123 52 6122 ab ab ， 当且仅当 412 12 ab ab 且3ab，即1a ，2b时取等号， 所以 14 12ab 的最小值为 3 2 .（10 分）
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