1、11 菱形的性质与判定菱形的性质与判定 第第 1 课时课时 菱形的性质菱形的性质 1通过折、剪纸张的方法，探索菱形独特的性质，理解菱形与平行四边形之间的联系； 2通过学生间的交流、讨论、分析、类比、归纳，运用已学过的知识总结菱形的特征； 3掌握菱形的概念和菱形的性质以及菱形的面积公式的推导(重点、难点) 一、情景导入 请看演示：(可将事先按如图做成的一组对边可以活动的教具进行演示)如图，改变平行四边形 的边，使之一组邻边相等，从而引出菱形概念 让学生举一些日常生活中所见到过的菱形的例子 总结：(1)菱形必须满足两个条件：一是平行四边形；二是有一组邻边相等(2)菱形是特殊的平 行四边形，即当一个
2、平行四边形的一组邻边相等时，该平行四边形是菱形不能忽略平行四边形这 一前提，而错误地认为有一组邻边相等的四边形就是菱形 二、合作探究 探究点一：菱形的性质 【类型一】 菱形的四条边相等 如图所示，在菱形 ABCD 中，已知A60 ，AB5，则ABD 的周长是( ) A10 B12 C15 D20 解析：根据菱形的性质可判断ABD 是等边三角形，继而根据 AB5 求出ABD 的周长 四边形 ABCD 是菱形， ABAD. 又A60 ， ABD 是等边三角形， ABD 的周长3AB15. 故选 C. 方法总结：如果一个菱形的内角为 60 或 120 ，则两边与较短对角线可构成等边三角形，这是 非常
3、有用的基本图形 【类型二】 菱形的对角线互相垂直 如图所示，在菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，BD12cm，AC6cm，求菱 形的周长 解析：由于菱形的四条边都相等，所以要求其周长就要先求出其边长由菱形性质可知，其对 角线互相垂直平分，因此可以在直角三角形中利用勾股定理进行计算 解：因为四边形 ABCD 是菱形， 所以 ACBD， AO1 2AC，BO 1 2BD. 因为 AC6cm，BD12cm， 所以 AO3cm，BO6cm. 在 RtABO 中，由勾股定理，得 AB AO2BO2 32623 5(cm) 所以菱形的周长4AB43 512 5(cm) 方法总结：因为菱
4、形的对角线把菱形分成四个全等的直角三角形，所以菱形的有关计算问题常 转化到直角三角形中求解 【类型三】 菱形是轴对称图形 如图，在菱形 ABCD 中，CEAB 于点 E，CFAD 于点 F，求证：AEAF. 解析：要证明 AEAF，需要先证明ACEACF. 证明：连接 AC. 四边形 ABCD 是菱形， AC 平分BAD， 即BACDAC. CEAB，CFAD， AECAFC90 . 在ACE 和ACF 中， AECAFC， BACDAC， ACAC， ACEACF. AEAF. 方法总结：菱形是轴对称图形，它的两条对角线所在的直线都是它的对称轴，每条对角线平分 一组对角 探究点二：菱形的面积
5、的计算方法 如图所示， 在菱形 ABCD 中， 点 O 为对角线 AC 与 BD 的交点， 且在AOB 中， AB13， OA5，OB12.求菱形 ABCD 两对边的距离 h. 解析：先利用菱形的面积等于两条对角线长度乘积的一半求得菱形的面积，又因为菱形是特殊 的平行四边形， 其面积等于底乘高， 也就是一边长与两边之间距离的乘积， 从而求得两对边的距离 解：在 RtAOB 中，AB13，OA5，OB12， 于是 SAOB1 2OA OB 1 251230， 所以 S菱形ABCD4SAOB430120. 又因为菱形两组对边的距离相等， 所以 S菱形ABCDABh13h， 所以 13h120，得
6、h120 13 . 方法总结：菱形的面积计算有如下方法：(1)一边长与两对边的距离(即菱形的高)的积；(2)四个 小直角三角形的面积之和(或一个小直角三角形面积的 4 倍)；(3)两条对角线长度乘积的一半 三、板书设计 菱形 菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫 做菱形 菱形的性质 边：对边平行且四条边相等 角：对角相等，邻角互补 对角线：互相垂直平分，且每一条 对角线都平分一组对角 菱形的对称性：菱形是轴对称图形，每条对角线 所在的直线是它的对称轴 菱形的面积公式：S底高两条对角线长度 乘积的一半 为学生提供动手实践、研究探讨的时间与空间，让学生经历知识发生、发展的全过程，培养学生自 主
7、学习、合作学习、主动获取知识的能力，使学生经历实践、推理、交流等数学活动过程，亲身体 验数学思想方法及数学观念，培养学生能力，促进学生发展. 第第 2 课时课时 菱形的判定菱形的判定 1理解并掌握菱形的判定方法；(重点) 2灵活运用菱形的判定方法进行有关的证明和计算(难点) 一、情景导入 木工在做菱形的窗格时， 总是保证四条边框一样长， 你知道其中的道理吗？借助以下图形探索： 如图，在四边形 ABCD 中，ABBCCDDA，试说明四边形 ABCD 是菱形 二、合作探究 探究点一：对角线互相垂直的平行四边形是菱形 如图所示，ABCD 的对角线 BD 的垂直平分线与边 AB，CD 分别交于点 E，
8、F.求证：四 边形 DEBF 是菱形 解析：本题首先应用到平行四边形的性质，其次应用到菱形的判定方法要证四边形 DEBF 是 菱形，可以先证明其为平行四边形，再利用“对角线互相垂直”证明其为菱形 证明：四边形 ABCD 是平行四边形， ABDC. FDOEBO. 又EF 垂直平分 BD， OBOD. 在DOF 和BOE 中， FDOEBO， ODOB， FODEOB， DOFBOE(ASA) OFOE. 四边形 DEBF 是平行四边形 又EFBD， 四边形 DEBF 是菱形 方法总结：用此方法也可以说是对角线互相垂直平分的四边形是菱形，但对角线互相垂直的四 边形不一定是菱形，必须强调对角线是互
9、相垂直且平分的 探究点二：四边相等的四边形是菱形 如图所示，在ABC 中，B90 ，AB6cm，BC8cm.将ABC 沿射线 BC 方向平移 10cm，得到DEF，A，B，C 的对应点分别是 D，E，F，连接 AD.求证：四边形 ACFD 是菱形 解析： 根据平移的性质可得 CFAD10cm，DFAC， 再在 RtABC 中利用勾股定理求出 AC 的长为 10cm，就可以根据四边相等的四边形是菱形得到结论 证明：由平移变换的性质得 CFAD10cm，DFAC. B90 ，AB6cm，BC8cm， AC AB2BC2 628210(cm)， ACDFADCF10cm， 四边形 ACFD 是菱形
10、方法总结：当四边形的条件中存在多个关于边的等量关系时，运用四条边都相等来判定一个四 边形是菱形比较方便 探究点三：菱形的判定和性质的综合应用 如图所示，在ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 的中点，BE2DE，延长 DE 到点 F，使 得 EFBE，连接 CF. (1)求证：四边形 BCFE 是菱形； (2)若 CE4，BCF120 ，求菱形 BCFE 的面积 (1)证明：D、E 分别是 AB、AC 的中点， DEBC 且 2DEBC. 又BE2DE，EFBE， EFBC，EFBC， 四边形 BCFE 是平行四边形 又EFBE， 四边形 BCFE 是菱形； (2)解：BCF120 ，EBC
11、60 ， EBC 是等边三角形， 菱形的边长为 4，高为 2 3， 菱形的面积为 42 38 3. 方法总结：判定一个四边形是菱形时，要结合条件灵活选择方法如果可以证明四条边相等， 可直接证出菱形；如果只能证出一组邻边相等或对角线互相垂直，可以尝试证出这个四边形是平行 四边形，然后用定义法或判定定理 1 来证明菱形 三、板书设计 菱形的 判 定 有一组邻边相等的平行四边形是菱形（定义） 四边相等的四边形是菱形 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 经历菱形的证明、猜想的过程，进一步提高学生的推理论证能力，体会证明过程中所运用的归 纳概括 以及转化等数学方法在菱形的
12、判定方法的探索与综合应用中，培养学生的观察能力、动手能力及 逻辑思维能力. 12 矩形的性质与判定矩形的性质与判定 第第 1 课时课时 矩形的性质矩形的性质 1掌握矩形的概念和性质，理解矩形与平行四边形的区别与联系；(重点) 2会运用矩形的概念和性质来解决有关问题(难点) 一、情景导入 1展示生活中一些平行四边形的实际应用图片(推拉门、活动衣架、篱笆、井架等)，想一想： 这里面应用了平行四边形的什么性质？ 2思考：拿一个活动的平行四边形教具，轻轻拉动一个点，不管怎么拉，它还是一个平行四 边形吗？为什么？(动画演示拉动过程如图) 3再次演示平行四边形的移动过程，当移动到一个角是直角时停止，让学生
13、观察这是什么图 形(小学学过的长方形)，引出本课题及矩形定义 矩形是我们最常见的图形之一，例如书桌面、教科书的封面等都是矩形 有一个角是直角的平行四边形是矩形矩形是平行四边形，但平行四边形不一定是矩形，矩形 是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质 二、合作探究 探究点一：矩形的性质 【类型一】 矩形的四个角都是直角 如图，矩形 ABCD 中，点 E 在 BC 上，且 AE 平分BAC.若 BE4，AC15，则AEC 的面积为( ) A15 B30 C45 D60 解析：如图，过 E 作 EFAC，垂足为 F. AE 平分BAC，EFAC，BEAB， EFBE4， SAEC1 2AC E
14、F 1 215430.故选 B. 方法总结：矩形的四个角都是直角，常作为证明或求值的隐含条件 【类型二】 矩形的对角线相等 如图所示， 矩形ABCD的两条对角线相交于点O， AOD60 ， AD2， 则AC的长是( ) A2 B4 C2 3 D4 3 解析：根据矩形的对角线互相平分且相等可得 OCODOA1 2AC，由AOD60 得AOD 为等边三角形，即可求出 AC 的长 四边形 ABCD 为矩形， ACBD，OAOC1 2AC，ODOB 1 2BD， OAOD.AOD60 ， AOD 为等边三角形， OAOD2，AC2OA4. 故选 B. 方法总结：矩形的两条对角线互相平分且相等，即对角线
15、把矩形分成四个等腰三角形，当两条 对角线的夹角为 60 或 120 时，图中有等边三角形，从而可以利用等边三角形的性质解题 探究点二：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 如图，已知 BD，CE 是ABC 不同边上的高，点 G，F 分别是 BC，DE 的中点，试说明 GFDE. 解析：本题的已知条件中已经有直角三角形，有斜边上的中点，由此可联想到应用“直角三角 形斜边上的中线等于斜边的一半”这一定理 解：连接 EG，DG. BD，CE 是ABC 的高， BDCBEC90 . 点 G 是 BC 的中点， EG1 2BC，DG 1 2BC. EGDG. 又点 F 是 DE 的中点， GFDE. 方
16、法总结：在直角三角形中，遇到斜边中点常作斜边中线，进而可将问题转化为等腰三角形的 问题，然后利用等腰三角形“三线合一”的性质解题 探究点三：矩形的性质的应用 【类型一】 利用矩形的性质求有关线段的长度 如图， 已知矩形 ABCD 中， E 是 AD 上的一点， F 是 AB 上的一点， EFEC， 且 EFEC， DE4cm，矩形 ABCD 的周长为 32cm，求 AE 的长 解析：先判定AEFDCE，得 CDAE，再根据矩形的周长为 32 列方程求出 AE 的长 解：四边形 ABCD 是矩形， AD90 ， CEDECD90 . 又EFEC， AEFCED90 ， AEFECD. 而 EFE
17、C， AEFDCE， AECD. 设 AExcm， CDxcm，AD(x4)cm， 则有 x4x16，解得 x6. 即 AE 的长为 6cm. 方法总结：矩形的各角为直角，常作为全等的一个条件用来证三角形全等，可借助直角的条件 解决直角三角形中的问题 【类型二】 利用矩形的性质求有关角度的大小 如图，在矩形 ABCD 中，AEBD 于 E，DAE：BAE3：1，求BAE 和EAO 的度 数 解析：由BAE 与DAE 之和为 90 及这两个角之比可求得这两个角的度数，从而得ABO 的 度数，再根据矩形的性质易得EAO 的度数 解：四边形 ABCD 是矩形，DAB90 ， AO1 2AC，BO 1
18、 2BD，ACBD， BAEDAE90 ，AOBO. 又DAE：BAE3：1， BAE22.5 ，DAE67.5 . AEBD， ABE90 BAE90 22.5 67.5 ， OABABE67.5 EAO67.5 22.5 45 . 方法总结： 矩形的性质是证明线段相等或倍分、 角的相等与求值及线段平行或垂直的重要依据 【类型三】 利用矩形的性质求图形的面积 如图所示，EF 过矩形 ABCD 对角线的交点 O，且分别交 AB、CD 于 E、F，那么阴影部 分的面积是矩形 ABCD 面积的( ) A.1 5 B. 1 4 C.1 3 D. 3 10 解析： 由四边形 ABCD 为矩形， 易证得
19、BEODFO， 则阴影部分的面积等于AOB 的面积， 而AOB 的面积为矩形 ABCD 面积的1 4，故阴影部分的面积为矩形面积的 1 4.故选 B. 方法总结：求阴影部分的面积时，当阴影部分不规则或比较分散时，通常运用割补法将阴影部 分转化为较规则的图形，再求其面积 【类型四】 矩形中的折叠问题 如图，将矩形 ABCD 沿着直线 BD 折叠，使点 C 落在 C处，BC交 AD 于点 E，AD8， AB4，求BED 的面积 解析：这是一道折叠问题，折后的图形与原图形全等，从而得知BCDBCD，则易得 BE DE.在 RtABE 中，利用勾股定理列方程求出 BE 的长，即可求得BED 的面积 解
20、：四边形 ABCD 是矩形， ADBC，A90 ， 23. 又由折叠知BCDBCD， 12. 13.BEDE. 设 BEDEx，则 AE8x. 在 RtABE 中，AB2AE2BE2， 42(8x)2x2.解得 x5， 即 DE5. SBED1 2DE AB 1 25410. 方法总结：矩形的折叠问题是常见的问题，本题的易错点是对BED 是等腰三角形认识不足， 解题的关键是对折叠后的几何形状要有一个正确的分析 三、板书设计 矩形 矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形 叫做矩形 矩形的性质 四个角都是直角 两组对边分别平行且相等 对角线互相平分且相等 经历矩形的概念和性质的探索过程，把握平行四
21、边形的演变过程，迁移到矩形的概念与性质上来， 明确矩形是特殊的平行四边形培养学生的推理能力以及自主合作精神，掌握几何思维方法，体会 逻辑推理的思维价值. 第第 2 课时课时 矩形的判定矩形的判定 1理解并掌握矩形的判定方法；(重点) 2能熟练掌握矩形的判定及性质的综合应用(难点) 一、情景导入 小明想要做一个矩形相框送给妈妈做生日礼物，于是找来两根长度相等的短木条和两根长度相 等的长木条制作，你有什么办法可以检测他做的是矩形相框？看看谁的方法可行！ 二、合作探究 探究点一：对角线相等的平行四边形是矩形 如图所示， 外面的四边形 ABCD 是矩形， 对角线 AC， BD 相交于点 O， 里面的四
22、边形 MPNQ 的四个顶点都在矩形 ABCD 的对角线上，且 AMBPCNDQ.求证：四边形 MPNQ 是矩形 解析： 要证明四边形 MPNQ 是矩形， 应先证明它是平行四边形， 由已知可再证明其对角线相等 证明：四边形 ABCD 是矩形，OAOBOCOD. AMBPCNDQ， OMOPONOQ. 四边形 MPNQ 是平行四边形 又OMONOQOP， MNPQ. 平行四边形 MPNQ 是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形) 方法总结：在判断四边形的形状时，若已知条件中有对角线，可首先考虑能否用对角线的条件 证明矩形 探究点二：有三个角是直角的四边形是矩形 如图，GEHF，直线 AB 与 GE
23、交于点 A，与 HF 交于点 B，AC、BC、BD、AD 分别是 EAB、FBA、ABH、GAB 的平分线，求证：四边形 ADBC 是矩形 解析：利用已知条件，证明四边形 ADBC 有三个角是直角 证明：GEHF， GABABH180 . AD、BD 分别是GAB、ABH 的平分线， 11 2GAB，4 1 2ABH， 141 2(GABABH) 1 2180 90 ， ADB180 (14)90 . 同理可得ACB90 . 又ABHFBA180 ， 41 2ABH，2 1 2FBA， 241 2(ABHFBA) 1 2180 90 ，即DBC90 . 四边形 ADBC 是矩形 方法总结：矩形
24、的判定方法和矩形的性质是相辅相成的，注意它们的区别和联系，此判定方法 只要说明一个四边形有三个角是直角，则这个四边形就是矩形 探究点三：有一个角是直角的平行四边形是矩形 如图所示，在ABC 中，D 为 BC 边上的一点，E 是 AD 的中点，过 A 点作 BC 的平行线 交 CE 的延长线于点 F，且 AFBD.连接 BF. (1)BD 与 DC 有什么数量关系？请说明理由； (2)当ABC 满足什么条件时，四边形 AFBD 是矩形？并说明理由 解析：(1)根据“两直线平行，内错角相等”得出AFEDCE，然后利用“AAS”证明AEF 和DEC 全等，根据“全等三角形对应边相等”可得 AFCD，
25、再利用等量代换即可得 BDCD； (2)先利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证明四边形 AFBD 是平行四边形，再根据 “有一个角是直角的平行四边形是矩形”可知ADB90 .由等腰三角形三线合一的性质可知 ABC 满足的条件必须是 ABAC. 解：(1)BDCD.理由如下： AFBC， AFEDCE. E 是 AD 的中点， AEDE. 在AEF 和DEC 中， AFEDCE， AEFDEC， AEDE， AEFDEC(AAS)， AFDC. AFBD， BDDC； (2)当ABC 满足 ABAC 时，四边形 AFBD 是矩形理由如下： AFBD，AFBD， 四边形 AFBD 是平
26、行四边形 ABAC，BDDC， ADB90 . 四边形 AFBD 是矩形 方法总结：本题综合考查了矩形和全等三角形的判定方法，明确有一个角是直角的平行四边形 是矩形是解本题的关键 三、板书设计 矩形的 判定 对角线相等的平行四边形是矩形 三个角是直角的四边形是矩形 有一个角是直角的平行四边形是矩形（定义） 通过探索与交流，得出矩形的判定定理，使学生亲身经历知识的发生过程，并会运用定理解决相关 问题通过开放式命题，尝试从不同角度寻求解决问题的方法通过动手实践、合作探索、小组交 流，培养学生的逻辑推理能力. 13 正方形的性质与判定正方形的性质与判定 第第 1 课时课时 正方形的性质正方形的性质
27、1了解正方形的有关概念，理解并掌握正方形的性质定理；(重点) 2会利用正方形的性质进行相关的计算和证明(难点) 一、情景导入 如图(1)所示， 把可以活动的矩形框架 ABCD 的 BC 边平行移动， 使矩形的邻边 AD， DC 相等， 观察这时矩形 ABCD 的形状 如图(2)所示，把可以活动的菱形框架 ABCD 的A 变为直角，观察这时菱形 ABCD 的形状 图(1)中图形的变化可判断矩形 ABCD特殊的四边形是什么四边形？图(2)中图形变化可判断 菱形 ABCD特殊的四边形是什么四边形？经过观察，你发现既是矩形又是菱形的图形是什么四边 形？ 引入正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是
28、直角的平行四边形是正方形 注意：正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形，即：有一组邻边相等的矩形是正方形或有一 个角是直角的菱形是正方形 二、合作探究 探究点一：正方形的性质 如图，四边形 ABCD 是正方形，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，AO2，求正方形的周长 与面积 解：四边形 ABCD 是正方形， ACBD，OAOD2. 在 RtAOD 中，由勾股定理，得 AD OA2OD2 2222 8. 正方形的周长为 4AD4 88 2，面积为 AD2( 8)28. 方法总结：结合勾股定理，充分利用正方形的四边相等、四角相等、对角线相等且互相垂直平 分的性质，是解决与正方形有关的题目的关键
29、探究点二：正方形的性质的应用 【类型一】 利用正方形的性质求角度 四边形 ABCD 是正方形，ADE 是等边三角形，求BEC 的大小 解析：等边ADE 可以在正方形的内部，也可以在正方形的外部，因此本题分两种情况 解：当等边ADE 在正方形 ABCD 外部时，如图，ABAE，BAE90 60 150 . AEB15 . 同理可得DEC15 . BEC60 15 15 30 ； 当等边ADE 在正方形 ABCD 内部时，如图，ABAE，BAE90 60 30 ， AEB75 . 同理可得DEC75 . BEC360 75 75 60 150 . 综上所述，BEC 的大小为 30 或 150 .
30、易错提醒：因为等边ADE 与正方形 ABCD 有一条公共边，所以边相等本题分两种情况： 等边ADE 在正方形的外部或在正方形的内部 【类型二】 利用正方形的性质求线段长 如图，正方形 ABCD 的边长为 1cm，AC 为对角线，AE 平分BAC，EFAC，求 BE 的 长 解析：线段 BE 是 RtABE 的一边，但由于 AE 未知，不能直接用勾股定理求 BE，由条件可 证ABEAFE，问题转化为求 EF 的长，结合已知条件易获解 解：四边形 ABCD 为正方形， B90 ，ACB45 ，ABBC1cm. EFAC， EFAEFC90. 又ECF45 ， EFC 是等腰直角三角形， EFFC.
31、 BAEFAE，BEFA90 ，AEAE， ABEAFE， ABAF1cm，BEEF. FCBE. 在 RtABC 中， AC AB2BC2 1212 2(cm)， FCACAF 21(cm)， BE 21(cm) 方法总结：正方形被对角线分成 4 个等腰直角三角形，因此在正方形中解决问题时常用到等腰 三角形的性质与直角三角形的性质 【类型三】 利用正方形的性质证明线段相等 如图， 已知过正方形 ABCD 的对角线 BD 上一点 P， 作 PEBC 于点 E， PFCD 于点 F， 求证：APEF. 解析：由 PEBC，PFCD 知四边形 PECF 为矩形，故有 EFPC，这时只需说明 APC
32、P， 由正方形对角线互相垂直平分可知 APCP. 证明：连接 AC，PC，如图 四边形 ABCD 为正方形， BD 垂直平分 AC， APCP. PEBC，PFCD，BCD90 ， 四边形 PECF 为矩形， PCEF，APEF. 方法总结：(1)在正方形中，常利用对角线互相垂直平分证明线段相等；(2)无论是正方形还是矩 形，经常连接对角线，这样可以使分散的条件集中 三、板书设计 正方形 正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个 角是直角的平行四边形叫做 正方形 正方形的性质 四个角都是直角 四条边都相等 对角线相等且互相垂直平分 经历正方形有关性质的探索过程，把握正方形既是矩形又是菱形这一特
33、性来学习本节课内容在观 察中寻求新知， 在探究中发展推理能力， 逐步掌握说理的基本方法 培养合情推理能力和探究习惯， 体会平面几何的内在价值 第第 2 课时课时 正方形的判定正方形的判定 1掌握正方形的判定方法；(重点) 2会运用正方形的判定条件进行有关的论证和计算(难点) 一、情景导入 我们学习了平行四边形、矩形、菱形、正方形，那么思考一下，它们之间有怎样的包含关系？ 请填入下图中 通过填写让学生形象地看到正方形是特殊的矩形，也是特殊的菱形，还是特殊的平行四边形； 而正方形、矩形、菱形都是平行四边形；矩形、菱形都是特殊的平行四边形 1怎样判断一个四边形是矩形？ 2怎样判断一个四边形是菱形？
34、3怎样判断一个四边形是平行四边形？ 4怎样判断一个平行四边形是矩形、菱形？ 议一议：你有什么方法判定一个四边形是正方形？ 二、合作探究 探究点一：正方形的判定 【类型一】 先证明是矩形再证明是正方形 已知：如图所示，在 RtABC 中，C90 ，BAC，ABC 的平分线交于点 D，DE BC 于点 E，DFAC 于点 F.求证：四边形 CEDF 是正方形 解析： 欲证明四边形 CEDF 是正方形， 先根据C90 ， DEBC， DFAC， 证明四边形 CEDF 是矩形，再证明一组邻边相等即可 证明：如图所示，过点 D 作 DGAB 于点 G. DFAC，DEBC， DFCDEC90 . 又C9
35、0 ， 四边形 CEDF 是矩形(有三个角是直角的四边形是矩形) AD 平分BAC，DFAC，DGAB， DFDG. 同理可得 DEDG.DEDF. 四边形 CEDF 是正方形(有一组邻边相等的矩形是正方形) 方法总结：正方形的判定方法有很多，可以先证明它是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角 线互相垂直；或先证明它是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等 【类型二】 先证明是菱形再证明是正方形 如图，EG，FH 过正方形 ABCD 的对角线的交点 O，且 EGFH.求证：四边形 EFGH 是 正方形 解析：已知 EGFH，要证四边形 EFGH 为正方形，则只需要证四边形的对角线 EG，HF
36、互相 平分且相等即可，根据题意可通过三角形全等来证 OEOHOGOF. 证明：四边形 ABCD 为正方形， OBOC，ABOBCO45 ，BOC90 COHBOH. EGFH， BOEBOH90 ， COHBOE， CHOBEO，OEOH. 同理可证：OEOFOG， OEOFOGOH. 又EGFH， 四边形 EFGH 为菱形 EOGOFOHO，即 EGHF， 四边形 EFGH 为正方形 方法总结：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 探究点二：正方形、菱形、矩形与平行四边形之间的关系 填空： (1)对角线_的四边形是矩形； (2)对角线_的平行四边形是矩形； (3)对角线_的平行四边形是正
37、方形； (4)对角线_的矩形是正方形； (5)对角线_的菱形是正方形 解：(1)相等且互相平分 (2)相等 (3)垂直且相等 (4)垂直 (5)相等 方法总结：从对角线上分析特殊四边形之间的关系应充分考虑特殊四边形的性质与判别，防止 混淆菱形、矩形、正方形都是平行四边形，且是特殊的平行四边形，特殊之处在于：矩形是有一 个角为直角的平行四边形；菱形是有一组邻边相等的平行四边形；而正方形是兼具两者特性的更特 殊的平行四边形，它既是矩形，又是菱形 三、板书设计 经历正方形判定条件的探索过程，发展学生初步的综合推理能力，主动探究的学习习惯，逐步掌握 说理的基本方法理解特殊的平行四边形之间的内在联系，培
38、养学生辩证看问题的观点. 21 认识一元二次方程认识一元二次方程 第第 1 课时课时 一元二次方程一元二次方程 1了解一元二次方程的概念；(重点) 2掌握一元二次方程的一般形式 ax2bxc0(a，b，c 为常数，a0)，能分清二次项、一次 项与常数项以及二次项系数、一次项系数等，会把一元二次方程化成一般形式；(重点) 3能根据具体问题的数量关系，建立方程的模型(难点) 一、情景导入 一个面积为 120m2的矩形苗圃，它的长比宽多 2m，苗圃的长和宽各是多少？ 设苗圃的宽为 xm，则长为(x2)m. 根据题意，得 x(x2)120. 所列方程是否为一元一次方程？ (这个方程便是即将学习的一元二
39、次方程) 二、合作探究 探究点一：一元二次方程的概念 【类型一】 判定一元二次方程 下列方程中，是一元二次方程的是_(填入序号即可) y 2 4y0；2x 2x30；1 x23； x223x；x3x40；t22； x23x3 x0； x 2x2. 解析：由一元二次方程的定义知不是，答案为. 方法总结：判断一个方程是不是一元二次方程，先看它是不是整式方程，若是，再对它进行整 理，若能整理为 ax2bxc0(a，b，c 为常数，a0)的形式，则这个方程就是一元二次方程 【类型二】 根据一元二次方程的概念求字母的值 a 为何值时，下列方程为一元二次方程？ (1)ax2x2x2ax3； (2)(a1)
40、x|a| 12x70. 解析：(1)将方程转化为一般形式，得(a2)x2(a1)x30，所以当 a20，即 a2 时， 原方程是一元二次方程；(2)由|a|12，且 a10 知，当 a1 时，原方程是一元二次方程 解：(1)当 a2 时，方程 ax2x2x2ax3 为一元二次方程； (2)因为|a|12，所以 a 1.当 a1 时，a10，不合题意，舍去所以当 a1 时，原 方程为一元二次方程 方法总结：用一元二次方程的定义求字母的值的方法：根据未知数的最高次数等于 2，列出关 于某个字母的方程，再排除使二次项系数等于 0 的字母的值 【类型三】 一元二次方程的一般形式 把下列方程转化成一元二
41、次方程的一般形式， 并指出二次项系数、 一次项系数和常数项： (1)x(x2)4x23x； (2)x 2 3 x1 2 x1 2 ； (3)关于 x 的方程 mx2nxmxnx2qp(mn0) 解析：首先对上述三个方程进行整理，通过“去分母，去括号，移项，合并同类项”等步骤将 它们化为一般形式，再分别指出二次项系数、一次项系数和常数项 解：(1)去括号，得 x22x4x23x.移项、合并同类项，得 3x2x0.二次项系数为 3，一次项 系数为1，常数项为 0； (2)去分母，得 2x23(x1)3(x1)去括号、移项、合并同类项，得 2x20.二次项系数为 2，一次项系数为 0，常数项为 0；
42、 (3)移项、合并同类项，得(mn)x2(mn)xpq0.二次项系数为 mn，一次项系数为 m n，常数项为 pq. 方法总结：(1)在确定一元二次方程各项系数时，首先把一元二次方程转化成一般形式，如果在 一般形式中二次项系数为负，那么最好在方程左右两边同乘1，使二次项系数变为正数； (2)指出一元二次方程的各项系数时，一定要带上前面的符号； (3)一元二次方程转化为一般形式后，若没有出现一次项 bx，则 b0；若没有出现常数项 c，则 c0. 探究点二：建立一元二次方程模型 如图，现有一张长为 19cm，宽 15cm 的长方形纸片，需要在四个顶角处剪去边长是多少 的小正方形，才能将其做成底面
43、积为 81cm2的无盖长方体纸盒？请根据题意列出方程 解析：小正方形的边长即为纸盒的高，中间虚线部分则为纸盒底面，设出未知数，利用长方形 面积公式可列出方程 解：设需要剪去的小正方形边长为 xcm，则纸盒底面的长方形的长为(192x)cm，宽为(15 2x)cm. 根据题意，得(192x)(152x)81.整理，得 x217x510(x15 2 ) 方法总结：列方程最重要的是审题，只有理解题意，才能恰当地设出未知数，准确地找出已知 量和未知量之间的等量关系，正确地列出方程在列出方程后，还应根据实际需求，注明自变量的 取值范围 三、板书设计 一元二次方程 概念：只含有一个未知数x的整式方 程，并
44、且都可以化成ax2bxc 0（a，b，c为常数，a0）的形式 一般形式：ax2bxc0（a，b，c为常 数，a0），其中ax2，bx，c 分别称为二次项、一次项和 常数项，a，b分别称为二次 项系数和一次项系数 本课通过丰富的实例，让学生观察、归纳出一元二次方程的有关概念，并从中体会方程的模型思 想通过本节课的学习，应该让学生进一步体会一元二次方程也是刻画现实世界的一个有效数学模 型，初步培养学生的数学来源于实践又反过来作用于实践的辩证唯物主义观点，激发学生学习数学 的兴趣. 第第 2 课时课时 一元二次方程的解及其估算一元二次方程的解及其估算 1经历一元二次方程的解或近似解的探索过程，增进对
45、方程解的认识；(重点) 2会用“夹逼法”估算方程的解，培养学生的估算意识和能力(难点) 一、情景导入 在上一课时情境导入中，苗圃的宽满足方程 x(x2)120，你能求出该方程的解吗？ 二、合作探究 探究点一：一元二次方程的解 下列哪些数是方程 x26x80 的根？ 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10. 解析：把 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10 分别代入方程 x26x80 中，发现当 x2 和 x4 时，方程 x26x80 成立，所以 x2，x4 是方程 x26x80 的根 解：2，4 是方程 x26x80 的根 方法总结：(1)使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做
46、一元二次方程的解，也叫一元二 次方程的根 (2)判断一个数是否为某个一元二次方程的根，我们只需要将这个数当作未知数的值分别代入原 方程的左右两边，看左右两边代数式的值是否相等，若相等，则这个数是一元二次方程的根；若不 相等，则这个数不是一元二次方程的根 探究点二：估算一元二次方程的近似解 请求出一元二次方程 x22x10 的正数根(精确到 0.1) 解析：先列表取值，初步确定正数根 x 在哪两个整数之间，然后再用类似的方法逐步确定出 x 的近似正数根 解：(1)列表，依次取 x0，1，2，3， x 0 1 2 3 x22x1 1 2 1 2 由上表可发现，当 2x3 时，1x22x12； (2
47、)继续列表，依次取 x2.1，2.2，2.3，2.4，2.5， x 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 x22x1 0.79 0.56 0.31 0.04 0.25 由上表可发现，当 2.4x2.5 时，0.04x22x10.25； (3)取 x2.45，则 x22x10.1025. 2.4x2.45，x2.4. 方法总结：(1)利用列表法估算一元二次方程根的取值范围的步骤是：首先列表，利用未知数的 取值，根据一元二次方程的一般形式 ax2bxc0(a，b，c 为常数，a0)分别计算 ax2bxc 的 值，在表中找到使 ax2bxc 可能等于 0 的未知数的大致取值范围，然后再进一步在这个
48、范围内取 值，逐步缩小范围，直到所要求的精确度为止 (2)在估计一元二次方程根的取值范围时，当 ax2bxc(a0)的值由正变负或由负变正时，x 的取值范围很重要，因为只有在这个范围内，才能存在使 ax2bxc0 成立的 x 的值，即方程的 根 三、板书设计 一元二次方程的解的估算，采用“夹逼法” ： (1)先根据实际问题确定其解的大致范围； (2)再通过列表，具体计算，进行两边“夹逼” ，逐步获得其近似解 “估算”在求解实际生活中一些较为复杂的方程时应用广泛在本节课中让学生体会用“夹逼”的 思想解决一元二次方程的解或近似解的方法教学设计上，强调自主学习，注重合作交流，在探究 过程中获得数学活动的经验，提高探究、发现和创新的能力. 22 用配方法求解一元二次方程用配方法求解一元二次方程 第第 1 课时课时 用配方法求解简单的一元二次方程用配方法求解简单的一元二次
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