1、第第 1 单元单元 图形的相似图形的相似 (时间 90 分钟,满分 120 分) 一、填空题(每小题 3 分,共 30 分) 1、 如图1, 在ABC中, AB: DB=1: 2, DEBC, 若ABC的面积为9, 则四边形DBCE的面积为 。 2、由三角形三边中位线所围成的三角形的面积是原三角形面积的 。 3、图 2 中,x= 。 2 22 4、在ABC 中,ABBCAC,D 是 AC 的中点,过 D 作直线 l,使截得的三角形与原三角形相似,这样的直 线 l 有 条。 5、已知 M 是线段 AB 延长线上的一点,且 AM:BM=7:3,那么 AM:AB= 。 6、雨后天晴,一学生在运动场上
2、玩耍,从他前面 2m 远处的一块小积水里,他看到了旗杆顶端的倒影,如 果旗杆底端到积水处的距离为 40m,该学生的眼部高度为 1.5m,那么旗杆的高为 。 7、已知两个相似多边形的周长比为 1:2,它们的面积和为 25,则这两个多边形的面积分别是 和 。 8、 如图3, 已知在等腰直角三角形ABC中, A=90, 四边形EFDH为内接正方形, 则AE: AB= 。 9、如果点 C 是线段 AB 靠近 B 的黄金分割点,且 AC=2,那么 AB= 。 10、如图 4,将矩形 ABCD 沿直线 AE 折叠,顶点 D 恰好落在 BC 边上 F 点处,已知 CE=3cm,AB=8cm,则图 中阴影部分
3、面积为 cm 2。 A B C D E 图 1 1 ( ) 30 45 x 30 ) ( 105 图 2 A B C D F E H 图 3 A B C F E D 图 4 二、选择题(每小题 4 分,共 40 分) 11、如图 5,点 A、B、C、D、E、F、G、H、K 都是 78 方格纸上的格点,为使DEMABC,则点 M 应是 F、G、H、K 四点中的( ) A、F B、G C、H D、K 图 5 12、已知ABCDEF,AB:DE=1:2,则ABC 与DEF 的周长比等于( ) A、1:2 B、1:4 C、2:1 D、4:1 13、 (天津中考)如图 6,ABCD,AEFD,AE、FD
4、 分别交 BC 于点 G、H,则图中共有相似三角形( ) A、 4 对 B、5 对 C、6 对 D、7 对 14、已知 4 a = 5 b = 6 c ,且 a-b+c=10,则 a+b-c 的值为( ) A、6 B、5 C、4 D、3 15、两个相似五边形,一组对应边的长分别为 3cm 和 4.5cm,如果它们的面积之和是 78cm 2,则较大的五边 形面积是( )cm 2。 A、44.8 B、52 C、54 D、42 16、 如图7所示, 它是小孔成像的原理, 根据图中尺寸(ABCD), 如果已知物体AB=30, 则CD的长应是 ( ) A、15 B、30 C、20 D、10 17、有同一
5、三角形地块的甲、乙两地图,比例尺分别为 1:100 和 1:500,那么甲地图与乙地图表示这一 地块的三角形的面积之比是( ) A、25:1 B、5:1 C、1:25 D、1:5 A B C K H G F D E A B C D E G H F 图 6 A B C D O 图 7 12 36 18、如图 8,在等边ABC 中,P 为 BC 上一点,D 为 AC 上一点,且APD=60,BP=1,CD= 3 2 ,则ABC 的边长是( ) A、3 B、4 C、5 D、6 19、一个钢筋三角架三边长分别为 20cm、50cm、60cm,现要再做一个与其相似的钢筋三角架,而只有长为 30cm 和
6、50cm 的两根钢筋,要求以其中的一根为一边,从另一根截下两段(允许有余料)作为另两边,则 不同的截法有( )种 A、 一 B、二 C、三 D、四 20、如图 9,在正方形 ABCD 中,点 E、F 分别在边 BC、CD 上,如果 AE=4,EF=3,AF=5,那么正方形 ABCD 的面积等于( ) A、 16 225 B、 15 256 C、 17 256 D、 16 289 三、解答题(每小题 7 分,共 35 分) 21、 (1)若 b a = d c ,判断代数式 cdab ca 22 - 22 db cdab +1 值的符号 (2)若 c ba = a cb = b ac ,求 ab
7、c accbba)()( 的值。 22、已知四边形 ABCD 与四边形 ABCD相似,且 AB:BC:CD:DA=20:15:9:8,四边形 ABC D的周长为 26,求四边形 ABCD各边的长。 23、如图 10,为了测量一棵树 AB 的高度,测量者在 D 点立一高 CD 等于 2m 的标杆,现测量者从 E 处可以 看到标杆顶点 C 与树顶 A 在同一条直线上,如果测得 BD=20m,FD=4m,EF=1.8m,求树高。 24、如图 11,在平行四边形 ABCD 中,过点 B 作 BECD,垂足为 E,连结 AE,F 为 AE 上一点,且BFE= C (1) 求证:ABFEAD (2) 若
8、AB=4,S ABCD= 3 316 ,求 AE 的长 (3) 在(1) 、 (2)条件下,若 AD=3,求 BF 的长(计算结果可含根号) A B C D P ) 60 图 8 A B E C F D 图 9 A B C D E F 图 10 A B C D E F 图 11 25、如图 12,ABC 中,BAC=90,AB=AC=1,点 D 是 BC 上一个动点(不与 B、C 重合) ,在 AC 上取 E 点,使ADE=45 (1) 求证:ABDDCE (2) 设 BD=x,AE=y,求 y 与 x 的函数关系式 四、拓广探索题(共 15 分) 26、 (7 分)已知,如图 13,ABBD
9、,CDBD,垂足分别为 B、D,AD 和 BC 交于点 E,EFBD,垂足为 F, 我们可以证明 AB 1 + CD 1 = EF 1 成立,若将图 13 中的垂直改为斜交,如图 14,ABCD,AB 与 BC 交于点 E, 过点 E 作 EFAB 交 BD 于 F,则 (1) AB 1 + CD 1 = EF 1 还成立吗?如果成立,给出证明;如果不成立,请说明理由。 (2) 请找出 SABC,SBED和 SBDC间的关系,并给出证明。 27、 (8 分)若矩形的一个短边与长边的比值为 2 15 , (黄金分割数) ,我们把这样的矩形叫做黄金矩形 (1) 操作:请你在如图 15 所示的黄金矩
10、形 ABCD(ABAD)中,以短边 AD 为一边作正方形 AEFD。 (2) 探究:在(1)中的四边形 EBCF 是不是黄金矩形?若是,请予以证明;若不是,请说明理由。 (3) 归纳:通过上述操作及探究,请概括出具体有一般性的结论(不需证明) A B C D E 图 12 A B C D E F 图 13 A B C D E F 图 14 A B C D 图 15 参考答案参考答案 一、填空题 110 8 4 1 2 4 7:4 30 5,20 3 1 1+5 30 提示:4、如图 1,过 D 分别作 BC、AB 的平分线有两条,另外,作ADE=ABC 又一条,作CDF=ABC 又 一条,共
11、4 条 8、 AB AE = BC EH = DCFDBF EH = EH EH 3 = 3 1 9、 AB AC = AC BC = 2 BC ,又 AB AC = 2 15 2 BC = 2 15 BC=5-1 AB=2+5-1=1+5 10、如题图:EF=DE=8-3=5 EC=3,FC=4,易证ABFEFC BF:3=8:4 BF=6 S阴影= 2 1 68+ 2 1 43=30 二、选择题 1120 CACAC DAABC 提示:18、ABC 为等边三角形 B=C=60,又APD=60 BAP+APB=APB+CPD=120,BAP=DPC,APBPCD 3 2 :1=(AB-1)
12、:AB AB=3 20、AE 2+EF2=42+32=52=AF2 AEF=90,易证ABEEFC AB:EC=4:3 设 AB=x x: (x- 2 16x )=4:3 x 2= 17 256 三、解答题 21、解: (1)设 b a = d c =k,则 a=bk,c=dk,代入,得,求值式= kdkb kdkb 22 2222 - 22 22 db kdkb +1=k-k+1=10, 故所求式的符号为正 (2) 当 a+b+c0 时, 因为 abc0, 所以由等比性质得: cba cba )(2 = c ba = a cb = b ac 所以 a+b=2c, b+c=2a,c+a=2b,
13、代入得,求式= abc bac222 =8 A B C D E F 图 1 当 a+b+c=0,a+b=-c,b+c=-a,c+a=-b,代入所求式= abc bac)( =-1 22、解:四边形 ABCD 与四边形 ABCD相似,且 AB:BC:CD:DA=20:15:9:8, AB:BC:CD:DA=20:15:9:8 设 AB=20 x,BC=15x,CD=9x,DA=8x,由四边形 ABCD的周长为 26,得 20 x+15x+9x+8x=26,解得 x= 2 1 AB=10,BC=7.5,CD=4.5,DA=4 23、 解: 如图 2, 过 E 作 ENAB, 交 AB 于 N 点交
14、 CD 于 M 点, 由题意知, MN=BD=20, EM=FD=4, MB=MD=EF=1.8, 则 CM=0.2 由 CMAN,得ECMEAN CM:AN=EM:EN AN= CMEN EM =1.2 AB=AN+NB=1.2+1.8=3 所以树高为 3m 24、证明: (1)四边形 ABCD 为平行四边形,BAF=AED C+D=180,C=BFE,BFE+BFA=180,D=BFA ABFEAD (2)解:S ABCD= 3 316 ,ABBE= 3 316 ,AB=4 BE= 3 34 AE 2=AB2+BE2=42+( 3 34 ) 2 AE= 3 38 (3)解:由(1)有 EA
15、 AB = AD BF ,又 AD=3,BF= EA ADAB =43 38 3 = 2 33 25、 (1)证明:BAC=90,AB=AC,B=C=45 ADB+DAB=135,ADE=45,ADB+EDC=135 DAB=EDC,ABDDCE (2)解:ABDDCE, CD AB = CE BD AB=AC=1,BAC=90, BC=2,CD=2-x, x2 1 = CE x CE=2x-x 2 AE=AC-CE=1-(2x-x 2)=x2- 2x+1 即 y=x 2- 2x+1(0 x2) 四、拓广探索题 26、 (1)解:成立,证明如下 A B C D E F 图 2 M N 由 AB
16、EFCD 得, AB EF = DB DF , CD EF = DB BF 两式相加,得 AB EF + CD EF = DB DF + DB BF = DB BFDF = DB DB =1 EFCD+EFAB=ABCD,两边同除以 ABCDEF 得 AB 1 + CD 1 = EF 1 (2)解: BDA S 1 + BDC S 1 = BDE S 1 证明如下:作 AGBD 于 G,EHBD 于 H,CKBD 交 BD 延长线于 k,由平行线性质得: AG EH = DA DE = DB DF , CK EH = BC BE = BD BF 所以 AG EH + CK EH =1, AGB
17、D 2 1 1 + CKBD 2 1 1 = EHBD 2 1 1 ABD S 1 + BDC S 1 = BDE S 1 27、解(1)以 AD 为边可作出两个正方形 AEFD 与 AEFD(ABAD) ,如图 4 所示 (2)矩形 EBCF 不是黄金矩形,理由如下: 设 AB=a,AD=b(ab) ,则 BE=BA+AE=a+b,BE=BA-EA=a-b, 由 ABCD 为黄金矩形,得 a b = 2 15 BE BC = ba b = a b (1+ a b )= 2 15 (1+ 2 15 )= 2 53 2 15 矩形 EBCF 不是黄金矩形 矩形 EBCF是黄金矩形 证明:如图 4, BC BE = b ba =(1- a b ) a b =(1- 2 15 ) 2 15 = 2 15 EBCF是黄金矩形 (3)由(1) 、 (2)可发现结论:若以黄金矩形的短边为边在矩形内作(截割)正方形,则剩余矩形必为 黄金矩形。 A B G E F H D C K 图 3 A B C D E F F E 图 4