4.5相似三角形判定定理的证明 教案

1、*4.5 相似三角形判定定理的证明 相似三角形判定定理的证明 1.会证明相似三角形判定定理； （重点） 2.运用相似三角形的判定定理解决相关问题.（难点） 一、情景导入 相似三角形的判定方法有哪些？ 答： （1）两角对应相等，两三角形相似； （2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似； （3）三边对应成比例，两三角形相似. 怎样证明这些结论呢？ 二、合作探究 探究点：相似三角形的判定定理 【类型一】 根据条件判定三角形相似 如图所示， 给出以下条件： BACD； ADCACB； AC CD AB BC； AC 2AD AB. 其中能单独判定ABCACD 的个数为（ ） A.1 B.2 C.3

2、 D.4 解析：在图中已知两个三角形有一对公共角，只要再找一对角相等，或夹公共角的两组对 应边成比例即可判定两个三角形相似.题中有三个条件可以单独判定ABCACD， 分别是. 是根据有两组角分别对应相等的两个三角形相似来判定的；是根据两组对应边成比例且夹角 相等的两个三角形相似来判定；虽然两边对应成比例，但不能得到其夹角相等，所以不能判定两 个三角形相似.故选 C. 方法总结：利用两边分别对应成比例且夹角相等的方法判定两个三角形相似时，一定要注 意必须是对应成比例的两边的夹角相等，若不是夹角相等，则不能判定这两个三角形相似. 【类型二】 探索三角形相似的条件 如图，已知 ABBD，CDBD.

3、（1）若 AB9，CD4，BD10，请问在 BD 上是否存在点 P，使以 P、A、B 三点为顶点的 三角形与以 P、C、D 三点为顶点的三角形相似？若存在，求 BP 的长；若不存在，请说明理由； （2）若 AB9，CD4，BD12，请问在 BD 上存在多少个点 P，使以 P、A、B 三点为顶点 的三角形与以 P、C、D 三点为顶点的三角形相似？并求 BP 的长； （3）若 AB9，CD4，BD15，请问在 BD 上存在多少个点 P，使以 P、A、B 三点为顶点 的三角形与以 P、C、D 三点为顶点的三角形相似？并求 BP 的长； （4）若 ABm，CDn，BDl，请问在 m、n、l 满足什么关

4、系时，存在以 P、A、B 三点为 顶点的三角形与以 P、C、D 三点为顶点的三角形相似的一个点 P？两个点 P？三个点 P？ 解： （1）设 BPx，则 DP10 x. 若ABPCDP，则AB CD BP DP，即 9 4 x 10 x，解得 x 90 13；若ABPPDC，则 AB PD BP CD， 即 9 10 x x 4，此时方程无解. 综上，存在这样的点 P，此时 BP90 13； （2）设 BPx，则 DP12x. 若ABPCDP，则AB CD BP DP，即 9 4 x 12x，解得 x 108 13 ；若ABPPDC，则AB PD BP CD， 即 9 12x x 4，解得 x

5、6. 综上所述，存在两个这样的点 P，此时 BP6 或108 13 ； （3）设 BPx，则 DP15x. 若ABPCDP，则AB CD BP DP，即 9 4 x 15x，解得 x 135 13 ；若ABPPDC，则AB PD BP CD， 即 9 15x x 4，解得 x3 或 12. 综上所述，存在三个这样的点，此时 BP135 13 ，3 或 12； （4）设 BPx，则 DPlx. 若ABPCDP，则AB CD BP DP，即 m n x lx，解得 x ml mn；若ABPPDC，则 AB PD BP CD， 即 m lx x n，得方程 x 2lxmn0，l24mn. 当 l24

6、mn0 时，存在以 P、A、B 三点为顶点的三角形与以 P、C、D 三点为顶点的三角 形相似的一个点 P； 当 l24mn0 时，存在以 P、A、B 三点为顶点的三角形与以 P、C、D 三点为顶点的三角 形相似的两个点 P； 当 l24mn0 时，存在以 P、A、B 三点为顶点的三角形与以 P、C、D 三点为顶点的三角 形相似的三个点 P. 方法总结：由于相似情况不明确，因此要分两种情况讨论，注意要找准对应边. 三、板书设计 相似三角形判定定理的证明 判定定理1 判定定理2 判定定理3 本课主要是证明相似三角形判定定理，以学生的自主探究为主，鼓励学生独立思考，多角度分析解 决问题，总结常见的辅助线添加方法，使学生的推理能力和几何思维都获得提高，培养学生的探索 精神和合作意识.