1、高三数学测试题高三数学测试题 一、选择题（本大题一、选择题（本大题 13 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 52 分，其中分，其中 1-10 题是单选题，题是单选题，11-13 题是多题是多 选题）选题） 1给出下列命题： 第二象限角大于第一象限角； 三角形的内角是第一象限角或第二象限角； 不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所对半径的大小无关； 若 sinsin，则 与 的终边相同； 若 cos0，则 是第二或第三象限的角 其中正确命题的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 2若 sin，cos 是方程 4x2+2mx+m0 的两根，则 m 的值为（ ） A.1 + 5
2、B.1 5 C.1 5 D.1 5 3已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 a12，a8+a1028，则 S9（ ） A36 B72 C144 D288 4 若向量 = （1， 2） ， = （1， m） 且 与 的夹角为钝角， 则实数 m 的取值范国是 （ ） A （0，2） B （，2） C （2，2） D （，0）（2，+） 5函数 f（x）sin（x+） （0.5，| 2）的部分图象如图所示，则 f（x）的单调递增 区间为（ ） A1+4k，1+4k（kZ） B3+8k，1+8k（kZ） C1+4k，1+4k（kZ） D3+8k，1+8k（kZ） 6在斜三角形 ABC 中，sin
3、A= 2cosBcosC 且 tanBtanC12，则A 的值为 （ ） A 4 B 3 C 2 D3 4 7设函数 f（x）在定义域内可导，yf（x）的图象如图所示，则导函数 f（x）的图象可能 是（ ） A B C D 8已知等比数列an的各项均为正数且公比大于 1，前 n 项积为 Tn，且 a2a4a3，则使得 Tn1 的 n 的最小值为（ ） A4 B5 C6 D7 9ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 = 22 3 ，bcosA+acosB2，则 ABC 的外接圆的面积为（ ） A4 B8 C9 D36 10 已知点P在曲线y= 4 +1上， 为曲线在点P处的切
4、线的倾斜角， 则的取值范围是 （ ） A0， 4） B 4， 2 ） C （ 2， 3 4 D3 4 ，） 以下是多选题: 11 已知数列an是等差数列， 前 n 项和为 Sn， 满足 a1+5a3S8， 下列选项正确的有 （ ） Aa100 BS10最小 CS7S12 DS200 12已知1 ，2 是两个单位向量，R 时，|1 +2 |的最小值为 3 2 ，则下列结论正确的是 （ ） A1 ，2 的夹角是 3 B1 ，2 的夹角是 3或 2 3 C|1 + 2 |1 或3 D|1 + 2 | =1 或 3 2 13若函数 f（x）aexx2a 有两个零点，则实数 a 的可能取值有（ ） A2
5、 B0 C2 D4 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 16 分）分） 14 ABC 中， AC4， BC3， ACB60 ， E 为边 AC 中点， = 2 3 + 1 3 ， 则 的 值为 15ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知（a+2c）cosB+bcosA0，则 B ，若 b3，ABC 的周长为 3+23，则ABC 的面积是 16如图所示，在山腰测得山顶仰角CAB45 沿倾斜角为 30 的斜坡走 1000 米至 S 点， 又测得山顶仰角DSB75 ，则山顶高 BC 为 米 17若定义在 R 上的函数 f（x）
6、满足 f（x）2f（x）0，f（0）1，则不等式 f（x） e2x的解集为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，第小题，第 18、19 题题 13 分，分，其除各题其除各题 14 分，共分，共 82 分）分） 18已知函数 f（x）= 3sin2x+cos2x+a（a 为常数） （1）求 f（x）的单调递增区间； （2）若 f（x）在0， 2上有最小值 1，求 a 的值 19设数列an的前 n 项和= 2+1 2，数列bn满足= 1 (2+1)221 + 221 （1）求数列an的通项公式； （2）求数列bn的前项和 Tn 20已知| |4，| |3， （2 3 ）（2 + ）
7、61 （1）求 与 的夹角为 ； （2）求| + |； （3）若 = ， = ，作三角形 ABC，求ABC 的面积 21已知函数 f（x）xexa（1 2x 2+x） （aR） ， （1）若 a0，求曲线 yf（x）在点（1，e）处的切线方程 （2）当 a0 时，求函数 f（x）的单调区同 22设 f（x）sinxcosxcos2（x+ 4） （）求 f（x）的单调区间； （）在锐角ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 f（ 2）0，a1，求 ABC 面积的最大值 23已知函数 f（x）x2+ax+1，g（x）ex（其中 e 为自然对数的底数） （）若 a1，求函数 yf（
8、x）g（x）在区间2，0上的最 大值； （）若 a1，关于 x 的方程 f（x）kg（x）有且仅有一个根，求实数 k 的取值范围； （）若对任意的 x1，x20，2，x1x2，不等式|f（x1）f（x2）|g（x1）g（x2）| 均成立，求实数 a 的取值范围 一、选择题（本大题一、选择题（本大题 13 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 52 分，其中分，其中 1-10 题是单选题，题是单选题，11-13 题是多题是多 选题）选题） 1A 2B 3B 4 5D 6A 7C 8C 9C 10D 11AC 12BC 13CD 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题
9、，每小题 4 分，共分，共 16 分）分） 144 15 2 3 ，33 4 16 1000 17构造函数 g（x）= () 2 1，g（0）f（0）10， 则不等式不等式 f（x）e2x，即为 g（x）g（0） g（x）= 2()22() 4 = ()2() 2 0， 函数 g（x）在 R 上单调递增， 不等式 g（x）g（0）的解集为：x|x0 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，第小题，第 18、19 题题 13 分，其除各题分，其除各题 14 分，共分，共 82 分）分） 18函数 f（x）= 3sin2x+cos2x+a（a 为常数） 化简可得：() = 2( 3 2
10、 2 + 1 2 2) + = 2(2 + 6) + ， （1）由2 2 2 + 6 2 + 2，kZ 解得： 3 + 6，kZ f（x）单调增区间为 3 ， + 6，kZ （2）由题意：0 2时， 6 2 + 6 7 6 ， 1 2 (2 + 6) 1 当 = 2时，f（x）最小值为 a11 解得：a2 故 f（x）在0， 2上有最小值 1，a 的值为 2 19 （1）当 n1 时，a1S1422， 当 n2 时，anSnSn12n+12（2n2）2n， 上式对 n1 也成立 则数列an的通项公式为 an2n，nN*； （2）= 1 (2+1)221 + 221= 1 (2+1)2221 +
11、22n 1 = 1 (21)(2+1) +22n 1=1 2（ 1 21 1 2+1）+2 2n1， 数列bn的前项和 Tn= 1 2（1 1 3 + 1 3 1 5 + + 1 21 1 2+1）+ 2(14) 14 = 1 2（1 1 2+1）+ 2 3（4 n1）=22+1 3 1 4+2 1 6 20 （1）由（2 3 ）（2 + ）61，得 4| |24 3| |261， | |4，| |3，代入上式求得 = 6来源:Zxxk.Com cos = | | |= 6 43 = 1 2 又 0，120 （2）| + |2（ + ）2| |2+2 +| |2 42+2 （6）+3 213，
12、| + |= 13来源:学科网 （3）由（1）知BAC120 ， | | |4，| | |3， SABC= 1 2| | |sinBAC = 1 2 3 4 sin 120 33 21 （1）a0 时，f（x）xex，f（x）（x+1）ex， 切线的斜率 kf（1）2e 曲线 yf（x）在点（1，e）处的切线方程为：ye2e（x1） （2）当 a0 时，f（x）（x+1）exa（x+1）（x+1） （exa） 令 f（x）0，则 x1，或 xlna 对 a 分类讨论：a 1 时，lna1，函数 f（x）在（，1） ， （lna，+）上单调递增， 在（1，lna）上单调递减 a= 1 时，lna
13、1，函数 f（x）在 R 上单调递增 0a 1 时，lna1，函数 f（x）在（，lna） ， （1，+）上单调递增，在（lna， 1）上单调递减 综上可得：a 1 时，函数 f（x）在（，1） ， （lna，+）上单调递增，在（1，lna） 上单调递减 a= 1 时，lna1，函数 f（x）在 R 上单调递增 0a 1 时，函数 f（x）在（，lna） ， （1，+）上单调递增，在（lna，1）上单 调递减 22 （）由题意可知，f（x）= 1 2sin2x 1+(2+ 2) 2 = 1 2sin2x 12 2 sin2x 1 2 由 2k 2 2x2k + 2，kZ 可解得：k 4 xk
14、+ 4，kZ； 由 2k + 2 2x2k + 3 2 ，kZ 可解得：k + 4 xk + 3 4 ，kZ； 所以 f （x） 的单调递增区间是k 4， k + 4， （kZ） ； 单调递减区间是： k + 4， k + 3 4 ， （kZ） ； （）由 f（ 2）sinA 1 2 =0，可得 sinA= 1 2， 由题意知 A 为锐角，所以 cosA= 3 2 ， 由余弦定理 a2b2+c22bccosA， 可得：1+3bcb2+c22bc，即 bc 2 + 3，且当 bc 时等号成立 因此 S= 1 2bcsinA 2+3 4 ， 所以ABC 面积的最大值为2+3 4 23 （）a1 时
15、，y（x2+x+1）ex，y（x+1） （x+2）ex， 令 y0，解得：x1 或 x2，令 y0，解得：2x1， 函数 yf（x）g（x）在2，1递减，在1，0递增， 而 x2 时，y= 3 2，x0 时，y1， 故函数在2，0上的最大值是 1； （）由题意得：k= () () = 2+1 有且只有一个根， 令 h（x）= 2+1 ，则 h（x）= (1)(2) ， 故 h（x）在（，1）上单调递减， （1，2）上单调递增， （2，+）上单调递减， 所以 h（x）极大h（2）= 3 2，h（x）极小h（1）= 1 ， 因为 h（x）在（2，+）单调递减，且函数值恒为正，又当 x时，h（x）+
16、， 所以当 k 3 2或 0k 1 时，kh（x）有且只有一个根 （）设 x1x2，因为 g（x）ex在0，2单调递增， 故原不等式等价于|f（x1）f（x2）|g（x2）g（x1）在 x1、x20，2，且 x1x2恒 成立， 所以 g（x1）g（x2）f（x1）f（x2）g（x2）g（x1）在 x1、x20，2，且 x1 x2恒成立， 即 (1) (1)(2) (2) (1) + (1)(2) + (2)，在 x 1、x20，2，且 x1x2恒成立， 则函数 F（x）g（x）f（x）和 G（x）f（x）+g（x）都在0，2单调递增， 则有 () = () + () = + 2 + 0 () = () () = 2 0，在0，2恒成立， 当 a（ex+2x）恒成立时，因为（ex+2x）在0，2单调递减， 所以（ex+2x）的最大值为1，所以 a1； 当 aex2x 恒成立时，因为 ex2x 在0，ln2单调递减，在ln2，2单调递增， 所以 ex2x 的最小值为 22ln2，所以 a22ln2， 综上：1a22ln2
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