1、的倒数是（ ） A2 B C D2 2 （3 分）下列四个数中，最小的数是（ ） A0 B C5 D1 3 （3 分）下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是 （ ） A B C D 4 （3 分）如图，已知直线 ab，150，则2 的度数为（ ） A140 B130 C50 D40 5 （3 分）小明参加学校举行的“保护环境”主题演讲比赛，五位评委给出的评分分别为： 90，85，80，90，95，则这组数据的中位数和众数分别是（ ） A80，
2、90 B90，90 C90，85 D90，95 6（3 分） 将直线 y2x1 向上平移两个单位， 平移后的直线所对应的函数关系式为 （ ） Ay2x5 By2x3 Cy2x+1 Dy2x+3 7 （3 分）如图，在ABC 中，D、E 分别是 AB 和 AC 的中点，S四边形BCED15，则 SABC （ ） 第 2 页（共 37 页） A30 B25 C22.5 D20 8 （3 分）如图，点 A、B、C、D 在O 上，AOC120，点 B 是的中点，则D 的 度数是（ ） A3
3、0 B40 C50 D60 9 （3 分）如图，点 A 是反比例函数 y图象上的一点，过点 A 作 ACx 轴，垂足为点 C， D 为 AC 的中点，若AOD 的面积为 1，则 k 的值为（ ） A B C3 D4 10 （3 分）我国古代数学著作增删算法统宗记载“绳索量竿”问题： “一条竿子一条索， 索比竿子长一托折回索子却量竿，却比竿子短一托 ”其大意为：现有一根竿和一条绳 索，用绳索去量竿，绳索比竿长 5 尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短 5 尺设 绳索长 x 尺则符合题意的方程是（ ） Ax（x5）5 Bx（x+5）+5 &nb
4、sp;C2x（x5）5 D2x（x+5）+5 11 （3 分）如图，矩形 ABCD 中，BD 为对角线，将矩形 ABCD 沿 BE、BF 所在直线折叠， 第 3 页（共 37 页） 使点 A 落在 BD 上的点 M 处， 点 C 落在 BD 上的点 N 处， 连结 EF 已知 AB3， BC4， 则 EF 的长为（ ） A3 B5 C D 12 （3 分）在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点叫做整点，已知直线 y tx+2t+2（t0）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，则 t 的取值范围是（ ）
5、 At2 Bt1 C1t2 Dt2 且 t1 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）在函数 y中，自变量 x 的取值范围是 14 （5 分）2020 年 6 月 23 日 9 时 43 分，我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭， 成功发射北斗系统第五十五颗导航卫星， 标志着北斗三号卫星导航定位系统正式建成 根 据最新数据，目前兼容北斗的终端产品至少有 7 亿台，其中 7 亿用科学记数法表示 为 15 （
6、5 分）已知关于 x 的一元二次方程（m1）2x2+3mx+30 有一实数根为1，则该方 程的另一个实数根为 16 （5 分）如图，在矩形 ABCD 中，BC10，ABD30，若点 M、N 分别是线段 DB、 AB 上的两个动点，则 AM+MN 的最小值为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 5 小题，共小题，共 44 分，解答应写出必要的文字说明或推演步骤）分，解答应写出必要的文字说明或推演步骤） 17 （7 分）计算： （） 1|2|+4sin60 +（3）0 第 4 页（共 3
7、7 页） 18 （9 分）如图，点 C、E、F、B 在同一直线上，点 A、D 在 BC 异侧，ABCD，AEDF， AD （1）求证：ABCD； （2）若 ABCF，B40，求D 的度数 19 （9 分）我市某中学举行“法制进校园”知识竞赛，赛后将学生的成绩分为 A、B、C、 D 四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图请你根据统计图解 答下列问题 （1）成绩为“B 等级”的学生人数有 名； （2）在扇形统计图中，表示“D 等级”的扇形的圆心角度数为 ，图中 m 的值 为
8、 ； （3） 学校决定从本次比赛获得 “A 等级” 的学生中间选出 2 名去参加市中学生知识竞赛 已 知“A 等级”中有 1 名女生，请用列表或画树状图的方法求出女生被选中的概率 20 （9 分）为了维护我国海洋权力，海监部门对我国领海实行了常态化巡航管理如图， 正在执行巡航任务的海监船以每小时 60 海里的速度向正东方向航行， 在 A 处测得灯塔 P 在北偏东 60方向上，海监船继续向东航行 1 小时到达 B 处，此时测得灯塔 P 在北偏东 30方向上 （1）求 B 处到灯塔 P 的距离； （2）已知灯塔 P 的周围 50 海里内有
9、暗礁，若海监船继续向正东方向航行是否安全？ 第 5 页（共 37 页） 21 （10 分）如图，AB 是O 的直径，C 是O 上一点，ODBC 于点 D，过点 C 作O 的切线，交 OD 的延长线于点 E，连结 BE （1）求证：BE 是O 的切线； （2）设 OE 交O 于点 F，若 DF2，BC4，求线段 EF 的长； （3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积 四、填空题（本大题共四、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 24 分 ）分 ） 22 （
10、6 分）分解因式：b4b212 23 （6 分）若数 a 使关于 x 的分式方程+3 的解为非负数，且使关于 y 的不等式 组的解集为 y0，则符合条件的所有整数 a 的积为 24 （6 分）如图，在平面直角坐标系中，点 A（2，0） ，直线 l：yx+与 x 轴交于 点 B，以 AB 为边作等边ABA1，过点 A1作 A1B1x 轴，交直线 l 于点 B1，以 A1B1为边 作等边A1B1A2， 过点 A2作 A2B2x 轴， 交直线 l 于点 B2， 以 A2B2为边作等边A2B2A3， 以此类推，则点 A2020的纵坐标是 &nbs
11、p; 第 6 页（共 37 页） 25 （6 分）已知抛物线 y1x2+4x（如图）和直线 y22x+b我们规定：当 x 取任意一个 值时，x 对应的函数值分别为 y1和 y2若 y1y2，取 y1和 y2中较大者为 M；若 y1y2， 记 My1y2当 x2 时，M 的最大值为 4；当 b3 时，使 My2的 x 的取值 范围是1x3；当 b5 时，使 M3 的 x 的值是 x11，x23；当 b1 时， M 随 x 的增大而增大上述结论正确的是 （填写所有正确结论的序号） 五、解答题（本大题共五、
12、解答题（本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 12 分，共分，共 36 分）分） 26 （12 分）我们知道，任意一个正整数 x 都可以进行这样的分解：xmn（m，n 是正整 数，且 mn） ，在 x 的所有这种分解中，如果 m，n 两因数之差的绝对值最小，我们就称 mn 是 x 的最佳分解并规定：f（x） 例如：18 可以分解成 118，29 或 36，因为 1819263，所以 36 是 18 的最佳分解，所以 f（18） （1）填空：f（6） ；f（9） ； （2）一个两位正整数 t（t10a+b，1ab9，a
13、，b 为正整数） ，交换其个位上的数字 与十位上的数字得到的新数减去原数所得的差为 54，求出所有的两位正整数；并求 f（t） 的最大值； （3）填空： f（22357） ；f（23357） ；f（24357） 第 7 页（共 37 页） ；f（25357） 27 （12 分）如图，正方形 ABCD 中，P 是对角线 AC 上的一个动点（不与 A、C 重合） ，连 结 BP，将 BP 绕点 B 顺时针旋转 90到 BQ，连结 QP 交 BC 于点 E，QP 延长
14、线与边 AD 交于点 F （1）连结 CQ，求证：APCQ； （2）若 APAC，求 CE：BC 的值； （3）求证：PFEQ 28 （12 分）如图，抛物线 yax2+bx+c 经过 A（1，0） 、B（4，0） 、C（0，2）三点，点 D（x，y）为抛物线上第一象限内的一个动点 （1）求抛物线所对应的函数表达式； （2）当BCD 的面积为 3 时，求点 D 的坐标； （3）过点 D 作 DEBC，垂足为点 E，是否存在点 D，使得CDE 中的某个角等于 ABC 的 2 倍？若存在，求点 D 的横坐标；若不
15、存在，请说明理由 第 8 页（共 37 页） 2020 年四川省内江市中考数学试卷年四川省内江市中考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 36 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的 ）有一项是符合题目要求的 ） 1 （3 分）的倒数是（ ） A2 B C D2 【分析】根据乘积为 1 的两个数是互为倒数，进行求解即可 【解
16、答】解：21， 的倒数是 2， 故选：A 【点评】本题考查倒数的意义，理解和掌握乘积为 1 的两个数是互为倒数是正确解答的 前提 2 （3 分）下列四个数中，最小的数是（ ） A0 B C5 D1 【分析】根据正数大于 0，负数小于 0，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而 小得出答案 【解答】解：|1|， 1， 501， 因此最小的是1， 故选：D 【点评】本题考查有理数的大小比较，掌握两个负数比较，绝对值大的反而小，是正确 判断的前提 &nb
17、sp;3 （3 分）下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是 （ ） 第 9 页（共 37 页） A B C D 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解 【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意； C、是中心对称图形，故本选项符合题意； D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意 故选：C 【点评】本题考查了
18、中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称 轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后两部分 重合 4 （3 分）如图，已知直线 ab，150，则2 的度数为（ ） A140 B130 C50 D40 【分析】由直线 ab，利用“两直线平行，同位角相等”可求出3 的度数，再结合2 和3 互补，即可求出2 的度数 【解答】解：直线 ab， 3150 又2+3180， 2130 故选：B 第 10 页（共 37 页） &nbs
19、p; 【点评】本题考查了平行线的性质以及邻补角，牢记“两直线平行，同位角相等”是解 题的关键 5 （3 分）小明参加学校举行的“保护环境”主题演讲比赛，五位评委给出的评分分别为： 90，85，80，90，95，则这组数据的中位数和众数分别是（ ） A80，90 B90，90 C90，85 D90，95 【分析】先将数据重新排列，再根据中位数和众数的定义求解可得 【解答】解：将数据重新排列为 80，85，90，90，95， 所以这组数据的中位数是 90，众数为 90， 故选：B 【点评】本题主要考查众
20、数和中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数将一 组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间 位置的数就是这组数据的中位数如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均 数就是这组数据的中位数 6（3 分） 将直线 y2x1 向上平移两个单位， 平移后的直线所对应的函数关系式为 （ ） Ay2x5 By2x3 Cy2x+1 Dy2x+3 【分析】根据函数图象向上平移加，向下平移减，可得答案 【解答】解：直线 y2x1 向上平移两个单位，所得的直线是 y2x+1， 故选：C 【点评】本题
21、考查了一次函数图象与几何变换，图象平移的规律是：上加下减，左加右 减 7 （3 分）如图，在ABC 中，D、E 分别是 AB 和 AC 的中点，S四边形BCED15，则 SABC （ ） 第 11 页（共 37 页） A30 B25 C22.5 D20 【分析】先根据三角形中位线的性质，证得：DEBC，DEBC，进而得出ADE ABC，又由相似三角形面积的比等于相似比的平方即可求得答案 【解答】解：D、E 分别是 AB、AC 边上的中点， DEBC，DEBC， ADEABC， &nb
22、sp;（）2， SADE：S四边形BCED1：3， 即 SADE：151：3， SADE5， SABC5+1520 故选：D 【点评】此题考查了三角形中位线定理以及相似三角形的判定与性质注意相似三角形 的面积的比等于相似比的平方 8 （3 分）如图，点 A、B、C、D 在O 上，AOC120，点 B 是的中点，则D 的 度数是（ ） 第 12 页（共 37 页） A30 B40 C50 D60 【分析】连接 OB，如图，利用圆心角、弧、弦的关系得
23、到AOBCOBAOC 60，然后根据圆周角定理得到D 的度数 【解答】解：连接 OB，如图， 点 B 是的中点， AOBCOBAOC12060， DAOB30 故选：A 【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都 等于这条弧所对的圆心角的一半 9 （3 分）如图，点 A 是反比例函数 y图象上的一点，过点 A 作 ACx 轴，垂足为点 C， D 为 AC 的中点，若AOD 的面积为 1，则 k 的值为（ ） A B C3 D4 【分析】根据题意可知A
24、OC 的面积为 2，然后根据反比例函数系数 k 的几何意义即可 第 13 页（共 37 页） 求得 k 的值 【解答】解：ACx 轴，垂足为点 C，D 为 AC 的中点，若AOD 的面积为 1， AOC 的面积为 2， SAOC|k|2，且反比例函数 y图象在第一象限， k4， 故选：D 【点评】本题考查了反比例函数的比例系数 k 的几何意义：在反比例函数 y图象中任 取一点，过这一个点向 x 轴和 y 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k| 10 （3 分）我国古代数学
25、著作增删算法统宗记载“绳索量竿”问题： “一条竿子一条索， 索比竿子长一托折回索子却量竿，却比竿子短一托 ”其大意为：现有一根竿和一条绳 索，用绳索去量竿，绳索比竿长 5 尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短 5 尺设 绳索长 x 尺则符合题意的方程是（ ） Ax（x5）5 Bx（x+5）+5 C2x（x5）5 D2x（x+5）+5 【分析】设绳索长 x 尺，则竿长（x5）尺，根据“将绳索对半折后再去量竿，就比竿 短 5 尺” ，即可得出关于 x 的一元一次方程，此题得解 【解答】解：设绳索长 x 尺，则竿长（x5）尺， 依题意，
26、得：x（x5）5 故选：A 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程以及数学常识，找准等量关系，正 确列出一元一次方程是解题的关键 11 （3 分）如图，矩形 ABCD 中，BD 为对角线，将矩形 ABCD 沿 BE、BF 所在直线折叠， 使点 A 落在 BD 上的点 M 处， 点 C 落在 BD 上的点 N 处， 连结 EF 已知 AB3， BC4， 则 EF 的长为（ ） 第 14 页（共 37 页） A3 B5 C D 【分析】求出 BD5，AEEM，ABME90，证明EDMBDA，由相似三
27、角形的性质得出，设 DEx，则 AEEM4x，得出，解得 x， 同理DNFDCB，得出，设 DFy，则 CFNF3y，则，解得 y由勾股定理即可求出 EF 的长 【解答】解：四边形 ABCD 是矩形， ABCD3，ADBC4，ACEDF90， BD5， 将矩形 ABCD 沿 BE 所在直线折叠，使点 A 落在 BD 上的点 M 处， AEEM，ABME90， EMD90， EDMADB， EDMBDA， ， 设 DEx，则 AEEM4x， ， 解得 x
28、， DE， 同理DNFDCB， ， 设 DFy，则 CFNF3y， ， 解得 y DF EF 第 15 页（共 37 页） 故选：C 【点评】本题考查了翻折的性质，勾股定理，矩形的性质，相似三角形的判定与性质； 熟练掌握翻折变换的性质，证明三角形相似是解题的关键 12 （3 分）在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点叫做整点，已知直线 y tx+2t+2（t0）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，则 t 的
29、取值范围是（ ） At2 Bt1 C1t2 Dt2 且 t1 【分析】由 ytx+2t+2t（x+2）+2（t0） ，得出直线 ytx+2t+2（t0）经过点（2， 2） ，如图，当直线经过（0，3）或（0，6）时，直线 ytx+2t+2（t0）与两坐标轴围成 的三角形区域 （不含边界） 中有且只有四个整点， 当直线经过 （0， 4） 时， 直线 ytx+2t+2 （t0）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有三个整点，分别求得这 三种情况下的 t 的值，结合图象即可得到结论 【解答】解：ytx+2t+2t（x+2）+2（t0） ， &
30、nbsp;直线 ytx+2t+2（t0）经过点（2，2） ，如图， 当直线经过（0，3）时，直线 ytx+2t+2（t0）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边 界）中有且只有四个整点， 则 32t+2，解得 t； 当直线经过（0，6）时，直线 ytx+2t+2（t0）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边 界）中有且只有四个整点， 则 62t+2，解得 t2； 当直线经过（0，4）时，直线 ytx+2t+2（t0）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边 界）中有且只有三个整点， 则 42t+2，解得 t1； 直线 ytx
31、+2t+2（t0）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整 点，则 t 的取值范围是t2 且 t1， 故选：D 第 16 页（共 37 页） 【点评】本题考查一次函数图象和性质，区域整数点；能够根据函数解析式求得经过的 点，并能画出图象，结合图象解题是关键 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）在函数 y中，自变量 x 的取值范围是 x2 【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条
32、件，分式有意义的条 件是：分母不等于 0； 【解答】解：根据题意得 2x40， 解得 x2； 自变量 x 的取值范围是 x2 【点评】当函数表达式是分式时，分式要有意义，则考虑分式的分母不能为 0 14 （5 分）2020 年 6 月 23 日 9 时 43 分，我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭， 成功发射北斗系统第五十五颗导航卫星， 标志着北斗三号卫星导航定位系统正式建成 根 据最新数据，目前兼容北斗的终端产品至少有 7 亿台，其中 7 亿用科学记数法表示为 7 108 【分析】科学记数法的表示形式为 a10
33、n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相 同当原数绝对值10 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 【解答】解：7 亿7000000007108， 故答案为：7108 第 17 页（共 37 页） 【点评】此题考查了科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n的形式， 其中 1|a|10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值 15 （5 分）已知关于 x 的一元二次方程（m1）2x2+3
34、mx+30 有一实数根为1，则该方 程的另一个实数根为 【分析】把 x1 代入原方程求出 m 的值，进而确定关于 x 的一元二次方程，根据根与 系数的关系可求出方程的另一个根 【解答】解：把 x1 代入原方程得， （m1）23m+30，即：m25m+40， 解得，m4，m1（不合题意舍去） ， 当 m4 时，原方程变为：9x2+12x+30，即，3x2+4x+10， 由根与系数的关系得：x1x2，又 x11， x2 故答案为： 【点评】本题考查一元二次方程根的意义和解法，求
35、解一元二次方程是得出正确答案的 关键 16 （5 分）如图，在矩形 ABCD 中，BC10，ABD30，若点 M、N 分别是线段 DB、 AB 上的两个动点，则 AM+MN 的最小值为 15 【分析】作点 A 关于 BD 的对称点 A，连接 MA，BA，过点 AHAB 于 H首先 证明ABA是等边三角形，求出 AH，根据垂线段最短解决问题即可 【解答】解：作点 A 关于 BD 的对称点 A，连接 MA，BA，过点 AHAB 于 H 第 18 页（共 37 页） BABA，ABDDBA30，
36、 ABA60， ABA是等边三角形， 四边形 ABCD 是矩形， ADBC10， 在 RtABD 中，AB10， AHAB， AHHB5， AHAH15， AM+MNAM+MNAH， AM+MN15， AM+MN 的最小值为 15 故答案为 15 【点评】本题考查轴对称的性质，等边三角形的判定和性质，矩形的性质等知识，解题 的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 5 小题，共
37、小题，共 44 分，解答应写出必要的文字说明或推演步骤）分，解答应写出必要的文字说明或推演步骤） 17 （7 分）计算： （） 1|2|+4sin60 +（3）0 【分析】先计算负整数指数幂、去绝对值符号、代入三角函数值、化简二次根式、计算 零指数幂，再计算乘法，最后计算加减可得 【解答】解：原式22+42+1 22+22+1 3 【点评】本题主要考查实数的运算，解题的关键是掌握负整数指数幂和零指数幂的规定、 熟记三角函数值、绝对值的性质、二次根式的性质 18 （9 分）如图，点 C、E、F、B 在同一直线上，
38、点 A、D 在 BC 异侧，ABCD，AEDF， AD （1）求证：ABCD； （2）若 ABCF，B40，求D 的度数 第 19 页（共 37 页） 【分析】 （1）根据平行线的性质求出BC，根据 AAS 推出ABEDCF，根据全 等三角形的性质得出即可； （2）根据全等得出 ABCD，BECF，BC，求出 CFCD，推出DCFD， 即可求出答案 【解答】 （1）证明：ABCD， BC， 在ABE 和DCF 中， ， ABEDCF（AAS） ，
39、 ABCD； （2）解：ABEDCF， ABCD，BECF，BC， B40， C40 ABCF， CFCD， DCFD（18040）70 【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，三角形内角和定理的应 用，能根据全等三角形的判定求出ABECDF 是解此题的关键 19 （9 分）我市某中学举行“法制进校园”知识竞赛，赛后将学生的成绩分为 A、B、C、 D 四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图请你根据统计图解 答下列问题
40、;第 20 页（共 37 页） （1）成绩为“B 等级”的学生人数有 5 名； （2）在扇形统计图中，表示“D 等级”的扇形的圆心角度数为 72 ，图中 m 的值为 40 ； （3） 学校决定从本次比赛获得 “A 等级” 的学生中间选出 2 名去参加市中学生知识竞赛 已 知“A 等级”中有 1 名女生，请用列表或画树状图的方法求出女生被选中的概率 【分析】 （1）A 等的有 3 人，占调查人数的 15%，可求出调查人数，进而求出 B 等的人 数； （2）D 等级占调查人数的，因此相应的圆心角为 360的即可，
41、计算 C 等级所占 的百分比，即可求出 m 的值； （3）用列表法表示所有可能出现的结果，进而求出相应的概率 【解答】解： （1）315%20（名） ，203845（名） ， 故答案为：5； （2）36072，82040%，即 m40， 故答案为：72，40； （3） “A 等级”2 男 1 女，从中选取 2 人，所有可能出现的结果如下： 共有 6 种可能出现的结果，其中女生被选中的有 4 种， P（女生被选中） 【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图的意义和制作方法，列表法求随机事件
42、发生 第 21 页（共 37 页） 的概率，列举出所有可能出现的结果是求概率的前提 20 （9 分）为了维护我国海洋权力，海监部门对我国领海实行了常态化巡航管理如图， 正在执行巡航任务的海监船以每小时 60 海里的速度向正东方向航行， 在 A 处测得灯塔 P 在北偏东 60方向上，海监船继续向东航行 1 小时到达 B 处，此时测得灯塔 P 在北偏东 30方向上 （1）求 B 处到灯塔 P 的距离； （2）已知灯塔 P 的周围 50 海里内有暗礁，若海监船继续向正东方向航行是否安全？ 【分析】 （1）在ABP 中，求出
43、PAB、PBA 的度数即可解决问题，根据等腰三角形 的性质即可得到结论； （2）作 PHAB 于 H求出 PH 的值即可判定 【解答】解： （1）PAB30，ABP120， APB180PABABP30， PBAB60 海里； （2）作 PHAB 于 H BAPBPA30， BABP60， 在 RtPBH 中，PHPBsin606030， 3050， 海监船继续向正东方向航行是安全的 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用方向角问题，正确根据题意画出图形、准
44、 第 22 页（共 37 页） 确标注方向角、熟练掌握锐角三角函数的概念是解题的关键 21 （10 分）如图，AB 是O 的直径，C 是O 上一点，ODBC 于点 D，过点 C 作O 的切线，交 OD 的延长线于点 E，连结 BE （1）求证：BE 是O 的切线； （2）设 OE 交O 于点 F，若 DF2，BC4，求线段 EF 的长； （3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积 【分析】 （1）连接 OC，如图，根据垂径定理由 ODBC 得到 CDBD，则 OE 为 BC 的 垂直平分线，所以 EBEC，证
45、明OCEOBE（SSS） ，得出OBEOCE90， 根据切线的判定定理得 BE 与O 相切； （2）设O 的半径为 x，则 ODx2，OBx，由勾股定理得出（x2）2+（2）2 x2，解得 x4，求出 OE 的长，则可求出 EF 的长； （3）由扇形的面积公式可得出答案 【解答】 （1）证明：连接 OC，如图， CE 为切线， OCCE， OCE90， ODBC， 第 23 页（共 37 页） CDBD， 即 OD 垂直平分 BC， ECEB，
46、 在OCE 和OBE 中 ， OCEOBE（SSS） ， OBEOCE90， OBBE， BE 与O 相切； （2）解：设O 的半径为 x，则 ODOFDFx2，OBx， 在 RtOBD 中，BDBC2， OD2+BD2OB2， （x2）2+（2）2x2，解得 x4， OD2，OB4， OBD30， BOD60， OE2OB8， EFOEOF844 （3）BOE60，OBE90， 在 RtOBE
47、 中，BEOB4， S阴影S四边形OBECS扇形OBC 244， 16 【点评】本题是圆的综合题，考查了切线的判定与性质，垂径定理，勾股定理，全等三 角形的判定与性质，直角三角形的性质，扇形面积的计算等知识，熟练掌握切线的判定 与性质是解题的关键 四、填空题（本大题共四、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 24 分 ）分 ） 22 （6 分）分解因式：b4b212 （b+2） （b2） （b2+3） 第 24 页（共 37 页） 【分析】先利用十字相乘
48、法，再利用平方差公式进行因式分解即可 【解答】解：b4b212（b24） （b2+3）（b+2） （b2） （b2+3） ， 故答案为： （b+2） （b2） （b2+3） 【点评】本题考查十字相乘法、公式法分解因式，掌握十字相乘法、公式法的结构特征 是正确应用的前提 23 （6 分）若数 a 使关于 x 的分式方程+3 的解为非负数，且使关于 y 的不等式 组的解集为 y0，则符合条件的所有整数 a 的积为 40 【分析】解分式方程的得出 x，根据解为非负数得出0，且1，据此 求出 a5 且 a3；解不等式组两个不等式得出 y0
49、 且 ya，根据解集为 y0 得出 a 0；综合以上两点得出整数 a 的值，从而得出答案 【解答】解：去分母，得：x+2a3（x1） ， 解得：x， 分式方程的解为非负数， 0，且1， 解得 a5 且 a3， 解不等式，得：y0， 解不等式 2（ya）0，得：ya， 不等式组的解集为 y0， a0， 0a5， 则整数 a 的值为 1、2、4、5， 符合条件的所有整数 a 的积为 124540， 故答案为：40 【点评】本题主要考
50、查分式方程的解和解一元一次不等式组，解题的关键是根据分式方 程的解的情况及不等式组解集的情况得出 a 的取值范围 24 （6 分）如图，在平面直角坐标系中，点 A（2，0） ，直线 l：yx+与 x 轴交于 点 B，以 AB 为边作等边ABA1，过点 A1作 A1B1x 轴，交直线 l 于点 B1，以 A1B1为边 第 25 页（共 37 页） 作等边A1B1A2， 过点 A2作 A2B2x 轴， 交直线 l 于点 B2， 以 A2B2为边作等边A2B2A3， 以此类推，则点 A2020的纵坐标是 【分析】先根据解析式求得 B
51、的坐标，即可求得 AB1，根据等边三角形的性质以及含 30角的直角三角形的性质，分别求得 A1的纵坐标为，A2的纵坐标为，A3的 纵坐标为，进而得到 An的纵坐标为，据此可得点 A2020的纵坐标 【解答】解：直线 l：yx+与 x 轴交于点 B， B（1，0） ， OB1， A（2，0） ， OA2， AB1， ABA1是等边三角形， A1（，） ， 把 y代入 yx+，求得 x， B1（，） ， A1B12， A2（，+2） ，即 A2（，） ，
52、 把 y代入 yx+，求得 x， B2（，） ， A2B24， 第 26 页（共 37 页） A3（3，+4） ，即 A3（3，） ， ， An的纵坐标为， 点 A2020的纵坐标是， 故答案为 【点评】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及等边三角形的性质的运用， 解决问题的关键是依据等边三角形的性质找出规律，求得 An的纵坐标为， 25 （6 分）已知抛物线 y1x2+4x（如图）和直线 y22x+b我们规定：当 x 取任意一个 值时，x
53、对应的函数值分别为 y1和 y2若 y1y2，取 y1和 y2中较大者为 M；若 y1y2， 记 My1y2当 x2 时，M 的最大值为 4；当 b3 时，使 My2的 x 的取值 范围是1x3；当 b5 时，使 M3 的 x 的值是 x11，x23；当 b1 时， M 随 x 的增大而增大上述结论正确的是 （填写所有正确结论的序号） 【分析】求出 y1，y2，求出 m 的值即可 求出直线与抛物线的交点坐标，利用图象法解决问题即可 画出图象，推出 M3 时，y13，y23 转化为方程求出 x 的值即可 当 b1 时，由，消去 y
54、得到，x22x+10，因为0，推出此时直线 y2x+1 与抛物线只有一个交点，推出 b1 时，直线 y2x+b 与抛物线没有交点，由此 即可判断 【解答】解：当 x2 时，y14，y24+b，无法判断 4 与 4+b 的大小，故错误 如图 1 中，b3 时， 第 27 页（共 37 页） 由，解得或， 两个函数图象的交点坐标为（1，5）和（3，3） ， 观察图象可知，使 My2的 x 的取值范围是1x3，故正确， 如图 2 中，b5 时，图象如图所示， M3 时，y13
55、， x2+4x3， 解得 x1 或 3， y23 时，32x5，解得 x4，也符合条件， 故错误， 第 28 页（共 37 页） 当 b1 时，由，消去 y 得到，x22x+10， 0， 此时直线 y2x+1 与抛物线只有一个交点， b1 时，直线 y2x+b 与抛物线没有交点， M 随 x 的增大而增大，故正确 故答案为 【点评】本题考查二次函数的性质，一次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意， 学会用转化的思想思考问题，属于中考常
56、考题型 五、解答题（本大题共五、解答题（本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 12 分，共分，共 36 分）分） 26 （12 分）我们知道，任意一个正整数 x 都可以进行这样的分解：xmn（m，n 是正整 数，且 mn） ，在 x 的所有这种分解中，如果 m，n 两因数之差的绝对值最小，我们就称 mn 是 x 的最佳分解并规定：f（x） 例如：18 可以分解成 118，29 或 36，因为 1819263，所以 36 是 18 的最佳分解，所以 f（18） （1）填空：f（6） ；f（9） 1 ； （2）一个两位正整数 t（t10
57、a+b，1ab9，a，b 为正整数） ，交换其个位上的数字 与十位上的数字得到的新数减去原数所得的差为 54，求出所有的两位正整数；并求 f（t） 的最大值； （3）填空： f（22357） ；f（23357） ；f（24357） ；f（25357） 【分析】 （1）仿照样例进行计算便可； （2）设交换 t 的个位上数与十位上的数得到的新数为 t，则 t10b+a，根据“交换 其个位上的数字与十位上的数字得到的新数减去原数所得的差为 54”的确定出 x 与 y 的 关系式，进而求出所有的两位数，进而确定出 F（t）的最大值即可； （3）根据样例计算便可 【解答】解： （1）6 可分解成 16，23， 第 29 页（共 37 页） 6132， 23 是 6 的最佳分解， f（6）， 9 可分解成 19，33， 9133， 33 是 9 的最佳分解， f（9）1， 故答案为：；1； （2）设交换 t 的个位上数与十位上的数得到的新数为 t，则
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