1、下列运算正确的是（ ） A （2a3）24a6 B3 Cm2m3m6 Dx3+2x33x3 5 （3 分）如图，它是由 5 个完全相同的小正方体搭建的几何体，若将最右边的小正方体拿 走，则下列结论正确的是（ ） A主视图不变 B左视图不变 C俯视图不变 D三视图都不变 6 （3 分）一元二次方程（x1） （x+3）5x5 的根的情况是（ ） A无实数根 B有两个不相等的实数根 C有两个相等的实数根 D有一个正根，一个负根 7 （3 分）某市 5 月份连续 7 天的最高气温如下（单位：）
2、 ：32，30，34，36，36，33， 第 2 页（共 32 页） 37这组数据的中位数、众数分别为（ ） A34，36 B34，34 C36，36 D32，37 8 （3 分） “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲如 图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方 形设直角三角形较长直角边长为 a，较短直角边长为 b若 ab8，大正方形的面积为 25，则小正方形的边长为（ ） A9 B6 C4 D3 9 （3 分）如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，D
3、90，AD4，BC3分别以点 A， C 为圆心，大于AC 长为半径作弧，两弧交于点 E，作射线 BE 交 AD 于点 F，交 AC 于 点 O若点 O 是 AC 的中点，则 CD 的长为（ ） A2 B4 C3 D 10 （3 分）我们知道：四边形具有不稳定性如图，在平面直角坐标系中，边长为 2 的正 方形 ABCD 的边 AB 在 x 轴上，AB 的中点是坐标原点 O，固定点 A，B，把正方形沿箭头 方向推，使点 D 落在 y 轴正半轴上点 D处，则点 C 的对应点 C的坐标为（ ） A （，1） B （2，1） C （1，） D （2，）
4、;二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 15 分）分） 第 3 页（共 32 页） 11 （3 分）计算：|1|+30 12 （3 分）不等式组的最小整数解是 13 （3 分）在一个不透明的口袋里有红、黄、蓝三种颜色的小球，这些球除颜色外都相同， 其中有 5 个红球，4 个蓝球若随机摸出一个蓝球的概率为，则随机摸出一个黄球的概 率为 14 （3 分）如图，四边形 ABCD 是菱形，A60，AB2，扇形 EBF 的半径为 2，圆心 角为 60，则图中阴影部
5、分的面积是 15 （3 分）如图，正方形 ABCD 的边长是 9，点 E 是 AB 边上的一个动点，点 F 是 CD 边上 一点，CF4，连接 EF，把正方形 ABCD 沿 EF 折叠，使点 A，D 分别落在点 A，D 处，当点 D落在直线 BC 上时，线段 AE 的长为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 个小题，满分个小题，满分 75 分）分） 16 （8 分）先化简，再求值： （x+1），其中 x 满足 x2+x20 17 （9 分）如图，AB 为O 的直径，DBAB 于 B
6、，点 C 是弧 AB 上的任一点，过点 C 作 O 的切线交 BD 于点 E连接 OE 交O 于 F （1）求证：CEED； （2）填空： 当D 时，四边形 OCEB 是正方形； 当D 时，四边形 OACF 是菱形 第 4 页（共 32 页） 18 （9 分）我市正在开展“食品安全城市”创建活动，为了解学生对食品安全知识的了解 情况，学校随机抽取了部分学生进行问卷调查，将调查结果按照“A 非常了解、B 了解、 C 了解较少、D 不了解”四类分别进行统计，并绘制了下列两
7、幅统计图（不完整） 请根 据图中信息，解答下列问题： （1）此次共调查了 名学生； （2）扇形统计图中 D 所在扇形的圆心角为 ； （3）将上面的条形统计图补充完整； （4）若该校共有 800 名学生，请你估计对食品安全知识“非常了解”的学生的人数 19 （9 分）郑州大学（ZhengzhouUniversity） ，简称“郑大” ，是中华人民共和国教育部与河 南省人民政府共建的全国重点大学，首批“双一流”世界一流大学、 “211 工程” 某学校 兴趣小组 3 人来到郑州大学门口进行测量，如图，在大楼 A
8、C 的正前方有一个舞台，舞 台前的斜坡 DE4 米，坡角DEB41，小红在斜坡下的点 E 处测得楼顶 A 的仰角为 60，在斜坡上的点 D 处测得楼顶 A 的仰角为 45，其中点 B，C，E 在同一直线上求 大楼 AC 的高度 （结果精确到整数 参考数据：1.73， sin410.6， cos410.75， tan410.87） 第 5 页（共 32 页） 20 （9 分）某文具店经销甲、乙两种不同的笔记本，已知：两种笔记本的进价之和为 10 元， 甲种笔记本每本获利 2 元，乙种笔记本每本获利 1 元，小玲同学买 4 本甲种笔记本和 3 本
9、乙种笔记本共用了 47 元 （1）甲、乙两种笔记本的进价分别是多少元？ （2）该文具店购入这两种笔记本共 60 本，花费不超过 296 元，则购买甲种笔记本多少 本时文具店获利最大？ 21 （10 分）某数学兴趣小组对函数 yx+的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请 补充完整 x 3 2 1 1 2 3 y m 2 2 （1）自变量 x 的取值范围是 ，m
10、 （2）根据（1）中表内的数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，画出函数图象的 一部分，请你画出该函数图象的另一部分 （3）请你根据函数图象，写出两条该函数的性质； （4）进一步探究该函数的图象发现： 方程 x+3 有 个实数根； 若关于 x 的方程 x+t 有 2 个实数根，则 t 的取值范围是 第 6 页（共 32 页） 22 （10 分）如图 1，在 RtABC 中，B90，AB4，BC2，点 D、E 分别是边 BC、 AC 的中点
11、，连接 DE将CDE 绕点 C 逆时针方向旋转，记旋转角为 （1）问题发现 当 0时， ； 当 180时， （2）拓展探究 试判断：当 0360时，的大小有无变化？请仅就图 2 的情形给出证明 （3）问题解决 CDE 绕点 C 逆时针旋转至 A、B、E 三点在同一条直线上时，求线段 BD 的长 23（11 分） 如图， 直线 yx+4 与 x 轴交于点 C， 与 y 轴交于点 B， 抛物线 yax2+x+c 经过 B、C 两点 （1）求抛物线的解析式；
12、 （2）如图，点 E 是直线 BC 上方抛物线上的一动点，当BEC 面积最大时，请求出点 E 的坐标； （3）在（2）的结论下，过点 E 作 y 轴的平行线交直线 BC 于点 M，连接 AM，点 Q 是 抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点 P，使得以 P、Q、A、M 为顶点的四边 形是平行四边形？如果存在，请直接写出点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由 第 7 页（共 32 页） 第 8 页（共 32 页） 2020 年河南省郑州市市直学校中考数学一模试卷年河南省郑州市市
13、直学校中考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 30 分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的 1 （3 分）的倒数是（ ） A B C2020 D2020 【分析】根据倒数之积等于 1 可得答案 【解答】解：的倒数是 2020， 故选：C 【点评】此题主要考查了倒数，解题的关键是掌握倒数定义 2 （3 分）舌尖上的浪费让人触目惊心，据统计中国每年浪费的食物总量折
14、合粮食约 499.5 亿千克，这个数用科学记数法应表示为（ ） A4.9951011 B49.951010 C0.49951011 D4.9951010 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相 同当原数绝对值1 时，n 是非负数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 【解答】解：将 499.5 亿用科学记数法表示为：4.9951010 故选：D 【点评】此题考查了科学记数法的表示方法科学记数法的
15、表示形式为 a10n的形式， 其中 1|a|10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值 3 （3 分）如图，一块直角三角尺的一个顶点落在直尺的一边上，若235，则1 的度 数为（ ） A45 B55 C65 D75 第 9 页（共 32 页） 【分析】根据平行线的性质和直角的定义解答即可 【解答】解：如图， 作 EFAB， ABCD， EFABCD， 2AEF35，1FEC， AEC90， &nb
16、sp;1903555， 故选：B 【点评】此题考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质得出2AEF35， 1FEC 4 （3 分）下列运算正确的是（ ） A （2a3）24a6 B3 Cm2m3m6 Dx3+2x33x3 【分析】根据积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方再把所得的幂相乘；算术平方 根的定义，同底数幂相乘，底数不变指数相加；以及合并同类项法则对各选项分析判断 即可得解 【解答】解：A、 （2a3）2（2）2 （a3）24a6，故本选项错误； B、3，故本选项错误； C、m
17、2m3m2+3m5，故本选项错误； D、x3+2x33x3，故本选项正确 故选：D 【点评】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、算术平方根的 定义，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键 5 （3 分）如图，它是由 5 个完全相同的小正方体搭建的几何体，若将最右边的小正方体拿 走，则下列结论正确的是（ ） 第 10 页（共 32 页） A主视图不变 B左视图不变 C俯视图不变 D三视图都不变 【分析】根据三视图的定义，即可判断 【解答】解：根据
18、三视图的定义，若将最右边的小正方体拿走，俯视图、主视图都发生 变化，左视图不变 故选：B 【点评】本题考查几何体的三视图，解题的关键是理解三视图的定义，灵活运用所学知 识解决问题，属于基础题 6 （3 分）一元二次方程（x1） （x+3）5x5 的根的情况是（ ） A无实数根 B有两个不相等的实数根 C有两个相等的实数根 D有一个正根，一个负根 【分析】先把方程化为一般式，再计算根判别式的值得到方程有两个不相等的两个实数 根，然后根据根与系数的关系判断方程根的符号即可 【解答】解：方程化为 x23x+20， &
19、nbsp;（3）24210， 方程有两个不相等的实数根 设方程两根分别为 x1，x2， x1+x23，x1x220， 方程有两个正的实数根 故选：B 【点评】本题考查了根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）的两 根时，x1+x2，x1x2也考查了根的判别式 7 （3 分）某市 5 月份连续 7 天的最高气温如下（单位：） ：32，30，34，36，36，33， 37这组数据的中位数、众数分别为（ ） A34，36 B34，34 C36，36 D32，37 【
20、分析】先把这组数据从小到大排列，找出最中间的数，即可得出这组数据的中位数， 再根据众数的概念进行解答即可 第 11 页（共 32 页） 【解答】解：把这组数据从小到大排列为 30，32，33，34，36，36，37，最中间的数是 34， 则中位数是 34； 众数是 36； 故选：A 【点评】此题考查了中位数和众数，掌握中位数的定义是本题的关键；中位数是将一组 数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数） ， 叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新
21、排列，就 会出错 8 （3 分） “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲如 图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方 形设直角三角形较长直角边长为 a，较短直角边长为 b若 ab8，大正方形的面积为 25，则小正方形的边长为（ ） A9 B6 C4 D3 【分析】由题意可知：中间小正方形的边长为：ab，根据勾股定理以及题目给出的已 知数据即可求出小正方形的边长 【解答】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：ab， 每一个直角三角形的面积为：ab84， 4ab+
22、（ab）225， （ab）225169， ab3， 故选：D 【点评】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题 属于基础题型 9 （3 分）如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，D90，AD4，BC3分别以点 A， C 为圆心，大于AC 长为半径作弧，两弧交于点 E，作射线 BE 交 AD 于点 F，交 AC 于 第 12 页（共 32 页） 点 O若点 O 是 AC 的中点，则 CD 的长为（ ） A2 B4 C3 D 【分析】连接 FC，根据基本作
23、图，可得 OE 垂直平分 AC，由垂直平分线的性质得出 AF FC再根据 ASA 证明FOABOC，那么 AFBC3，等量代换得到 FCAF3， 利用线段的和差关系求出 FDADAF1 然后在直角FDC 中利用勾股定理求出 CD 的长 【解答】解：如图，连接 FC，则 AFFC ADBC， FAOBCO 在FOA 与BOC 中， ， FOABOC（ASA） ， AFBC3， FCAF3，FDADAF431 在FDC 中，D90， CD2+DF2FC2， CD2+1
24、232， CD2 故选：A 第 13 页（共 32 页） 【点评】本题考查了作图基本作图，勾股定理，线段垂直平分线的判定与性质，全等 三角形的判定与性质，难度适中求出 CF 与 DF 是解题的关键 10 （3 分）我们知道：四边形具有不稳定性如图，在平面直角坐标系中，边长为 2 的正 方形 ABCD 的边 AB 在 x 轴上，AB 的中点是坐标原点 O，固定点 A，B，把正方形沿箭头 方向推，使点 D 落在 y 轴正半轴上点 D处，则点 C 的对应点 C的坐标为（ ） A （，1） B （2，
25、1） C （1，） D （2，） 【分析】由已知条件得到 ADAD2，AOAB1，根据勾股定理得到 OD ，于是得到结论 【解答】解：ADAD2， AOAB1， OD， CD2，CDAB， C（2，） ， 故选：D 【点评】本题考查了正方形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，正确的识别图形是 解题的关键 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 15 分）分） 11 （3 分）计算：|1|+30 第 14 页（共 32 页） &nbs
26、p; 【分析】直接利用绝对值的性质以及零指数幂的性质化简得出答案 【解答】解：原式1+1 故答案为： 【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键 12 （3 分）不等式组的最小整数解是 0 【分析】求出不等式组的解集，确定出最小整数解即可 【解答】解：不等式组整理得：， 不等式组的解集为1x2， 则最小的整数解为 0， 故答案为：0 【点评】此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键 13 （3 分）在一个不透明的口袋里有红、
27、黄、蓝三种颜色的小球，这些球除颜色外都相同， 其中有 5 个红球，4 个蓝球若随机摸出一个蓝球的概率为，则随机摸出一个黄球的概 率为 【分析】设黄球有 x 个，根据摸出一个球是蓝球的概率是，得出黄球的个数，再根据 概率公式即可得出随机摸出一个黄球的概率 【解答】解：设袋子中黄球有 x 个， 根据题意，得：， 解得：x3， 即袋中黄球有 3 个， 所以随机摸出一个黄球的概率为， 故答案为： 【点评】此题主要考查了概率公式的应用，用到的知识点为：概率所求情况数与总情 况数之比得到所求的情况数是解决本题
28、的关键 14 （3 分）如图，四边形 ABCD 是菱形，A60，AB2，扇形 EBF 的半径为 2，圆心 角为 60，则图中阴影部分的面积是 第 15 页（共 32 页） 【分析】根据菱形的性质得出DAB 是等边三角形，进而利用全等三角形的判定得出 ABGDBH，得出四边形 GBHD 的面积等于ABD 的面积，进而求出即可 【解答】解：如图，连接 BD 四边形 ABCD 是菱形，A60， ADC120， 1260， DAB 是等边三角形， AB2， &nbs
29、p;ABD 的高为， 扇形 BEF 的半径为 2，圆心角为 60， 4+560，3+560， 34， 设 AD、BE 相交于点 G，设 BF、DC 相交于点 H， 在ABG 和DBH 中， ABGDBH（ASA） ， 四边形 GBHD 的面积等于ABD 的面积， 图中阴影部分的面积是：S扇形EBFSABD2 故答案是： 【点评】此题主要考查了扇形的面积计算以及全等三角形的判定与性质等知识，根据已 知得出四边形 EBFD 的面积等于ABD 的面积是解题关键 &n
30、bsp;第 16 页（共 32 页） 15 （3 分）如图，正方形 ABCD 的边长是 9，点 E 是 AB 边上的一个动点，点 F 是 CD 边上 一点，CF4，连接 EF，把正方形 ABCD 沿 EF 折叠，使点 A，D 分别落在点 A，D 处，当点 D落在直线 BC 上时，线段 AE 的长为 2 或 8 【分析】分两种情况：当 D落在线段 BC 上时，连接 ED、ED、DD，由折叠可 得，D，D关于 EF 对称，即 EF 垂直平分 DD，得出 DEDE，求出 DFDFCD CF5， CD3， 得出 BDBCCD6， 设 AEx， 则 BE9x， 在
31、 RtAED 和 RtBED中，由勾股定理得出方程，解方程即可； 当 D落在线段 BC 延长线上时，连接 ED、ED、DD，解法同 【解答】解：分两种情况：当 D落在线段 BC 上时，连接 ED、ED、DD，如图 1 所示： 由折叠可得，D，D关于 EF 对称，即 EF 垂直平分 DD， DEDE， 正方形 ABCD 的边长是 9， ABBCCDAD9， CF4， DFDFCDCF945， CD3， BDBCCD6， 设 AEx，则 BE9x， 在 R
32、tAED 和 RtBED中，由勾股定理得：DE2AD2+AE292+x2，DE2BE2+BD2 （9x）2+62， 92+x2（9x）2+62， 解得：x2， 即 AE2； 第 17 页（共 32 页） 当 D落在线段 BC 延长线上时，连接 ED、ED、DD，如图 2 所示： 由折叠可得，D，D关于 EF 对称，即 EF 垂直平分 DD， DEDE， 正方形 ABCD 的边长是 9， ABBCCDAD9， CF4， DFDFCDCF945，CD3
33、， BDBC+CD12， 设 AEx，则 BE9x， 在 RtAED 和 RtBED中，由勾股定理得：DE2AD2+AE292+x2，DE2BE2+BD2 （9x）2+122， 92+x2（9x）2+122， 解得：x8，即 AE8； 综上所述，线段 AE 的长为 2 或 8； 故答案为：2 或 8 第 18 页（共 32 页） 【点评】本题考查了正方形的性质、折叠变换的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定 理等知识；熟练掌握折叠变换的性质，由勾股定理得出方
34、程是解题的关键，注意分类讨 论 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 个小题，满分个小题，满分 75 分）分） 16 （8 分）先化简，再求值： （x+1），其中 x 满足 x2+x20 【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出 x 的值，把 x 的值代入进 行计算即可 【解答】解：原式 ， 由 x2+x20，解得 x12，x21， x1， 当 x2 时，原式 【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键 17
35、 （9 分）如图，AB 为O 的直径，DBAB 于 B，点 C 是弧 AB 上的任一点，过点 C 作 O 的切线交 BD 于点 E连接 OE 交O 于 F （1）求证：CEED； （2）填空： 当D 45 时，四边形 OCEB 是正方形； 当D 30 时，四边形 OACF 是菱形 第 19 页（共 32 页） 【分析】 （1）证明：连接 OC，由 CE 为O 的切线，可得 OCCE，OCE90，所 以ACO+DCE90，因为 BDAB，所以A+D90，又 OAOC，A OCA，所以DDCE，因此 CEED
36、； （2）若四边形 OCEB 是正方形，则CEB90，CED90，因为 CEED，所以 DDCE45； （3）若四边形 OACF 是菱形，则 OAAC，又 OAOC，于是OAC 为等边三角形， A60，因为 DBAB，所以A+D90，因此D30 【解答】解： （1）证明：连接 OC， CE 为O 的切线， OCCE， OCE90， ACO+DCE90， BDAB， ABD90， A+D90， OAOC， AOCA， DDCE，
37、CEED； （2）若四边形 OCEB 是正方形， 则CEB90， CED90， CEED， DDCE45， 故答案为 45； （3）若四边形 OACF 是菱形， 则 OAAC， OAOC， OAC 为等边三角形， A60， 第 20 页（共 32 页） DBAB， A+D90， D906030， 故答案为 30 【点评】本题是圆综合题，熟练掌握圆的相关性质以及菱形正方形的性质
38、是解题的关键 18 （9 分）我市正在开展“食品安全城市”创建活动，为了解学生对食品安全知识的了解 情况，学校随机抽取了部分学生进行问卷调查，将调查结果按照“A 非常了解、B 了解、 C 了解较少、D 不了解”四类分别进行统计，并绘制了下列两幅统计图（不完整） 请根 据图中信息，解答下列问题： （1）此次共调查了 120 名学生； （2）扇形统计图中 D 所在扇形的圆心角为 54 ； （3）将上面的条形统计图补充完整； （4）若该校共有 800 名学生，请你估计对食品安全知识“非常了解”的学生的人数 【分析】 （1）根据
39、 B 的人数除以占的百分比即可得到总人数； （2）先根据题意列出算式，再求出即可； （3）先求出对应的人数，再画出即可； （4）先列出算式，再求出即可 【解答】解： （1） （25+23）40%120（名） ， 第 21 页（共 32 页） 即此次共调查了 120 名学生， 故答案为：120； （2）36054， 即扇形统计图中 D 所在扇形的圆心角为 54， 故答案为：54； （3）如图所示： （4）800200（
40、人） ， 答：估计对食品安全知识“非常了解”的学生的人数是 200 人 【点评】本题考查了条形统计图、扇形统计图，总体、个体、样本、样本容量，用样本 估计总体等知识点，两图结合是解题的关键 19 （9 分）郑州大学（ZhengzhouUniversity） ，简称“郑大” ，是中华人民共和国教育部与河 南省人民政府共建的全国重点大学，首批“双一流”世界一流大学、 “211 工程” 某学校 兴趣小组 3 人来到郑州大学门口进行测量，如图，在大楼 AC 的正前方有一个舞台，舞 台前的斜坡 DE4 米，坡角DEB41，小红在斜坡下的点 E 处测得楼顶 A 的仰角为
41、 60，在斜坡上的点 D 处测得楼顶 A 的仰角为 45，其中点 B，C，E 在同一直线上求 大楼 AC 的高度 （结果精确到整数 参考数据：1.73， sin410.6， cos410.75， tan410.87） 第 22 页（共 32 页） 【分析】设 CEx，根据正弦的定义求出 BD，根据余弦的定义求出 BE，根据正切的定 义用 x 表示出 AC，根据等腰直角三角形的性质列方程，解方程得到答案 【解答】解：设 CEx， 在 RtDEB 中，sinDEB， DBDEsinDEB40.62.4， &nb
42、sp;cosDEB， BEDEcosDEB40.753， 在 RtAEC 中，tanAEC， ACCEtanAECx， ADF45， FAFD， x2.4x+3， 解得，x， ACx13， 答：大楼 AC 的高度约为 13 米 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题、坡度坡角问题，掌握仰角 俯角的概念、坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键 20 （9 分）某文具店经销甲、乙两种不同的笔记本，已知：两种笔记本的进价之和为 10 元， &nbs
43、p; 第 23 页（共 32 页） 甲种笔记本每本获利 2 元，乙种笔记本每本获利 1 元，小玲同学买 4 本甲种笔记本和 3 本乙种笔记本共用了 47 元 （1）甲、乙两种笔记本的进价分别是多少元？ （2）该文具店购入这两种笔记本共 60 本，花费不超过 296 元，则购买甲种笔记本多少 本时文具店获利最大？ 【分析】 （1）设甲种笔记本的进价为 m 元，乙种笔记本的进价为 n 元根据王同学买 4 本甲种笔记本和 3 本乙种笔记本共用了 47 元，列出方程组即可解决问题 （2）设购入甲种笔记本 x 本，根据购入这两种笔记本共 60
44、 本，花费不超过 296 元，列 出不等式求出 x 的取值范围；设利润为 y 元，根据题意得出 y 与 x 的函数关系式，再根 据一次函数的性质解答即可 【解答】解： （1）设甲种笔记本的进价为 m 元，乙种笔记本的进价为 n 元 由题意得， 解得， 答：甲种笔记本的进价是 6 元/本，乙种笔记本的进价是 4 元/本 （2）设购入甲种笔记本 x 本，则购入乙种笔记本（60 x）本， 根据题意得 6x+4（60 x）296， 解得 n28， 设利润为 y 元，则 y2x+（60 x） ， &nbs
45、p;即 yx+60， k10， y 随 x 的增大而增大， 当 x28 时文具店获利最大 答：购入甲种笔记本最多 28 本，此时获利最大 【点评】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用以及一元一次不等式等知识， 解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答，属于中考常考题型 21 （10 分）某数学兴趣小组对函数 yx+的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请 补充完整 第 24 页（共 32 页） x 3 2 1 1 2
46、 3 y m 2 2 （1）自变量 x 的取值范围是 x0 ，m （2）根据（1）中表内的数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，画出函数图象的 一部分，请你画出该函数图象的另一部分 （3）请你根据函数图象，写出两条该函数的性质； （4）进一步探究该函数的图象发现： 方程 x+3 有 2 个实数根； 若关于 x 的方程 x+t 有 2 个实数根，则 t 的取值范围是 t2 或 t2 &n
47、bsp;【分析】 （1）由 x 在分母上，即可得出自变量 x 的取值范围是 x0，将 x2 代入函数 关系式中即可求出 m 值； （2）描点、连线，补充函数图象； （3）观察函数图象，随便找出两条该函数的性质即可； （4）观察函数图象，由函数 yx+的图象与直线 y3 的交点的个数，可得出结论； 观察函数图象， 找出当 t2 或 t2 时， 函数 yx+的图象与直线 yt 有两个交点， 此题得解 【解答】解： （1）x 在分母上， x0 当 x2 时，my2+ 第 25 页（共 32
48、页） 故答案为：x0； （2）描点、连线，画出函数图象，如图所示 （3）观察函数图象，可找出函数性质： 函数图象关于原点中心对称；当 x1 时，y 的值随 x 值的增大而增大 （4）方程 x+3 可看成函数 yx+的图象与直线 y3 的交点的个数， 函数 yx+的图象与直线 y3 有两个交点， 方程 x+3 有 2 个实数根 故答案为：2 观察函数图象可知， 当 t2 或 t2 时， 函数 yx+的图象与直线 yt 有两个交点 故答案为：t2 或 t2 【点评
49、】本题考查了反比例函数的性质、一次函数的图象、一次函数的性质以及反比例 函数的图象，解题的关键是： （1）由 x 在分母上找出 x 的取值范围； （2）描点、连线， 补充函数图象； （3）观察函数图象，找出该函数的性质； （4）由函数 yx+的图象 与直线 y3 有两个交点得出结论；观察函数图象，找出结论 22 （10 分）如图 1，在 RtABC 中，B90，AB4，BC2，点 D、E 分别是边 BC、 AC 的中点，连接 DE将CDE 绕点 C 逆时针方向旋转，记旋转角为 （1）问题发现 当 0时， ； 当 180时， （2）
50、拓展探究 第 26 页（共 32 页） 试判断：当 0360时，的大小有无变化？请仅就图 2 的情形给出证明 （3）问题解决 CDE 绕点 C 逆时针旋转至 A、B、E 三点在同一条直线上时，求线段 BD 的长 【分析】 （1）当 0时，在 RtABC 中，由勾股定理，求出 AC 的值是多少；然后 根据点 D、E 分别是边 BC、AC 的中点，分别求出 AE、BD 的大小，即可求出的值是 多少 180时，可得 ABDE，然后根据，求出的值是多少即可 （2）首先判断出ECADCB，再根据，判断出
51、ECADCB，然后 由相似三角形的对应边成比例，求得答案 （3）分两种情形：如图 31 中，当点 E 在 AB 的延长线上时，如图 32 中，当点 E 在线段 AB 上时，分别求解即可 【解答】解： （1）当 0时， RtABC 中，B90， AC2， 点 D、E 分别是边 BC、AC 的中点， AEAC，BDBC1， 如图 11 中， 第 27 页（共 32 页） 当 180时， 可得 ABDE， ， 故
52、答案为：， （2）如图 2， 当 0360时，的大小没有变化， ECDACB， ECADCB， 又， ECADCB， （3）如图 31 中，当点 E 在 AB 的延长线上时， 在 RtBCE 中，CE，BC2， BE1， AEAB+BE5， ， BD 第 28 页（共 32 页） 如图 32 中，当点 E 在线段 AB 上时， 易知 BE1，AE413，
53、;， BD， 综上所述，满足条件的 BD 的长为或 【点评】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，相似三角形的判定和性质，平行 线的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会用 分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题 23（11 分） 如图， 直线 yx+4 与 x 轴交于点 C， 与 y 轴交于点 B， 抛物线 yax2+x+c 经过 B、C 两点 （1）求抛物线的解析式； （2）如图，点 E 是直线 BC 上方抛物线上的一动点，当BEC 面积最大时，请求出点 E 的坐标； （3
54、）在（2）的结论下，过点 E 作 y 轴的平行线交直线 BC 于点 M，连接 AM，点 Q 是 抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点 P，使得以 P、Q、A、M 为顶点的四边 形是平行四边形？如果存在，请直接写出点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由 第 29 页（共 32 页） 【分析】 （1）先根据一次函数求 B 和 C 的坐标，再利用待定系数法求二次函数的解析式； （2）如图 1，过 E 作 EGy 轴，交直线 BC 于 G，设 E（m，m2+m+4） ，则 G（m， m+4） ，表示铅直高度 EG 的长，利用三角形面积公式及二
55、次函数的最值得出点 E 的 坐标； （3）在抛物线上存在点 P，使得以 P、Q、A、M 为顶点的四边形是平行四边形然后分 三种情况讨论，根据平行四边形的特征，求出使得以 P、Q、A、M 为顶点的四边形是平 行四边形的点 P 的坐标是多少即可 【解答】解： （1）当 x0 时，y4， B（0，4） ， 当 y0 时，x+40， x6， C（6，0） ， 把 B（0，4）和 C（6，0）代入抛物线 yax2+x+c 中得： ， 解得：， 抛物线的解析式为：yx2+x+4； &nb
56、sp;（2）如图 1，过 E 作 EGy 轴，交直线 BC 于 G， 设 E（m，m2+m+4） ，则 G（m，m+4） ， EG（m2+m+4）（m+4）+4m， SBECEGOC6（+4m）2（m3）2+18， 20， S 有最大值，此时 E（3，8） ； （3）yx2+x+4（x25x+）+4（x）2+； 对称轴是：x， 第 30 页（共 32 页） A（1，0） 点 Q 是抛物线对称轴上的动点， Q 的横坐标为， 在抛物线上存在
57、点 P，使得以 P、Q、A、M 为顶点的四边形是平行四边形； 如图 2，以 AM 为边时，由（2） ，可得点 M 的横坐标是 3， 点 M 在直线 yx+4 上， 点 M 的坐标是（3，2） ， 又点 A 的坐标是（1，0） ，点 Q 的横坐标为， 根据 M 到 Q 的平移规律：可知：P 的横坐标为， P（，） ； 如图 3，以 AM 为边时，四边形 AMPQ 是平行四边形， 由（2） ，可得点 M 的横坐标是 3， A（1，0） ，且 Q 的横坐标为， P 的横坐标为， &
58、nbsp;P（，） ； 以 AM 为对角线时，如图 4， M 到 Q 的平移规律可得 P 到 A 的平移规律， 点 P 的坐标是（，） ， 综上所述，在抛物线上存在点 P，使得以 P、Q、A、M 为顶点的四边形是平行四边形， 点 P 的坐标是（，）或（，）或（，） 第 31 页（共 32 页） 第 32 页（共 32 页） 【点评】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培 养要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线 段的长度，从而求出线段之间的关系，并能根据平行四边形点的平移规律求点的坐标
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