1、11 菱形的性质与判定菱形的性质与判定 第第 1 课时课时 菱形的性质菱形的性质 1通过折、剪纸张的方法,探索菱形独特的性质,理解菱形与平行四边形之间的联系; 2通过学生间的交流、讨论、分析、类比、归纳,运用已学过的知识总结菱形的特征; 3掌握菱形的概念和菱形的性质以及菱形的面积公式的推导(重点、难点) 一、情景导入 请看演示:(可将事先按如图做成的一组对边可以活动的教具进行演示)如图,改变平行四边形 的边,使之一组邻边相等,从而引出菱形概念 让学生举一些日常生活中所见到过的菱形的例子 总结:(1)菱形必须满足两个条件:一是平行四边形;二是有一组邻边相等(2)菱形是特殊的平 行四边形,即当一个
2、平行四边形的一组邻边相等时,该平行四边形是菱形不能忽略平行四边形这 一前提,而错误地认为有一组邻边相等的四边形就是菱形 二、合作探究 探究点一:菱形的性质 【类型一】 菱形的四条边相等 如图所示,在菱形 ABCD 中,已知A60 ,AB5,则ABD 的周长是( ) A10 B12 C15 D20 解析:根据菱形的性质可判断ABD 是等边三角形,继而根据 AB5 求出ABD 的周长 四边形 ABCD 是菱形, ABAD. 又A60 , ABD 是等边三角形, ABD 的周长3AB15. 故选 C. 方法总结:如果一个菱形的内角为 60 或 120 ,则两边与较短对角线可构成等边三角形,这是 非常
3、有用的基本图形 【类型二】 菱形的对角线互相垂直 如图所示,在菱形 ABCD 中,对角线 AC、BD 相交于点 O,BD12cm,AC6cm,求菱 形的周长 解析:由于菱形的四条边都相等,所以要求其周长就要先求出其边长由菱形性质可知,其对 角线互相垂直平分,因此可以在直角三角形中利用勾股定理进行计算 解:因为四边形 ABCD 是菱形, 所以 ACBD, AO1 2AC,BO 1 2BD. 因为 AC6cm,BD12cm, 所以 AO3cm,BO6cm. 在 RtABO 中,由勾股定理,得 AB AO2BO2 32623 5(cm) 所以菱形的周长4AB43 512 5(cm) 方法总结:因为菱
4、形的对角线把菱形分成四个全等的直角三角形,所以菱形的有关计算问题常 转化到直角三角形中求解 【类型三】 菱形是轴对称图形 如图,在菱形 ABCD 中,CEAB 于点 E,CFAD 于点 F,求证:AEAF. 解析:要证明 AEAF,需要先证明ACEACF. 证明:连接 AC. 四边形 ABCD 是菱形, AC 平分BAD, 即BACDAC. CEAB,CFAD, AECAFC90 . 在ACE 和ACF 中, AECAFC, BACDAC, ACAC, ACEACF. AEAF. 方法总结:菱形是轴对称图形,它的两条对角线所在的直线都是它的对称轴,每条对角线平分 一组对角 探究点二:菱形的面积
5、的计算方法 如图所示, 在菱形 ABCD 中, 点 O 为对角线 AC 与 BD 的交点, 且在AOB 中, AB13, OA5,OB12.求菱形 ABCD 两对边的距离 h. 解析:先利用菱形的面积等于两条对角线长度乘积的一半求得菱形的面积,又因为菱形是特殊 的平行四边形, 其面积等于底乘高, 也就是一边长与两边之间距离的乘积, 从而求得两对边的距离 解:在 RtAOB 中,AB13,OA5,OB12, 于是 SAOB1 2OA OB 1 251230, 所以 S菱形ABCD4SAOB430120. 又因为菱形两组对边的距离相等, 所以 S菱形ABCDABh13h, 所以 13h120,得
6、h120 13 . 方法总结:菱形的面积计算有如下方法:(1)一边长与两对边的距离(即菱形的高)的积;(2)四个 小直角三角形的面积之和(或一个小直角三角形面积的 4 倍);(3)两条对角线长度乘积的一半 三、板书设计 菱形 菱形的定义:有一组邻边相等的平行四边形叫 做菱形 菱形的性质 边:对边平行且四条边相等 角:对角相等,邻角互补 对角线:互相垂直平分,且每一条 对角线都平分一组对角 菱形的对称性:菱形是轴对称图形,每条对角线 所在的直线是它的对称轴 菱形的面积公式:S底高两条对角线长度 乘积的一半 为学生提供动手实践、研究探讨的时间与空间,让学生经历知识发生、发展的全过程,培养学生自 主
7、学习、合作学习、主动获取知识的能力,使学生经历实践、推理、交流等数学活动过程,亲身体 验数学思想方法及数学观念,培养学生能力,促进学生发展. 第第 2 课时课时 菱形的判定菱形的判定 1理解并掌握菱形的判定方法;(重点) 2灵活运用菱形的判定方法进行有关的证明和计算(难点) 一、情景导入 木工在做菱形的窗格时, 总是保证四条边框一样长, 你知道其中的道理吗?借助以下图形探索: 如图,在四边形 ABCD 中,ABBCCDDA,试说明四边形 ABCD 是菱形 二、合作探究 探究点一:对角线互相垂直的平行四边形是菱形 如图所示,ABCD 的对角线 BD 的垂直平分线与边 AB,CD 分别交于点 E,
8、F.求证:四 边形 DEBF 是菱形 解析:本题首先应用到平行四边形的性质,其次应用到菱形的判定方法要证四边形 DEBF 是 菱形,可以先证明其为平行四边形,再利用“对角线互相垂直”证明其为菱形 证明:四边形 ABCD 是平行四边形, ABDC. FDOEBO. 又EF 垂直平分 BD, OBOD. 在DOF 和BOE 中, FDOEBO, ODOB, FODEOB, DOFBOE(ASA) OFOE. 四边形 DEBF 是平行四边形 又EFBD, 四边形 DEBF 是菱形 方法总结:用此方法也可以说是对角线互相垂直平分的四边形是菱形,但对角线互相垂直的四 边形不一定是菱形,必须强调对角线是互
9、相垂直且平分的 探究点二:四边相等的四边形是菱形 如图所示,在ABC 中,B90 ,AB6cm,BC8cm.将ABC 沿射线 BC 方向平移 10cm,得到DEF,A,B,C 的对应点分别是 D,E,F,连接 AD.求证:四边形 ACFD 是菱形 解析: 根据平移的性质可得 CFAD10cm,DFAC, 再在 RtABC 中利用勾股定理求出 AC 的长为 10cm,就可以根据四边相等的四边形是菱形得到结论 证明:由平移变换的性质得 CFAD10cm,DFAC. B90 ,AB6cm,BC8cm, AC AB2BC2 628210(cm), ACDFADCF10cm, 四边形 ACFD 是菱形
10、方法总结:当四边形的条件中存在多个关于边的等量关系时,运用四条边都相等来判定一个四 边形是菱形比较方便 探究点三:菱形的判定和性质的综合应用 如图所示,在ABC 中,D、E 分别是 AB、AC 的中点,BE2DE,延长 DE 到点 F,使 得 EFBE,连接 CF. (1)求证:四边形 BCFE 是菱形; (2)若 CE4,BCF120 ,求菱形 BCFE 的面积 (1)证明:D、E 分别是 AB、AC 的中点, DEBC 且 2DEBC. 又BE2DE,EFBE, EFBC,EFBC, 四边形 BCFE 是平行四边形 又EFBE, 四边形 BCFE 是菱形; (2)解:BCF120 ,EBC
11、60 , EBC 是等边三角形, 菱形的边长为 4,高为 2 3, 菱形的面积为 42 38 3. 方法总结:判定一个四边形是菱形时,要结合条件灵活选择方法如果可以证明四条边相等, 可直接证出菱形;如果只能证出一组邻边相等或对角线互相垂直,可以尝试证出这个四边形是平行 四边形,然后用定义法或判定定理 1 来证明菱形 三、板书设计 菱形的 判 定 有一组邻边相等的平行四边形是菱形(定义) 四边相等的四边形是菱形 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 经历菱形的证明、猜想的过程,进一步提高学生的推理论证能力,体会证明过程中所运用的归 纳概括 以及转化等数学方法在菱形的判定方法的探索与综合应用中,培养学生的观察能力、动手能力及 逻辑思维能力.