1、第第二二章章 一元二次方程测试卷（一元二次方程测试卷（1） 一、精心选一选，相信自己的判断！ （每小题一、精心选一选，相信自己的判断！ （每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1 （3 分）方程 2x23=0 的一次项系数是（ ） A3 B2 C0 D3 2 （3 分）方程 x2=2x 的解是（ ） Ax=0 Bx=2 Cx1=0，x2=2 Dx1=0，x2= 3 （3 分）方程 x24=0 的根是（ ） Ax=2 Bx=2 Cx1=2，x2=2 Dx=4 4 （3 分）若一元二次方程 2x（kx4）x2+6=0 无实数根，则 k 的最小整数值 是（ ） A1 B0 C1 D2 5（3 分
2、） 用配方法解一元二次方程 x24x5=0 的过程中， 配方正确的是 （ ） A （x+2）2=1 B （x2）2=1 C （x+2）2=9 D （x2）2=9 6 （3 分）在一幅长 80cm，宽 50cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，做成 一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是 5400cm2，设金色纸边的 宽为 xcm，那么 x 满足的方程是（ ） Ax2+130 x1400=0 Bx2+65x350=0 Cx2130 x1400=0 Dx265x350=0 7 （3 分）已知直角三角形的三边长为三个连续整数，那么，这个三角形的面积 是（ ） A6 B8 C10 D12
3、8 （3 分）方程 x29x+18=0 的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的 周长为（ ） A12 B12 或 15 C15 D不能确定 9（3 分） 若关于一元二次方程 x2+2x+k+2=0 的两个根相等， 则 k 的取值是 （ ） A1 B1 或1 C1 D2 10 （3 分）科学兴趣小组的同学们，将自己收集的标本向本组的其他成员各赠 送一件，全组共互赠了 132 件，那么全组共有（ ）名学生 A12 B12 或 66 C15 D33 二、耐心填一填： （把答案填放相应的空格里每小题二、耐心填一填： （把答案填放相应的空格里每小题 3 分，共分，共 15 分） 分） 11（3 分
4、） 写一个一元二次方程， 使它的二次项系数是3， 一次项系数是 2： 12 （3 分）1 是方程 x2+bx5=0 的一个根，则 b= ，另一个根是 13 （3 分）方程（2y+1） （2y3）=0 的根是 14 （3 分）已知一元二次方程 x23x1=0 的两根为 x1、x2，x1+x2= 15 （3 分）用换元法解方程+2x=x23 时，如果设 y=x22x，则原方程 可化为关于 y 的一元二次方程的一般形式是 三、按要求解一元二次方程： （三、按要求解一元二次方程： （20 分）分） 16 （20 分）按要求解一元二次方程 （1）4x28x+1=0（配方法） （2）7x（5x+2）=6（
5、5x+2） （因式分解法） （3）3x2+5（2x+1）=0（公式法） （4）x22x8=0 四、细心做一做：四、细心做一做： 17 （6 分）有一面积为 150m2的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长 18 m） ， 另三边用竹篱笆围成，如果竹篱笆的总长为 35 m，求鸡场的长与宽各为多少？ 18 （6 分）如图所示，在一块长为 32 米，宽为 15 米的矩形草地上，在中间要 设计一横二竖的等宽的、供居民散步的小路，要使小路的面积是草地总面积的八 分之一，请问小路的宽应是多少米？ 19 （7 分）某企业 2006 年盈利 1500 万元，2008 年克服全球金融危机的不利影 响，仍实现盈利 2
6、160 万元从 2006 年到 2008 年，如果该企业每年盈利的年增 长率相同，求： （1）该企业 2007 年盈利多少万元？ （2）若该企业盈利的年增长率继续保持不变，预计 2009 年盈利多少万元？ 20 （7 分） 中华商场将进价为 40 元的衬衫按 50 元售出时， 每月能卖出 500 件， 经市场调查，这种衬衫每件涨价 4 元，其销售量就减少 40 件如果商场计划每 月赚得 8000 元利润，那么售价应定为多少？这时每月应进多少件衬衫？ 21 （9 分）如图 1，在 RtABC 中，C=90，AC=8m，BC=6m，点 P 由 C 点出 发以 2m/s 的速度向终点 A 匀速移动，
7、同时点 Q 由点 B 出发以 1m/s 的速度向终 点 C 匀速移动，当一个点到达终点时另一个点也随之停止移动 （1）经过几秒PCQ 的面积为ACB 的面积的？ （2）经过几秒，PCQ 与ACB 相似？ （3）如图 2，设 CD 为ACB 的中线，那么在运动的过程中，PQ 与 CD 有可能互 相垂直吗？若有可能，求出运动的时间；若没有可能，请说明理由 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、精心选一选，相信自己的判断！ （每小题一、精心选一选，相信自己的判断！ （每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1 （3 分）方程 2x23=0 的一次项系数是（ ） A3 B2 C0 D3 【考点】
8、一元二次方程的一般形式 【分析】一元二次方程的一般形式是 ax2+bx+c=0（a，b，c 是常数且 a0）特别 要注意 a0 的条件这是在做题过程中容易忽视的知识点在一般形式中 ax2 叫二次项，bx 叫一次项，c 是常数项其中 a，b，c 分别叫二次项系数，一次项 系数，常数项 【解答】解：方程 2x23=0 没有一次项，所以一次项系数是 0故选 C 【点评】要特别注意不含有一次项，因而一次项系数是 0，注意不要说是没有 2 （3 分）方程 x2=2x 的解是（ ） Ax=0 Bx=2 Cx1=0，x2=2 Dx1=0，x2= 【考点】解一元二次方程-因式分解法；因式分解-提公因式法 【专
9、题】因式分解 【分析】 把右边的项移到左边， 用提公因式法因式分解， 可以求出方程的两个根 【解答】解：x22x=0 x（x2）=0 x1=0，x2=2 故选 C 【点评】本题考查的是用因式分解法解一元二次方程，把右边的项移到左边，用 提公因式法因式分解，可以求出方程的根 3 （3 分）方程 x24=0 的根是（ ） Ax=2 Bx=2 Cx1=2，x2=2 Dx=4 【考点】解一元二次方程-直接开平方法 【分析】先移项，然后利用数的开方解答 【解答】解：移项得 x2=4，开方得 x=2， x1=2，x2=2 故选 C 【点评】 （1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a0）
10、，ax2=b （a，b 同号且 a0） ， （x+a）2=b（b0） ，a（x+b）2=c（a，c 同号且 a0） 法 则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为 1，再开平方取正负，分开 求得方程解”； （2）运用整体思想，会把被开方数看成整体； （3）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点 4 （3 分）若一元二次方程 2x（kx4）x2+6=0 无实数根，则 k 的最小整数值 是（ ） A1 B0 C1 D2 【考点】根的判别式；一元二次方程的定义 【分析】 先把方程变形为关于 x 的一元二次方程的一般形式：（2k1） x28x+6=0， 要方程无实数根，则=8246（
11、2k1）0，解不等式，并求出满足条件的 最小整数 k 【解答】解：方程变形为： （2k1）x28x+6=0， 当0，方程没有实数根，即=8246（2k1）0， 解得 k，则满足条件的最小整数 k 为 2 故选 D 【点评】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0，a，b，c 为常数）根的判 别式当0，方程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数 根；当0，方程没有实数根 5（3 分） 用配方法解一元二次方程 x24x5=0 的过程中， 配方正确的是 （ ） A （x+2）2=1 B （x2）2=1 C （x+2）2=9 D （x2）2=9 【考点】解一元二次方程-配方法 【
12、分析】先移项，再方程两边都加上一次项系数一半的平方，即可得出答案 【解答】解：移项得：x24x=5， 配方得：x24x+22=5+22， （x2）2=9， 故选 D 【点评】本题考查了解一元二次方程，关键是能正确配方 6 （3 分）在一幅长 80cm，宽 50cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，做成 一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是 5400cm2，设金色纸边的 宽为 xcm，那么 x 满足的方程是（ ） Ax2+130 x1400=0 Bx2+65x350=0 Cx2130 x1400=0 Dx265x350=0 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程 【专题】几何图形问题
13、 【分析】本题可设长为（80+2x） ，宽为（50+2x） ，再根据面积公式列出方程，化 简即可 【解答】解：依题意得： （80+2x） （50+2x）=5400， 即 4000+260 x+4x2=5400， 化简为：4x2+260 x1400=0， 即 x2+65x350=0 故选：B 【点评】 本题考查的是一元二次方程的运用，解此类题目要注意运用面积的公式 列出等式再进行化简 7 （3 分）已知直角三角形的三边长为三个连续整数，那么，这个三角形的面积 是（ ） A6 B8 C10 D12 【考点】勾股定理 【分析】设三边长分别为 x，x+1，x+2，根据勾股定理可得（x+2） 2=（x+
14、1）2+x2， 解方程可求得三角形的三边长，利用直角三角形的性质直接求得面积即可 【解答】解：设这三边长分别为 x，x+1，x+2， 根据勾股定理得： （x+2）2=（x+1）2+x2 解得：x=1（不合题意舍去） ，或 x=3， x+1=4，x+2=5， 则三边长是 3，4，5， 三角形的面积=4=6； 故选：A 【点评】 本题考查了勾股定理、 直角三角形面积的计算方法； 熟练掌握勾股定理， 由勾股定理得出方程是解决问题的关键 8 （3 分）方程 x29x+18=0 的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的 周长为（ ） A12 B12 或 15 C15 D不能确定 【考点】等腰三角形的
15、性质；解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系 【专题】分类讨论 【分析】先解一元二次方程，由于未说明两根哪个是腰哪个是底，故需分情况讨 论，从而得到其周长 【解答】解：解方程 x29x+18=0，得 x1=6，x2=3 当底为 6，腰为 3 时，由于 3+3=6，不符合三角形三边关系 等腰三角形的腰为 6，底为 3 周长为 6+6+3=15 故选 C 【点评】此题是一元二次方程的解结合几何图形的性质的应用，注意分类讨论 9（3 分） 若关于一元二次方程 x2+2x+k+2=0 的两个根相等， 则 k 的取值是 （ ） A1 B1 或1 C1 D2 【考点】根的判别式 【分析】根据判别式的意
16、义得到=224（k+2）=0，然后解一次方程即可 【解答】解：根据题意得=224（k+2）=0， 解得 k=1 故选 C 【点评】 本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0 （a0） 的根的判别式=b24ac： 当0，方程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当 0，方程没有实数根 10 （3 分）科学兴趣小组的同学们，将自己收集的标本向本组的其他成员各赠 送一件，全组共互赠了 132 件，那么全组共有（ ）名学生 A12 B12 或 66 C15 D33 【考点】一元二次方程的应用 【分析】设全组共有 x 名学生，每一个人赠送 x1 件，全组共互赠了 x（x1） 件，共互
17、赠了 132 件，可得到方程，求解即可 【解答】解：设全组共有 x 名学生，由题意得 x（x1）=132 解得：x1=11（不合题意舍去） ，x2=12， 答：全组共有 12 名学生 故选：A 【点评】 本题考查一元二次方程的实际运用，找出题目蕴含的数量关系是解决问 题的关键 二、耐心填一填： （把答案填放相应的空格里每小题二、耐心填一填： （把答案填放相应的空格里每小题 3 分，共分，共 15 分） 分） 11 （3 分）写一个一元二次方程，使它的二次项系数是3，一次项系数是 2： 3x2+2x3=0 【考点】一元二次方程的一般形式 【专题】开放型 【分析】根据一元二次方程的一般形式和题意写
18、出方程即可 【解答】解：由题意得：3x2+2x3=0， 故答案为：3x2+2x3=0 【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是： ax2+bx+c=0 （a， b， c 是常数且 a0） 特别要注意 a0 的条件 在一般形式中 a， b，c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项 12 （3 分）1 是方程 x2+bx5=0 的一个根，则 b= 4 ，另一个根是 5 【考点】一元二次方程的解 【分析】把 x=1 代入方程得出关于 b 的方程 1+b2=0，求出 b，代入方程，求 出方程的解即可 【解答】解：x=1 是方程 x2+bx5=0 的一个实数根， 把 x=1 代
19、入得：1b5=0， 解得 b=4， 即方程为 x24x5=0， （x+1） （x5）=0， 解得：x1=1，x2=5， 即 b 的值是4，另一个实数根式 5 故答案为：4，5； 【点评】 本题考查了一元二次方程的解的概念：使方程两边成立的未知数的值叫 方程的解 13 （3 分）方程（2y+1） （2y3）=0 的根是 y1=，y2= 【考点】解一元二次方程-因式分解法 【专题】因式分解 【分析】 解一元二次方程的关键是把二次方程化为两个一次方程，解这两个一次 方程即可求得 【解答】解：（2y+1） （2y3）=0， 2y+1=0 或 2y3=0， 解得 y1=，y2= 【点评】 解此题要掌握降
20、次的思想， 把高次的降为低次的， 把多元的降为低元的， 这是解复杂问题的一个原则 14 （3 分）已知一元二次方程 x23x1=0 的两根为 x1、x2，x1+x2= 3 【考点】根与系数的关系 【分析】根据一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的根与系数的关系：若方程的两 根为 x1，x2，则 x1+x2=，代入计算即可 【解答】解：一元二次方程 x23x1=0 的两根是 x1、x2， x1+x2=3， 故答案为：3 【点评】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的根与系数的关系：若方 程的两根为 x1，x2，则 x1+x2=，x1x2= 15 （3 分）用换元法解方程+2
21、x=x23 时，如果设 y=x22x，则原方程 可化为关于 y 的一元二次方程的一般形式是 y23y1=0 【考点】换元法解分式方程 【专题】换元法 【分析】此题考查了换元思想，解题的关键是要把 x22x 看作一个整体 【解答】解：原方程可化为： （x22x）+3=0 设 y=x22x y+3=0 1y2+3y=0 y23y1=0 【点评】此题考查了学生的整体思想，也就是准确使用换元法解题的关键是找 到哪个是换元的整体 三、按要求解一元二次方程： （三、按要求解一元二次方程： （20 分）分） 16 （20 分）按要求解一元二次方程 （1）4x28x+1=0（配方法） （2）7x（5x+2）=
22、6（5x+2） （因式分解法） （3）3x2+5（2x+1）=0（公式法） （4）x22x8=0 【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法；解一元二次方 程-公式法 【分析】 （1）首先将常数项移到等号的右侧，将等号左右两边同时加上一次项系 数一半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式 （2） 方程移项变形后， 采用提公因式法， 可得方程因式分解的形式， 即可求解 （3）方程化为一般形式，找出二次项系数，一次项系数及常数项，计算出根的 判别式，发现其结果大于 0，故利用求根公式可得出方程的两个解 （4）方程左边分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可 【解
23、答】解： （1）4x28x+1=0（配方法） 移项得，x22x=， 配方得，x22x+1=+1， （x1）2=， x1= x1=1+，x2=1 （2）7x（5x+2）=6（5x+2） （因式分解法） 7x（5x+2）6（5x+2）=0， （5x+2） （7x6）=0， 5x+2=0，7x6=0， x1=，x2=； （3）3x2+5（2x+1）=0（公式法） 整理得，3x2+10 x+5=0 a=3，b=10，c=5，b24ac=10060=40， x=， x1=，x2=； （4）x22x8=0 （x+4） （x2）=0， x+4=0，x2=0， x1=4，x2=2 【点评】 本题考查了解一元二
24、次方程的应用，解此题的关键是能把一元二次方程 转化成一元一次方程 四、细心做一做：四、细心做一做： 17 （6 分）有一面积为 150m2的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长 18 m） ， 另三边用竹篱笆围成，如果竹篱笆的总长为 35 m，求鸡场的长与宽各为多少？ 【考点】一元二次方程的应用 【专题】几何图形问题 【分析】设养鸡场的宽为 xm，则长为（352x） ，根据矩形的面积公式即可列方 程，列方程求解 【解答】解：设养鸡场的宽为 xm，则长为（352x） ，由题意得 x（352x）=150 解这个方程；x2=10 当养鸡场的宽为时，养鸡场的长为 20m 不符合题意，应舍去， 当养鸡场的宽
25、为 x1=10m 时，养鸡场的长为 15m 答：鸡场的长与宽各为 15m，10m 【点评】本题考查的是一元二次方程的应用，难度一般 18 （6 分）如图所示，在一块长为 32 米，宽为 15 米的矩形草地上，在中间要 设计一横二竖的等宽的、供居民散步的小路，要使小路的面积是草地总面积的八 分之一，请问小路的宽应是多少米？ 【考点】一元二次方程的应用 【专题】几何图形问题 【分析】本题可根据关键语“小路的面积是草地总面积的八分之一”，把小路移到 一起正好构成一个矩形，矩形的长和宽分别是（322x）和（15x） ，列方程即 可求解 【解答】解：设小路的宽应是 x 米，则剩下草总长为（322x）米，
26、总宽为（15 x）米， 由题意得（322x） （15x）=3215（1） 即 x231x+30=0 解得 x1=30 x2=1 路宽不超过 15 米 x=30 不合题意舍去 答：小路的宽应是 1 米 【点评】找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键 19 （7 分）某企业 2006 年盈利 1500 万元，2008 年克服全球金融危机的不利影 响，仍实现盈利 2160 万元从 2006 年到 2008 年，如果该企业每年盈利的年增 长率相同，求： （1）该企业 2007 年盈利多少万元？ （2）若该企业盈利的年增长率继续保持不变，预计 2009 年盈利多少万元？ 【考点】一元
27、二次方程的应用 【专题】增长率问题 【分析】本题为增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量（1+增长率） （1）可先求出增长率，然后再求 2007 年的盈利情况 （2）有了 2008 年的盈利和增长率，求出 2009 年的就容易了 【解答】解： （1）设每年盈利的年增长率为 x， 根据题意，得 1500（1+x）2=2160 解得 x1=0.2，x2=2.2（不合题意，舍去） 1500（1+x）=1500（1+0.2）=1800 答：2007 年该企业盈利 1800 万元 （2）2160（1+0.2）=2592 答：预计 2009 年该企业盈利 2592 万元 【点评】本题考查的是增长率的问题
28、增长率问题，一般形式为 a（1+x）2=b，a 为起始时间的有关数量，b 为终止时间的有关数量 20 （7 分） 中华商场将进价为 40 元的衬衫按 50 元售出时， 每月能卖出 500 件， 经市场调查，这种衬衫每件涨价 4 元，其销售量就减少 40 件如果商场计划每 月赚得 8000 元利润，那么售价应定为多少？这时每月应进多少件衬衫？ 【考点】一元二次方程的应用 【专题】销售问题 【分析】设涨价 4x 元，则销量为（50040 x） ，利润为（10+4x） ，再由每月赚 8000 元，可得方程，解方程即可 【解答】解：设涨价 4x 元，则销量为（50040 x） ，利润为（10+4x）
29、， 由题意得， （50040 x）（10+4x）=8000， 整理得，5000+2000 x400 x160 x2=8000， 解得：x1=，x2=， 当 x1=时，则涨价 10 元，销量为：400 件； 当 x2=时，则涨价 30 元，销量为：200 件 答：当售价定为 60 元时，每月应进 400 件衬衫；售价定为 80 元时，每月应进 200 件衬衫 【点评】本题考查的是一元二次方程的应用，根据题意正确找出等量关系、列出 方程是解题的关键，注意分情况讨论思想的应用 21 （9 分）如图 1，在 RtABC 中，C=90，AC=8m，BC=6m，点 P 由 C 点出 发以 2m/s 的速度
30、向终点 A 匀速移动，同时点 Q 由点 B 出发以 1m/s 的速度向终 点 C 匀速移动，当一个点到达终点时另一个点也随之停止移动 （1）经过几秒PCQ 的面积为ACB 的面积的？ （2）经过几秒，PCQ 与ACB 相似？ （3）如图 2，设 CD 为ACB 的中线，那么在运动的过程中，PQ 与 CD 有可能互 相垂直吗？若有可能，求出运动的时间；若没有可能，请说明理由 【考点】一元二次方程的应用；相似三角形的判定 【专题】几何动点问题 【分析】 （1）分别表示出线段 PC 和线段 CQ 的长后利用 SPCQ=SABC列出方程 求解； （2）设运动时间为 ts，PCQ 与ACB 相似，当PC
31、Q 与ACB 相似时，可知 CPQ=A 或CPQ=B，则有=或=，分别代入可得到关于 t 的方 程，可求得 t 的值； （3）设运动时间为 ys，PQ 与 CD 互相垂直，根据直角三角形斜边上的中线的性 质以及等腰三角形的性质得出ACD=A，BCD=B，再证明PCQBCA， 那么=，依此列出比例式=，解方程即可 【解答】解： （1）设经过 x 秒PCQ 的面积为ACB 的面积的， 由题意得：PC=2xm，CQ=（6x）m， 则2x（6x）=86， 解得：x=2 或 x=4 故经过 2 秒或 4 秒，PCQ 的面积为ACB 的面积的； （2）设运动时间为 ts，PCQ 与ACB 相似 当PCQ 与ACB 相似时，则有=或=， 所以=，或=， 解得 t=，或 t= 因此，经过秒或秒，OCQ 与ACB 相似； （ 3）有可能 由勾股定理得 AB=10 CD 为ACB 的中线， ACD=A，BCD=B， 又 PQCD， CPQ=B， PCQBCA， =，=， 解得 y= 因此，经过秒，PQCD 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，相似三角形的判定与性质，三角形的 面积，勾股定理，直角三角形、等腰三角形的性质，解题关键是要读懂题目的意 思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解
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