1、第一章第一章 勾股定理勾股定理 章末测试卷章末测试卷 一、选择题（每题一、选择题（每题 4 分，共分，共 28 分）分） 1 （2018滨州）在直角三角形中，若勾为 3，股为 4，则弦为（ ） A5 B6 C7 D8 2 （4 分） （2017兴安盟）下列长度的三条线段能组成锐角三角形的是（ ） A6，8，14 B6，8，12 C6，8，10 D6，8，8 3 （4 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 1，则正方形 ACEF 的面积为（ ） A2 B3 C4 D5 4 （4 分）如果梯子的底端离建筑物 5 米，13 米长的梯子可以达到建筑物的高度 是（ ） A12 米 B13 米 C14 米
2、 D15 米 5 （4 分）满足下列条件的ABC 中，不是直角三角形的是（ ） Aa：b：c=3：4：5 BA：B：C=1：2：3 Ca2：b2：c2=1：2：3 Da2：b2：c2=3：4：5 6 （4 分）若等腰三角形中相等的两边长为 10cm，第三边长为 16cm，那么第三 边上的高为（ ） A12 cm B10 cm C8 cm D6 cm 7 （4 分）如图，正方形网格中的ABC，若小方格边长为 1，则ABC 的形状为 （ ） A直角三角形 B锐角三角形 C钝角三角形 D以上答案都不对 二、填空： （每空二、填空： （每空 4 分，共计分，共计 28 分）分） 8 （4 分）已知一个
3、 Rt的两边长分别为 3 和 4，则第三边长的平方为 9 （4 分）求如图中直角三角形中未知的长度：b= ，c= 10 （4 分）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形， 其中最大的正方形的边长为 7cm，则正方形 A，B，C，D 的面积之和为 cm2 11 （4 分） 小明把一根 70cm 长的木棒放到一个长、 宽、 高分别为 40cm、 30cm、 50cm 的木箱中，他能放进去吗？答： （填“能”、或“不能”） 12 （4 分） （2018襄阳）已知 CD 是ABC 的边 AB 上的高，若 CD，AD 1，AB2AC，则 BC 的长为 13 （4 分） （2018福建）
4、把两个同样大小的含 45角的三角尺按如图所示的方 式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点 A，且另三个 锐角顶点 B，C，D 在同一直线上若 AB，则 CD 14 （4 分） （2018黄冈）如图，圆柱形玻璃杯高为 14cm，底面周长为 32cm，在 杯内壁离杯底 5cm 的点 B 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯 上沿 3cm 与蜂蜜相对的点 A 处，则蚂蚁从外壁 A 处到内壁 B 处的最短距离为 cm（杯壁厚度不计） 三、解答题： （每题三、解答题： （每题 11 分，共计分，共计 44 分）分） 15 （11 分）一棵树在离地面 9 米处断裂，树的顶部落在
5、离树根底部 12 米处， 求树折断之前的高度？（自己画图并解答） 16 （11 分）小东与哥哥同时从家中出发，小东以 6km/时的速度向正北方向的 学校走去，哥哥则以 8km/时的速度向正东方向走去，半小时后，小东距哥哥多 远？ 17（11 分） 如图所示， 四边形 ABCD 中， AB=3cm， AD=4cm， BC=13cm， CD=12cm， A=90； （1）求 BD 的长； （2）求四边形 ABCD 的面积 18 （11 分）如图，有一个直角三角形纸片，两直角边 AB=6cm，BC=8cm，现将 直角边 BC 沿直线 BD 折叠，使点 C 落在点 E 处，求三角形 BDF 的面积是多
6、少？ 四、附加题四、附加题 19如图所示的一块地，AD=12m，CD=9m，ADC=90，AB=39m，BC=36m，求 这块地的面积 20如图，ABC 是直角三角形，BAC=90，D 是斜边 BC 的中点，E、F 分别是 AB、AC 边上的点，且 DEDF （1）如图 1，试说明 BE2+CF2=EF2； （2）如图 2，若 AB=AC，BE=12，CF=5，求DEF 的面积 参考答案参考答案 一、选择题（每题一、选择题（每题 4 分，共分，共 28 分）分） 1 （2018滨州）在直角三角形中，若勾为 3，股为 4，则弦为（ ） A5 B6 C7 D8 【分析】直接根据勾股定理求解即可 【
7、解答】解：在直角三角形中，勾为 3，股为 4， 弦为5 故选：A 【点评】本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方 之和一定等于斜边长的平方 2 （4 分） （2017兴安盟）下列长度的三条线段能组成锐角三角形的是（ ） A6，8，14 B6，8，12 C6，8，10 D6，8，8 【考点】KS：勾股定理的逆定理 【专题】55：几何图形 【分析】 根据勾股定理求出以较短的两条边为直角边的三角形的斜边的长度，然 后与较长的边进行比较作出判断即可 【解答】解：A、6+814，不能组成三角形； B、1012，6+812，不能组成锐角三角形； C、10 是直角三角形，不能组成锐角
8、三角形； D、108，6+88，能组成锐角三角形 故选：D 【点评】 本题考查了勾股定理的逆定理，利用勾股定理求出直角三角形的斜边是 解题的关键 3 （4 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 1，则正方形 ACEF 的面积为（ ） A2 B3 C4 D5 【考点】算术平方根 【分析】根据勾股定理，可得 AC 的长，再根据乘方运算，可得答案 【解答】解：由勾股定理，得 AC=， 乘方，得（）2=2， 故选：A 【点评】本题考查了算术平方根，先求出 AC 的长，再求出正方形的面积 4 （4 分）如果梯子的底端离建筑物 5 米，13 米长的梯子可以达到建筑物的高度 是（ ） A12 米 B13 米
9、 C14 米 D15 米 【考点】勾股定理的应用 【专题】应用题 【分析】根据梯子、地面、墙正好构成直角三角形，再根据勾股定理解答即可 【解答】解：如图所示，AB=13 米，BC=5 米，根据勾股定理 AC= =12 米 故选 A 【点评】此题是勾股定理在实际生活中的运用，比较简单 5 （4 分）满足下列条件的ABC 中，不是直角三角形的是（ ） Aa：b：c=3：4：5 BA：B：C=1：2：3 Ca2：b2：c2=1：2：3 Da2：b2：c2=3：4：5 【考点】勾股定理的逆定理；三角形内角和定理 【分析】由勾股定理的逆定理得出 A、C 是直角三角形，D 不是直角三角形；由 三角形内角和
10、定理得出 B 是直角三角形；即可得出结果 【解答】解：a：b：c=3：4：5，32+42=52， 这个三角形是直角三角形，A 是直角三角形； A：B：C=1：2：3， C=90，B 是直角三角形； a2：b2：c2=1：2：3， a2+b2=c2， 三角形是直角三角形，C 是直角三角形； a2：b2：c2=3：4：5， a2+b2c2， 三角形不是直角三角形； 故选：D 【点评】本题考查了勾股定理的逆定理、三角形内角和定理；熟练掌握勾股定理 的逆定理和三角形内角和定理，通过计算得出结果是解决问题的关键 6 （4 分）若等腰三角形中相等的两边长为 10cm，第三边长为 16cm，那么第三 边上的
11、高为（ ） A12 cm B10 cm C8 cm D6 cm 【考点】勾股定理；等腰三角形的性质 【分析】根据等腰三角形的性质先求出 BD，然后在 RTABD 中，可根据勾股定 理进行求解 【解答】解：如图： 由题意得：AB=AC=10cm，BC=16cm， 作 ADBC 于点 D，则有 DB=BC=8cm， 在 RtABD 中，AD=6cm 故选 D 【点评】 本题考查了等腰三角形的性质及勾股定理的知识，关键是掌握等腰三角 形底边上的高平分底边，及利用勾股定理直角三角形的边长 7 （4 分）如图，正方形网格中的ABC，若小方格边长为 1，则ABC 的形状为 （ ） A直角三角形 B锐角三角
12、形 C钝角三角形 D以上答案都不对 【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理 【专题】网格型 【分析】 根据勾股定理求得ABC 各边的长， 再利用勾股定理的逆定理进行判定， 从而不难得到其形状 【解答】解：正方形小方格边长为 1， BC=2， AC=， AB=， 在ABC 中， BC2+AC2=52+13=65，AB2=65， BC2+AC2=AB2， ABC 是直角三角形 故选：A 【点评】考查了勾股定理的逆定理，解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三 角形 ABC 的三边满足 a2+b2=c2，则三角形 ABC 是直角三角形 二、填空： （每空二、填空： （每空 4 分，共计分，共计 28 分）
13、分） 8（4分） 已知一个Rt的两边长分别为3和4， 则第三边长的平方为 7或25 【考点】勾股定理 【分析】已知的这两条边可以为直角边，也可以是一条直角边一条斜边，从而分 两种情况进行讨论解答 【解答】解：分两种情况： 当 3、4 都为直角边时，第三边长的平方=32+42=25； 当 3 为直角边，4 为斜边时，第三边长的平方=4232=7 故答案为：7 或 25 【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长 的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键 9 （4 分）求如图中直角三角形中未知的长度：b= 12 ，c= 10 【考点】勾股定理 【分析】根据勾股定理
14、进行计算即可 【解答】解：b=12； c=10， 故答案为：12；10 【点评】本题考查的是勾股定理的应用，在任何一个直角三角形中，两条直角边 长的平方之和一定等于斜边长的平方 10 （4 分）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形， 其中最大的正方形的边长为 7cm， 则正方形 A， B， C， D 的面积之和为 49 cm2 【考点】勾股定理 【分析】根据正方形的面积公式，连续运用勾股定理，发现：四个小正方形的面 积和等于最大正方形的面积 【解答】解：由图形可知四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积， 故正方形 A，B，C，D 的面积之和=49cm2 故答案为：49cm
15、2 【点评】熟练运用勾股定理进行面积的转换 11 （4 分） 小明把一根 70cm 长的木棒放到一个长、 宽、 高分别为 40cm、 30cm、 50cm 的木箱中，他能放进去吗？答： 能 （填“能”、或“不能”） 【考点】勾股定理的应用 【分析】 能， 在长方体的盒子中， 一角的顶点与斜对的不共面的顶点的距离最大， 根据木箱的长，宽，高可求出最大距离，然后和木棒的长度进行比较即可 【解答】解：能，理由如下： 可设放入长方体盒子中的最大长度是 xcm， 根据题意，得 x2=502+402+302=5000， 702=4900， 因为 49005000， 所以能放进去 故答案为能 【点评】 本题
16、考查了勾股定理的应用， 解题的关键是求出木箱内木棒的最大长度 12 （4 分） （2018襄阳）已知 CD 是ABC 的边 AB 上的高，若 CD，AD 1，AB2AC，则 BC 的长为 2或 2 【考点】KQ：勾股定理 【专题】552：三角形 【分析】分两种情况： 当ABC 是锐角三角形，如图 1， 当ABC 是钝角三角形，如图 2， 分别根据勾股定理计算 AC 和 BC 即可 【解答】解：分两种情况： 当ABC 是锐角三角形，如图 1， CDAB， CDA90， CD，AD1， AC2， AB2AC， AB4， BD413， BC2； 当ABC 是钝角三角形，如图 2， 同理得：AC2，A
17、B4， BC2； 综上所述，BC 的长为 2或 2 故答案为：2或 2 【点评】本题考查了三角形的高、勾股定理的应用，在直角三角形中常利用勾股 定理计算线段的长，要熟练掌握 13 （4 分） （2018福建）把两个同样大小的含 45角的三角尺按如图所示的方 式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点 A，且另三个 锐角顶点 B，C，D 在同一直线上若 AB，则 CD 1 【考点】勾股定理 【专题】11：计算题 【分析】先利用等腰直角三角形的性质求出 BC2，BFAF1，再利用勾股定 理求出 DF，即可得出结论 【解答】解：如图，过点 A 作 AFBC 于 F， 在 RtABC
18、中，B45， BCAB2，BFAFAB1， 两个同样大小的含 45角的三角尺， ADBC2， 在 RtADF 中，根据勾股定理得，DF CDBF+DFBC1+21， 故答案为：1 【点评】此题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线是 解本题的关键 14 （4 分） （2018黄冈）如图，圆柱形玻璃杯高为 14cm，底面周长为 32cm，在 杯内壁离杯底 5cm 的点 B 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯 上沿 3cm 与蜂蜜相对的点 A 处，则蚂蚁从外壁 A 处到内壁 B 处的最短距离为 20 cm（杯壁厚度不计） 【考点】KV：平面展开最短路径问题 【专题】27
19、：图表型 【分析】将杯子侧面展开，建立 A 关于 EF 的对称点 A，根据两点之间线段最 短可知 AB 的长度即为所求 【解答】解：如图： 将杯子侧面展开，作 A 关于 EF 的对称点 A， 连接AB， 则AB即为最短距离， AB20 （cm） 故答案为 20 【点评】本题考查了平面展开最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的 性质和勾股定理进行计算是解题的关键同时也考查了同学们的创造性思维 能力 三、解答题： （每题三、解答题： （每题 11 分，共计分，共计 44 分）分） 15 （11 分）一棵树在离地面 9 米处断裂，树的顶部落在离树根底部 12 米处， 求树折断之前的高度？（自己画图并
20、解答） 【考点】勾股定理的应用 【分析】 根据勾股定理， 计算树的折断部分是15米， 则折断前树的高度是15+9=24 米 【解答】解：如图所示： 因为 AB=9 米，AC=12 米， 根据勾股定理得 BC=15 米， 于是折断前树的高度是 15+9=24 米 【点评】 本题考查正确运用勾股定理善于观察题目的信息是解题以及学好数学 的关键 16 （11 分）小东与哥哥同时从家中出发，小东以 6km/时的速度向正北方向的 学校走去，哥哥则以 8km/时的速度向正东方向走去，半小时后，小东距哥哥多 远？ 【考点】勾股定理的应用 【分析】根据题意求出小东与哥哥各自行走的距离，根据勾股定理计算即可 【
21、解答】解：由题意得，AC=6=3km，BC=8=4km， ACB=90， 则 AB=5km 【点评】本题考查的是勾股定理的应用，正确构造直角三角形、灵活运用勾股定 理是解题的关键 17（11 分） 如图所示， 四边形 ABCD 中， AB=3cm， AD=4cm， BC=13cm， CD=12cm， A=90； （1）求 BD 的长； （2）求四边形 ABCD 的面积 【考点】勾股定理；勾股定理的逆定理 【分析】 （1）在 RtABD 中，利用勾股定理可求出 BD 的长度； （2） 利用勾股定理的逆定理判断出BDC 为直角三角形， 根据 S四边形ABCD=SABD+S BDC，即可得出答案 【
22、解答】解： （1）A=90， ABD 为直角三角形， 则 BD2=AB2+AD2=25， 解得：BD=5 （2）BC=13cm，CD=12cm，BD=5cm， BD2+CD2=BC2， BDCD， 故 S四边形ABCD=SABD+SBDC=ABAD+BDDC=6+30=36 【点评】本题考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，在求不规则图形的面积时， 我们可以利用分解法，将不规则图形的面积转化为几个规则图形的面积之和 18 （11 分）如图，有一个直角三角形纸片，两直角边 AB=6cm，BC=8cm，现将 直角边 BC 沿直线 BD 折叠，使点 C 落在点 E 处，求三角形 BDF 的面积是多少？
23、【考点】翻折变换（折叠问题） 【专题】应用题；操作型 【分析】由折叠的性质得到三角形 BDC 与三角形 BDE 全等，进而得到对应边相 等， 对应角相等， 再由两直线平行内错角相等， 等量代换及等角对等边得到 FD=FB， 设 FD=FB=xcm，则 AF=（8x）cm，在直角三角形 AFB 中，利用勾股定理列出关 于 x 的方程，求出方程的解得到 x 的值，确定出 FD 的长，进而求出三角形 BDF 面积 【解答】解：由折叠可得：BDCBDE， CBD=EBD，BC=BE=8cm，ED=DC=AB=6cm， ADBC， ADB=DBC， ADB=EBD， FD=FB， 设 FD=FB=xcm
24、，则有 AF=ADFD=（8x）cm， 在 RtABF 中，根据勾股定理得：x2=（8x）2+62， 解得：x=，即 FD=cm， 则 SBDF=FDAB=cm2 【点评】此题考查了翻折变换（折叠问题） ，涉及的知识有：折叠的性质，全等 三角形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，以及勾股定理，熟练掌握性 质及定理是解本题的关键 四、附加题四、附加题 19如图所示的一块地，AD=12m，CD=9m，ADC=90，AB=39m，BC=36m，求 这块地的面积 【考点】勾股定理的应用；三角形的面积；勾股定理的逆定理 【专题】应用题 【分析】连接 AC，运用勾股定理逆定理可证ACD，ABC 为直角
25、三角形，可求 出两直角三角形的面积，此块地的面积为两个直角三角形的面积差 【解答】解：连接 AC，则在 RtADC 中， AC2=CD2+AD2=122+92=225， AC=15，在ABC 中，AB2=1521， AC2+BC2=152+362=1521， AB2=AC2+BC2， ACB=90， SABCSACD=ACBCADCD=1536129=27054=216 答：这块地的面积是 216 平方米 【点评】 解答此题的关键是通过作辅助线使图形转化成特殊的三角形，可使复杂 的求解过程变得简单 20如图，ABC 是直角三角形，BAC=90，D 是斜边 BC 的中点，E、F 分别是 AB、A
26、C 边上的点，且 DEDF （1）如图 1，试说明 BE2+CF2=EF2； （2）如图 2，若 AB=AC，BE=12，CF=5，求DEF 的面积 【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形 【分析】 （1）延长 ED 至点 G，使得 EG=DE，连接 FG，CG，易证 EF=FG 和BDE CDG，可得 BE=CG，DCG=DBE，即可求得FCG=90，根据勾股定理即可 解题； （2） 连接 AD， 易证ADE=CDF， 即可证明ADECDF， 可得 AE=CF， BE=AF， S四边形AEDF=SABC，再根据DEF 的面积=SABCSAEF，即可解题 【解答】 （1）证明
27、：延长 ED 至点 G，使得 DG=DE，连接 FG，CG， DE=DG，DFDE， DF 垂直平分 DE， EF=FG， D 是 BC 中点， BD=CD， 在BDE 和CDG 中， ， BDECDG（SAS） ， BE=CG，DCG=DBE， ACB+DBE=90， ACB+DCG=90，即FCG=90， CG2+CF2=FG2， BE2+CF2=EF2； （2）解：连接 AD， AB=AC，D 是 BC 中点， BAD=C=45，AD=BD=CD， ADE+ADF=90，ADF+CDF=90， ADE=CDF， 在ADE 和CDF 中， ， ADECDF（ASA） ， AE=CF，BE=AF，AB=AC=17， S四边形AEDF=SABC， SAEF=512=30， DEF 的面积=SABCSAEF= 【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质， 本题中求证BDECDG 和ADECDF 是解题的关键
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