1、一个不透明的盒子中装有 4 个形状、大小质地完全相同的小球，这些小球上分别 标有数字1、0、2 和 3从中随机地摸取一个小球，则这个小球所标数字是正数的概率 为（ ） A B C D 4 （4 分）一实验室检测 A、B、C、D 四个元件的质量（单位：克） ，超过标准质量的克数 记为正数，不足标准质量的克数记为负数，结果如图所示，其中最接近标准质量的元件 是（ ） A B C D 5 （4 分）数据 12、15、18、17、10、19 的中位数为（ ） A14 B15 C16 D17 6 （4 分）下列哪个数是不等式 2（x
2、1）+30 的一个解？（ ） A3 B C D2 7 （4 分）在平面直角坐标系中，点 A（a，2）在第二象限内，则 a 的取值可以是（ ） A1 B C D4 或4 8 （4 分）下列不等式错误的是（ ） A21 B C D0.3 9 （4 分）如图所示，点 A、B、C 对应的刻度分别为 0、2、4、将线段 CA 绕点 C 按顺时针 方向旋转，当点 A 首次落在矩形 BCDE 的边 BE 上时，记为点 A1，则此时线段 CA 扫过 的图形的面积为（ ） 第 2 页（共 27 页）
3、 A4 B6 C4 D 10 （4 分）二次函数 yax2+bx+c，若 ab0，ab20，点 A（x1，y1） ，B（x2，y2）在该 二次函数的图象上，其中 x1x2，x1+x20，则（ ） Ay1y2 By1y2 Cy1y2 Dy1、y2的大小无法确定 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 8 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 32 分）分） 11 （4 分）关于 x 的方程 3x8x 的解为 x 12 （4 分）因式分解：2a212a 13 （4 分）
4、计算的结果是 14 （4 分）王老师对本班 40 个学生所穿校服尺码的数据统计如下： 尺码 S M L XL XXL XXL 频率 0.05 0.1 0.2 0.325 0.3 0.025 则该班学生所穿校服尺码为“L”的人数有 个 15 （4 分）一个蜘蛛网如图所示，若多边形 ABCDEFGHI 为正九边形，其中心点为点 O， 点 M、N 分别在射线 OA、OC 上，则MON 度 16 （4 分）如图所示，点 D、E 分别是ABC 的边 AB、AC 的中点，连接 BE，过点
5、C 作 CFBE，交 DE 的延长线于点 F，若 EF3，则 DE 的长为 第 3 页（共 27 页） 17 （4 分）如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中，四边形 OABC 为矩形，点 A、C 分别在 x 轴、y 轴上，点 B 在函数 y1（x0，k 为常数且 k2）的图象上，边 AB 与函数 y2 （x0）的图象交于点 D，则阴影部分 ODBC 的面积为 （结果用含 k 的式子 表示） 18 （4 分）据汉书律历志记载： “量者，龠（yu） 、合、升、斗、斛（h）也”斛是中 国古代
6、的一种量器， “斛底，方而圜（hun）其外，旁有庣（tio）焉” 意思是说： “斛 的底面为：正方形外接一个圆，此圆外是一个同心圆” ，如图所示 问题：现有一斛，其底面的外圆直径为两尺五寸（即 2.5 尺） ， “庣旁”为两寸五分（即两 同心圆的外圆与内圆的半径之差为 0.25 尺） ，则此斛底面的正方形的周长为 尺 （结果用最简根式表示） 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 小题，共小题，共 78 分）分） 19计算： （） 1+|1| tan60 第 4 页（共 27 页） 2
7、0先化简，再求值： （） 1，其中 x，y2 21 某高速公路管理部门工作人员在对某段高速公路进行安全巡检过程中， 发现该高速公路 旁的一斜坡存在落石隐患该斜坡横断面示意图如图所示，水平线 l1l2，点 A、B 分别 在 l1、l2上，斜坡 AB 的长为 18 米，过点 B 作 BCl1于点 C，且线段 AC 的长为 2米 （1）求该斜坡的坡高 BC； （结果用最简根式表示） （2） 为降低落石风险， 该管理部门计划对该斜坡进行改造， 改造后的斜坡坡角 为 60， 过点 M 作 MNl1于点 N，求改造后的斜坡长度比改造前的斜坡长度增加了多少米
8、？ 22近几年，国内快递业务快速发展，由于其便捷、高效，人们越来越多地通过快递公司代 办点来代寄包裹 某快递公司某地区一代办点对 60 天中每天代寄的包裹数与天数的数据 （每天代寄包裹数、天数均为整数）统计如下： （1）求该数据中每天代寄包裹数在 50.5200.5 范围内的天数； （2） 若该代办点对顾客代寄包裹的收费标准为： 重量小于或等于 1 千克的包裹收费 8 元； 重量超 1 千克的包裹，在收费 8 元的基础上，每超过 1 千克（不足 1 千克的按 1 千克计 算）需再收取 2 元 某顾客到该代办点寄重量为 1.6 千克的包裹，求该顾客
9、应付多少元费用？ 这 60 天中，该代办点为顾客代寄的包表中有一部分重量超过 2 千克，且不超过 5 千 克现从中随机抽取 40 件包裹的重量数据作为样本，统计如下： 重量 G（单位：千克） 2G3 3G4 4G5 件数（单位：件） 15 10 15 求这 40 件包裹收取费用的平均数 第 5 页（共 27 页） 23如图所示，BEF 的顶点 E 在正方形 ABCD 对角线 AC 的延长线上，AE 与 BF 交于点 G，连接 AF、CF，满足ABFCBE （1）求证：EBF90 &n
10、bsp;（2）若正方形 ABCD 的边长为 1，CE2，求 tanAFC 的值 24AB 是O 的直径，点 C 是O 上一点，连接 AC、BC，直线 MN 过点 C，满足BCM BAC （1）如图，求证：直线 MN 是O 的切线； （2）如图，点 D 在线段 BC 上，过点 D 作 DHMN 于点 H，直线 DH 交O 于点 E、 F，连接 AF 并延长交直线 MN 于点 G，连接 CE，且 CE，若O 的半径为 1，cos 第 6 页（共 27 页） ，求 AGED 的值 25如图所示，OAB 的顶点 A 在反比
11、例函数 y（k0）的图象上，直线 AB 交 y 轴于 点 C，且点 C 的纵坐标为 5，过点 A、B 分别作 y 轴的垂线 AE、BF，垂足分别为点 E、F， 且 AE1 （1）若点 E 为线段 OC 的中点，求 k 的值； （2）若OAB 为等腰直角三角形，AOB90，其面积小于 3 求证：OAEBOF； 把|x1x2|+|y1y2|称为 M（x1，y1） ，N（x2，y2）两点间的“ZJ 距离” ，记为 d（M，N） ， 求 d（A，C）+d（A，B）的值 26如图所示，二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象（记为抛物线）与
12、 y 轴交于点 C， 与 x 轴分别交于点 A、B，点 A、B 的横坐标分别记为 x1，x2，且 0 x1x2 （1）若 ac，b3，且过点（1，1） ，求该二次函数的表达式； （2）若关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c0 的判别式4求证：当 b时，二次 函数 y1ax2+（b+1）x+c 的图象与 x 轴没有交点 （3）若 AB2，点 P 的坐标为（，1） ，过点 P 作直线 l 垂直于 y 轴， 且抛物线的顶点在直线 l 上，连接 OP、AP、BP，PA 的延长线与抛物线交于点 D， 若OPBDAB，求 x0的最小值 第
13、 7 页（共 27 页） 第 8 页（共 27 页） 2020 年湖南省株洲市中考数学试卷年湖南省株洲市中考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（每小题有且只有一个正确答案，本题共一、选择题（每小题有且只有一个正确答案，本题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分）分） 1 （4 分）a 的相反数为3，则 a 等于（ ） A3 B3 C3 D 【分析】根据相反数的定义解答即可 【解答】解：因为 3 的相反数是3，所
14、以 a3 故选：B 【点评】本题考查了相反数的定义，熟知概念是关键 2 （4 分）下列运算正确的是（ ） Aaa3a4 B2aa2 C （a2）5a7 D （3b）26b2 【分析】根据同底数幂的乘法法则、合并同类项法则、幂的乘方的运算法则及积的乘方 的运算法则依次计算各项后即可解答 【解答】解：选项 A，根据同底数幂的乘法法则可得 aa3a4，选项 A 正确； 选项 B，根据合并同类项法则可得 2aaa，选项 B 错误； 选项 C，根据幂的乘方的运算法则可得（a2）5a10，选项 C 错误； &n
15、bsp;选项 D，根据积的乘方的运算法则可得（3b）29b2，选项 D 错误 故选：A 【点评】本题考查了同底数幂的乘法法则、合并同类项法则、幂的乘方的运算法则及积 的乘方的运算法则，熟练运用相关法则是解决问题的关键 3 （4 分）一个不透明的盒子中装有 4 个形状、大小质地完全相同的小球，这些小球上分别 标有数字1、0、2 和 3从中随机地摸取一个小球，则这个小球所标数字是正数的概率 为（ ） A B C D 【分析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：符合条件的情况数目，全部情 况的总数，二者的比值就是其发生的概率的大小 &nb
16、sp;【解答】解：根据题意可得：在 4 个小球中，其中标有正数的有 2 个，分别是 2，3， 第 9 页（共 27 页） 故从中随机地摸取一个小球，则这个小球所标数字是正数的概率为： 故选：C 【点评】本题考查了概率的求法与运用，一般方法：如果一个事件有 n 种可能，而且这 些事件的可能性相同，其中事件 A 出现 m 种结果，那么事件 A 的概率 4 （4 分）一实验室检测 A、B、C、D 四个元件的质量（单位：克） ，超过标准质量的克数 记为正数，不足标准质量的克数记为负数，结果如图所示，其中最接近标准质量的元件 是
17、（ ） A B C D 【分析】分别求出每个数的绝对值，根据绝对值的大小找出绝对值最小的数即可 【解答】解：1.2|1.2，|2.3|2.3，|+0.9|0.9，|0.8|0.8， 又0.80.91.22.3， 从轻重的角度看，最接近标准的是选项 D 中的元件 故选：D 【点评】本题考查了绝对值以及正数和负数的应用，掌握正数和负数的概念和绝对值的 性质是解题的关键，主要考查学生的理解能力，题目具有一定的代表性，难度也不大 5 （4 分）数据 12、15、18、17、10、19 的中位数为（ ） &n
18、bsp;A14 B15 C16 D17 【分析】首先将这组数据按大小顺序排列，再利用中位数定义，即可求出这组数据的中 位数 【解答】解：把这组数据从小到大排列为：10，12，15，17，18，19，则这组数据的中 位数是16 故选：C 【点评】此题考查了中位数的定义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新 排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数） ，叫做这组数据的中位数，如果中 位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错 6 （4 分）下列哪个数是不等式 2（x1）+30 的一个解？（ ） &n
19、bsp;第 10 页（共 27 页） A3 B C D2 【分析】首先求出不等式的解集，然后判断哪个数在其解集范围之内即可 【解答】解：解不等式 2（x1）+30，得， 因为只有3，所以只有3 是不等式 2（x1）+30 的一个解， 故选：A 【点评】此题考查不等式解集的意义解题的关键是掌握不等式的基本性质，会解解简 单的不等式 解不等式要依据不等式的基本性质： （1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变； （2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变
20、； （3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变 7 （4 分）在平面直角坐标系中，点 A（a，2）在第二象限内，则 a 的取值可以是（ ） A1 B C D4 或4 【分析】根据第二象限内点的坐标特点列出关于 a 的不等式，求出 a 的取值范围即可 【解答】解：点 A（a，2）是第二象限内的点， a0， 四个选项中符合题意的数是， 故选：B 【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐 标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象
21、限（+，+） ；第二象限（， +） ；第三象限（，） ；第四象限（+，） 8 （4 分）下列不等式错误的是（ ） A21 B C D0.3 【分析】对于选项 A，根据两个负数绝对值大的反而小即可得21；对于选项 B，由 34，即可得；对于选项 C，由，6.2510， 可得；对于选项 D，由实数大小的比较可得由此可得只有选项 C 错 误 第 11 页（共 27 页） 【解答】解：A、根据两个负数绝对值大的反而小可得21，原不等式正确，故此选 项不符合题意； B、由 34，可得，原不等式正确，故此选项不符合题
22、意； C、由，6.2510，可得，原不等式错误，故此选项符合题意； D、由0.3333，可得，原不等式正确，故此选项不符合题意 故选：C 【点评】本题考查了实数的大小比较及无理数的估算，熟练运用实数大小的比较方法及 无理数的估算方法是解决问题的关键 9 （4 分）如图所示，点 A、B、C 对应的刻度分别为 0、2、4、将线段 CA 绕点 C 按顺时针 方向旋转，当点 A 首次落在矩形 BCDE 的边 BE 上时，记为点 A1，则此时线段 CA 扫过 的图形的面积为（ ） A4 B6 C4 D 【分析】求线段
23、CA 扫过的图形的面积，即求扇形 ACA1的面积 【解答】解：由题意，知 AC4，BC422，A1BC90 由旋转的性质，得 A1CAC4 在 RtA1BC 中，cosACA1 ACA160 扇形 ACA1的面积为 即线段 CA 扫过的图形的面积为 故选：D 【点评】此题考查了扇形面积的计算和解直角三角形，熟练掌握扇形面积公式是解本题 的关键 第 12 页（共 27 页） 10 （4 分）二次函数 yax2+bx+c，若 ab0，ab20，点 A（x1，y1）
24、 ，B（x2，y2）在该 二次函数的图象上，其中 x1x2，x1+x20，则（ ） Ay1y2 By1y2 Cy1y2 Dy1、y2的大小无法确定 【分析】首先分析出 a，b，x1的取值范围，然后用含有代数式表示 y1，y2，再作差法比 较 y1，y2的大小 【解答】解：ab20，b20， a0 又ab0， b0， x1x2，x1+x20， x2x1，x10 点 A（x1，y1） ，B（x2，y2）在该二次函数 yax2+bx+c 的图象上， ， y1
25、y22bx10 y1y2 故选：B 【点评】此题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征和函数值的大 小比较，判断出字母系数的取值范围是解题的关键 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 8 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 32 分）分） 11 （4 分）关于 x 的方程 3x8x 的解为 x 4 【分析】方程移项、合并同类项、把 x 系数化为 1，即可求出解 【解答】解：方程 3x8x， 移项，得 3xx8， 合并同类项，得 2x8 解得 x4 &n
26、bsp;故答案为：4 【点评】本题考查了一元一次方程的解，方程移项，把 x 系数化为 1，即可求出解 12 （4 分）因式分解：2a212a 2a（a6） 第 13 页（共 27 页） 【分析】运用提公因式法分解因式即可 【解答】解：2a212a2a（a6） 故答案为：2a（a6） 【点评】本题考查了提公因式法分解因式，准确确定公因式是解题关键 13 （4 分）计算的结果是 2 【分析】利用二次根式的乘除法则运算 【解答】解：原式 &nb
27、sp; 2 故答案是：2 【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键 14 （4 分）王老师对本班 40 个学生所穿校服尺码的数据统计如下： 尺码 S M L XL XXL XXL 频率 0.05 0.1 0.2 0.325 0.3 0.025 则该班学生所穿校服尺码为“L”的人数有 8 个 【分析】直接用尺码 L 的频率乘以班级总人数即可求出答案 【解答】解：由表可知尺码 L 的频率为 0.2，又因为班级总人数为 40， 所以该班学生所穿校服尺码为
28、“L”的人数有 400.28 故答案是：8 【点评】本题考查频数与频率，关键是掌握频数是指每个对象出现的次数频率是指每 个对象出现的次数与总次数的比值（或者百分比） 即频率频数总数 15 （4 分）一个蜘蛛网如图所示，若多边形 ABCDEFGHI 为正九边形，其中心点为点 O， 点 M、N 分别在射线 OA、OC 上，则MON 80 度 第 14 页（共 27 页） 【分析】根据正多边形性质求出中心角，即可求出MON 的度数 【解答】解：根据正多边形性质得，中心角为： AOB3609
29、40， MON2AOB80 故答案为：80 【点评】本题考查了正 n 边形中心角的定义，在正多边形中，中心角为 16 （4 分）如图所示，点 D、E 分别是ABC 的边 AB、AC 的中点，连接 BE，过点 C 作 CFBE，交 DE 的延长线于点 F，若 EF3，则 DE 的长为 【分析】先证明 DE 为ABC 的中位线，得到四边形 BCFE 为平行四边形，求出 BCEF 3，根据中位线定理即可求解 【解答】解：D、E 分别是ABC 的边 AB、AC 的中点， DE 为ABC 的中位线， &nb
30、sp;DEBC， CFBE， 四边形 BCFE 为平行四边形， BCEF3， 第 15 页（共 27 页） 故答案为： 【点评】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形判定与性质，熟知三角形中位线定 理是解题关键 17 （4 分）如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中，四边形 OABC 为矩形，点 A、C 分别在 x 轴、y 轴上，点 B 在函数 y1（x0，k 为常数且 k2）的图象上，边 AB 与函数 y2 （x0）的图象交于点 D，则阴影部分 ODBC 的面积为 k1 &nb
31、sp;（结果用含 k 的式子 表示） 【分析】根据反比例函数 k 的几何意义可知：AOD 的面积为 1，矩形 ABCO 的面积为 k，从而可以求出阴影部分 ODBC 的面积 【解答】解：D 是反比例函数图象上一点 根据反比例函数 k 的几何意义可知：AOD 的面积为1 点 B 在函数（x0，k 为常数且 k2）的图象上，四边形 OABC 为矩形， 根据反比例函数 k 的几何意义可知：矩形 ABCO 的面积为 k 阴影部分 ODBC 的面积矩形 ABCO 的面积AOD 的面积k1 故答案为：k1
32、 第 16 页（共 27 页） 【点评】本题考查反比例函数 k 的几何意义，解题的关键是正确理解 k 的几何意义，本 题属于中等题型 18 （4 分）据汉书律历志记载： “量者，龠（yu） 、合、升、斗、斛（h）也”斛是中 国古代的一种量器， “斛底，方而圜（hun）其外，旁有庣（tio）焉” 意思是说： “斛 的底面为：正方形外接一个圆，此圆外是一个同心圆” ，如图所示 问题：现有一斛，其底面的外圆直径为两尺五寸（即 2.5 尺） ， “庣旁”为两寸五分（即两 同心圆的外圆与内圆的半径之差为 0.25 尺） ，则此斛底面的正方形的周长为 4 &
33、nbsp;尺 （结果用最简根式表示） 【分析】根据正方形性质确定CDE 为等腰直角三角形，CE 为直径，根据题意求出正 方形外接圆的直径 CE，求出 CD，问题得解 【解答】解：如图， 四边形 CDEF 为正方形， D90，CDDE， CE 为直径，ECD45， 由题意得 AB2.5， CE2.50.2522， CDCE， ECD45， 正方形 CDEF 周长为尺 故答案为： 第 17 页（共 27 页） 【点评】本题考
34、查了正方形外接圆的性质，等腰直角三角形性质，解题关键是判断出正 方形对角线为其外接圆直径 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 小题，共小题，共 78 分）分） 19计算： （） 1+|1| tan60 【分析】先根据负整数指数幂，绝对值，特殊角三角函数进行化简，再进行计算即可 【解答】解：原式4+1 4+13 2 【点评】本题考查了负整数指数幂，绝对值，特殊角三角函数等知识，熟记相关知识是 解题关键 20先化简，再求值： （） 1，其中 x，y2 【分析】先根据分式的混合运算顺
35、序和运算法则化简原分式，再将 x，y 的值代入计算可 得 【解答】解：原式1 1 1 ， 当 x，y2，原式 【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算的顺序 和运算法则 21 某高速公路管理部门工作人员在对某段高速公路进行安全巡检过程中， 发现该高速公路 旁的一斜坡存在落石隐患该斜坡横断面示意图如图所示，水平线 l1l2，点 A、B 分别 在 l1、l2上，斜坡 AB 的长为 18 米，过点 B 作 BCl1于点 C，且线段 AC 的长为 2米 &nbs
36、p;第 18 页（共 27 页） （1）求该斜坡的坡高 BC； （结果用最简根式表示） （2） 为降低落石风险， 该管理部门计划对该斜坡进行改造， 改造后的斜坡坡角 为 60， 过点 M 作 MNl1于点 N，求改造后的斜坡长度比改造前的斜坡长度增加了多少米？ 【分析】 （1）运用勾股定理解题即可； （2）根据勾股定理列出方程，求出 AM，问题得解 【解答】解： （1）在 RtABC 中，； （2）60， AMN30， AM2MN， 在 RtABC 中，AN2+
37、MN2AM2， AN2+3004AN2 AN10， AM20， AMAB20182 综上所述，长度增加了 2 米 【点评】本题考查了解直角三角形，题目难度不大，理解好题意运用勾股定理解题是关 键 22近几年，国内快递业务快速发展，由于其便捷、高效，人们越来越多地通过快递公司代 办点来代寄包裹 某快递公司某地区一代办点对 60 天中每天代寄的包裹数与天数的数据 第 19 页（共 27 页） （每天代寄包裹数、天数均为整数）统计如下： （1）求该数据中每天代寄包裹数在 50
38、.5200.5 范围内的天数； （2） 若该代办点对顾客代寄包裹的收费标准为： 重量小于或等于 1 千克的包裹收费 8 元； 重量超 1 千克的包裹，在收费 8 元的基础上，每超过 1 千克（不足 1 千克的按 1 千克计 算）需再收取 2 元 某顾客到该代办点寄重量为 1.6 千克的包裹，求该顾客应付多少元费用？ 这 60 天中，该代办点为顾客代寄的包表中有一部分重量超过 2 千克，且不超过 5 千 克现从中随机抽取 40 件包裹的重量数据作为样本，统计如下： 重量 G（单位：千克） 2G3 3G4 4G5 件数（单位：件） 15
39、10 15 求这 40 件包裹收取费用的平均数 【分析】 （1）根据统计图读出 50.5100.5 的天数，100.5150.5 的天数，150.5200.5 的天数，再将三个数据相加即可； （2）应付费用等于基础费用加上超过部分的费用； 求加权平均数即可 【解答】解： （1）结合统计图可知： 每天代寄包裹数在 50.5200.5 范围内的天数为 18+12+1242 天； （2）因为 1.61，故重量超过了 1kg， 除了付基础费用 8 元，还需要付超过 1k 部分 0.6kg 的费用 2 元，
40、 则该顾客应付费用为 8+210 元； （1215+1410+1516）4014 元 第 20 页（共 27 页） 所以这 40 件包裹收取费用的平均数为 14 元 【点评】本题考查频数分布直方图、加权平均数等知识，解题的关键是灵活运用所学知 识解决问题，属于中考常考题型 23如图所示，BEF 的顶点 E 在正方形 ABCD 对角线 AC 的延长线上，AE 与 BF 交于点 G，连接 AF、CF，满足ABFCBE （1）求证：EBF90 （2）若正方形 ABCD 的边长为 1，CE2
41、，求 tanAFC 的值 【分析】 （1）已知ABFCBE，根据全等三角形的对应角相等可得ABFCBE， 再由ABF+CBF90，可得CBF+CBE90，即可证得EBF90； （2）由ABFCBE，根据全等三角形的对应角相等可得AFBCEB，由对顶角 相等可得FGAEGB，即可证得FACEBF90；又因正方形边长为 1，CE 2，可得，AFCE2在 RtAFC 中，即可求得结论 【解答】 （1）证明：ABFCBE， ABFCBE， ABF+CBF90， CBF+CBE90， EBF90； （2）解
42、：ABFCBE， AFBCEB， FGAEGB， FACEBF90， 正方形边长为 1，CE2 ，AFCE2 tanAFC 第 21 页（共 27 页） 【点评】本题考查了全等三角形的性质，正方形的性质及锐角三角函数的知识，熟练运 用相关知识是解决问题的关键 24AB 是O 的直径，点 C 是O 上一点，连接 AC、BC，直线 MN 过点 C，满足BCM BAC （1）如图，求证：直线 MN 是O 的切线； （2）如图，点 D 在线段 BC 上，
43、过点 D 作 DHMN 于点 H，直线 DH 交O 于点 E、 F，连接 AF 并延长交直线 MN 于点 G，连接 CE，且 CE，若O 的半径为 1，cos ，求 AGED 的值 【分析】 （1）由圆周角定理的推论和直角三角形的性质可得A+B90，由 OCOB 可得BOCB，推出OCB+BCM90，从而可得结论； （2）由已知条件易求出 AC 的长，根据对顶角相等和圆周角定理可得GFHACE， 根据余角的性质可得ECDAGC，进而可得EDCACG，根据相似三角形的性 质变形可得 AGDEACCE，即可求出结果 【解答】 （1）证明：连接 OC，如图， &n
44、bsp;AB 是O 的直径， ACB90， A+B90， OCOB， BOCB， BCMA， OCB+BCM90，即 OCMN， MN 是O 的切线； 第 22 页（共 27 页） （2）解：如图，AB 是O 的直径，O 的半径为 1， AB2， cosBAC，即， ， AFEACE，GFHAFE， GFHACE， DHMN， GFH+AGC90， ACE+ECD90， &nb
45、sp;ECDAGC， 又DECCAG， EDCACG， ， 【点评】本题考查了圆的切线的判定、等腰三角形的性质、解直角三角形、圆周角定理 第 23 页（共 27 页） 的推论以及相似三角形的判定和性质等知识，属于常考题型，熟练掌握切线的判定和相 似三角形的判定与性质是解题的关键 25如图所示，OAB 的顶点 A 在反比例函数 y（k0）的图象上，直线 AB 交 y 轴于 点 C，且点 C 的纵坐标为 5，过点 A、B 分别作 y 轴的垂线 AE、BF，垂足分别为点 E、F， 且
46、 AE1 （1）若点 E 为线段 OC 的中点，求 k 的值； （2）若OAB 为等腰直角三角形，AOB90，其面积小于 3 求证：OAEBOF； 把|x1x2|+|y1y2|称为 M（x1，y1） ，N（x2，y2）两点间的“ZJ 距离” ，记为 d（M，N） ， 求 d（A，C）+d（A，B）的值 【分析】 （1）由点 E 为线段 OC 的中点，可得 E 点坐标为，进而可知 A 点坐标 为：，代入解析式即可求出 k； （2）由OAB 为等腰直角三角形，可得 AOOB，再根据同角的余角相等可证AOE FBO，由 AAS
47、 即可证明OAEBOF； 由“ZJ 距离”的定义可知 d（M，N）为 MN 两点的水平离与垂直距离之和，故 d（A， C）+d（A，B）BF+CF，即只需求出 B 点坐标即可，设点 A（1，m） ，由OAE BOF 可得 B（m，1） ，进而代入直线 AB 解析式求出 k 值即可解答 【解答】解： （1）点 E 为线段 OC 的中点，OC5， ，即：E 点坐标为， 第 24 页（共 27 页） 又AEy 轴，AE1， ， （2）在OAB 为等腰直角三角形中，AOOB，AOB90，
48、 AOE+FOB90， 又BFy 轴， FBO+FOB90， AOEFBO， 在OAE 和BOF 中， ， OAEBOF（AAS） ， 解：设点 A 坐标为（1，m） ， OAEBOF， BFOEm，OFAE1， B（m，1） ， 设直线 AB 解析式为：lAB：ykx+5，将 AB 两点代入得： 则 解得， 当 m2 时，OE2，符合； d （A， C） +d （A， B） AE+CE+ （BFAE） +
49、 （OE+OF） 1+CE+OE1+OE+11+CE+2OE 1+CO+OE1+5+28， 当 m3 时，OE3，SAOB53，不符，舍去； 综上所述：d（A，C）+d（A，B）8 【点评】此题属于代几综合题，考查了待定系数法求反比例函数解析式，一次函数的性 质，三角形全等的判定及性质，等腰直角三角形性质等知识，熟练掌握三角形全等的性 质和判定和数形结合的思想是解本题的关键 第 25 页（共 27 页） 26如图所示，二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象（记为抛物线）与 y 轴交于点 C， 与 x 轴分别交于点
50、A、B，点 A、B 的横坐标分别记为 x1，x2，且 0 x1x2 （1）若 ac，b3，且过点（1，1） ，求该二次函数的表达式； （2）若关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c0 的判别式4求证：当 b时，二次 函数 y1ax2+（b+1）x+c 的图象与 x 轴没有交点 （3）若 AB2，点 P 的坐标为（，1） ，过点 P 作直线 l 垂直于 y 轴， 且抛物线的顶点在直线 l 上，连接 OP、AP、BP，PA 的延长线与抛物线交于点 D， 若OPBDAB，求 x0的最小值 【分析】 （1）根据题意，把 ac，b3，点（1，1） ，
51、代入解析式，即可求出解析式； （2）利用根的判别式进行判断，即可得到结论； （3） 根据二次函数的性质， 得到 b24ac4a， 结合根与系数的关系， 得到， 然后证明OAPOPB，得到，然后得到，利用二次根式的性质即 可得到答案 【解答】解： （1）由题意得：yax23x+a， 函数过点（1，1） ， a3+a1， ac1， yx23x+1； （2）由题意，一元二次方程 ax2+bx+c0 的判别式4 b24ac4， 第 26 页（共 27 页）
52、; 4acb24， 在函数中， ， 2b+50， 即函数图象与 x 轴没有交点； （3）因为函数顶点在直线 l 上，则有， 即 b24ac4a， ， ， 即， ， 由得：， OAPDAB， OAPOPB， OAPOBP+APB，OPBOPA+APB， OBPOPA， 则OAPOPB ， OAOBOP2， ， 由得：， 第 27 页（共 27 页） ， 当 c1 时， 【点评】本题考查了二次函数的综合问题，相似三角形的判定和性质，一元二次方程根 的判别式，根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质，二次函 数的最值等知识进行解题
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