1、北师九年级（上）期中数学试卷北师九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本题满分一、选择题（本题满分 24 分，共有分，共有 8 道小题，每小题道小题，每小题 3 分）分） 1下列说法正确的有（ ）个 菱形的对角线相等； 对角线互相垂直的四边形是菱形； 有两个角是直角的四边形是矩形； 正方形既是菱形又是矩形； 矩形的对角线相等且互相垂直平分 A1 B2 C3 D4 2关于方程 x22=0 的理解错误的是（ ） A这个方程是一元二次方程 B方程的解是 C这个方程可以化成一元二次方程的一般形式 D这个方程可以用公式法求解 3一个暗箱中放有 a 个除颜色外其他完全相同的球，这 a 个球中只有 2 个红
2、球，每次将球 搅拌均匀后，任意摸出 1 个球记下颜色，再放回暗箱，通过大量重复试验后发现，摸到红球 的频率稳定在 20%，那么可以估算 a 的值是（ ） A15 B10 C4 D3 4关于 x 的一元二次方程 x2+mx+m=0 有两个相等的实数根，则 m 的值是（ ） A不存在 B4 C0 D0 或 4 5如图在ABC 中，DEFGBC，AD：AF：AB=1：3：6，则 SADE： S四边形DEGF：S四边形FGCB=（ ） A1：8：27 B1：4：9 C1：8：36 D1：9：36 6如图，在菱形 ABCD 中，AB=13，对角线 AC=10，若过点 A 作 AEBC，垂足为 E，则 A
3、E 的长为（ ） A8 B C D 7如图，ABCD 是正方形，E 是边 CD 上（除端点外）任意一点，AMBE 于点 M，CN BE 于点 N，下列结论一定成立的有（ ）个 ABMBCN； BCNCEN； AMCN=MN； M 有可能是线段 BE 的中点 A1 B2 C3 D4 8在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下： 甲：将邻边边长为 5 和 8 的矩形按图的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间 距均为 1，则新矩形与原矩形相似 乙：将边长 5、12、13 的三角形按图的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间 距为 1，则新三角形与原三角形相似 对于两人的观点，下列说法正确的是
4、（ ） A两人都对 B两人都不对 C甲对、乙不对 D甲不对，乙对 二、填空题（本题满分二、填空题（本题满分 18 分，共有分，共有 6 道小道小题，每小题题，每小题 3 分）分） 9若=，（a+c+e0），则 = 10已知直角三角形的三边恰好是三个连续整数，则这个直角三角形的斜边长是 11袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为 1，2，3，绿色卡片两张，标号分别 为 1，2，若从五张卡片中任取两张，则两张卡片的标号之和小于 4 的概率为 12方程 ax2+x+1=0 有两个不等的实数根，则 a 的取值范围是 13 如图， 正方形 OABC 与正方形 ODEF 是位似图形， 点 O 为位似
5、中心， 相似比为 1：， 点 A 的坐标为（0，），则点 E 的坐标是 14如图，在长方形 ABCD 中，AB=3，BC=6，对角线 AC 的垂直平分线分别交 AD、AC 于点 M，N，连接 CM，则 CM 的长为 三、作图题（本题满分三、作图题（本题满分 10 分，第一小题分，第一小题 4 分，第二小题分，第二小题 6 分）分） 15（10 分）已知ABC，作DEF，使之与ABC 相似，且=4要求： （1）尺规作图，保留作图痕迹，不写作法 （2）简要叙述作图依据 四、解答题（本题共四、解答题（本题共 5 小题，满分小题，满分 68 分）分） 16（16 分）计算 （1）用两种不同方法解方程：
6、x232x=0 （2）解方程：x2=2x； （3）解方程：3+2x2x=0 17（12 分）某中学调查了某班全部 35 名同学参加音乐社团和美术社团的情况，数据如表 （单位：人）： 参加美术社团 未参加美术社团 参加音乐社团 6 5 未参加音乐社团 4 20 （1）从该班任选 1 名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率； （2）在既参加音乐社团，又参加美术社团的 6 名同学中，有 4 名男同学 A1、A2、A3、A4， 两名女同学 B1、B2，现从这 4 名男同学和两名女同学中个随机选取 1 人，求 A1未被选中但 B1被选中的概率 18（12 分）已知：如图，在矩形 ABCD 中，M、N
7、分别是 AB、DC 的中点，P、Q 分别 是 DM、BN 的中点 （1）求证：DM=BN； （2）四边形 MPNQ 是怎样的特殊四边形，请说明理由； （3） 矩形 ABCD 的边长 AB 与 AD 满足什么长度关系时四边形 MPNQ 为正方形， 请说明理 由 19（12 分）某茶叶专卖店经销一种日照绿茶，每千克成本 80 元，据销售人员调查发现， 每月的销售量 y（千克）与销售单价 x（元/千克）之间存在如图所示的变化规律 （1）求每月销售量 y 与销售单价 x 之间的函数关系式 （2） 若某月该茶叶点销售这种绿茶获得利润1350元， 试求该月茶叶的销售单价x为多少元 20（16 分）已知：如
8、图，在 RtACB 中，C=90，AC=3cm，BC=3cm，点 P 由 B 点出发沿 BA 方向向点 A 匀速运动，速度为 2cm/s；点 Q 由 A 点出发沿 AC 方向向点 C 匀 速运动，速度为cm/s；若设运动的时间为 t（s）（0t3），解答下列问题： （1）如图，连接 PC，当 t 为何值时APCACB，并说明理由； （2）如图，当点 P，Q 运动时，是否存在某一时刻 t，使得点 P 在线段 QC 的垂直平分 线上，请说明理由； （3） 如图， 当点 P， Q 运动时， 线段 BC 上是否存在一点 G， 使得四边形 PQGB 为菱形？ 若存在，试求出 BG 长；若不存在请说明理由
9、 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本题满分一、选择题（本题满分 24 分，共有分，共有 8 道小题，每小题道小题，每小题 3 分）分） 1下列说法正确的有（ ）个 菱形的对角线相等； 对角线互相垂直的四边形是菱形； 有两个角是直角的四边形是矩形； 正方形既是菱形又是矩形； 矩形的对角线相等且互相垂直平分 A1 B2 C3 D4 【考点】矩形的判定与性质；菱形的判定与性质 【分析】根据菱形的判定与性质、矩形的判定与性质进行解答 【解答】解：菱形的对角线不一定相等，故错误； 对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故错误； 有三个角是直角的四边形是矩形，故错误； 正方形既是菱形又是矩形
10、，故正确； 矩形的对角线相等，但不一定互相垂直平分，故错误； 故选：A 【点评】本题考查了菱形和矩形的判定与性质注意：正方形是一特殊的矩形，也是一特殊 的菱形 2关于方程 x22=0 的理解错误的是（ ） A这个方程是一元二次方程 B方程的解是 C这个方程可以化成一元二次方程的一般形式 D这个方程可以用公式法求解 【考点】解一元二次方程-公式法；一元二次方程的一般形式；一元二次方程的解；解一元 二次方程-直接开平方法 【分析】根据一元二次方程的定义、解法、一般式逐一判断即可 【解答】解：A、这个方程是一元二次方程，正确； B、方程的解是 x=，错误； C、这个方程可以化成一元二次方程的一般形式
11、，正确； D、这个方程可以用公式法求解，正确； 故选：B 【点评】 本题主要考查一元二次方程的定义和解法， 熟练掌握一元二次方程的解法是解题的 关键 3一个暗箱中放有 a 个除颜色外其他完全相同的球，这 a 个球中只有 2 个红球，每次将球 搅拌均匀后，任意摸出 1 个球记下颜色，再放回暗箱，通过大量重复试验后发现，摸到红球 的频率稳定在 20%，那么可以估算 a 的值是（ ） A15 B10 C4 D3 【考点】利用频率估计概率 【分析】因为除了颜色其他完全相同的球，在摸的时候出现的机会是均等的，通过大量重复 摸球实验后发现，摸到红球的可能性稳定在 20%，可知红球占总球数大约就是 20%，
12、问题 就转化成了一个数的 20%是 2，求这个数，用除法计算即可 【解答】解：根据题意得： 220%=10（个）， 答：可以估算 a 的值是 10； 故选 B 【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，其中解题时首先通过实验得到事件的频率，然 后利用频率估计概率即可解决问题 4关于 x 的一元二次方程 x2+mx+m=0 有两个相等的实数根，则 m 的值是（ ） A不存在 B4 C0 D0 或 4 【考点】根的判别式 【分析】根据方程有两个相等的实数根即可得出关于 m 的一元二次方程，解方程即可得出 m 的值 【解答】解：方程 x2+mx+m=0 有两个相等的实数根， =m24m=0， 解得：m
13、=0 或 m=4 故选 D 【点评】本题考查了根的判别式，由方程有两个相等的实数根找出关于 m 的一元二次方程 是解题的关键 5如图在ABC 中，DEFGBC，AD：AF：AB=1：3：6，则 SADE：S四边形DEGF：S四边 形FGCB=（ ） A1：8：27 B1：4：9 C1：8：36 D1：9：36 【考点】相似三角形的判定与性质 【分析】由 DEFGBC，可得ADEAFGABC，又由 AD：AF：AB=1：3：6， 利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得 SADE：SAFG：SABC=1：9：36， 然后设ADE 的面积是 a，则AFG 和ABC 的面积分别是 9a，36
14、a，即可求两个梯形的 面积，继而求得答案 【解答】解：DEFGBC， ADEAFGABC， AD：AF：AB=1：3：6， SADE：SAFG：SABC=1：9：36， 设ADE 的面积是 a，则AFG 和ABC 的面积分别是 9a，36a， 则 S四边形DFGE=SAFGSADE=8a，S 四边形FBCG=SABCSAFG=27a， SADE：S 四边形DFGE：S四边形FBCG=1：8：27 故选 A 【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质此题难度适中，解题的关键是掌握相似三角 形面积的比等于相似比的平方 6如图，在菱形 ABCD 中，AB=13，对角线 AC=10，若过点 A 作 AE
15、BC，垂足为 E，则 AE 的长为（ ） A8 B C D 【考点】菱形的性质 【分析】连接对角线 BD，根据勾股定理求对角线 BD=24，由菱形的面积列式得：S菱形 ABCD=BCAE= ACBD，代入计算可求 AE 的长 【解答】解：连接 BD 交 AC 于 O， 四边形 ABCD 是菱形， ACBD，OA=AC=10=5， AB=13=BC， 由勾股定瑆得：OB=12， BD=2OB=24， AEBC， S菱形ABCD=BCAE= ACBD， 13AE=1024， AE=， 故选 C 【点评】本题考查了菱形的性质，熟练掌握菱形以下的性质是关键：菱形的对角线互相 平分且垂直，菱形的四边相等
16、，菱形的面积=两条对角线积的一半=底边高；根据面 积法可以求菱形的边或高 7如图，ABCD 是正方形，E 是边 CD 上（除端点外）任意一点，AMBE 于点 M，CN BE 于点 N，下列结论一定成立的有（ ）个 ABMBCN； BCNCEN； AMCN=MN； M 有可能是线段 BE 的中点 A1 B2 C3 D4 【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质 【分析】根据 AAS 可以证明ABMBCN，利用了同角的余角相等； 根据两角对应相等，可以证明BCNCEN，因为斜边 CE 和 BE 不相等，所以一定不 全等； 根据中听全等可以得结论； 根据正方形的对角线垂直平分可知：当 M 是线段
17、 BE 的中点时，E 在点 D 处，而已知中 E 是边 CD 上（除端点外）任意一点，所以得出：M 不可能是线段 BE 的中点 【解答】解：四边形 ABCD 为正方形， AB=BC，ABC=90， ABM+NBC=90， AMBE 于点 M，CNBE 于点 N， AMB=BNC=90， ABM+BAM=90， NBC=BAM， ABMBCN； 故正确； BCE=CNE=90，CEN=CEB， CEBE， BCNCEN， 故不正确； ABMBCN， AM=BN，BM=CN， MN=BNBM=AMCN， 故正确； 当 M 是线段 BE 的中点时， E 在点 D 处， 而已知中 E 是边 CD 上
18、（除端点外） 任意一点， 所以 M 不可能是线段 BE 的中点 故不正确； 所以正确的有：2 个， 故选 B 【点评】本题考查了正方形的性质和全等三角形的性质和判定，正方形的性质较多，要熟练 掌握：正方形的四边相等，正方形的四个角都是直角，正方形的对角线垂直平分且 平分一组对角等；在正方形判定两三角形全等时，经常运用同角的余角相等证明角相等，从 而证明两三角形全等 8在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下： 甲：将邻边边长为 5 和 8 的矩形按图的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间 距均为 1，则新矩形与原矩形相似 乙：将边长 5、12、13 的三角形按图的方式向外扩张，得到新三角形
19、，它们的对应边间 距为 1，则新三角形与原三角形相似 对于两人的观点，下列说法正确的是（ ） A两人都对 B两人都不对 C甲对、乙不对 D甲不对，乙对 【考点】相似图形 【分析】利用位似图形的性质以及相似多边形的判定方法得出即可 【解答】解：由题意可得新矩形边长为：7 和 10， ， 故两矩形不相似， 当新三角形的对应边间距离均为 1 时， 则两三角形的对应边平行， 且对应点连线相交于一点， 故两三角形位似，即相似， 故选：D 【点评】 此题主要考查了相似三角形以及相似多边形的判定， 熟练应用相似多边形的判定方 法是解题关键 二、填空题（本题满分二、填空题（本题满分 18 分，共有分，共有 6
20、 道小题，每小题道小题，每小题 3 分）分） 9若=，（a+c+e0），则 = 2 【考点】比例的性质 【分析】根据等比性质，反比性质，可得答案 【解答】解：由=，得 =， 由反比性质，得 =2， 故答案为：2 【点评】本题考查了比例的性质，利用等比性质，反比性质是解题关键 10已知直角三角形的三边恰好是三个连续整数，则这个直角三角形的斜边长是 5 【考点】一元二次方程的应用；勾股定理 【分析】首先设中间的数为 x，表示出其余 2 个数，利用勾股定理求解即可 【解答】解：设较小的边长为 x则最小的边长为（x1），斜边长为（x+1）， （x1）2 +x 2=（x+1）2， 解得 x1=0，（不合
21、题意，舍去）x2=4， 故斜边长为 x+1=5 故答案为：5 【点评】 本题考查了利用勾股定理解直角三角形以及一元二次方程的应用， 利用勾股定理得 到三边的关系是解决本题的关键 11袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为 1，2，3，绿色卡片两张，标号分别 为 1，2，若从五张卡片中任取两张，则两张卡片的标号之和小于 4 的概率为 【考点】列表法与树状图法 【分析】从五张卡片中任取两张的所有可能情况，用列举法求得有 10 种情况，其中两张卡 片的颜色不同且标号之和小于 4 的有 3 种情况，从而求得所求事件的概率 【解答】解：从五张卡片中任取两张的所有可能情况有如下 10 种： 红1红2
22、，红1红3，红1绿1，红1绿2，红2红3， 红2绿1，红2绿2，红3绿1，红3绿2，绿1绿2 其中两张卡片的颜色不同且标号之和小于 4 的有 3 种情况， 红1绿1，红1绿2，红2绿1， 故所求的概率为 P=； 故答案为： 【点评】本题考查古典概型问题，可以列举出试验发生包含的事件和满足条件的事件，应用 列举法来解题是这一部分的最主要思想，属于基础题 12方程 ax2+x+1=0 有两个不等的实数根，则 a 的取值范围是 a且 a0 【考点】根的判别式 【分析】根据方程有两个不相等的实数根结合二次项系数不为 0，即可得出关于 a 的一元一 次不等式组，解不等式组即可得出结论 【解答】解：方程
23、ax2+x+1=0 有两个不等的实数根， ， 解得：a且 a0 【点评】 本题考查了根的判别式， 根据方程有两个不相等的实数根找出关于 a 的一元一次不 等式组是解题的关键 13 如图， 正方形 OABC 与正方形 ODEF 是位似图形， 点 O 为位似中心， 相似比为 1：， 点 A 的坐标为（0，），则点 E 的坐标是 （3，3） 【考点】位似变换；坐标与图形性质；正方形的性质 【分析】由题意可得 OA：OD=1：，又由点 A 的坐标为（0，），即可求得 OD 的长， 又由正方形的性质，即可求得 E 点的坐标 【解答】 解： 正方形 OABC 与正方形 ODEF 是位似图形， O 为位似中
24、心， 相似比为 1：， OA：OD=1：， 点 A 的坐标为（0，）， 即 OA=， OD=3， 四边形 ODEF 是正方形， DE=OD=3 E 点的坐标为：（3，3） 故答案为：（3，3） 【点评】此题考查了位似变换的性质与正方形的性质此题比较简单，注意理解位似变换与 相似比的定义是解此题的关键 14如图，在长方形 ABCD 中，AB=3，BC=6，对角线 AC 的垂直平分线分别交 AD、AC 于点 M，N，连接 CM，则 CM 的长为 【考点】矩形的性质；线段垂直平分线的性质 【分析】由线段垂直平分线的性质求出 AM=CM，在 RtDMC 中，由勾股定理得出 DM2+DC2=CM2，得出
25、方程（6CM）2 +3 2=CM2，求出 CM 即可 【解答】解：四边形 ABCD 是矩形， D=B=90，AD=BC=6，AB=DC=3， MN 是 AC 的垂直平分线， AM=CM， DM=ADAM=ADCM=4CM， 在 RtDMC 中，由勾股定理得：DM2+DC2=CM2， （6CM）2 +3 2=CM2， CE=， 故答案为： 【点评】本题考查了矩形性质，勾股定理，线段垂直平分线性质的应用，关键是能得出关于 CM 的方程 三、作图题（本题满分三、作图题（本题满分 10 分，第一小题分，第一小题 4 分，第二小题分，第二小题 6 分）分） 15（10 分）已知ABC，作DEF，使之与A
26、BC 相似，且=4要求： （1）尺规作图，保留作图痕迹，不写作法 （2）简要叙述作图依据 【考点】作图相似变换 【分析】 （1）利用相似三角形的性质得出：DEF 的边长与ABC 边长的关系进而得出答 案； （2）利用相似三角形的性质结合作三角形的方法得出答案 【解答】解：（1）如图所示：DEF 即为所求； （2）DEFABC，且=4， =， 作 AB，AC 的垂直平分线，进而得出 AB，AC 的中点，即可得出 ED，EF，DF 的长 【点评】此题主要考查了相似变换以及三角形的做法，正确得出DEF 边长变化规律是解 题关键 四、解答题（本题共四、解答题（本题共 5 小题，满分小题，满分 68 分
27、）分） 16（16 分）计算 （1）用两种不同方法解方程：x232x=0 （2）解方程：x2=2x； （3）解方程：3+2x2x=0 【考点】解一元二次方程-因式分解法 【分析】（1）因式分解法和配方法求解可得； （2）因式分解法求解可得； （3）由根的判别式小于 0 可得答案 【解答】解：（1）因式分解法：（x+1）（x3）=0， x+1=0 或 x3=0， 解得：x=1 或 x=3； 配方法：x22x=3， x22x+1=3+1，即（x1）2=4， x1=2， 解得：x=1 或 x=3； （2）x22x=0， x（x2）=0， x=0 或 x=2； （3）a=2，b=，c=3， =4230
28、， 原方程无实数根 【点评】 本题主要考查解一元二次方程的能力， 根据不同的方程选择合适的方法是解题的关 键 17（12 分）某中学调查了某班全部 35 名同学参加音乐社团和美术社团的情况，数据如表 （单位：人）： 参加美术社团 未参加美术社团 参加音乐社团 6 5 未参加音乐社团 4 20 （1）从该班任选 1 名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率； （2）在既参加音乐社团，又参加美术社团的 6 名同学中，有 4 名男同学 A1、A2、A3、A4， 两名女同学 B1、B2，现从这 4 名男同学和两名女同学中个随机选取 1 人，求 A1未被选中但 B1被选中的概率 【考点】列表法与树状图法
29、 【分析】（1）先判断出这是一个古典概型，所以求出基本事件总数，“至少参加一个社团” 事件包含的基本事件个数，从而根据古典概型的概率计算公式计算即可； （2） 先求基本事件总数， 即从这 4 名男同学和 2 名女同学中各随机选 1 人， 有多少中选法， 这个可利用分步计数原理求解， 再求出“A1不被选中， 而 B1被选中”事件包含的基本事件个数， 这个容易求解，然后根据古典概型的概率公式计算即可 【解答】解：（1）设“至少参加一个社团”为事件 A； 从 45 名同学中任选一名有 45 种选法，基本事件数为 45； 通过列表可知事件 A 的基本事件数为 6+4+5=15； 这是一个古典概型，P（
30、A）=； （2）从 4 名男同学中任选一个有 4 种选法，从 2 名女同学中任选一名有 2 种选法； 从这 4 名男同学和 2 名女同学中各随机选 1 人的选法有 42=8，即基本事件总数为 8； 设“A1未被选中，而 B1被选中”为事件 B，显然事件 B 包含的基本事件数为 3； 这是一个古典概型，则 P（B）= 【点评】主要考查了事件的分类和概率的求法用到的知识点为：可能发生，也可能不发生 的事件叫做随机事件；概率=所求情况数与总情况数之比 18（12 分）已知：如图，在矩形 ABCD 中，M、N 分别是 AB、DC 的中点，P、Q 分别 是 DM、BN 的中点 （1）求证：DM=BN；
31、（2）四边形 MPNQ 是怎样的特殊四边形，请说明理由； （3） 矩形 ABCD 的边长 AB 与 AD 满足什么长度关系时四边形 MPNQ 为正方形， 请说明理 由 【考点】四边形综合题 【分析】（1）根据矩形的性质和中点的定义，利用 SAS 判定MBANDC； （2）四边形 MPNQ 是菱形，连接 AN，有（1）可得到 BM=DN，再有中点得到 PM=NQ， 再通过证明MQDNPB 得到 MQ=PN，从而证明四边形 MPNQ 是平行四边形，利用三 角形中位线的性质可得：MP=MQ，进而证明四边形 MQNP 是菱形； （3）利用对角线相等的菱形是正方形即可 【解答】证明：（1）四边形 ABC
32、D 是矩形， AB=CD，AD=BC，A=C=90， 在矩形 ABCD 中，M、N 分别是 AD、BC 的中点， AM=AD，CN=BC， AM=CN， 在MAB 和NDC 中， MBANDC（SAS）； （2）四边形 MPNQ 是菱形 理由如下：连接 AP，MN， 则四边形 ABNM 是矩形， AN 和 BM 互相平分， 则 A，P，N 在同一条直线上， 易证：ABNBAM， AN=BM， MABNDC， BM=DN， P、Q 分别是 BM、DN 的中点， PM=NQ， 在MQD 和NPB 中， MQDNPB（SAS） 四边形 MPNQ 是平行四边形， M 是 AD 中点，Q 是 DN 中点
33、， MQ=AN， MQ=BM， MP=BM， MP=MQ， 平行四边形 MQNP 是菱形； （3）当 AD=2AB 时，四边形 MQNP 是正方形； 如图 1，连接 PQ， PQMNADMN， PQAD， 点 P 是 BM 的中点， AD=2PQ， AD=2AB， PQ=AB， MN=AB， MN=PQ， 由（2）知，四边形 MQNP 是菱形； 菱形 MQNP 是正方形 【点评】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质、正方形的性质，全等三角形的判定 和全等三角形的性质、 三角形中位线定理以及平行四边形的判定和菱形的判定方法， 判断出 四边形 MQNP 是菱形是解本题的关键，属于基础题目 19
34、（12 分）某茶叶专卖店经销一种日照绿茶，每千克成本 80 元，据销售人员调查发现， 每月的销售量 y（千克）与销售单价 x（元/千克）之间存在如图所示的变化规律 （1）求每月销售量 y 与销售单价 x 之间的函数关系式 （2） 若某月该茶叶点销售这种绿茶获得利润1350元， 试求该月茶叶的销售单价x为多少元 【考点】一元二次方程的应用；一次函数的应用 【分析】（1）设函数解析式为 y=kx+b，将（90，100），（100，80）代入 y=kx+b 即可； （2）每千克利润乘以销售量即为总利润；根据某月获得的利润等于 1350 元，求出 x 的值即 可 【解答】解：（1）设一次函数解析式为
35、y=kx+b， 把（90，100），（100，80）代入 y=kx+b 得， ， 解得， y 与销售单价 x 之间的函数关系式为 y=2x+280 （2）根据题意得：w=（x80）（2x+280）=2x2+440 x22400=1350； 解得（x110）2=225， 解得 x1=95，x2=125 答：销售单价为 95 元或 125 元 【点评】 本题一元二次方程及一次函数的应用， 解题的关键是从实际问题中整理出函数和方 程模型，难度不大 20（16 分）已知：如图，在 RtACB 中，C=90，AC=3cm，BC=3cm，点 P 由 B 点出发沿 BA 方向向点 A 匀速运动，速度为 2c
36、m/s；点 Q 由 A 点出发沿 AC 方向向点 C 匀 速运动，速度为cm/s；若设运动的时间为 t（s）（0t3），解答下列问题： （1）如图，连接 PC，当 t 为何值时APCACB，并说明理由； （2）如图，当点 P，Q 运动时，是否存在某一时刻 t，使得点 P 在线段 QC 的垂直平分 线上，请说明理由； （3） 如图， 当点 P， Q 运动时， 线段 BC 上是否存在一点 G， 使得四边形 PQGB 为菱形？ 若存在，试求出 BG 长；若不存在请说明理由 【考点】相似形综合题 【分析】（1） 先根据勾股定理求出AB， 再用APCACB， 得出， 即：， 求出时间； （2）先用垂直平
37、分线的性质得出 QM=CM=CQ=（3t），然后用平行线分线段 成比例建立方程求出结论； （3）先由平行四边形的性质建立方程求出时间 t，即求出 PQ，PB，即可得到 PQPB 判断 出四边形 PQGB 不可能是菱形 【解答】解：（1）在 RtACB 中，C=90，AC=3cm，BC=3cm， AB=6， 由运动知，BP=2t，AQ=t， AP=62t， APCACB， ， ， t=； （2）存在， 理由：如图，由运动知，BP=2t，AQ=t， AP=62t，CQ=3t， 点 P 是 CQ 的垂直平分线上， QM=CM=CQ=（3t）， AM=AQ+QM=t（3t）=（t1） 过点 P 作 PMAC， ACB=90， PMBC， ， ， t= 或 t= （舍）， t= （3）不存在， 理由：由运动知，BP=2t，AQ=t， AP=62t， 假设线段 BC 上是存在一点 G，使得四边形 PQGB 为平行四边形， PQBG，PQ=BG， APQABC， ， ， t=，PQ= ， BP=2t=3， PQBP， 平行四边形 PQGB 不可能是菱形 即：线段 BC 上不存在一点 G，使得四边形 PQGB 为菱形 【点评】此题是相似形综合题，主要考查了勾股定理，线段的垂直平分线的性质，相似三角 形的判定和性质， 平行四边形的性质， 菱形的判定， 解本题的关键是用方程的思想解决问题
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