1、2020 年我市初三毕业生超过 30000 人， 将 30000 用科学记数法表示正确的是 （ ） A0.3105 B3104 C30103 D3 万 2 （3 分）下列说法不正确的是（ ） A2a 是 2 个数 a 的和 B2a 是 2 和数 a 的积 C2a 是单项式 D2a 是偶数 3 （3 分）下列事件中是不可能事件的是（ ） A守株待兔 B瓮中捉鳖 C水中捞月 D百步穿杨 4 （3 分）如图，将一副三角尺按下列位置摆放，使 和 互余的摆放方式是（ ） A B C &
2、nbsp;D 5 （3 分）关于 x 的方程 kx26x+90 有实数根，k 的取值范围是（ ） Ak1 且 k0 Bk1 Ck1 且 k0 Dk1 6 （3 分）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功地找到三角形内心的是（ ） 第 2 页（共 28 页） A B C D 7 （3 分）如图，PA，PB 分别与O 相切于 A，B 两点，P72，则C（ ） A108 B72 C54 D36 8 （3 分）如图，AD 是ABC 的中线，四边形 ADCE 是平行四边形，增加下列条件
3、，能判 断ADCE 是菱形的是（ ） ABAC90 BDAE90 CABAC DABAE 9 （3 分）如图，OC 交双曲线 y于点 A，且 OC：OA5：3，若矩形 ABCD 的面积是 8， 且 ABx 轴，则 k 的值是（ ） 第 3 页（共 28 页） A18 B50 C12 D 10 （3 分）从下列命题中，随机抽取一个是真命题的概率是（ ） （1）无理数都是无限小数； （2）因式分解 ax2aa（x+1） （x1） ； （3）棱长是 1cm 的正方体的表面展开
4、图的周长一定是 14cm； （4）弧长是 20cm，面积是 240cm2的扇形的圆心角是 120 A B C D1 二、填空题（本题包括二、填空题（本题包括 7 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 21 分，将答案直接填在答题卡对应题的横分，将答案直接填在答题卡对应题的横 线上）线上） 11 （3 分）计算： （1） （3.14）0 ； （2）2cos45 ； （3）12 12 （3 分）若数据 3，a，3，5，3 的平均数是 3，则这组数据中 &
5、nbsp;（1）众数是 ； （2）a 的值是 ； （3）方差是 13 （3 分）如图，点 O 在直线 AB 上，AOC581728则BOC 的度数是 14 （3 分）如图，用大小相同的小正方形拼大正方形，拼第 1 个正方形需要 4 个小正方形， 拼第 2 个正方形需要 9 个小正方形，按这样的方法拼成的第（n+1）个正方形比第 n 个 第 4 页（共 28 页） 正方形多 个小正方形 15 （3 分）有一个人患了新冠肺
6、炎，经过两轮传染后共有 169 人患了新冠肺炎，每轮传染 中平均一个人传染了 个人 16 （3 分）如图，在ABC 中，ACB90，ACBC，点 P 在斜边 AB 上，以 PC 为直 角边作等腰直角三角形 PCQ，PCQ90，则 PA2，PB2，PC2三者之间的数量关系 是 17 （3 分）如图，在ABC 中，ABAC，BAC120，点 E 是边 AB 的中点，点 P 是边 BC 上一动点，设 PCx，PA+PEy图是 y 关于 x 的函数图象，其中 H 是图象 上的最低点那么 a+b 的值为 &nb
7、sp;三、解答题（包括三、解答题（包括 9 小题，共小题，共 69 分，每小题分值均在各题号后面标出，请在答题卡上写出分，每小题分值均在各题号后面标出，请在答题卡上写出 各题解答的文字说明、证明过程或计算步骤各题解答的文字说明、证明过程或计算步骤） 18 （5 分）解方程： 19 （6 分）从 A 处看一栋楼顶部的仰角为 ，看这栋楼底部的俯角为 ，A 处与楼的水平距 离 AD 为 90m若 tan0.27，tan2.73，求这栋楼高 第 5 页（共 28 页） 20 （6 分）用定义一种新运算：对于任意实数 m 和 n
8、，规定 mnm2nmn3n，如：1 212212326 （1）求（2）； （2）若 3m6，求 m 的取值范围，并在所给的数轴上表示出解集 21 （7 分）甲口袋中装有 2 个相同小球，它们分别写有数字 1，2；乙口袋中装有 3 个相同 小球，它们分别写有数字 3，4，5；丙口袋中装有 2 个相同小球，它们分别写有数字 6， 7从三个口袋各随机取出 1 个小球用画树状图或列表法求： （1）取出的 3 个小球上恰好有一个偶数的概率； （2）取出的 3 个小球上全是奇数的概率 22 （7 分）如图，O 的直径 AB 交弦（不
9、是直径）CD 于点 P，且 PC2PBPA，求证： ABCD 23 （8 分）某校研究学生的课余爱好情况，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、 上网四个方面调查了若干名学生的兴趣爱好，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完 整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题： 第 6 页（共 28 页） （1）在这次调查中，共调查了多少名学生； （2）补全条形统计图； （3）若该校爱好运动的学生共有 800 名，则该校学生总数大约有多少名 24 （9 分）某服装专卖店计划购进 A，B 两种型号的
10、精品服装已知 2 件 A 型服装和 3 件 B 型服装共需 4600 元；1 件 A 型服装和 2 件 B 型服装共需 2800 元 （1）求 A，B 型服装的单价； （2）专卖店要购进 A，B 两种型号服装 60 件，其中 A 型件数不少于 B 型件数的 2 倍， 如果 B 型打七五折，那么该专卖店至少需要准备多少货款？ 25 （9 分）中心为 O 的正六边形 ABCDEF 的半径为 6cm，点 P，Q 同时分别从 A，D 两点 出发，以 1cm/s 的速度沿 AF，DC 向终点 F，C 运动，连接 PB，PE，QB，QE，设运动 时间为 t（s） &nb
11、sp; （1）求证：四边形 PBQE 为平行四边形； （2）求矩形 PBQE 的面积与正六边形 ABCDEF 的面积之比 26 （12 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴交于点 A，B，与 y 轴交于点 C且直线 yx6 过点 B，与 y 轴交于点 D，点 C 与点 D 关于 x 轴对称，点 P 是线段 OB 上一动点，过点 P 作 x 轴的垂线交抛物线于点 M，交直线 BD 于点 N （1）求抛物线的函数解析式； （2）当MDB 的面积最大时，求点 P 的坐标； 第 7 页（共 28
12、页） （3）在（2）的条件下，在 y 轴上是否存在点 Q，使得以 Q，M，N 三点为顶点的三角形 是直角三角形？若存在，直接写出点 Q 的坐标；若不存在，说明理由 第 8 页（共 28 页） 2020 年内蒙古通辽市中考数学试卷年内蒙古通辽市中考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本题包括一、选择题（本题包括 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分，每小题只有一个正确答齐案，请分，每小题只有一个正确答齐案，请 在答题卡上将代表正确答案的字母用在答题卡上将代表正
13、确答案的字母用 2B 铅笔涂黑）铅笔涂黑） 1（3 分） 2020 年我市初三毕业生超过 30000 人， 将 30000 用科学记数法表示正确的是 （ ） A0.3105 B3104 C30103 D3 万 【分析】根据科学记数法定义：把一个大于 10 的数记成 a10n的形式，其中 a 是整数 数位只有一位的数，n 是正整数，这种记数法叫做科学记数法，即可表示 【解答】解：30000 用科学记数法表示为：3104 故选：B 【点评】本题考查了科学记数法表示较大的数，解决本题的关键是掌握科学记数法： 科学记数法形式：a1
14、0n，其中 1a10，n 为正整数 2 （3 分）下列说法不正确的是（ ） A2a 是 2 个数 a 的和 B2a 是 2 和数 a 的积 C2a 是单项式 D2a 是偶数 【分析】分别根据乘法的定义，单项式的定义以及偶数的定义逐一判断即可 【解答】解：A.2aa+a，即 2a 是 2 个数 a 的和，说法正确； B.2a 是 2 和数 a 的积，说法正确； C.2a 是单项式，说法正确； D.2a 不一定是偶数，故原说法错误 故选：D 【点评】本题主要考查了单项式的定义，偶
15、数的定义，熟记相关定义是解答本题的关键 3 （3 分）下列事件中是不可能事件的是（ ） A守株待兔 B瓮中捉鳖 C水中捞月 D百步穿杨 【分析】不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，可得答案 【解答】解：A、守株待兔是随机事件，故此选项不合题意； B、瓮中捉鳖是必然事件，故此选项不合题意； C、水中捞月是不可能事件，故此选项符合题意； 第 9 页（共 28 页） D、百步穿杨是随机事件，故此选项不合题意； 故选：C 【点评】本题考查了随机事件，解决本题
16、需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事 件的概念必然事件指在一定条件下，一定发生的事件不可能事件是指在一定条件下， 一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生 的事件 4 （3 分）如图，将一副三角尺按下列位置摆放，使 和 互余的摆放方式是（ ） A B C D 【分析】根据余角和补角的概念、结合图形进行判断即可 【解答】解：A 与 互余，故本选项正确； B，故本选项错误； C，故本选项错误； D 与 互补，故本选项错误， 故选
17、：A 【点评】本题考查了余角和补角，是基础题，熟记概念与性质是解题的关键 5 （3 分）关于 x 的方程 kx26x+90 有实数根，k 的取值范围是（ ） Ak1 且 k0 Bk1 Ck1 且 k0 Dk1 【分析】若一元二次方程有有实数根，则根的判别式b24ac0，建立关于 k 的不 第 10 页（共 28 页） 等式，求出 k 的取值范围 【解答】解：k0 时，是一元一次方程，有实数根； k 不等于 0 时，是一元二次方程，根据题意，0， b24ac（6）24k90， &nbs
18、p;解得 k1， 故选：D 【点评】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式的关系： （1）0方程有两个不相等的实数根； （2）0方程有两个相等的实数根； （3）0方程没有实数根 6 （3 分）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功地找到三角形内心的是（ ） A B C D 【分析】利用基本作图和三角形内心的定义进行判断 【解答】解：三角形内心为三角形内角平分线的交点，选项 B 中作了两个角的平分线 故选：B 【点评】本题考查了作图基本作图：熟练掌握基本作图（
19、作一条线段等于已知线段； 作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知 直线的垂线） 也考查了线段垂直平分线的性质 7 （3 分）如图，PA，PB 分别与O 相切于 A，B 两点，P72，则C（ ） 第 11 页（共 28 页） A108 B72 C54 D36 【分析】连接 OA、OB，根据切线的性质得到PAO90，PBO90，求出AOB， 根据圆周角定理解答即可 【解答】解：连接 OA、OB， PA，PB 分别为O 的切线， OAPA，OBPB，
20、 PAO90，PBO90， AOB360PAOPBOP360909072108， 由圆周角定理得，CAOB54， 故选：C 【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径 是解题的关键 8 （3 分）如图，AD 是ABC 的中线，四边形 ADCE 是平行四边形，增加下列条件，能判 断ADCE 是菱形的是（ ） ABAC90 BDAE90 CABAC DABAE 【分析】根据菱形的判定定理即可得到结论 【解答】解：添加BAC90时，
21、;第 12 页（共 28 页） AD 是ABC 的中线， ADBCCD， 四边形 ADCE 是菱形，选项 A 正确； 添加DAE90， 四边形 ADCE 是平行四边形 四边形 ADCE 是矩形，选项 B 错误； 添加 ABAC，可得到 ADBC， ADC90， 四边形 ADCE 是平行四边形是矩形，选项 C 错误； 添加 ABAE， 四边形 ADCE 是平行四边形， AECD， AD 是ABC 的中线， BDCDAE， &nb
22、sp;ABBD，故不能选项 D 不能判定四边形 ADCE 是菱形； 故选：A 【点评】本题考查了菱形的判定、平行四边形的性质、等腰三角形的判定、熟练掌握菱 形的判定是关键 9 （3 分）如图，OC 交双曲线 y于点 A，且 OC：OA5：3，若矩形 ABCD 的面积是 8， 且 ABx 轴，则 k 的值是（ ） A18 B50 C12 D 【分析】延长 DA，交 x 轴于 E，通过证得三角形相似求得AOE 的面积9，根据反比 第 13 页（共 28 页） 例函数系数 k 的几何意义，即可求得 k 的值 &
23、nbsp;【解答】解：延长 DA、交 x 轴于 E， 四边形 ABCD 是矩形，且 ABx 轴， CABAOE， DEx 轴，CBx 轴， AEOABC AOECAB， （）2， 矩形 ABCD 的面积是 8，OC：OA5：3， ABC 的面积为 4，AC：OA2：3， （）2， SAOE9， 双曲线 y经过点 A， SAOE|k|9， k0， k18， 故选：A 【点评】本题考查了反比例函数系数 k
24、的几何意义，根据题意作出辅助线，构造出相似 三角形是解答此题的关键 10 （3 分）从下列命题中，随机抽取一个是真命题的概率是（ ） （1）无理数都是无限小数； 第 14 页（共 28 页） （2）因式分解 ax2aa（x+1） （x1） ； （3）棱长是 1cm 的正方体的表面展开图的周长一定是 14cm； （4）弧长是 20cm，面积是 240cm2的扇形的圆心角是 120 A B C D1 【分析】根据各个小题中的说法可以判断是否为真命题，从而可以得到随机抽取一个是 真命题的概
25、率 【解答】解： （1）无理数都是无限小数是真命题， （2）因式分解 ax2aa（x+1） （x1）是真命题； （3）棱长是 1cm 的正方体的表面展开图的周长一定是 14cm 是真命题； （4）弧长是 20cm，面积是 240cm2的扇形的半径是 24022024cm，圆心角为： 150，故弧长是 20cm，面积是 240cm2的扇形的圆心角是 120是 假命题； 故随机抽取一个是真命题的概率是， 故选：C 【点评】本题考查命题和定理，解答本题的关键是明确题意，可以判断出各个命题的真 假 二、填空
26、题（本题二、填空题（本题包括包括 7 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 21 分，将答案直接填在答题卡对应题的横分，将答案直接填在答题卡对应题的横 线上）线上） 11 （3 分）计算： （1） （3.14）0 1 ； （2）2cos45 ； （3）12 1 【分析】 （1）根据任何非零数的零次幂等于 1 即可； （2）根据特殊角的三角函数值计算即可； （3）根据有理数的乘方的定义计算即可 【解答】解： （1） （3.14）01； （2）2cos45； &nbs
27、p;第 15 页（共 28 页） （3）12111 故答案为： （1）1； （2）； （3）1 【点评】本题主要考查了实数的运算熟练掌握相关定义是解答本题的关键 12 （3 分）若数据 3，a，3，5，3 的平均数是 3，则这组数据中 （1）众数是 3 ； （2）a 的值是 1 ； （3）方差是 【分析】根据平均数、中位数、方差、众数的意义和计算方法进行计算即可 【解答】解： （1）不论 a 取何值，出现次数最多的是 3，出现 3 次，因此众数是 3； （2）
28、 （33+a+5）35， 解得，a1， （3）S2（13）2+（53）2， 故答案为：3，1， 【点评】本题考查中位数、众数、平均数、方差的意义和计算方法，理解各个概念的意 义是正确计算的关键 13 （3 分）如图，点 O 在直线 AB 上，AOC581728则BOC 的度数是 121 4232 【分析】依据邻补角的定义，即可得到BOC 的度数 【解答】解：点 O 在直线 AB 上，且AOC581728， BOC180AOC1805817281214232， 故答案为：12
29、14232 【点评】本题主要考查了邻补角的定义解题的关键是掌握邻补角的定义：如果两个角 互为邻补角，那么它们的和为 180 14 （3 分）如图，用大小相同的小正方形拼大正方形，拼第 1 个正方形需要 4 个小正方形， 拼第 2 个正方形需要 9 个小正方形，按这样的方法拼成的第（n+1）个正方形比第 n 个 第 16 页（共 28 页） 正方形多 2n+3 个小正方形 【分析】观察不难发现，所需要的小正方形的个数都是平方数，然后根据相应的序数与 正方形的个数的关系找出规律解答即可 【解答】解：第 1 个正方形需要
30、4 个小正方形，422， 第 2 个正方形需要 9 个小正方形，932， 第 3 个正方形需要 16 个小正方形，1642， ， 第 n+1 个正方形有（n+1+1）2个小正方形， 第 n 个正方形有（n+1）2个小正方形， 故拼成的第 n+1 个正方形比第 n 个正方形多（n+2）2（n+1）22n+3 个小正方形 故答案为：2n+3 【点评】此题考查的知识点是图形数字的变化类问题，关键是通过图形找出规律，按规 律求解 15 （3 分）有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有 169
31、人患了新冠肺炎，每轮传染 中平均一个人传染了 12 个人 【分析】根据增长率问题：增长率增长数量/原数量100%如：若原数是 a，每次增 长的百分率为 x， 则第一次增长后为 a （1+x） ； 第二次增长后为 a （1+x） 2， 即 原数 （1+ 增长百分率）2后来数 【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染了 x 个人，根据题意，得 （1+x）2169 1+x13 x112，x214（舍去） 答：每轮传染中平均一个人传染了 12 个人 故答案为：12 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解决
32、本题的关键是掌握增长率问题：增长率 第 17 页（共 28 页） 增长数量/原数量100%如：若原数是 a，每次增长的百分率为 x，则第一次增长后 为 a（1+x） ；第二次增长后为 a（1+x）2，即 原数（1+增长百分率）2后来数 16 （3 分）如图，在ABC 中，ACB90，ACBC，点 P 在斜边 AB 上，以 PC 为直 角边作等腰直角三角形 PCQ，PCQ90，则 PA2，PB2，PC2三者之间的数量关系是 PB2+AP22CP2 【分析】连接 BQ，由“SAS”可证ACPBCQ，可得CAPCBQ45，
33、可得 ABQ90，由勾股定理可得 PB2+BQ2PQ2，即可求解 【解答】解：如图，连接 BQ， ACB90，ACBC， CABCBA45， PCQ 是等腰直角三角形， PCCQ，PCQ90ACB，PQ22CP2， ACPBCQ， 又ACBC， ACPBCQ（SAS） ， CAPCBQ45， ABQ90， PB2+BQ2PQ2， PB2+AP22CP2， 故答案为：PB2+AP22CP2 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性
34、质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知 识，证明ABQ90是本题的关键 17 （3 分）如图，在ABC 中，ABAC，BAC120，点 E 是边 AB 的中点，点 P 第 18 页（共 28 页） 是边 BC 上一动点，设 PCx，PA+PEy图是 y 关于 x 的函数图象，其中 H 是图象 上的最低点那么 a+b 的值为 7 【分析】点 A 关于 BC 的对称点为点 A，连接 AE 交 BC 于点 P，此时 y 最小，进而 求解 【解答】解：如图，将ABC 沿 BC 折叠得到ABC，则四边形 ABAC 为菱形，菱
35、形的对角线交于点 O， 由图知，当点 P 与点 B 重合时， yPA+PEAB+BEABAB3，解得：AB2，即：菱形的边长为 2， 则该菱形的高为AB3， 点 A 关于 BC 的对称点为点 A，连接 AE 交 BC 于点 P，此时 y 最小， ABAC，BAC120， 则BAA60，故 AAB 为等边三角形， E 是 AB 的中点，故 AEAB， 而 ABAC，故PAC 为直角，ACAB2， 则 PC4， 此时 bPC，aAE3（菱形的高） ， 则 a+b3+
36、47 故答案为 7 【点评】本题是运动型综合题，考查了动点问题的函数图象、菱形的性质、解直角三角 第 19 页（共 28 页） 形解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解 动点的完整运动过程 三、解答题（包括三、解答题（包括 9 小题，共小题，共 69 分，每小题分值均在各题号后面标出，请在答题卡上写出分，每小题分值均在各题号后面标出，请在答题卡上写出 各题解答的文字各题解答的文字说明、证明过程或计算步骤）说明、证明过程或计算步骤） 18 （5 分）解方程： 【分析】方程两边
37、都乘以最简公分母 x（x2）把分式方程化为整式方程，然后解整式方 程，再进行检验 【解答】解：方程两边都乘以 x（x2）得， 2x3x6， 解得 x6， 检验：当 x6 时，x（x2）64240， 所以 x6 是分式方程的解 因此，原分式方程的解是 x6 【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验 19 （6 分）从 A 处看一栋楼顶部的仰角为 ，看这栋楼底部的俯角为 ，A 处与楼的水平距 离 AD 为 90m若 tan0.27，tan2.73，求这栋楼高 【
38、分析】在两个直角三角形中，利用边角关系求出 BD、CD 的长，即可求楼高 BC 【解答】解：在 RtABD 中，BDtanAD0.279024.3（米） ， 在 RtACD 中，CDADtan902.73245.7（米） ， BCBD+CD24.3+245.7270（米） ， 答：这栋楼高 BC 约为 270 米 【点评】本题考查直角三角形的边角关系的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解 答的前提 第 20 页（共 28 页） 20 （6 分）用定义一种新运算：对于任意实数 m 和 n，规定
39、mnm2nmn3n，如：1 212212326 （1）求（2）； （2）若 3m6，求 m 的取值范围，并在所给的数轴上表示出解集 【分析】 （1）根据新定义规定的运算法则列式，再由有理数的运算法则计算可得； （2）根据新定义列出关于 x 的不等式，解不等式即可得 【解答】解： （1） （2）（2）2（2）34+23 3； （2）3m6， 则 32m3m3m6， 解得：m2， 将解集表示在数轴上如下： 【点评】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是根据新定义列出算式和
40、一元一 次不等式及解一元一次不等式的步骤 21 （7 分）甲口袋中装有 2 个相同小球，它们分别写有数字 1，2；乙口袋中装有 3 个相同 小球，它们分别写有数字 3，4，5；丙口袋中装有 2 个相同小球，它们分别写有数字 6， 7从三个口袋各随机取出 1 个小球用画树状图或列表法求： （1）取出的 3 个小球上恰好有一个偶数的概率； （2）取出的 3 个小球上全是奇数的概率 【分析】 （1）画树状图展示所有 12 种等可能的结果，找出取出的 3 个小球上恰好有一个 偶数的结果数，然后根据概率公式计算； （2）找出取出的 3 个小球上
41、全是奇数的结果数，然后根据概率公式计算 【解答】解： （1）画树状图为： 第 21 页（共 28 页） 共有 12 种等可能的结果，其中取出的 3 个小球上恰好有一个偶数的结果数为 5， 所以取出的 3 个小球上恰好有一个偶数的概率； （2）取出的 3 个小球上全是奇数的结果数为 2， 所以取出的 3 个小球上全是奇数的概率 【点评】 本题考查了列表法与树状图法： 利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果 n， 再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后利用概率公式计算事件
42、 A 或事件 B 的概 率 22 （7 分）如图，O 的直径 AB 交弦（不是直径）CD 于点 P，且 PC2PBPA，求证： ABCD 【分析】连接 AC、BC，如图，根据圆周角定理得到AD，CB，则可判断 APCBPD，利用相似比得到 PCPDPAPB，利用 PC2PBPA 得到 PCPD，然 后根据垂径定理得到结论 【解答】证明：连接 AC、BC，如图， AD，CB， APCBPD， PC：PBPA：PD， PCPDPAPB， PC2PBPA， PCPD， &nbs
43、p;第 22 页（共 28 页） AB 为直径， ABCD 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用 图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角 形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形，灵活运用相似三角形的性质表示线段之 间的关系；也考查了圆周角定理和垂径定理 23 （8 分）某校研究学生的课余爱好情况，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、 上网四个方面调查了若干名学生的兴趣爱好，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完 整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题：
44、 （1）在这次调查中，共调查了多少名学生； （2）补全条形统计图； （3）若该校爱好运动的学生共有 800 名，则该校学生总数大约有多少名 【分析】 （1）根据爱好运动的人数和所占的百分比，可以求得本次调查的人数； （2）根据（1）中的结果和统计图中的数据，可以得到爱好阅读和上网的人数，从而可 以将条形统计图补充完整； （3）根据爱好运动的学生所占的百分比，可以计算出该校学生总数大约有多少名 【解答】解： （1）4040%100（名） ， 即在这次调查中，共调查了 100 名学生； &
45、nbsp;第 23 页（共 28 页） （2）爱好上网的学生有：10010%10（名） ， 爱好阅读的学生有：10040201030（名） ， 补全的条形统计图如右图所示； （3）80040%2000（名） ， 答：该校学生总数大约有 2000 名 【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确 题意，利用数形结合的思想解答 24 （9 分）某服装专卖店计划购进 A，B 两种型号的精品服装已知 2 件 A 型服装和 3 件 B 型服装共需 4600 元；1 件 A 型服装和 2
46、 件 B 型服装共需 2800 元 （1）求 A，B 型服装的单价； （2）专卖店要购进 A，B 两种型号服装 60 件，其中 A 型件数不少于 B 型件数的 2 倍， 如果 B 型打七五折，那么该专卖店至少需要准备多少货款？ 【分析】 （1）设 A 型服装的单价为 x 元，B 型服装的单价为 y 元，根据“2 件 A 型服装和 3 件 B 型服装共需 4600 元；1 件 A 型服装和 2 件 B 型服装共需 2800 元” ，即可得出关于 x，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进 B 型服装 m 件，则购进 A 型服装（60
47、m）件，根据购进 A 型件数不少于 B 型件数的 2 倍，即可得出关于 m 的一元一次不等式，解之即可得出 m 的取值范围，设该 专卖店需要准备 w 元的货款， 根据总价单价数量， 即可得出 w 关于 m 的函数关系式， 再利用一次函数的性质即可解决最值问题 【解答】解： （1）设 A 型服装的单价为 x 元，B 型服装的单价为 y 元， 依题意，得：， 解得： 第 24 页（共 28 页） 答：A 型服装的单价为 800 元，B 型服装的单价为 1000 元 （2）设购进 B 型服装 m 件，则购进 A
48、型服装（60m）件， 依题意，得：60m2m， 解得：m20 设该专卖店需要准备 w 元的货款，则 w800（60m）+10000.75m50m+48000， k50， w 随 m 的增大而减小， 当 m20 时，w 取得最小值，最小值5020+4800047000 答：该专卖店至少需要准备 47000 元货款 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的性质以及一元一次不等式的应 用，解题的关键是： （1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组； （2）根据各数量之 间的关系，正确列出一元一次
49、不等式 25 （9 分）中心为 O 的正六边形 ABCDEF 的半径为 6cm，点 P，Q 同时分别从 A，D 两点 出发，以 1cm/s 的速度沿 AF，DC 向终点 F，C 运动，连接 PB，PE，QB，QE，设运动 时间为 t（s） （1）求证：四边形 PBQE 为平行四边形； （2）求矩形 PBQE 的面积与正六边形 ABCDEF 的面积之比 【分析】 （1）证明ABPDEQ（SAS） ，可得 BPEQ，同理 PEBQ，由此即可证明； （2）求出 t0s 或 6s 时，四边形 PBQE 是矩形，求出矩形面积和正六边形面积，
50、即可得 出结论 【解答】 （1）证明：正六边形 ABCDEF 内接于O， ABBCCDDEEFFA，AABCCDDEFF， 点 P，Q 同时分别从 A，D 两点出发，以 1cm/s 速度沿 AF，DC 向终点 F，C 运动， APDQt，PFQC6t， 第 25 页（共 28 页） 在ABP 和DEQ 中， ABPDEQ（SAS） ， BPEQ， 同理可证 PEQB， 四边形 PEQB 为平行四边形 （2）解：连接 BE、OA，则AOB60， &n
51、bsp;OAOB， AOB 是等边三角形， ABOA6，BE2OB12， 当 t0 时， 点 P 与 A 重合， Q 与 D 重合， 四边形 PBQE 即为四边形 ABDE， 如图 1 所示： 则EAFAEF30， BAE1203090， 此时四边形 ABDE 是矩形，即四边形 PBQE 是矩形 当 t6 时，点 P 与 F 重合，Q 与 C 重合，四边形 PBQE 即为四边形 FBCE，如图 2 所示： 同法可知BPE90，此时四边形 PBQE 是矩形 综上所述，t0s 或 6s 时，
52、四边形 PBQE 是矩形， AE6， 矩形 PBQE 的面积矩形 ABDE 的面积ABAE6636； 正六边形 ABCDEF 的面积6AOB 的面积6矩形 ABDE 的面积636 54， 矩形 PBQE 的面积与正六边形 ABCDEF 的面积之比 第 26 页（共 28 页） 【点评】本题考查了正六边形的性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、 等边三角形的判定与性质等知识；熟练掌握正六边形的性质是解题的关键 26 （12 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yx2+bx
53、+c 与 x 轴交于点 A，B，与 y 轴交于点 C且直线 yx6 过点 B，与 y 轴交于点 D，点 C 与点 D 关于 x 轴对称，点 P 是线段 OB 上一动点，过点 P 作 x 轴的垂线交抛物线于点 M，交直线 BD 于点 N （1）求抛物线的函数解析式； （2）当MDB 的面积最大时，求点 P 的坐标； （3）在（2）的条件下，在 y 轴上是否存在点 Q，使得以 Q，M，N 三点为顶点的三角形 是直角三角形？若存在，直接写出点 Q 的坐标；若不存在，说明理由 【分析】 （1）由一次函数图象与坐标轴交点 B、D 的坐标，再由对称求得 C
54、 点坐标，再 用待定系数法求抛物线的解析式； （2）设 P（m，0） ，则 M（m，m2+5m+6） ，N（m，m6） ，由三角形的面积公式求得 MDB 的面积关于 m 的二次函数，最后根据二次函数的最大值的求法，求得 m 的值， 进而得 P 点的坐标； （3）分三种情况：M 为直角顶点；N 为直角顶点；Q 为直角顶点分别得出 Q 点的坐标 【解答】解： （1）令 y0，得 yx60， 第 27 页（共 28 页） 解得 x6， B（6，0） ， 令 x0，得 yx66， D（0，6
55、） ， 点 C 与点 D 关于 x 轴对称， C（0，6） ， 把 B、C 点坐标代入 yx2+bx+c 中，得 ， 解得， 抛物线的解析式为：yx2+5x+6； （2）设 P（m，0） ，则 M（m，m2+5m+6） ，N（m，m6） ， 则 MNm2+4m+12， MDB 的面积3m2+12m+363（m2）2+48， 当 m2 时，MDB 的面积最大， 此时，P 点的坐标为（2，0） ； （3）由（2）知，M（2，12） ，N（2，4） ， &
56、nbsp;当QMN90时，QMx 轴，则 Q（0，12） ； 当MNQ90时，NQx 轴，则 Q（0，4） ； 当MQN90时，设 Q（0，n） ，则 QM2+QN2MN2， 第 28 页（共 28 页） 即 4+（12n）2+4+（n+4）2（12+4）2， 解得，n42， Q（0，4+2）或（0，42） 综上，存在以 Q，M，N 三点为顶点的三角形是直角三角形其 Q 点坐标为（0，12）或 （0，4）或（0，4+2）或（0，42） 【点评】本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最 值的应用，待定系数法，直角三角形的性质，三角形的面积计算，分类讨论思想，关键 是正确求出函数解析式和分类讨论
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