1、两个不透明的口袋中各有三个相同的小球， 将每个口袋中的小球分别标号为 1， 2， 3从这两个口袋中分别摸出一个小球，则下列事件为随机事件的是（ ） A两个小球的标号之和等于 1 B两个小球的标号之和等于 6 C两个小球的标号之和大于 1 D两个小球的标号之和大于 6 4 （3 分）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性下列汉字 是轴对称图形的是（ ） A B C D 5 （3 分）如图是由 4 个相同的正方体组成的立体图形，它的左视图是（ ） A B C D &n
2、bsp;6 （3 分）某班从甲、乙、丙、丁四位选手中随机选取两人参加校乒乓球比赛，恰好选中甲、 乙两位选手的概率是（ ） A B C D 第 2 页（共 27 页） 7 （3 分）若点 A（a1，y1） ，B（a+1，y2）在反比例函数 y（k0）的图象上，且 y1 y2，则 a 的取值范围是（ ） Aa1 B1a1 Ca1 Da1 或 a1 8 （3 分）一个容器有进水管和出水管，每分钟的进水量和出水量是两个常数从某时刻开 始 4min 内只进水不出水，从第 4min 到第 24min 内既进水又出水，从第 24mi
3、n 开始只出 水不进水，容器内水量 y（单位：L）与时间 x（单位：min）之间的关系如图所示，则图 中 a 的值是（ ） A32 B34 C36 D38 9 （3 分）如图，在半径为 3 的O 中，AB 是直径，AC 是弦，D 是的中点，AC 与 BD 交于点 E若 E 是 BD 的中点，则 AC 的长是（ ） A B3 C3 D4 10 （3 分）下列图中所有小正方形都是全等的图（1）是一张由 4 个小正方形组成的“L” 形纸片，图（2）是一张由 6 个小正方形组成的 32 方格纸片 把“L”形纸片放置在图（2）中，使它恰好盖
4、住其中的 4 个小正方形，共有如图（3）中 的 4 种不同放置方法图（4）是一张由 36 个小正方形组成的 66 方格纸片，将“L” 形纸片放置在图（4）中，使它恰好盖住其中的 4 个小正方形，共有 n 种不同放置方法， 则 n 的值是（ ） 第 3 页（共 27 页） A160 B128 C80 D48 二、填空题（共二、填空题（共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 11 （3 分）计算的结果是 12 （3 分）热爱劳动， 劳动最美！某合作学习小组 6 名同学
5、一周居家劳动的时间（单位： h） ， 分别为：4，3，3，5，5，6这组数据的中位数是 13 （3 分）计算的结果是 14 （3 分） 在探索数学名题 “尺规三等分角” 的过程中， 有下面的问题： 如图， AC 是ABCD 的对角线，点 E 在 AC 上，ADAEBE，D102，则BAC 的大小是 15 （3 分）抛物线 yax2+bx+c（a，b，c 为常数，a0）经过 A（2，0） ，B（4，0）两 点，下列四个结论： 一元二次方程 ax2+bx+c0 的根为 x12，x24； &n
6、bsp;若点 C（5，y1） ，D（，y2）在该抛物线上，则 y1y2； 对于任意实数 t，总有 at2+btab； 对于 a 的每一个确定值，若一元二次方程 ax2+bx+cp （p 为常数，p0）的根为整数， 则 p 的值只有两个 其中正确的结论是 （填写序号） 16 （3 分）如图，折叠矩形纸片 ABCD，使点 D 落在 AB 边的点 M 处，EF 为折痕，AB1， AD2设 AM 的长为 t，用含有 t 的式子表示四边形 CDEF 的面积是 第 4 页（共 27 页）
7、 三、解答题（共三、解答题（共 8 小题，共小题，共 72 分）分） 17 （8 分）计算：a3a5+（3a4）2a2 18 （8 分） 如图直线 EF 分别与直线 AB， CD 交于点 E， F EM 平分BEF， FN 平分CFE， 且 EMFN求证：ABCD 19 （8 分）为改善民生：提高城市活力，某市有序推行“地摊经济”改策某社区志愿者 随机抽取该社区部分居民，按四个类别： A 表示 “非常支持” ，B 表示 “支持” ， C 表示 “不 关心” ，D 表示“不支持” ，调查他们对该政策态度的情况，将结果绘制成如图两幅不完 整的统计图
8、根据图中提供的信息，解决下列问题： （1）这次共抽取了 名居民进行调查统计，扇形统计图中，D 类所对应的扇形圆 心角的大小是 ； （2）将条形统计图补充完整； （3）该社区共有 2000 名居民，估计该社区表示“支持”的 B 类居民大约有多少人？ 20 （8 分）在 85 的网格中建立如图的平面直角坐标系，四边形 OABC 的顶点坐标分别为 O（0，0） ，A（3，4） ，B（8，4） ，C（5，0） 仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列步 骤完成画图，并回答问题： （1）将线段 CB 绕点 C 逆时针旋转
9、 90，画出对应线段 CD； 第 5 页（共 27 页） （2）在线段 AB 上画点 E，使BCE45（保留画图过程的痕迹） ； （3）连接 AC，画点 E 关于直线 AC 的对称点 F，并简要说明画法 21 （8 分）如图，在 RtABC 中，ABC90，以 AB 为直径的O 交 AC 于点 D，AE 与过点 D 的切线互相垂直，垂足为 E （1）求证：AD 平分BAE； （2）若 CDDE，求 sinBAC 的值 22 （10 分）某公司分别在 A，B 两城生产同种产品，共 100 件A
10、 城生产产品的总成本 y （万元）与产品数量 x（件）之间具有函数关系 yax2+bx当 x10 时，y400；当 x 20 时，y1000B 城生产产品的每件成本为 70 万元 （1）求 a，b 的值； （2）当 A，B 两城生产这批产品的总成本的和最少时，求 A，B 两城各生产多少件？ （3）从 A 城把该产品运往 C，D 两地的费用分别为 m 万元/件和 3 万元/件；从 B 城把该 产品运往 C，D 两地的费用分别为 1 万元/件和 2 万元/件C 地需要 90 件，D 地需要 10 件， 在 （2）的条件下，直接写出 A， B 两城总运费的和的最小
11、值 （用含有 m 的式子表示） 23 （10 分）问题背景 如图（1） ，已知ABCADE，求证：ABDACE； 尝试应用 如图（2） ，在ABC 和ADE 中，BACDAE90，ABCADE 30，AC 与 DE 相交于点 F，点 D 在 BC 边上，求的值； 拓展创新 如图（3） ，D 是ABC 内一点，BADCBD30，BDC90，AB 4，AC2，直接写出 AD 的长 第 6 页（共 27 页） 24 （12 分）将抛物线 C：y（x2）2向下平移 6 个单位长度得到抛物线 C1，再将抛物线 C1
12、向左平移 2 个单位长度得到抛物线 C2 （1）直接写出抛物线 C1，C2的解析式； （2）如图（1） ，点 A 在抛物线 C1（对称轴 l 右侧）上，点 B 在对称轴 l 上，OAB 是 以 OB 为斜边的等腰直角三角形，求点 A 的坐标； （3）如图（2） ，直线 ykx（k0，k 为常数）与抛物线 C2交于 E，F 两点，M 为线段 EF 的中点；直线 yx 与抛物线 C2交于 G，H 两点，N 为线段 GH 的中点求证： 直线 MN 经过一个定点 第 7 页（共 27 页） 2020 年湖北省武汉
13、市中考数学试卷年湖北省武汉市中考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1 （3 分）实数2 的相反数是（ ） A2 B2 C D 【分析】由相反数的定义可知：2 的相反数是 2 【解答】解：实数2 的相反数是 2， 故选：A 【点评】本题考查相反数的定义；熟练掌握相反数的定义是解题的关键 2 （3 分）式子在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是（ ） Ax0 Bx2 C
14、x2 Dx2 【分析】根据二次根式有意义的条件可得 x20，再解即可 【解答】解：由题意得：x20， 解得：x2， 故选：D 【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是 非负数 3 （3 分） 两个不透明的口袋中各有三个相同的小球， 将每个口袋中的小球分别标号为 1， 2， 3从这两个口袋中分别摸出一个小球，则下列事件为随机事件的是（ ） A两个小球的标号之和等于 1 B两个小球的标号之和等于 6 C两个小球的标号之和大于 1 D两个小球的标
15、号之和大于 6 【分析】分别利用随机事件、必然事件、不可能事件的定义分别分析得出答案 【解答】解：两个不透明的口袋中各有三个相同的小球，将每个口袋中的小球分别标 号为 1，2，3， 从这两个口袋中分别摸出一个小球，两个小球的标号之和等于 1，是不可能事件，不合 题意； 第 8 页（共 27 页） 两个小球的标号之和等于 6，是随机事件，符合题意； 两个小球的标号之和大于 1，是必然事件，不合题意； 两个小球的标号之和大于 6，是不可能事件，不合题意； 故选：B 【点评】本
16、题考查了随机事件、必然事件、不可能事件，解决此类问题，要学会关注身 边的事物，并用数学的思想和方法去分析、看待、解决问题，提高自身的数学素养 4 （3 分）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性下列汉字 是轴对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够 互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴求解即可 【解答】解：A、不是轴对称图形，不合题意； B、不是轴对称图形，不合题意； C、是轴对称图形，符合题意； D、
17、不是轴对称图形，不合题意； 故选：C 【点评】此题主要考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两 部分沿对称轴折叠后可重合 5 （3 分）如图是由 4 个相同的正方体组成的立体图形，它的左视图是（ ） A B C D 【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案 第 9 页（共 27 页） 【解答】解：从左边看上下各一个小正方形 故选：A 【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图 6 （3 分）某班从
18、甲、乙、丙、丁四位选手中随机选取两人参加校乒乓球比赛，恰好选中甲、 乙两位选手的概率是（ ） A B C D 【分析】根据题意画出树状图得出所有等可能情况数和恰好选中甲、乙两位选手的情况 数，然后根据概率公式即可得出答案 【解答】解：根据题意画图如下： 共用 12 种等情况数，其中恰好选中甲、乙两位选手的有 2 种， 则恰好选中甲、乙两位选手的概率是； 故选：C 【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率列表法可以不重复不遗漏的列出所 有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件
19、；解 题时要注意此题是放回试验还是不放回试验用到的知识点为：概率所求情况数与总 情况数之比 7 （3 分）若点 A（a1，y1） ，B（a+1，y2）在反比例函数 y（k0）的图象上，且 y1 y2，则 a 的取值范围是（ ） Aa1 B1a1 Ca1 Da1 或 a1 【分析】根据反比例函数的性质分两种情况进行讨论，当点（a1，y1） 、 （a+1，y2） 在图象的同一支上时，当点（a1，y1） 、 （a+1，y2）在图象的两支上时 【解答】解：k0， 在图象的每一支上，y 随 x 的增大而增大， 当点（a1，y1） 、
20、 （a+1，y2）在图象的同一支上， y1y2， 第 10 页（共 27 页） a1a+1， 此不等式无解； 当点（a1，y1） 、 （a+1，y2）在图象的两支上， y1y2， a10，a+10， 解得：1a1， 故选：B 【点评】 此题主要考查了反比例函数的性质， 关键是掌握当 k0 时， 在图象的每一支上， y 随 x 的增大而增大 8 （3 分）一个容器有进水管和出水管，每分钟的进水量和出水量是两个常数从某时刻开 始 4min 内只进水不出
21、水，从第 4min 到第 24min 内既进水又出水，从第 24min 开始只出 水不进水，容器内水量 y（单位：L）与时间 x（单位：min）之间的关系如图所示，则图 中 a 的值是（ ） A32 B34 C36 D38 【分析】根据图象可知进水的速度为 5（L/min） ，再根据第 16 分钟时容器内水量为 35L 可得出水的速度，进而得出第 24 分钟时的水量，从而得出 a 的值 【解答】解：由图象可知，进水的速度为：2045（L/min） ， 出水的速度为：5（3520）（164）3.75（L/min） ， 第 24 分钟时
22、的水量为：20+（53.75）（244）45（L） ， a24+453.7536 故选：C 【点评】此题考查了一次函数的应用，解题时首先正确理解题意，利用数形结合的方法 即可解决问题 9 （3 分）如图，在半径为 3 的O 中，AB 是直径，AC 是弦，D 是的中点，AC 与 BD 交于点 E若 E 是 BD 的中点，则 AC 的长是（ ） 第 11 页（共 27 页） A B3 C3 D4 【分析】连接 OD，交 AC 于 F，根据垂径定理得出 ODAC，AFCF，进而证得 DF
23、BC，根据三角形中位线定理求得 OFBCDF，从而求得 BCDF2，利用勾股定 理即可求得 AC 【解答】解：连接 OD，交 AC 于 F， D 是的中点， ODAC，AFCF， DFE90， OAOB，AFCF， OFBC， AB 是直径， ACB90， 在EFD 和ECB 中 EFDECB（AAS） ， DFBC， OFDF， OD3， OF1， BC2， 在 RtABC 中，AC2AB2BC2，
24、 AC4， 第 12 页（共 27 页） 故选：D 【点评】本题考查了垂径定理，三角形全等的判定和性质，三角形中位线定理，熟练掌 握性质定理是解题的关键 10 （3 分）下列图中所有小正方形都是全等的图（1）是一张由 4 个小正方形组成的“L” 形纸片，图（2）是一张由 6 个小正方形组成的 32 方格纸片 把“L”形纸片放置在图（2）中，使它恰好盖住其中的 4 个小正方形，共有如图（3）中 的 4 种不同放置方法图（4）是一张由 36 个小正方形组成的 66 方格纸片，将“L” 形纸片放置在图（4）中，使
25、它恰好盖住其中的 4 个小正方形，共有 n 种不同放置方法， 则 n 的值是（ ） A160 B128 C80 D48 【分析】对于图形的变化类的规律题，首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什 么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解探寻规律要认真 观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题 【解答】解：观察图象可知（4）中共有 45240 个 32 的长方形， 由（3）可知，每个 32 的长方形有 4 种不同放置方法， 则 n 的值是 404160 故选：A 【点评】此题考查了规律型：图
26、形的变化类，要求学生通过观察图形，分析、归纳并发 现其中的规律，并应用规律解决问题是解题的关键 二、填空题（共二、填空题（共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 第 13 页（共 27 页） 11 （3 分）计算的结果是 3 【分析】根据二次根式的性质解答 【解答】解：3 故答案为：3 【点评】解答此题利用如下性质：|a| 12 （3 分）热爱劳动， 劳动最美！某合作学习小组 6 名同学一周居家劳动的时间（单位： h） ， 分别为：4，3，3，5，5，6
27、这组数据的中位数是 4.5 【分析】根据中位数的定义求解可得 【解答】解：将数据重新排列为：3，3，4，5，5，6， 所以这组数据的中位数为4.5， 故答案为：4.5 【点评】本题主要考查中位数，解题的关键是掌握中位数的定义：将一组数据按照从小 到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这 组数据的中位数如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据 的中位数 13 （3 分）计算的结果是 【分析】原式通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果 &nb
28、sp;【解答】解：原式 故答案为： 【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键 14 （3 分） 在探索数学名题 “尺规三等分角” 的过程中， 有下面的问题： 如图， AC 是ABCD 的对角线，点 E 在 AC 上，ADAEBE，D102，则BAC 的大小是 26 第 14 页（共 27 页） 【分析】根据平行四边形的性质得到ABCD102，ADBC，根据等腰三角形的 性质得到EABEBA， BECECB， 根据三角形外角的性质得到ACB2C
29、AB， 由三角形的内角和定理即可得到结论 【解答】解：四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD102，ADBC， ADAEBE， BCAEBE， EABEBA，BECECB， BECEAB+EBA2EAB， ACB2CAB， CAB+ACB3CAB180ABC180102， BAC26， 故答案为：26 【点评】本题考查了平行四边形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，正 确的识别图形是解题的关键 15 （3 分）抛物线 yax2+bx+c（
30、a，b，c 为常数，a0）经过 A（2，0） ，B（4，0）两 点，下列四个结论： 一元二次方程 ax2+bx+c0 的根为 x12，x24； 若点 C（5，y1） ，D（，y2）在该抛物线上，则 y1y2； 对于任意实数 t，总有 at2+btab； 对于 a 的每一个确定值，若一元二次方程 ax2+bx+cp （p 为常数，p0）的根为整数， 则 p 的值只有两个 其中正确的结论是 （填写序号） 【分析】根据题目中的抛物线和二次函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否正确， 从而可以解答本题
31、【解答】解：抛物线 yax2+bx+c（a，b，c 为常数，a0）经过 A（2，0） ，B（4， 第 15 页（共 27 页） 0）两点， 当 y0 时，0ax2+bx+c 的两个根为 x12，x24，故正确； 该抛物线的对称轴为直线 x1，函数图象开口向下，若点 C（5，y1） ，D （，y2）在该抛物线上，则 y1y2，故错误； 当 x1 时，函数取得最大值 yab+c，故对于任意实数 t，总有 at2+bt+cab+c， 即对于任意实数 t，总有 at2+btab，故正确； 对于 a 的每一个确定值，若一元二次方
32、程 ax2+bx+cp（p 为常数，p0）的根为整数， 则两个根为3 和 1 或2 和 0 或1 和1，故 p 的值有三个，故错误； 故答案为： 【点评】本题考查抛物线与 x 轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数与一 元二次方程的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答 16 （3 分）如图，折叠矩形纸片 ABCD，使点 D 落在 AB 边的点 M 处，EF 为折痕，AB1， AD2设 AM 的长为 t，用含有 t 的式子表示四边形 CDEF 的面积是 【分析】连接 DM，过点 E 作 EGBC 于点 G，
33、设 DExEM，则 EA2x，由勾股 定理得出（2x）2+t2x2，证得ADMFEG，由锐角三角函数的定义得出 FG，求 出 CF，则由梯形的面积公式可得出答案 【解答】解：连接 DM，过点 E 作 EGBC 于点 G， 设 DExEM，则 EA2x， AE2+AM2EM2， （2x）2+t2x2， 第 16 页（共 27 页） 解得 x+1， DE+1， 折叠矩形纸片 ABCD，使点 D 落在 AB 边的点 M 处， EFDM， ADM+DEF90， &n
34、bsp;EGAD， DEF+FEG90， ADMFEG， tanADM， FG， CGDE+1， CF+1， S四边形CDEF（CF+DE）1t+1 故答案为：t+1 【点评】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，锐角三角函数，熟练掌握折 叠的性质及方程的思想是解题的关键 三、解答题（共三、解答题（共 8 小题，共小题，共 72 分）分） 17 （8 分）计算：a3a5+（3a4）2a2 【分析】原式中括号中利用同底数幂的乘法，积的乘方与幂的乘方
35、运算法则计算，合并 后利用单项式除以单项式法则计算即可求出值 【解答】解：原式（a8+9a8）a2 10a8a2 10a6 【点评】此题考查了整式的除法，同底数幂的乘法，以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌 握运算法则是解本题的关键 18 （8 分） 如图直线 EF 分别与直线 AB， CD 交于点 E， F EM 平分BEF， FN 平分CFE， 且 EMFN求证：ABCD 第 17 页（共 27 页） 【分析】根据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到FEBEFC，进而得出 ABCD
36、 【解答】证明：EMFN， FEMEFN， 又EM 平分BEF，FN 平分CFE， FEBEFC， ABCD 【点评】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是熟记角平分线的性质和平 行线的性质 19 （8 分）为改善民生：提高城市活力，某市有序推行“地摊经济”改策某社区志愿者 随机抽取该社区部分居民，按四个类别： A 表示 “非常支持” ，B 表示 “支持” ， C 表示 “不 关心” ，D 表示“不支持” ，调查他们对该政策态度的情况，将结果绘制成如图两幅不完 整的统计图根据图中提供的信息，解决下列问题
37、： （1）这次共抽取了 60 名居民进行调查统计，扇形统计图中，D 类所对应的扇形圆心 角的大小是 6 ； （2）将条形统计图补充完整； （3）该社区共有 2000 名居民，估计该社区表示“支持”的 B 类居民大约有多少人？ 【分析】 （1）由 C 类别的人数及其所占百分比可得被调查的总人数，用 360乘以样本 中 D 类别人数占被调查人数的比例即可得出答案； （2）根据 A、B、C、D 四个类别人数之和等于被调查的总人数求出 A 的人数，从而补全 第 18 页（共 27 页） 图形； （3）
38、用总人数乘以样本中 B 类别人数所占比例可得答案 【解答】解： （1）这次抽取的居民数量为 915%60（名） ， 扇形统计图中，D 类所对应的扇形圆心角的大小是 3606， 故答案为：60，6； （2）A 类别人数为 60（36+9+1）14（名） ， 补全条形图如下： （3）估计该社区表示“支持”的 B 类居民大约有 20001200（名） 【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用读懂统计图，从不同的统 计图中得到必要的信息是解决问题的关键 条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据； 扇形统计
39、图直接反映部分占总体的百分比大小 20 （8 分）在 85 的网格中建立如图的平面直角坐标系，四边形 OABC 的顶点坐标分别为 O（0，0） ，A（3，4） ，B（8，4） ，C（5，0） 仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列步 骤完成画图，并回答问题： （1）将线段 CB 绕点 C 逆时针旋转 90，画出对应线段 CD； （2）在线段 AB 上画点 E，使BCE45（保留画图过程的痕迹） ； （3）连接 AC，画点 E 关于直线 AC 的对称点 F，并简要说明画法 【分析】 （1）利用网格特点和旋转的性质画出 B 点的对称点 D
40、即可； 第 19 页（共 27 页） （2） 作出 BC 为边的正方形， 找到以 C 点为一个顶点的对角线与 AB 的交点 E 即为所求； （3）利用网格特点，作出 E 点关于直线 AC 的对称点 F 即可 【解答】解： （1）如图所示：线段 CD 即为所求； （2）如图所示：BCE 即为所求； （3）连接（5，0） ， （0，5） ，可得与 AC 的交点 F，点 F 即为所求，如图所示： 【点评】本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转 角，对应线段也相等，由此可以
41、通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法， 找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形也考查了轴对称变换 21 （8 分）如图，在 RtABC 中，ABC90，以 AB 为直径的O 交 AC 于点 D，AE 与过点 D 的切线互相垂直，垂足为 E （1）求证：AD 平分BAE； （2）若 CDDE，求 sinBAC 的值 【分析】 （1）连接 OD，如图，根据切线的性质得到 ODDE，则可判断 ODAE，从而 得到1ODA，然后利用2ODA 得到12； （2）连接 BD，如图，利用圆周角定理得到ADB90，再证明23，利用三角 函数
42、的定义得到 sin1，sin3，则 ADBC，设 CDx，BCADy，证明 CDBCBA，利用相似比得到 x：yy： （x+y） ，然后求出 x、y 的关系可得到 sin BAC 的值 【解答】 （1）证明：连接 OD，如图， 第 20 页（共 27 页） DE 为切线， ODDE， DEAE， ODAE， 1ODA， OAOD， 2ODA， 12， AD 平分BAE； （2）解：连接 BD，如图， AB 为直径， &nbs
43、p;ADB90， 2+ABD90，3+ABD90， 23， sin1，sin3， 而 DEDC， ADBC， 设 CDx，BCADy， DCBBCA，32， CDBCBA， CD：CBCB：CA，即 x：yy： （x+y） ， 整理得 x2+xy+y20，解得 xy 或 xy（舍去） ， sin3， 即 sinBAC 的值为 第 21 页（共 27 页） 【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经
44、过切点的半径若出现圆的切线， 必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系也考查了圆周角定理和解直角三角形 22 （10 分）某公司分别在 A，B 两城生产同种产品，共 100 件A 城生产产品的总成本 y （万元）与产品数量 x（件）之间具有函数关系 yax2+bx当 x10 时，y400；当 x 20 时，y1000B 城生产产品的每件成本为 70 万元 （1）求 a，b 的值； （2）当 A，B 两城生产这批产品的总成本的和最少时，求 A，B 两城各生产多少件？ （3）从 A 城把该产品运往 C，D 两地的费用分别为 m 万元/件和 3 万元
45、/件；从 B 城把该 产品运往 C，D 两地的费用分别为 1 万元/件和 2 万元/件C 地需要 90 件，D 地需要 10 件， 在 （2）的条件下，直接写出 A， B 两城总运费的和的最小值 （用含有 m 的式子表示） 【分析】 （1）利用待定系数法即可求出 a，b 的值； （2）先根据（1）的结论得出 y 与 x 之间的函数关系，从而可得出 A，B 两城生产这批产 品的总成本的和，再根据二次函数的性质即可得出答案； （3）设从 A 城运往 C 地的产品数量为 n 件，A，B 两城总运费的和为 P，则从 A 城运往 D 地的产品数量为（20n）件，从
46、B 城运往 C 地的产品数量为（90n）件，从 B 城运 往 D 地的产品数量为（1020+n）件，从而可得关于 n 的不等式组，解得 n 的范围，然 后根据运费信息可得 P 关于 n 的一次函数，最后根据一次函数的性质可得答案 【解答】解： （1）由题意得：， 解得： a1，b30； （2）由（1）得：yx2+30 x， 设 A，B 两城生产这批产品的总成本为 w， 则 wx2+30 x+70（100 x） x240 x+7000， 第 22 页（共 27 页） （x2
47、0）2+6600， 由二次函数的性质可知，当 x20 时，w 取得最小值，最小值为 6600 万元，此时 100 2080 答：A 城生产 20 件，B 城生产 80 件； （3）设从 A 城运往 C 地的产品数量为 n 件，A，B 两城总运费的和为 P， 则从 A 城运往 D 地的产品数量为（20n）件，从 B 城运往 C 地的产品数量为（90n） 件，从 B 城运往 D 地的产品数量为（1020+n）件， 由题意得：， 解得 10n20， Pmn+3（20n）+（90n）+2（1020+n） ，
48、;整理得：P（m2）n+130， 根据一次函数的性质分以下两种情况： 当 0m2，10n20 时，P 随 n 的增大而减小， 则 n20 时，P 取最小值，最小值为 20（m2）+13020m+90； 当 m2，10n20 时，P 随 n 的增大而增大， 则 n10 时，P 取最小值，最小值为 10（m2）+13010m+110 答：0m2 时，A，B 两城总运费的和为（20m+90）万元；当 m2 时，A，B 两城总 运费的和为（10m+110）万元 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数及
49、一次函数在实际问题 中的应用，理清题中的数量关系并明确一次函数和二次函数的相关性质是解题的关键 23 （10 分）问题背景 如图（1） ，已知ABCADE，求证：ABDACE； 尝试应用 如图（2） ，在ABC 和ADE 中，BACDAE90，ABCADE 30，AC 与 DE 相交于点 F，点 D 在 BC 边上，求的值； 拓展创新 如图（3） ，D 是ABC 内一点，BADCBD30，BDC90，AB 4，AC2，直接写出 AD 的长 第 23 页（共 27 页） 【分析】问题背景 由题意得
50、出，BACDAE，则BADCAE，可证得结论； 尝试应用 连接 EC，证明ABCADE，由（1）知ABDACE，由相似三角形的性质得出 ，ACEABDADE，可证明ADFECF，得出3，则 可求出答案 拓展创新 过点 A 作 AB 的垂线，过点 D 作 AD 的垂线，两垂线交于点 M，连接 BM，证明BDC MDA， 由相似三角形的性质得出， 证明BDMCDA， 得出， 求出 BM6，由勾股定理求出 AM，最后由直角三角形的性质可求出 AD 的长 【解答】问题背景 证明：ABCADE， ，BACDAE， &nb
51、sp;BADCAE， ABDACE； 尝试应用 解：如图 1，连接 EC， BACDAE90，ABCADE30， ABCADE， 第 24 页（共 27 页） 由（1）知ABDACE， ，ACEABDADE， 在 RtADE 中，ADE30， ， 3 ADFECF，AFDEFC， ADFECF， 3 拓展创新 解：如图 2，过点 A 作 AB 的垂线，过点 D 作 AD 的垂线，两垂线交
52、于点 M，连接 BM， BAD30， DAM60， AMD30， AMDDBC， 又ADMBDC90， BDCMDA， ， 又BDCADM， BDC+CDMADM+ADC， 即BDMCDA， BDMCDA， ， 第 25 页（共 27 页） AC2， BM26， AM2， AD 【点评】此题是相似形综合题，考查了直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判 定与性质
53、等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键 24 （12 分）将抛物线 C：y（x2）2向下平移 6 个单位长度得到抛物线 C1，再将抛物线 C1向左平移 2 个单位长度得到抛物线 C2 （1）直接写出抛物线 C1，C2的解析式； （2）如图（1） ，点 A 在抛物线 C1（对称轴 l 右侧）上，点 B 在对称轴 l 上，OAB 是 以 OB 为斜边的等腰直角三角形，求点 A 的坐标； （3）如图（2） ，直线 ykx（k0，k 为常数）与抛物线 C2交于 E，F 两点，M 为线段 EF 的中点；直线 yx 与抛物线 C2交于 G，H 两
54、点，N 为线段 GH 的中点求证： 直线 MN 经过一个定点 【分析】 （1）根据平移规律：上加下减，左加右减，直接写出平移后的解析式； （2）过点 A 作 ACx 轴于点 C，过 B 作 BDAC 于点 D，设 A（a， （a2）26） ，则 BDa2，AC|（a2）26|，再证明ABDOAC，由全等三角形的性质得 a 的 方程求得 a 便可得 A 的坐标； （3）由两直线解析式分别与抛物线的解析式联立方程组，求出 M、N 点的坐标，进而求 得 MN 的解析式，再根据解析式的特征得出 MN 经过一个定点 【解答】解： （1）抛物线 C：y（x
55、2）2向下平移 6 个单位长度得到抛物线 C1， 第 26 页（共 27 页） C1：y（x2）26， 将抛物线 C1向左平移 2 个单位长度得到抛物线 C2 C2：y（x2+2）26，即 yx26； （2）过点 A 作 ACx 轴于点 C，过 B 作 BDAC 于点 D，如图 1， 设 A（a， （a2）26） ，则 BDa2，AC|（a2）26|， BAOACO90， BAD+OACOAC+AOC90， BADAOC， ABOA，ADBOCA， &nbs
56、p;ABDOAC（AAS） ， BDAC， a2|（a2）26|， 解得，a4，或 a1（舍） ，或 a0（舍） ，或 a5， A（4，2）或（5，3） ； （3）把 ykx 代入 yx26 中得，x2kx60， xE+xFk， M（） ， 把 yx 代入 yx26 中得，x2+x60， 第 27 页（共 27 页） ， N（，） ， 设 MN 的解析式为 ymx+n（m0） ，则 ，解得， 直线 MN 的解析式为：， 当 x0 时，y2， 直线 MN：经过定点（0，2） ， 即直线 MN 经过一个定点 【点评】本题是一个二次函数综合题，主要考查了平移的性质，二次函数的性质，等腰 直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，待定系数法，求函数图象的交点问题，
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