1、下列图形中，既是中心对称又是轴对称图形的是（ ） A B C D 3 （3 分）如图所示，该几何体的俯视图是（ ） A B C D 4 （3 分）下列运算正确的是（ ） A8a3b5ab B （a2）3a5 Ca9a3a3 Da2aa3 5 （3 分）函数 y+的自变量 x 的取值范围是（ ） Ax2，且 x3 Bx2 Cx3 Dx2，且 x3 6 （3 分）不等式组的解集是（ ） A3x3 Bx2 C3x2 Dx3 7 （3 分）在平面直角坐标系中，点 G 的
2、坐标是（2，1） ，连接 OG，将线段 OG 绕原点 O 旋转 180，得到对应线段 OG，则点 G的坐标为（ ） A （2，1） B （2，1） C （1，2） D （2，1） 第 2 页（共 23 页） 8 （3 分）如图，在 RtABC 中，ACB90，点 H、E、F 分别是边 AB、BC、CA 的中 点，若 EF+CH8，则 CH 的值为（ ） A3 B4 C5 D6 9 （3 分）如图，点 A、B、C 在O 上，CDOA，CEOB，垂足分别为 D、E，若DCE 40，则ACB 的度数为（ ）
3、A140 B70 C110 D80 10 （3 分）若二次函数 ya2x2bxc 的图象，过不同的六点 A（1，n） 、B（5，n1） 、 C（6，n+1） 、D（，y1） 、E（2，y2） 、F（4，y3） ，则 y1、y2、y3的大小关系是（ ） Ay1y2y3 By1y3y2 Cy2y3y1 Dy2y1y3 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 11 （3 分）计算： （） 1|1 | 12 （3 分）因式分解：m3nmn3 &nb
4、sp; 13 （3 分）据报道，2020 年 4 月 9 日下午，黄石市重点园区（珠三角）云招商财富推介会 上，我市现场共签项目 20 个，总投资 137.6 亿元用科学记数法表示 137.6 亿元，可写 为 元 14 （3 分）某中学规定学生体育成绩满分为 100 分，按课外活动成绩、期中成绩、期末成 绩 2：3：5 的比，计算学期成绩小明同学本学期三项成绩依次为 90 分、90 分、80 分， 则小明同学本学期的体育成绩是 分 15 （3 分）如图，在 66 的方格纸中，每个小方格都是边长为 1 的正方形，其中 A、B、C 为格点，作AB
5、C 的外接圆，则的长等于 第 3 页（共 23 页） 16 （3 分）匈牙利著名数学家爱尔特希（PErdos，19131996）曾提出：在平面内有 n 个点，其中每三个点都能构成等腰三角形，人们将具有这样性质的 n 个点构成的点集称 为爱尔特希点集如图，是由五个点 A、B、C、D、O 构成的爱尔特希点集（它们为正 五 边 形 的 任 意 四 个 顶 点 及 正 五 边 形 的 中 心 构 成 ）， 则 ADO的 度 数 是 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 9 小题，共小题，共
6、72 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或验算步分解答应写出必要的文字说明、证明过程或验算步 骤）骤） 17 （7 分）先化简，再求值：，其中 x5 18 （7 分）如图，是某小区的甲、乙两栋住宅楼，小丽站在甲栋楼房 AB 的楼顶，测量对面 的乙栋楼房 CD 的高度已知甲栋楼房 AB 与乙栋楼房 CD 的水平距离 AC18米，小 丽在甲栋楼房顶部 B 点， 测得乙栋楼房顶部 D 点的仰角是 30， 底部 C 点的俯角是 45， 求乙栋楼房 CD 的高度（结果保留根号） 19 （7 分）如图，ABAE，ABDE，DAB70，E40
7、（1）求DAE 的度数； （2）若B30，求证：ADBC 第 4 页（共 23 页） 20 （7 分）如图，反比例函数 y （k0）的图象与正比例函数 y2x 的图象相交于 A（1， a） 、B 两点，点 C 在第四象限，BCx 轴 （1）求 k 的值； （2）以 AB、BC 为边作菱形 ABCD，求 D 点坐标 21 （8 分）已知：关于 x 的一元二次方程 x2+x20 有两个实数根 （1）求 m 的取值范围； （2）设方程的两根为 x1、x2，且满足（x1x2）2
8、170，求 m 的值 22 （8 分）我市将面向全市中小学开展“经典诵读”比赛某中学要从 2 名男生 2 名女生 共 4 名学生中选派 2 名学生参赛 （1）请列举所有可能出现的选派结果； （2）求选派的 2 名学生中，恰好为 1 名男生 1 名女生的概率 23 （8 分）我国传统数学名著九章算术记载： “今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、 羊五，直金十六两问牛、羊各直金几何？”译文： “假设有 5 头牛、2 只羊，值 19 两银 子；2 头牛、5 只羊，值 16 两银子问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”根据以上 译文，提出以下两个问题： &n
9、bsp;（1）求每头牛、每只羊各值多少两银子？ （2）若某商人准备用 19 两银子买牛和羊（要求既有牛也有羊，且银两须全部用完） ，请 问商人有几种购买方法？列出所有的可能 24 （10 分）如图，在 RtABC 中，C90，AD 平分BAC 交 BC 于点 D，O 为 AB 上 第 5 页（共 23 页） 一点，经过点 A、D 的O 分别交 AB、AC 于点 E、F （1）求证：BC 是O 的切线； （2）若 BE8，sinB，求O 的半径； （3）求证：AD2ABAF 25 （10 分）在
10、平面直角坐标系中，抛物线 yx2+kx2k 的顶点为 N （1）若此抛物线过点 A（3，1） ，求抛物线的解析式； （2）在（1）的条件下，若抛物线与 y 轴交于点 B，连接 AB，C 为抛物线上一点，且位 于线段 AB 的上方，过 C 作 CD 垂直 x 轴于点 D，CD 交 AB 于点 E，若 CEED，求点 C 坐标； （3） 已知点 M （2， 0） ， 且无论 k 取何值， 抛物线都经过定点 H， 当MHN60 时，求抛物线的解析式 第 6 页（共 23 页） 2020 年湖北省黄石市中考数学试
11、卷年湖北省黄石市中考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分在每个小题给出的四个选项中，分在每个小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的）只有一项是符合题目要求的） 1 （3 分）3 的相反数是（ ） A3 B3 C D 【分析】根据相反数的意义，3 的相反数即是在 3 的前面加负号 【解答】解：根据相反数的概念及意义可知：3 的相反数是3 故选：B 【点评】本题考查了相反数的意义，一
12、个数的相反数就是在这个数前面添上“”号； 一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0 的相反数是 0 2 （3 分）下列图形中，既是中心对称又是轴对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的定义逐个判断即可 【解答】解：A、既不是中心对称图形，又不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项符合题意； &nb
13、sp;故选：D 【点评】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，能熟记中心对称图形和轴对称 图形的定义的内容是解此题的关键 3 （3 分）如图所示，该几何体的俯视图是（ ） 第 7 页（共 23 页） A B C D 【分析】根据俯视图的概念求解可得 【解答】解：该几何体的俯视图是 故选：B 【点评】本题考查了简单几何体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图 4 （3 分）下列运算正确的是（ ） A8a3b5ab B （a2）3a5 Ca9a3a
14、3 Da2aa3 【分析】根据合并同类项法则和幂的运算法则进行解答便可 【解答】解：A不是同类项不能合并，选项错误； B原式a2 3a6，选项错误； Ca9a3a9 3a6，选项错误； Da2aa2+1a3，选项正确 故选：D 【点评】本题主要考查了合并同类项法则和幂的运算法则，熟记法则是解题的关键 5 （3 分）函数 y+的自变量 x 的取值范围是（ ） Ax2，且 x3 Bx2 Cx3 Dx2，且 x3 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，以及分母不等于 0，就可以求
15、出 x 的范围 【解答】解：根据题意得：x20，且 x30， 解得 x2，且 x3 故选：A 【点评】本题考查的是函数自变量取值范围的求法函数自变量的范围一般从三个方面 考虑： 第 8 页（共 23 页） （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为 0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负 6 （3 分）不等式组的解集是（ ） A3x3 Bx2 C3x2 Dx3 【分析】分别求出不等
16、式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可 【解答】解：不等式组， 由得：x2， 由得：x3， 则不等式组的解集为3x2， 故选：C 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中 间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键 7 （3 分）在平面直角坐标系中，点 G 的坐标是（2，1） ，连接 OG，将线段 OG 绕原点 O 旋转 180，得到对应线段 OG，则点 G的坐标为（ ） A （2，1） B （2，1） C （1，2） D （2，1） 【分析
17、】根据中心对称的性质解决问题即可 【解答】解：由题意 G 与 G关于原点对称， G（2，1） ， G（2，1） ， 故选：A 【点评】本题考查旋转变换，中心对称等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学 知识解决问题 8 （3 分）如图，在 RtABC 中，ACB90，点 H、E、F 分别是边 AB、BC、CA 的中 点，若 EF+CH8，则 CH 的值为（ ） 第 9 页（共 23 页） A3 B4 C5 D6 【分析】 根据三角形的中位线定理和直角三角形斜边上的中线
18、等于斜边的一半求得即可 【解答】解：在 RtABC 中，ACB90，点 H，E，F 分别是边 AB，BC，CA 的 中点， EFAB，CHAB， EF+CH8， CHEF84， 故选：B 【点评】本题考查了直角三角形的性质以及三角形的中位线定理，熟练掌握各定理是解 题的关键 9 （3 分）如图，点 A、B、C 在O 上，CDOA，CEOB，垂足分别为 D、E，若DCE 40，则ACB 的度数为（ ） A140 B70 C110 D80 【分析】先根据四边形的内角和为 360求AOB36
19、0909040140， 再由同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得P 的度数，最后由四点共圆的性质得结论 【解答】解：如图，在优弧 AB 上取一点 P，连接 AP，BP， CDOA，CEOB， ODCOEC90， DCE40， AOB360909040140， PAOB70， A、C、B、P 四点共圆， P+ACB180， ACB18070110， 故选：C 第 10 页（共 23 页） 【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同
20、圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相 等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键 10 （3 分）若二次函数 ya2x2bxc 的图象，过不同的六点 A（1，n） 、B（5，n1） 、 C（6，n+1） 、D（，y1） 、E（2，y2） 、F（4，y3） ，则 y1、y2、y3的大小关系是（ ） Ay1y2y3 By1y3y2 Cy2y3y1 Dy2y1y3 【分析】由解析式可知抛物线开口向上，点 A（1，n） 、B（5，n1） 、C（6，n+1）求 得抛物线对称轴所处的范围，然后根据二次函数的性质判断可得 【解答】解：二次函数 ya2x
21、2bxc 的图象过点 A（1，n） 、B（5，n1） 、C（6， n+1） ， 抛物线的对称轴直线 x 满足 2x2.5，抛物线的开口向上， 抛物线上离对称轴水平距离越大的点，对应函数值越大， D（，y1） 、E（2，y2） 、F（4，y3） ， 则 y2y1y3， 故选：D 【点评】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，根据题意得到抛物线的对称轴和 开口方向是解题的关键 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 11 （3 分）计算
22、： （） 1|1 | 4 【分析】原式利用负整数指数幂法则，以及绝对值的代数意义计算即可求出值 【解答】解：原式3（1） 3+1 4 故答案为：4 【点评】此题考查了实数的运算，以及负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关 键 第 11 页（共 23 页） 12 （3 分）因式分解：m3nmn3 mn（m+n） （mn） 【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可 【解答】解：原式mn（m2n2） mn（m+n） （mn）
23、 故答案为：mn（m+n） （mn） 【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本 题的关键 13 （3 分）据报道，2020 年 4 月 9 日下午，黄石市重点园区（珠三角）云招商财富推介会 上，我市现场共签项目 20 个，总投资 137.6 亿元用科学记数法表示 137.6 亿元，可写 为 1.3761010 元 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相 同当原数绝对值10 时，n 是正数；
24、当原数的绝对值1 时，n 是负数 【解答】解：137.6 亿元13760000000 元1.3761010元， 故答案为：1.3761010 【点评】此题考查了科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n的形式， 其中 1|a|10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值 14 （3 分）某中学规定学生体育成绩满分为 100 分，按课外活动成绩、期中成绩、期末成 绩 2：3：5 的比，计算学期成绩小明同学本学期三项成绩依次为 90 分、90 分、80 分， 则小明同学本学期的体育成绩是 85 分 【分析】根据
25、加权平均数的计算方法进行计算即可 【解答】解：90+90+8085（分） ， 故答案为：85 【点评】本题考查加权平均数的意义和计算方法，理解加权平均数的意义，掌握加权平 均数的计算方法是正确解答的前提 15 （3 分）如图，在 66 的方格纸中，每个小方格都是边长为 1 的正方形，其中 A、B、C 为格点，作ABC 的外接圆，则的长等于 第 12 页（共 23 页） 【分析】由 AB、BC、AC 长可推导出ACB 为等腰直角三角形，连接 OC，得出BOC 90，计算出 OB 的长
26、就能利用弧长公式求出的长了 【解答】解：每个小方格都是边长为 1 的正方形， AB2，AC，BC， AC2+BC2AB2， ACB 为等腰直角三角形， AB45， 连接 OC，则COB90， OB， 的长为：， 故答案为： 【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，弧长的计算以及圆周角定理，解题关键是 利用三角形三边长通过勾股定理逆定理得出ACB 为等腰直角三角形 16 （3 分）匈牙利著名数学家爱尔特希（PErdos，19131996）曾提出：在平面内有 n 个
27、点，其中每三个点都能构成等腰三角形，人们将具有这样性质的 n 个点构成的点集称 为爱尔特希点集如图，是由五个点 A、B、C、D、O 构成的爱尔特希点集（它们为正 五 边 形 的 任 意 四 个 顶 点 及 正 五 边 形 的 中 心 构 成 ） ， 则 ADO 的 度 数 是 第 13 页（共 23 页） 18 【分析】先证明AOBBOCCOD，得出OABOBAOBCOCB OCDODC，AOBBOCCOD，然后求出正五边形每个角的度数为 108， 从而可得OABOBAOBCOCBOCDODC54，AOBBOC COD72，可计
28、算出AOD144，根据 OAOD，即可求出ADO 【解答】解：这个五边形由正五边形的任意四个顶点及正五边形的中心构成， 根据正五边形的性质可得 OAOBOCOD，ABBCCD， AOBBOCCOD（SSS） ， OABOBAOBCOCBOCDODC，AOBBOCCOD， 正五边形每个角的度数为：108， OABOBAOBCOCBOCDODC54， AOBBOCCOD（180254）72， AOD360372144， OAOD， ADO（180144）18， 故答案
29、为：18 【点评】本题考查了正多边形的内角，正多边形的性质，等腰三角形的性质，全等三角 形的判定和性质，求出AOBBOCCOD72是解题关键 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 9 小题，共小题，共 72 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或验算步分解答应写出必要的文字说明、证明过程或验算步 骤）骤） 17 （7 分）先化简，再求值：，其中 x5 【分析】原式第一项约分后，两项利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，把 x 的值代入计算即可求出值 【解答】解：原式 第 14 页（共 23 页） &n
30、bsp; ， 当 x5 时，原式 【点评】本题考查分式的化简求值，掌握分式的运算法则是解题的关键 18 （7 分）如图，是某小区的甲、乙两栋住宅楼，小丽站在甲栋楼房 AB 的楼顶，测量对面 的乙栋楼房 CD 的高度已知甲栋楼房 AB 与乙栋楼房 CD 的水平距离 AC18米，小 丽在甲栋楼房顶部 B 点， 测得乙栋楼房顶部 D 点的仰角是 30， 底部 C 点的俯角是 45， 求乙栋楼房 CD 的高度（结果保留根号） 【分析】由三角函数定义求出 DEBEtan3018，证出ABC 是等腰直角三角形， 得出 CEABAC
31、18，进而得出答案 【解答】解：如图所示： 由题意得：BEAC18，CEAB，DBE30，CBE45， 在 RtEDB 中，DBE30，tan30， DEBEtan301818， 在 RtABC 中，ABC904545， ABC 是等腰直角三角形， CEABAC18， CDDE+CE18+18（米） ； 答：乙栋楼房 CD 的高度为（18+18）米 【点评】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题以及等腰直角三角形的判定与性 第 15 页（共 23 页） &nb
32、sp; 质等知识；解题的关键是借助仰角构造直角三角形，利用三角函数定义解直角三角形 19 （7 分）如图，ABAE，ABDE，DAB70，E40 （1）求DAE 的度数； （2）若B30，求证：ADBC 【分析】 （1）根据平行线的性质可得EAB，再根据角的和差关系即可求解； （2）根据 ASA 可证ADEBCA，再根据全等三角形的性质即可求解 【解答】解（1）ABDE，E40， EAB40， DAB70， DAE30； （2）证明：在ADE 与BCA 中， ，
33、 ADEBCA（ASA） ， ADBC 【点评】 本题考查了全等三角形的性质和判定 全等三角形的判定定理有 SAS， ASA， AAS， SSS，HL，全等三角形的对应角相等 20 （7 分）如图，反比例函数 y （k0）的图象与正比例函数 y2x 的图象相交于 A（1， a） 、B 两点，点 C 在第四象限，BCx 轴 （1）求 k 的值； （2）以 AB、BC 为边作菱形 ABCD，求 D 点坐标 第 16 页（共 23 页） 【分析】 （1）根据点 A（1，a）在
34、y2x 上，可以求得点 A 的坐标，再根据反比例函数 y （k0）的图象与反比例函数 y2x 的图象相交于 A（1，a） ，即可求得 k 的值； （2）因为 B 是反比例函数 y和正比例函数 y2x 的交点，列方程可得 B 的坐标，根 据菱形的性质可确定点 D 的坐标 【解答】解： （1）点 A（1，a）在直线 y2x 上， a212， 即点 A 的坐标为（1，2） ， 点 A（1，2）是反比例函数 y（k0）的图象与正比例函数 y2x 图象的交点， k122， 即 k 的值是 2； （2）由题意得
35、：2x， 解得：x1 或1， 经检验 x1 或1 是原方程的解， B（1，2） ， 点 A（1，2） ， AB2， 菱形 ABCD 是以 AB、BC 为边，且 BCx 轴， ADAB2， D（1+2，2） 【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题的关键是明确题意，利 用数形结合的思想解答 第 17 页（共 23 页） 21 （8 分）已知：关于 x 的一元二次方程 x2+x20 有两个实数根 （1）求 m 的取值范围；
36、 （2）设方程的两根为 x1、x2，且满足（x1x2）2170，求 m 的值 【分析】 （1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出m+80，根据二次根式的 意义即可得出 m0，从而得出 m 的取值范围； （2）根据根与系数的关系可得 x1+x2，x1x22，结合（x1x2）2170 即 可得出关于 m 的一元一次方程，解之即可得出结论 【解答】解： （1）关于 x 的一元二次方程 x2+x20 有两个实数根， 241（2）m+80，且 m0， 解得：m0 （2）关于 x 的一元二次方程 x2+x20 有两个实
37、数根 x1、x2， x1+x2，x1x22， （x1x2）217（x1+x2）24x1x2170，即 m+8170， 解得：m9 【点评】本题考查了根与系数的关系、根的判别式以及解一元一次方程，解题的关键是： （1）牢记“当0 时，方程有两个实数根” ； （2）根据根与系数的关系结合（x1x2） 2170 找出关于 m 的一元一次方程 22 （8 分）我市将面向全市中小学开展“经典诵读”比赛某中学要从 2 名男生 2 名女生 共 4 名学生中选派 2 名学生参赛 （1）请列举所有可能出现的选派结果； （2）求选
38、派的 2 名学生中，恰好为 1 名男生 1 名女生的概率 【分析】 （1）用列表法表示所有可能出现的结果； （2）从所有可能出现的结果中，找出“一男一女”的结果，进而求出相应的概率 【解答】解： （1）用列表法表示所有可能出现的结果情况如下： （2）共有 12 种可能出现的结果，其中“一男一女”的有 8 种， 第 18 页（共 23 页） P（一男一女） 【点评】本题考查列表法求随机事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果情况，是 正确解答的前提 23 （8 分）我国传统数学名著九
39、章算术记载： “今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、 羊五，直金十六两问牛、羊各直金几何？”译文： “假设有 5 头牛、2 只羊，值 19 两银 子；2 头牛、5 只羊，值 16 两银子问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”根据以上 译文，提出以下两个问题： （1）求每头牛、每只羊各值多少两银子？ （2）若某商人准备用 19 两银子买牛和羊（要求既有牛也有羊，且银两须全部用完） ，请 问商人有几种购买方法？列出所有的可能 【分析】 （1）设每头牛值 x 两银子，每只羊值 y 两银子，根据“假设有 5 头牛、2 只羊， 值 19 两银子；2 头牛、5 只羊，值 1
40、6 两银子” ，即可得出关于 x、y 的二元一次方程组， 解之即可得出结论 （2）可设购买 a 头牛，b 只羊，根据用 19 两银子买牛和羊（要求既有牛也有羊，且银两 须全部用完） ，列出方程，再根据整数的性质即可求解 【解答】解： （1）设每头牛值 x 两银子，每只羊值 y 两银子， 根据题意得：， 解得： 答：每头牛值 3 两银子，每只羊值 2 两银子 （2）设购买 a 头牛，b 只羊，依题意有 3a+2b19， b， a，b 都是正整数， 购买 1 头牛，8 只羊； &
41、nbsp;购买 3 头牛，5 只羊； 购买 5 头牛，2 只羊 【点评】本题考查了二元一次方程（组）的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方 程（组）是解题的关键 第 19 页（共 23 页） 24 （10 分）如图，在 RtABC 中，C90，AD 平分BAC 交 BC 于点 D，O 为 AB 上 一点，经过点 A、D 的O 分别交 AB、AC 于点 E、F （1）求证：BC 是O 的切线； （2）若 BE8，sinB，求O 的半径； （3）求证：AD2ABAF 【分析】 （1）
42、先判断出 ODAC，得出ODB90，即可得出结论； （2）由锐角三角函数可得 sinB，即可求解； （3）通过证明DABFAD，可得，可得结论 【解答】解： （1）如图，连接 OD，EF， 则 OAOD， ODAOAD， AD 是BAC 的平分线， OADCAD， ODACAD， ODAC， ODBC90， 点 D 在O 上， 第 20 页（共 23 页） BC 是O 的切线； （2）BDO90，
43、;sinB， OD5， O 的半径为 5； （3）连接 EF， AE 是直径， AFE90ACB， EFBC， AEFB， 又AEFADF， BADF， 又OADCAD， DABFAD， ， AD2ABAF 【点评】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，锐角三角函数，相似三角形的判定 和性质，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键 25 （10 分）在平面直角坐标系中，抛物线 yx2+kx2k 的顶点为 N &nbs
44、p;（1）若此抛物线过点 A（3，1） ，求抛物线的解析式； （2）在（1）的条件下，若抛物线与 y 轴交于点 B，连接 AB，C 为抛物线上一点，且位 于线段 AB 的上方，过 C 作 CD 垂直 x 轴于点 D，CD 交 AB 于点 E，若 CEED，求点 C 第 21 页（共 23 页） 坐标； （3） 已知点 M （2， 0） ， 且无论 k 取何值， 抛物线都经过定点 H， 当MHN60 时，求抛物线的解析式 【分析】 （1）把 A（3.1）代入 yx2+kx2k 即可求解 （2）根据题意作图，求出直线 A
45、B 的解折式，再表示出 E 点坐标，代入直线可求解 （3）先求出定点 H，过 H 点做 HIx 轴，根据题意求出MHI30，再根据题意分情 况即可求解 【解答】解： （1）把 A（3.1）代入 yx2+kx2k， 得93k2k1 解得 k2， 抛物线的解析式为 yx22x+4； （2）设 C（t，t22t+4） ，则 E（t，t+2） ， 设直线 AB 的解析式为 ykx+b，把 A（3，1） ， （0，4）代入得到， ， 解得， 直线 AB 的解析式为 yx+4， &nb
46、sp;E（t，t+2）在直线 AB 上， t+2t+4， 解得 t2， 第 22 页（共 23 页） C（2，4） （3）由 yx2+kx2kk（x2）x2， 当 x20 时，x2，y4， 无论 k 取何值，抛物线都经过定点 H（2，4） ， 二次函数的顶点 N（，2k） ， 如图 1 中，过点 H 作 HIx 轴于 I，分别过 H，N 作 y 轴，x 轴的垂线交于点 G，若 2 时，则 k4， M（2，0） ，H（2，4） ， MI
47、，HI4， tanMHI， MHI30， MHN60， NHI30， 即GNH30， 由图可知，tanGNH， 解得 k4+2或 4（不合题意舍弃） 如图 3 中，过点 H 作 HIx 轴于 I，分别过 H，N 作 y 轴，x 轴的垂线交于点 G 第 23 页（共 23 页） 若2，则 k4， 同理可得，MHI30， MHN60， NHHI， 即2k4， 解得 k4（不符合题意舍弃） 若2，则 N，H 重合，不符合题意舍弃， 综上所述，抛物线的解析式为 yx2+（4+2）x（8+4） 【点评】本题考查二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，待定系 数法，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考 压轴题
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