1、2019-2020 学年湖北省武汉市汉阳区九年级（下）期中数学试卷学年湖北省武汉市汉阳区九年级（下）期中数学试卷 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1 （3 分）下列各数中，比2 小的数是（ ） A3 B1 C0 D1 2 （3 分）二次根式在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是（ ） Ax0 Bx2 Cx2 Dx2 3 （3 分）不透明的袋子中只有 4 个黑球和 2 个白球，这些球除颜色外无其他差别，随机从 袋子中一次摸出 3 个球，下列事件是不可能事件的是（ ） A3 个球都是黑球 B3 个球都是白球 C3 个球中有黑球 D3
2、 个球中有白球 4 （3 分）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性，下列美术 字是轴对称图形的是（ ） A我 B爱 C中 D国 5 （3 分）如图，下列选项中不是正六棱柱三视图的是（ ） A B C D 6 （3 分）已知小明从 A 地到 B 地，速度为 4 千米/小时，A，B 两地相距 3 千米，若用 x（小 时）表示行走的时间，y（千米）表示余下的路程，则 y 与 x 之间的函数表达式是（ ） Ay4x By4x3 Cy4x Dy34x 7 （3 分） 安全防控， 我们一直在坚守， 某居委会组织两个检查组，分别对 “居民居家安全” 和“居民出行安全”的情况进行抽查若
3、这两个检查组在辖区内的某三个小区中各自随 机抽取一个小区进行检查，则他们恰好抽到同一个小区的概率是（ ） A B C D 8 （3 分）已知反比例函数 y，A（x1，y1） ，B（x2，y2）两点在该图象上下列命题： 该图象分别位于第二，第四象限； 过 A 作 ACx 轴，C 为垂足，连接 OA，则ACO 的面积为 2； 若 x10 x2，则 y1y2； 若 y2，则 x2，其中真命题个数是（ ） A1 B2 C3 D4 9 （3 分）如图，在圆 O 上依次有 AB，C 三点，BO 的延长线交圆 O 于 E， 点 C 作 CDAB 交 BE 的延长线于 D，AD 交圆 O 于点 F，连接 OA
4、，OF，若AOF3 FOE，且 AF2，劣弧 CF 的长是（ ） A B C D 10 （3 分）设 a1，a2，a2020都是整数，且每个数 ai（i1，2，2020）都满足1 ai2 若 a1+a2+a2020100， a13+a23+a20203的最小值是 106， a15+a25+a20205 的最小值是 130，则 a19+a29+a20209的最小值是（ ） A154 B178 C226 D610 二、填空题（共二、填空题（共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分分 11 （3 分）计算的结果是 12 （3 分）已知小明最近几次数学考试的成绩分别为：100，95
5、，105，100，90则这组数 据的中位数是 13 （3 分）计算的结果是 14 （3 分）如图，E 为平行四边形 ABCD 边 AD 上一点将ABE 沿 BE 翻折得到FBE， 点 F 在 BD 上，且 EFDF，若BDC84，则C 15 （3 分）如图，二次函数 yax2+bx+c（a0）图象与 x 轴交于 A（1，0） ，对称轴为 直线 x1，与 y 轴的交点 B 在（0，2）和（0，3）之间（不包括这两个点） ，下列结论： 当1x3 时，y0；1a；当 m1 时，a+bm（am+b） ；4ac b28a 其中正确的结论是 16 （3 分）问题背景：如图 1，在OAB 和OCD 中，AO
6、BCOD90，OAB OCD30，连接 AC 交 BD 的延长线于点 M则的值是 问题解决：如图 2，在问题背景的条件下，将OCD 绕点 O 在平面内旋转，点 D 始终在 OAB 的外部，AC，BD 所在直线交于点 M，若 OD1，OB，当点 C 与点 M 重合 时，AC 的长是 三、解答题（共三、解答题（共 8 小题，共小题，共 72 分）分） 17 （3 分）计算： （2a2）37a6+a2a4 18 （3 分）如图，ABCD，ABCD，BFAC 于点 F，DEAC 于点 E，求证：AECF 19 （3 分） “微信运动“被越来越多的人关注和喜爱，某兴趣小组随机调查了某市 50 名教 师某
7、日微信运动中的步数情况并进行统计整理，绘制了如下的统计图表（不完整） ，请根 据以上信息，解答下列问题： （1）写出 a，b 的值； （2）补全频数分布直方图； （3）若该市约有 40000 名教师，估计日行走步数超过 1.2 万步（包含 1.2 万步）的教师 约有多少名？ 步数（万步） 频数 频率 0 x0.4 8 a 0.4x0.8 15 0.30 0.8x1.2 12 0.24 1.2x1.6 10 0.20 1.6x2 3 0.06 2x2.4 b 0.04 20 （3 分） 如图， 在每个小正方形边长为 1 的网格中， OAB 的顶点 O， A， B 均在格点上， 是以 O 为圆心，
8、2 为半径的一段圆弧，请用无刻度的直尺画图（保留连线痕迹） （1）AB 的长为 ； （2） 将线段 OE 绕点 O 逆时针旋转得到 OE， 旋转角为 （090） ， 连接 EA 如图 1，若 E是的中点，请在网格中画出点 F，使OEFOAE； 如图 2，连接 EB，请在网格中画出点 E，使 EA+EB 的值最小 21 （3 分） 如图， ABC 内接于圆 O， CBGA， 直径 CD16， OC 与 AB 相交于点 E， 过点 E 作 EFBC，垂足为 F，延长 CD 交 GB 的延长线于点 P，连接 BD （1）求证：PG 与圆 O 相切； （2）若，且 PDOD，求 OE 的长 22 （3
9、 分）张老板销售某上市新品，期间共销售该产品 60 天，设销售时间为 x 天，第一天 销售单价定为 60 元/千克，售出 18 千克从第 1 天至第 39 天，该产品成本价为 28.5 元 /kg，销售单价每天降低 0.5 元，每天销售量增加 2kg从第 40 天开始，成本价降为 24 元/kg，销售单价稳定在 36 元/千克，每天销售量 y（kg）与第 x 天满足一次函数关系 y 2x+200，设第 x 天销售利润为 w 元 （1）直接写出 w 与 x 的函数关系式； （2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？ （3）该商品在这 60 天的销售过程中，共有多少天每天销售利
10、润不低于 1232 元？ 23（3 分） 如果三角形的两个内角 与 满足 2+90， 那么我们称这样的三角形为 “准 互余三角形” （1）若ABC 是“准互余三角形” ，C90，A60，则B ； （2）如图，在 RtABC 中，ACB90，AC4，BC5若 AD 是BAC 的平分 线，不难证明ABD 是“准互余三角形” 试问在边 BC 上是否存在点 E（异于点 D） ， 使得ABE 也是“准互余三角形”？若存在，请求出 BE 的长；若不存在，请说明理由 （3）如图，在四边形 ABCD 中，AB7，CD12，BDCD，ABD2BCD，且 ABC 是“准互余三角形” ，求对角线 AC 的长 24（
11、3 分） 如图 1， 直线 L： yx+1 与 x 轴， y 轴分别交于点 B， 点 E， 抛物线 L1： yax2+bx+c 经过点 B，点 A（3，0）和点 C（0，3） ，并与直线 L 交于另一点 D （1）求抛物线 L1的解析式； （2）如图 2，点 P 为 x 轴上一动点，连接 AD，AC，CP，当PCAADB 时，求点 P 的坐标； （3）如图 3，将抛物线 L1平移，使其顶点是坐标原点 O，得到抛物线 L2，将直线 DB 向 下平移经过坐标原点 O，交抛物线 L2于另一点 F，点 M（，0） ，点 N 是 L2上且位于 第一象限内一动点，MN 交 L2于 Q 点，QRx 轴分别交
12、 OF，ON 于 S，R，试说明：QS 与 SR 存在一个确定的数量关系 2019-2020 学年湖北省武汉市汉阳区九年级（下）期中数学试卷学年湖北省武汉市汉阳区九年级（下）期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1 （3 分）下列各数中，比2 小的数是（ ） A3 B1 C0 D1 【分析】根据题意，结合实数大小的比较，从符号和绝对值两个方面分析可得答案 【解答】解：比2 小的数是应该是负数，且绝对值大于 2 的数； 分析选项可得，只有 A 符合 故选：A 【点评】本题考查实数大小的比
13、较，是基础性的题目 2 （3 分）二次根式在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是（ ） Ax0 Bx2 Cx2 Dx2 【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可 【解答】解：由题意得，x20， 解得，x2， 故选：B 【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是 解题的关键 3 （3 分）不透明的袋子中只有 4 个黑球和 2 个白球，这些球除颜色外无其他差别，随机从 袋子中一次摸出 3 个球，下列事件是不可能事件的是（ ） A3 个球都是黑球 B3 个球都是白球 C3 个球中有黑球 D3 个球中有白球 【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事
14、件的类型 【解答】解：A、3 个球都是黑球是随机事件； B、3 个球都是白球是不可能事件； C、3 个球中有黑球是必然事件； D、3 个球中有白球是随机事件； 故选：B 【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念必然事件指在一定条 件下，一定发生的事件不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事 件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件 4 （3 分）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性，下列美术 字是轴对称图形的是（ ） A我 B爱 C中 D国 【分析】根据轴对称图形的概念判断 【解答】解：A、我，不是轴对称图形； B、爱，不是
15、轴对称图形； C、中，是轴对称图形； D、国，不是轴对称图形； 故选：C 【点评】本题考查的是轴对称图形的概念，掌握轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形 两部分折叠后可重合是解题的关键 5 （3 分）如图，下列选项中不是正六棱柱三视图的是（ ） A B C D 【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形 【解答】解：正六棱柱三视图分别为：三个左右相邻的矩形，两个左右相邻的矩形，正 六边形 故选：A 【点评】本题考查了几何体的三种视图，注意所有的看到的棱都应表现在三视图中 6 （3 分）已知小明从 A 地到 B 地，速度为 4 千米/小时，A，B 两地相距 3 千米
16、，若用 x（小 时）表示行走的时间，y（千米）表示余下的路程，则 y 与 x 之间的函数表达式是（ ） Ay4x By4x3 Cy4x Dy34x 【分析】直接利用总路程行驶的路程余下的路程，进而得出答案 【解答】解：用 x（小时）表示行走的时间，y（千米）表示余下的路程，则 y 与 x 之间 的函数表达式是：y34x 故选：D 【点评】此题主要考查了根据实际问题列一次函数解析式，正确理解题意表示出行驶路 程是解题关键 7 （3 分） 安全防控， 我们一直在坚守， 某居委会组织两个检查组，分别对 “居民居家安全” 和“居民出行安全”的情况进行抽查若这两个检查组在辖区内的某三个小区中各自随 机抽
17、取一个小区进行检查，则他们恰好抽到同一个小区的概率是（ ） A B C D 【分析】将三个小区分别记为 A、B、C，列举出所有等情况数和他们恰好抽到同一个小 区的情况数，然后根据概率公式即可得出答案 【解答】解：根据题意列表如下：将三个小区分别记为 A、B、C，根据题意列表如下： A B C A （A，A） （B，A） （C，A） B （A，B） （B，B） （C，B） C （A，C） （B，C） （C，C） 由表可知，共有 9 种等可能结果，其中他们恰好抽到同一个小区的有 3 种情况， 所以他们恰好抽到同一个小区的概率为； 故选：A 【点评】此题主要考查了列表法求概率，列表法可以不重复不遗漏
18、的列出所有可能的结 果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要 注意是放回试验还是不放回试验 用到的知识点为： 概率所求情况数与总情况数之比 8 （3 分）已知反比例函数 y，A（x1，y1） ，B（x2，y2）两点在该图象上下列命题： 该图象分别位于第二，第四象限； 过 A 作 ACx 轴，C 为垂足，连接 OA，则ACO 的面积为 2； 若 x10 x2，则 y1y2； 若 y2，则 x2，其中真命题个数是（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】利用反比例函数的性质逐条进行分析后即可确定正确的答案 【解答】解：k40，它的图象在二、四象限正确，是真命题：
19、SAOC2，正确，是真命题； 若 x10 x2，则 y10y2，故错误，是假命题； 若 y2，则 x2 或 x0，故错误，是假命题， 真命题有 2 个， 故选：B 【点评】考查了反比例函数的性质，对于反比例函数 y，当 k0 时，在每一个象限 内，函数值 y 随自变量 x 的增大而减小；当 k0 时，在每一个象限内，函数值 y 随自变 量 x 增大而增大 9 （3 分）如图，在圆 O 上依次有 AB，C 三点，BO 的延长线交圆 O 于 E， 点 C 作 CDAB 交 BE 的延长线于 D，AD 交圆 O 于点 F，连接 OA，OF，若AOF3 FOE，且 AF2，劣弧 CF 的长是（ ） A
20、 B C D 【分析】先根据圆的性质得：CBDABD，由平行线的性质得：ABDCDB， 由一组对边平行且相等可得四边形ABCD是平行四边形， 先设FOEx， 则AOF3x， 根据ABC+BAD180，列方程得：4x+2x+（1803x）180，求出 x 的值，接着 求所对的圆心角和半径的长，根据弧长公式可得结论 【解答】解：， CBDABD， CDAB， ABDCDB， CBDCDB， CBCD， BE 是O 的直径， ， ABBCCD， CDAB， 四边形 ABCD 是菱形， BCAD， AOF3FOE， 设FOEx，则AOF3x， AODFOE+AOF4x， OAOF， OAFOFA（18
21、03x）， OAOB， OABOBA2x， ABC4x， BCAD， ABC+BAD180， 4x+2x+（1803x）180， 解得：x20， AOF3x60，AOE80， COF80260100， OAOF， AOF 是等边三角形， OFAF2， 的长， 故选：C 【点评】本题考查了弧长的计算，平行四边形和菱形的判定和性质、等边三角形的判定 和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是学会设未知数，列方程求角的度数，证明 三角形是等边三角形是解题的突破点，属于中考常考题型 10 （3 分）设 a1，a2，a2020都是整数，且每个数 ai（i1，2，2020）都满足1 ai2 若 a1+a2+
22、a2020100， a13+a23+a20203的最小值是 106， a15+a25+a20205 的最小值是 130，则 a19+a29+a20209的最小值是（ ） A154 B178 C226 D610 【分析】根据已知得出 a15+a25+a20125a+b+32d100+30d，再利用取最小值与最 大值得出 d 与 b 的值，进而分析得出答案 【解答】解：因为1ai2 所以设有 a 个1，b 个 1，c 个 0，d 个 2， 因为 a1+a2+a2020100， 所以a+b+2d100， 所以a+b+8d100+6d，a+b+32d100+30d， 因为 a13+a23+a20203
23、的最小值是 106，a15+a25+a20205的最小值是 130， 所以 d1， ， 所以a+b+512d100+510d610， 所以 a19+a29+a20209的最小值是 610 故选：D 【点评】此题主要考查了整数的问题的综合应用，化简得出 a15+a25+a20125 a+b+32d100+30d 进而分析得出是解题关键 二、填空题（共二、填空题（共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分分 11 （3 分）计算的结果是 3 【分析】由表示 9 的算术平方根，根据算术平方根的定义即可求出结果 【解答】解：329， 3 故填 3 【点评】本题考查了平方根的定义注意一
24、个正数有两个平方根，它们互为相反数；0 的平方根是 0；负数没有平方根 12 （3 分）已知小明最近几次数学考试的成绩分别为：100，95，105，100，90则这组数 据的中位数是 100 【分析】根据中位数的意义，将数据从小到大排序后，处在中间位置的数就是中位数， 一共 5 个数，排序后找出处在第 3 位的数即可 【解答】解：将数据从小到大排序得：90、95、100、100、105，处在中间位置的，即第 3 个数就是中位数，中位数是 100 故答案为：100 【点评】考查中位数的意义及求法，中位数反映一组数据的集中变化趋势，一组数据在 中位数之上的有一半，以下的有一半 13 （3 分）计算
25、的结果是 【分析】根据分式的运算法则即可求出答案 【解答】解：原式， ， 故答案为： 【点评】本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于 基础题型 14 （3 分）如图，E 为平行四边形 ABCD 边 AD 上一点将ABE 沿 BE 翻折得到FBE， 点 F 在 BD 上，且 EFDF，若BDC84，则C 64 【分析】由折叠得出ABEDBEABD42，AEFB，设Cx，则 DBCADBx，得出 84+x+x180，解方程即可得出答案 【解答】解：ABCD， AC，ADBC，ABCD， ADFFBC，ABDBDC84， EFFD， FEDFDE， FED+EDFEFB
26、， EDBEFB， 由折叠得：ABEDBEABD42，AEFB， 设Cx，则DBCADBx，在BDC 中，由内角和定理得： 84+x+x180， 解得：x64， 故答案为：64 【点评】本题考查平行四边形的性质、折叠的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角 和等知识，熟练掌握折叠的性质是解题的关键 15 （3 分）如图，二次函数 yax2+bx+c（a0）图象与 x 轴交于 A（1，0） ，对称轴为 直线 x1，与 y 轴的交点 B 在（0，2）和（0，3）之间（不包括这两个点） ，下列结论： 当1x3 时，y0；1a；当 m1 时，a+bm（am+b） ；4ac b28a 其中正确的结论是 【
27、分析】先由抛物线的对称性求得抛物线与 x 轴令一个交点的坐标为（3，0） ，从而可 知当当1x3 时，y0； 设抛物线的解析式为 ya （x+1）（x3） ， 则 yax22ax3a， 令 x0 得： y3a 由 抛物线与 y 轴的交点 B 在（0，2）和（0，3）之间（不包括这两个点） ，可知 23a 3； 由二次函数的最大值是 ya+b+c，从而可知 a+b+cam2+bm+c（m1） 由2，a0，从而求得 4acb28a 【解答】解：由抛物线的对称性可求得抛物线与 x 轴令一个交点的坐标为（3，0） ，当 1x3 时，y0，故正确； 设抛物线的解析式为 ya（x+1） （x3） ，则 y
28、ax22ax3a， 令 x0 得：y3a 抛物线与 y 轴的交点 B 在（0，2）和（0，3）之间（不包括这两个点） ， 23a3 解得：1a，故正确； 当 x1 时，函数有最大值，即 a+b+cam2+bm+c（m1） ， a+bm（am+b） ，故正确； 2，a0， 4acb28a，故错误， 故答案为 【点评】本题主要考查的是二次函数的图象和性质，掌握抛物线的对称轴、开口方向与 系数 a、b、c 之间的关系是解题的关键 16 （3 分）问题背景：如图 1，在OAB 和OCD 中，AOBCOD90，OAB OCD30，连接 AC 交 BD 的延长线于点 M则的值是 问题解决：如图 2，在问题
29、背景的条件下，将OCD 绕点 O 在平面内旋转，点 D 始终在 OAB 的外部，AC，BD 所在直线交于点 M，若 OD1，OB，当点 C 与点 M 重合 时，AC 的长是 3 【分析】 问题背景： 根据两边的比相等且夹角相等可得AOCBOD， 则； 问题解决：正确画图形，当点 C 与点 M 重合时，有两种情况：如图 3 和 4，同理可得： AOCBOD，则AMB90，可得 AC 的长 【解答】问题背景：RtCOD 中，DCO30，DOC90， tan30， 同理得：， ， AOBCOD90， AOCBOD， AOCBOD， ； 问题解决：点 C 与点 M 重合时，如图 3，同理得：AOCBO
30、D， AMB90， 设 BDx，则 ACx， RtCOD 中，OCD30，OD1， CD2，BCx2， RtAOB 中，OAB30，OB， AB2OB2， 在 RtAMB 中，由勾股定理得：AC2+BC2AB2， （x）2+（x2）2（2）2， 解得：x13，x22， AC3； 点 C 与点 M 重合时，如图 4，同理得：AMB90， 设 BDx，则 ACx， 在 RtAMB 中，由勾股定理得：AC2+BC2AB2， （x）2+（x+2）2（2）2， 解得：x13，x22， AC2（不合题意舍去） ； 综上所述，AC 的长为 3， 故答案为：；3 【点评】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，几
31、何变换问题，正确的理解题意是解 题的关键 三、解答题（共三、解答题（共 8 小题，共小题，共 72 分）分） 17 （3 分）计算： （2a2）37a6+a2a4 【分析】根据积的乘方法则、合并同类项法则计算即可 【解答】解： （2a2）37a6+a2a4 8a67a6+a6 2a6 【点评】本题考查的是幂的乘方与积的乘方、合并同类项，积的乘方法则：把每一个因 式分别乘方，再把所得的幂相乘 18 （3 分）如图，ABCD，ABCD，BFAC 于点 F，DEAC 于点 E，求证：AECF 【分析】由“AAS”可证CDEABF，可得 CEAF，即可得结论 【解答】证明：ABCD， AC， 又ABC
32、D，CEDAFB90， CDEABF（AAS） CEAF， AECF 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明CDEABF 是本题的关键 19 （3 分） “微信运动“被越来越多的人关注和喜爱，某兴趣小组随机调查了某市 50 名教 师某日微信运动中的步数情况并进行统计整理，绘制了如下的统计图表（不完整） ，请根 据以上信息，解答下列问题： （1）写出 a，b 的值； （2）补全频数分布直方图； （3）若该市约有 40000 名教师，估计日行走步数超过 1.2 万步（包含 1.2 万步）的教师 约有多少名？ 步数（万步） 频数 频率 0 x0.4 8 a 0.4x0.8 15 0.30 0
33、.8x1.2 12 0.24 1.2x1.6 10 0.20 1.6x2 3 0.06 2x2.4 b 0.04 【分析】 （1）根据频率频数总数可得答案； （2）根据（1）求出 b 的值，即可补全统计图； （3）用样本中超过 1.2 万步（包含 1.2 万步）的频率之和乘以总人数可得答案 【解答】解： （1）a8500.16， b500.042； （2）根据（1）求出的频数，补全统计图如下： （3）根据题意得： 40000（0.20+0.06+0.04）12000（名） ， 答：估计日行走步数超过 1.2 万步（包含 1.2 万步）的教师约有 12000 名 【点评】此题考查了频率分布直方图
34、，用到的知识点是频率频数总数，用样本估计 整体让整体样本的百分比，读懂统计表，运用数形结合思想来解决由统计图形式给出 的数学实际问题是本题的关键 20 （3 分） 如图， 在每个小正方形边长为 1 的网格中， OAB 的顶点 O， A， B 均在格点上， 是以 O 为圆心，2 为半径的一段圆弧，请用无刻度的直尺画图（保留连线痕迹） （1）AB 的长为 5 ； （2） 将线段 OE 绕点 O 逆时针旋转得到 OE， 旋转角为 （090） ， 连接 EA 如图 1，若 E是的中点，请在网格中画出点 F，使OEFOAE； 如图 2，连接 EB，请在网格中画出点 E，使 EA+EB 的值最小 【分析】
35、 （1）利用勾股定理计算即可 （2）利用数形结合的思想，在 OA 上取一点 F，使得 OF1 即可（可以证明 OE2 OFOB，推出三角形相似） 如图 2 中，在 OB 数取一点 T，使得 OT，连接 TE，AT证明TOEE OB，推出，推出 TEBE，推出 AE+BEAE+ET， 由 AE+ETAT，可得结论 【解答】解： （1）AB5 故答案为 5 （2）点 F 如图所示 如图 2 中，在 OB 数取一点 T，使得 OT，连接 TE，AT OE2，OB3， OE2OTOB， ， TOEBOE， TOEEOB， ， TEBE， AE+BEAE+ET， AE+ETAT，AT， AE+BE， A
36、E+BE的最小值为 【点评】本题考查胡不归问题，相似三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用 辅助线，根据相似三角形解决问题，属于中考常考题型 21 （3 分） 如图， ABC 内接于圆 O， CBGA， 直径 CD16， OC 与 AB 相交于点 E， 过点 E 作 EFBC，垂足为 F，延长 CD 交 GB 的延长线于点 P，连接 BD （1）求证：PG 与圆 O 相切； （2）若，且 PDOD，求 OE 的长 【分析】 （1）要证 PG 与O 相切只需证明OBG90，由A 与BDC 是同弧所对 圆周角且BDCDBO 可得CBGDBO，结合DBO+OBC90即可得证； （2） 证明BE
37、FOAM、 DOB 是等边三角形， 求出 BE10； 利用勾股定理求出 EF， 进而求解 【解答】解： （1）如图，连接 OB，则 OBOD， BDCDBO， BACBDC，BDCGBC， GBCBDC， CD 是O 的直径， DBO+OBC90， GBC+OBC90， GBO90， PG 与O 相切； （2）如上图，过点 O 作 OMAC 于点 M，连接 OA， 则AOMCOMAOC， ， ABCAOC， 又EFBOMA90， BEFOAM， ， AMAC，OAOC， ， 又， 2； PDOD，PBO90， BDOD8， 在 RtDBC 中，BC8， 又ODOB， DOB 是等边三角形， D
38、OB60， DOBOBC+OCB，OBOC， OCB30， ， 设 EFx，则 EC2x、FCx， BF8x， ，且 OC8， BE10， 在 RtBEF 中，BE2EF2+BF2， 100 x2+（8x）2， 解得：x6， 6+8，舍去， x6， EC122， OE8（122）24 【点评】本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是掌握圆周角定理、圆心角定理、相 似三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识点 22 （3 分）张老板销售某上市新品，期间共销售该产品 60 天，设销售时间为 x 天，第一天 销售单价定为 60 元/千克，售出 18 千克从第 1 天至第 39 天，该产品成本价为 2
39、8.5 元 /kg，销售单价每天降低 0.5 元，每天销售量增加 2kg从第 40 天开始，成本价降为 24 元/kg，销售单价稳定在 36 元/千克，每天销售量 y（kg）与第 x 天满足一次函数关系 y 2x+200，设第 x 天销售利润为 w 元 （1）直接写出 w 与 x 的函数关系式； （2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？ （3）该商品在这 60 天的销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于 1232 元？ 【分析】本题是通过构建函数模型解答销售利润的问题 （1）依据题意根据销售利润销售量（售价进价） ，列出销售利润 w（元）与销售 价 x（元/kg）之间的
40、函数关系式， （2）由（1）中的函数关系式，依据函数的增减性求得最大利润 （3）易知，当 40 x60 时，w 恒小于 1232，令 w1232 求解得 x 即可 【解答】解： （1） 由题意可得， 可列方程， w 整理得，w， （2）由（1）得 w， 当 1x39 时，wx2+56x+512（x28）2+1296 10 x28 时，有最大值 即当 x28 时，最大利润为 1296 元 当 40 x60 时，w24x+2400 240 w 随着 x 的增大而减小 x40 时有最大值 即 w2440+24001440 综上所述，销售该商品第 40 天时，当天销售利润最大，最大利润是 1440 元
41、 （3）当 40 x60 时，w24x+24001232，得 x， x 为整数， 40 x48 当 w1232 时，有 1232（x28）2+1296，解得 x120，x236 20 x36 时，w1232 故共有 26 天，每天销售利润不低于 1232 元 【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用最大销售利润的问题常利函 数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选 择最优方案其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值） 23（3 分） 如果三角形的两个内角 与 满足 2+90， 那么我们称这样的三角形为 “准 互余三角形” （1）若ABC
42、 是“准互余三角形” ，C90，A60，则B 15 ； （2）如图，在 RtABC 中，ACB90，AC4，BC5若 AD 是BAC 的平分 线，不难证明ABD 是“准互余三角形” 试问在边 BC 上是否存在点 E（异于点 D） ， 使得ABE 也是“准互余三角形”？若存在，请求出 BE 的长；若不存在，请说明理由 （3）如图，在四边形 ABCD 中，AB7，CD12，BDCD，ABD2BCD，且 ABC 是“准互余三角形” ，求对角线 AC 的长 【分析】 （1）根据“准互余三角形”的定义构建方程即可解决问题； （2）只要证明CAECBA，可得 CA2CECB，由此即可解决问题； （3）如图
43、中，将BCD 沿 BC 翻折得到BCF只要证明FCBFAC，可得 CF2 FBFA，设 FBx，则有：x（x+7）122，推出 x9 或16（舍弃） ，再利用勾股定 理求出 AC 即可； 【解答】解： （1）ABC 是“准互余三角形” ，C90，A60， 2B+A90， 解得，B15， 故答案为：15； （2）如图中， 在 RtABC 中，B+BAC90，BAC2BAD， B+2BAD90， ABD 是“准互余三角形” ， ABE 也是“准互余三角形” ， 只有 2B+BAE90， B+BAE+EAC90， CAEB，CC90， CAECBA，可得 CA2CECB， CE， BE5 （3）如图
44、中，将BCD 沿 BC 翻折得到BCF CFCD12，BCFBCD，CBFCBD， ABD2BCD，BCD+CBD90， ABD+DBC+CBF180， A、B、F 共线， FAC+ACF90 2ACB+CAB90， 只有 2BAC+ACB90， FCBFAC，FF， FCBFAC， CF2FBFA，设 FBx， 则有：x（x+7）122， x9 或16（舍弃） ， AF7+916， 在 RtACF 中，AC20 【点评】本题考查四边形综合题、相似三角形的判定和性质、 “准互余三角形”的定义等 知识，解题的关键是理解题意，学会利用翻折变换添加辅助线，构造相似三角形解决问 题，学会利用已知模型构
45、建辅助线解决问题，属于中考压轴题 24（3 分） 如图 1， 直线 L： yx+1 与 x 轴， y 轴分别交于点 B， 点 E， 抛物线 L1： yax2+bx+c 经过点 B，点 A（3，0）和点 C（0，3） ，并与直线 L 交于另一点 D （1）求抛物线 L1的解析式； （2）如图 2，点 P 为 x 轴上一动点，连接 AD，AC，CP，当PCAADB 时，求点 P 的坐标； （3）如图 3，将抛物线 L1平移，使其顶点是坐标原点 O，得到抛物线 L2，将直线 DB 向 下平移经过坐标原点 O，交抛物线 L2于另一点 F，点 M（，0） ，点 N 是 L2上且位于 第一象限内一动点，M
46、N 交 L2于 Q 点，QRx 轴分别交 OF，ON 于 S，R，试说明：QS 与 SR 存在一个确定的数量关系 【分析】 （1）由一次函数解析式求出 B 点坐标，再用待定系数法便可求得二次函数的解 析式； （2）先联立方程组求出 D 点的坐标，两种情况讨论：当点 P 在点 A 的右边，PCA ADB 时，PACABD；当点 P 在点 A 的左边，PCAADB 时，记此时的 点 P 为 P2，则有P2CAP1CA； （3）由平移的性质求出抛物线 L2的解析式和直线 OF 的解析式，不妨设 N（n，n2） ，用 待定系数当求出 MN 的解析和 ON 的解析式，再联立方程组求出 Q 点的坐标，根据
47、 QR x 轴分别交 OF，ON 于 S，R，便可得到 S 与 R 的坐标，最后由两点距离公式便可求得 QS 与 SR，由此得出 QSSR 【解答】解： （1）令 y0，有 yx+10，得 x1， B（1，0） ， 把点 A（3，0） 、B（1，0）和点 C（0，3）代入 yax2+bx+c 中，得 ， 解得， 抛物线 L1的解析式为：yx2+2x3； （2）由，得， D（4，5） ， yx+1， E（0，1） ，B（1，0） ， OBOE， OBD45 BD5 A（3，0） ，C（0，3） ， OAOC，AC3，AB4 OAC45， OBDOAC 如图 2，当点 P 在点 A 的右边，PCAADB 时，PACABD ， ， AP， ； 当点P在点A的左边， PCAADB时， 记此时的点P为P2， 则有P2CAP1CA 过点 A 作 x 轴的垂线，交 P2C 于点 K，则CAKCAP1， 又 AC 公共边， CAKCAP1（ASA） AKAP1， K（3，） ， 直线 CK：yx3， P2（15，0） P 的坐标： （，0）或（15，0） ； （3）QSSR理由如下： 将抛物线 L1平移，使其顶点是坐标原点 O，得到抛物线 L2，将直线 DB 向下平移经过 坐标原点 O，交抛物线 L2于另一点 F， 抛物线 L2的解
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