1、知识点知识点 29 平行四边形平行四边形 一、选择题一、选择题 5（2020 温州）如图，在ABC中，A40 ，ABAC，点D在AC边上，以CB， CD为边作BCDE，则E的度数为 A40 B50 C60 D70 答案D 解析本题考查了等腰三角形的性质以及平行四边形的性质， 由A40 ， ABAC，求得C70 ，又因为四边形BCDE是平行四边形，所以E C70 ，因此本题选D 7（2020 衡阳）如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O.下列条件不能判断四 边形ABCD是平行四边形的是 （ ） A. ABDC ，ADBC B. AB= DC，AD= BC C. ABDC，AD =B
2、C D.OA= OC， OB =OD (第7题图) 答案C解析本题考查了平行四边形的判定注意掌握举反例的解题方法是解本题的关 键ABDC ADBC，四边形ABCD是平行四边形，故A选项能判定这个四边形是平 行四边形；AB=DC AD=BC，四边形ABCD是平行四边形，故B选项能判定这个四边形 是平行四边形；、ABDC AD=BC，四边形ABCD是平行四边形或等腰梯形，故C选项 不能判定这个四边形是平行四边形AO=CO BO=DO，四边形ABCD是平行四边形，故 D选项能判定这个四边形是平行四边形；故选C 12(2020 自贡)如图，在平行四边形 ABCD 中，AD2，AB= 6，B 是锐角，A
3、EBC 于 点 E，F 是 AB 的中点，连结 DF、EF若EFD90 ，则 AE 长为（ ） A2 B5 C32 2 D33 2 答案 B解析本题考查了平行四边形、全等三角形、勾股定理、一元二次方程等知识 解：如图，延长 EF 交 DA 的延长线于 Q，连接 DE，设 BEx 四边形 ABCD 是平行四边形，DQBC，QBEF， AFFB，AFQBFE，QFAEFB（AAS），AQBEx， E D C B A EFD90 ，DFQE，DQDEx+2，AEBC，BCAD，AEAD， AEBEAD90 ，AE2DE2AD2AB2BE2，（x+2）246x2， 整理得：2x2+4x60，解得 x1
4、 或3（舍弃），BE1， AE= 2 2= 6 = 5，因此本题选 B 10 （2020泰安）如图，四边形 ABCD 是一张平行四边形纸片，其高 AG2cm，底边 BC 6cm， B45， 沿虚线EF将纸片剪成两个全等的梯形 若BEF30， 则AF的长为 （ ） A1cm B 6 3 cm C （2 3 3）cm D （2 3 ）cm 答案 D 解析本题考查了图形全等的概念、 平行四边形的性质以及解直角三角形， 过点 F 作 FHBC， 垂足为 H.设 AF=x，因为四边形ABCD是一张平行四边形纸片，所以 AD=BC.因为沿虚线EF将 纸片剪成两个全等的梯形，所以 BE=DF，所以 AF=E
5、C=x因为 AG 是 BC 边上的高，FHBC，所 以 GH=AF=x.因为B=45，AG=2，所以 BG=2，则 HE=6-2-2x=4-2x. 因为 tanBEF= HF HE ，所 以 HE= tan HF BEF = 2 3 3 =2 3 ，则 4-2x=2 3 ，解得 x=2- 3 ，因此本题选 D 7.(2020潍坊)如图，点 E 是ABCD的边AD上的一点，且 1 2 DE AE ，连接BE并延长交CD的 延长线于点 F，若3,4DEDF，则ABCD的周长为（ ） A 21 B. 28 C. 34 D. 42 答案B解析利用平行四边形、相似的有关性质解决问题. 1 2 DE AE
6、 ，DE=3，AE=6.四 边形 ABCD 是平行四边形，AD=BC,AB=CD,ABCD,DEFAEB, DEDF AEAB , 又 DF=4，AB=8，ABCD的周长为 28.故选 B. 12（2020临沂）如图，P是面积为S的ABCD内任意一点，PAD的面积为 1 S，PBC 的面积为 2 S，则（ ） A BC D E F GEC F H A B D G F E D C B A （第 10 题） A. 12 2 S SS B. 12 2 S SSC. 21 2 S SS D. 21 SS的大小与P点位置有关 答案C解析可以利用割补法对平行四边形进行分割， 然后使分割后的图形与PAD的面
7、积 1 S， PBC的面积 2 S发生关联，然后求出其数量关系，如下图，过点 P 作 AD 的平行线， 分别交ABCD的边于点 M、N： 21 11 ( 2 1 222 ) AMNDMbCNAMNDMbCN S SSSSSS. 8（2020 玉林）已知：点 D，E 分别是ABC 的边 AB，AC 的中点，如图所示. 求证：DEBC，且 DE 1 2 BC. 证明：延长 DE 到点 F，使 EFDE，连接 FC，DC，AF， 又 AEEC，则四边形 ADCF 是平行四边形，接着以下是排序错误的证明过程： DF BC CF AD，即 CF BD 四边形 DBCF 是平行四边形 DEBC，且 DE
8、1 2 BC 则正确的证明顺序应是：（ ） A B C D 答案C 解析根据题目可知四边形 ADCF，从而得到或都可以，从而再根据一组对边平行且相 等得到四边形 DBCF 为平行四边形，从而 DFBC，且 DFBC，从而问题得证. 11 （2020 海南）如图，在ABCD 中，AB10，AD15，BAD 的平分线交 BC 于点 E， 交 DC 的延长线于点 F，BGAE 于点 G，若 BG8，则CEF 的周长为( ) A16 B17 C24 D25 答案A 解析 在 RtABG 中，AG 22 ABBG 22 1086.四边形 ABCD 是平行四边形，AE 平分BAD，BAEADEAEB，AB
9、BE，则 CEBCBE15105.又 BGAE，AE2AG12，则ABE 的周长为 32.ABDF，ABECFE，ABE 的周长：CEF 的周长BE：CE2：1，CEF 的周长为 16. 7 （2020遂宁）如图，在平行四边形 ABCD 中，ABC 的平分线交 AC 于点 E，交 AD 于点 F，交 CD 的延长线于点 G，若 AF2FD，则的值为（ ） A B C D 【解析】由 AF2DF，可以假设 DFk，则 AF2k，AD3k， 四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC，ABCD，ABCD， AFBFBCDFG，ABFG， BE 平分ABC， ABFCBG， ABFAFBDFGG，
10、ABCD2k，DFDGk， CGCD+DG3k， ABDG， ABECGE， ， 故选：C 二、填空题二、填空题 17 （2020黔东南州）以ABCD 对角线的交点 O 为原点，平行于 BC 边的直线为 x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系若 A 点坐标为（2，1） ，则 C 点坐标 为 答案（2，1）解析 ABCD 是中心对称图形，它的对角线交点 O 为原点， 点 A（2，1）与点 C 成中心对称，点 C 的纵、横坐标与点 A 的互为相反数 点 C 的坐标为（2，1）. （2020四川甘孜州）12 如图，在ABCD 中，过点 C 作 CEAB，垂足为 E， 若EAD 40 ，则BCE 的度数
11、为_ 答案50 解析本题考查了平行四边形的性质 ABCD中， ADBC， EAD40 ， EBD40 CEAB，BCE50 故答案为 50 18 （2020扬州）如图，在 ABCD 中，B=60 ，AB=10，BC=8，点 E 为边 AB 上的一个 动点，连接 ED 并延长至点 F ，使得 DF= 1 4 DE，以 EC、EF 为邻边构造 EFGC，连接 EG， 则 EG 的最小值为 . （第 18 题图） 答案9 3 解析本题考查了解直角三角形、三角形相似的判定与性质三角形、平行四边形面 积公式、垂线段最短等知识，解题的关键是将问题转化为垂线段最短来解决过 A 作 AMBC 于 M， 设 E
12、G、DC 交于 H 在 RtAMB 中， B=60 ， AB=10， sinB= 3 2 AM AB ， AM=5 3， EFGC 中，DF= 1 4 DE，ED= 4 5 DF，又 EF=GC， 4 5 ED GC ，EFCG， EHDGHC， 4 5 DHEDEH HCCGHG ，CD=AB=10 是定长，故不管动点 E 在 AB 上如 何运动，H 始终是定点，H 又在 EG 上，它到 AB 的最短距离就是 HN，S ABCD= AMBCHNAB， 5 3 8 4 3 10 AMBC NH AB ，当动点 E 运动到与 N 重合（见答 图 2） ，EG 最短，此时，HG= 5 4 NH=5
13、 3，EG 的最小值= HG+NH=9 3因此本题答案为 9 3 （第 18 题答图 1） （第 18 题答图 2） 16.（2020株洲）如图所示，点 D、E分别是VABC的边 AB、AC 的中点，连接 BE，过点 C 做/CFBE，交 DE的延长线于点 F，若 3EF ，则 DE的长为_ 答案 3 2 解析先证明 DE为ABC的中位线，得到四边形 BCFE 为平行四边形，求出 BC=EF=3，根 据中位线定理即可求解 D、E分别是VABC的边 AB、AC 的中点， DE 为VABC的中位线， DEBC， 1 2 DEBC， /CFBE， 四边形 BCFE为平行四边形， BC=EF=3， 1
14、3 22 DEBC 故答案为： 3 2 17（2020 天津） 如图， 的顶点 C 在等边的边上， 点 E 在的延长线上， G 为的中点，连接 若，则的长为_ 答案 3 2 解析本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的性质、中位线等知识点，延长 DC 交 EF 于点 M，利用平行四边形、等边三角形性质求出相应的线段长，证出CG是DEM的中位线 是解题的关键延长 DC 交 EF 于点 M（图见详解） ，根据平行四边形与等边三角形的性质， 可证CFM 是等边三角形，BF=BE=EF=BC+CF=5，可求出 CF=CM=MF=2，可得 C、G 是 DM 和 DE 的中点，根据中位线的性质，可得出 C
15、G=，代入数值即可得出答案如下 图所示，延长 DC 交 EF 于点 M， 平行四边形的顶点 C 在等边的边上， ， 是等边三角形， 在平行四边形中， 又是等边三角形， ， G 为的中点， ， 是的中点，且是的中位线， 故答案为： ABCDBEFBFAB DECG3AD2ABCFCG 1 2 EM 3AD2ABCF ABCDBEFBF /DM AE CMF 2ABCFCMMF ABCD2ABCD3ADBC BEF 3 25BFBEEFBCCF 5 23EMEFMF DE2CDCM C DM CGDEM 13 22 CGEM 3 2 （2020包头）18、如图，在平行四边形ABCD中，2,AB A
16、BC的平分线与BCD的平 分线交于点 E，若点 E恰好在边AD上，则 22 BECE的值为 答案16 解析四边形 ABCD 是平行四边形，AB=CD=2,AD=BC,ADBC，ABCD,ABC+ BCD=180, AEB=EBC，DEC=ECB.又BE、CE 分别是ABC 与DCB 的平分线， ABE=EBC，DCE=ECB，EBC+BCE=90，ABE=AEB，DCE=DEC， AB=AE=2,DC=DE=2, 2222 416.BCBECE 14.（2020 牡丹江）如图，在四边形 ABCD 中，AD/BC，在不添加任何辅助线的情况下，请 你添加一个条件_，使四边形 ABCD 是平行四边形
17、（填一个即可）. 答案AD=BC（等）解析当添加条件 AD=BC 时，根据一组对边平行且相 等的四边形是平行四边形，可得四边形 ABCD 是平行四边形. 15 （2020 凉山州）如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，OEAB 交 AD 于点 E 若 OA1， AOE 的周长等于 5， 则平行四边形 ABCD 的周长等于 答案16 解析四边形 ABCD 是平行四边形， OAOC， ABCD， ADBC OEAB， E D CB A D A B C 第 15 题图 O E D CB A （第14 题图） OE 是 ACD 的中位线AE 1 2 AD，OE 1 2 CDO
18、A1， AOE 的周长等于 5，AE OE4ADCD8平行四边形 ABCD 的周长16故答案为 16 14 （2020武汉）在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中，有下面的问题：如图，AC 是ABCD 的对角线，点 E 在 AC 上，ADAEBE，D102 ，则BAC 的大小是 _ 答案26 解析本题考查了等腰三角形性质，平行四边形性质等，ABCD，ADBC，ADBC， DCAB，又ADAEBE，BCAEBE，BACEBA，BECBCE，AD BC，DCAB，DCB78 ，BACDCA，BECBACEBA，BCE 2BAC，3BAC78 ，解得BAC26 ，因此本题答案为 26 三、解答题三、
19、解答题 19（2020衢州）如图，在55的网格中，ABC的三个顶点都在格点上 （1）在图1中画出一个以AB为边的ABDE，使顶点D，E在格点上； （2） 在图2中画出一条恰好平分ABC周长的直线l （至少经过两个格点） 解析（1）把线段AB上下左右平移，使得平移后的线段都在图形中的格点上即 可； （2） 要把ABC的周长平分， 先要把AB的长度平分， 即直线需要过AB的中点， 然后再确定把AC和BC的长度之和平分即可. 答案解： D A E C B 图1 图2 （1）以上情况，画出一种即可（点的位置分别为D1-D7），结论：平行四边形 ABDE就是所求作的图形. （2）画出直线l即可（答案不唯
20、一）.结论：直线l就是所求作的图形. 21（2020重庆A卷）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，分别过点A， C作AEBD，CFBD，垂足分别为E，FAC平分DAE （1）若AOE=50，求ACB的度数； （2）求证：AE=CF 解析（1）在AOE中，由AEO和AOE的度数求得EAO的度数，再由AC平分DAE求得 OAD的度数， 进而由ADBC得到ACBOAD， 问题得解； （2） 先根据AAS证明AEOCFO， 再根据相似三角形对应边相等得到AECF. 答案解： （1） AEBD， AEO=90.AOE50， EAO180-90-50=40. AC平分DAE，OADE
21、AO=40.四边形ABCD为平行四边形，ADBC，ACB OAD=40. （2）四边形ABCD是平行四边形，AO=CO.AEBD，CFBD，AEOCFO90. 在AEO和CFO中， = AEOCFO EOAFOC AOCO ， ， ， AEOCFO.AECF. 18 （2020 陕西）如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，BCE 使边 BC 上一点，且 DEDC求证：ADBE 第 18 题图 解析由 DEDC 可得CDEC，而BC，则BDEC，由“同位角相等，两直 线平行”可推出 ABDE，而 ADBC，则四边形 ABED 为平行四边形，所以有 ADBE 答案解：DEDC，CDECBC，BD
22、EC， ABDEADBC，四边形 ABED 为平行四边形，ADBE 18 （2020 贵阳） （10 分）如图，四边形 ABCD 是矩形，E 是 BC 边上一点，点 F 在 BC 的延 长线上，且 CFBE E D3 D7 D2 D6 D1 D4 D5 B A C l B A C ECB AD （1）求证：四边形 AEFD 是平行四边形； （2）连接 ED，若AED90 ，AB4，BE2，求四边形 AEFD 的面积 答案解： （1）证明：四边形 ABCD 是矩形，ADBC，ADBC， BECF，BE+ECEC+EF，即 BCEF，ADEF，四边形 AEFD 是平行四边形； （2）解：连接 DE
23、，如图， 四边形 ABCD 是矩形，B90 ，在 Rt ABE 中，AE= 42+ 22=25， ADBC，AEBEAD，BAED90 ，ABEDEA， AE：ADBE：AE，AD= 2525 2 =10，四边形 AEFD 的面积AB AD2 1020 20 （2020重庆 B 卷）如图，在平行四边形 ABCD 中，AE，CF 分别平分BAD 和DCB， 交对角线 BD 于点 E，F （1）若BCF=60，求ABC 的度数； （2）求证：BE=DF 解析本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，平行线的性质，全等三角形的判定等 知识 （1） 先由 CF 平分BCD 和BCF=60求得BCD
24、得度数， 再由 ABCD 求得ABC+ BCD=180，问题得解； （2）先根据 ASA 证明ABECDF，再根据相似三角形对应边相 等得到 BEDF. 答案（1）解： CF 平分BCD，BCD=2BCF. BCF=60，BCD=260=120. 四边形 ABCD 是平行四边形，ABCD,ABC+BCD=180. ABC=180-120=60. （2）证明：四边形 ABCD 是平行四边形，AB=CD，ABCD，BAD=DCB. ABE=CDF. AE，CF 分别平分BAD 和DCB，BAE= 1 2 BAD= 1 2 DCB=DCF. 在ABE 和CDF 中，ABE=CDF，AB=CD，BAE
25、=DCF， ABECDF. BE=DF. 23 （2020泰安） （12 分）若ABC 和AED 均为等腰三角形，且BACEAD90 （1）如图（1） ，点 B 是 DE 的中点，判断四边形 BEAC 的形状，并说明理由； （2）如图（2） ，若点 G 是 EC 的中点，连接 GB 并延长至点 F，使 CFCD 求证：EBDC，EBGBFC 解析本题考查了等腰直角三角形的性质、三角形全等的条件与性质、平行四边形的判定方 法以及等腰三角形的性质问题（1） ，根据等腰直角三角形的性质可得四边形 ACBE 中 BE AC、BCEA，从而确定四边形 BEAC 的形状；问题（2） ，根据条件判定图形中的
26、AEB ADC，从而确定 EBDC；延长 FG 至点 H，使 GHFG，可得EHGCFG，使 得 BEEH、EBGH，即有EBGBFC 答案 （1）证明：四边形 BEAC 是平行四边形 理由如下： EAD 为等腰三角形且EAD90， E45 B 是 DE 的中点， ABDE BAE45 ABC 为等腰三角形且BAC90， CBA45 BAECBA BCEA 又ABDE， EBABAC90 G F A BC D E A B C D E （第 23 题） 图（1） 图（2） BEAC 四边形 BEAC 是平行四边形 （2）证明：AED 和ABC 为等腰三角形， AEAD，ABAC EADBAC90
27、， EADDABBACDAB 即EABDAC AEBADC EBDC 延长 FG 至点 H，使 GHFG G 是 EC 中点， EGCG 又EGHFGC， EHGCFG， BFCH，CFEH 又CFCD， BECF BEEH EBGH EBGBFC 25（2020乐山）点 P 是平行四边形 ABCD 的对角线 AC 所在直线上的一个动点（点 P 不 与点 A、C 重合），分别过点 A、C 向直线 BP 作垂线，垂足分别为点 E、F点 O 为 AC 的 中点 （1）如图 1，当点 P 与点 O 重合时，线段 OE 和 OF 的关系是_； （2）当点 P 运动到如图 2 所示的位置时，请在图中补全
28、图形并通过证明判断（1）中的结论 是否仍然成立？ （3）如图 3，点 P 在线段 OA 的延长线上运动，当OEF30 时，试探究线段 CF、AE、OE 之间的关系 A BC D E E D C B A F G H 图（1） 图（2） 解析（1）证明AOECOF 即可得出结论； （2）（1）中的结论仍然成立，延长 EO 交 CF 于点 G，作辅助线，构建全等三角形，证明 AOECOG，得 OEOG，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出结论； （3）FCAEOE，理由是：延长 EO 交 FC 的延长线于点 H，构建全等三角形，与（2）类 似，同理得AOECOH，得出 AECH，OEOH，
29、再根据OEF30 ，HFE90 ， 推出 HF1 2EHOE，即可得证 答案解：（1）四边形 ABCD 是平行四边形， OAOC； AEBP，CFBP， AEOCFO90 ； AOECOF， AOECOF（AAS） ， OEOF； （2）补全图形如图所示，OEOF 仍然成立， 证明如下：延长 EO 交 CF 于点 G， AEBP，CFBP， AECF，EAOGCO； 点 O 为 AC 的中点，AOCO； 又AOECOG，AOECOG， OEOG； GFE90，OF1 2EGOE； （3）当点 P 在线段 OA 的延长线上时，线段 CF、AE、OE 之间的关系为 OECFAE， 证明如下：延长
30、EO 交 FC 的延长线于点 H，如图所示， 由（2） 可知 AOECOH， AECH，OEOH； 又OEF30 ，HFE90 ， HF1 2EHOE， OECFCHCFAE 20. （2020 淮安） （本小题满分 8 分）如图，在ABCD 中，点 E、F 分别在 BC、AD 上，AC 与 EF 相交于点 O，且 AO=CO （1）求证AOFCOE； （2）连接 AE、CF，则四边形 AECF_（填是或不是）平行四边形 解析（1）本题考查了全等三角形判定，由 ADBC 得FAO=ECO，再由AOF=COE， AO=CO，根据 ASA 可证得结论 （2）由（1）可知，OF=OE，又 AO=OC
31、，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形得证 答案 （1）四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC， FAO=ECO， 在AOF 和COE 中 FAOECO AOCO AOFCOE AOF 和COE（ASA） （2）由（1）AOF 和COE， OF=OE， 又OA=OC， 四边形 AEOF 为平行四边形 24 （2020扬州）如图， ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，过点 O 作 EFAC，分 别交 AB、DC 于点 E、F，连接 AF、CE. （1）若 OE= 3 2 ，求 EF 的长； （2）判新四边形 AECF 的形状，并说明理由. （第 24 题图） 解析本题考查了平行四
32、边形的性质、菱形的判定和性质，熟记各种特殊四边形的 判定方法和性质是解题关键 （1）利用已知条件和平行四边形的性质易证AEOCFO，从而证得 OE=OF 求 出 EF 的长； （2）先利用对角线互相平分证明四边形 AECF 是平行四边形，再由 EFAC，即可 证明四边形 AECF 是菱形 答案解：（1） 四边形 ABCD 是平行四边形， AO=CO， ABDC， OAE=OCF， EFAC，AOE=COF=90 ，在AEO 和CFO 中，OAEOCF，AO CO，AOECOF，AEOCFO，OE=OF，又 OE= 3 2 ，OE=OF= 3 2 ， EF= OE+OF=3； （2）四边形 AE
33、CF 是菱形，证明：由（1）得 OE=OF，又AO=CO，四边形 AECF 是平行四边形，EFAC，四边形 AECF 是菱形 18 （2020岳阳）如图，点E，F在ABCD的边BC，AD上， 1 3 BEBC， 1 3 FDAD， 连接BF，DE.求证：四边形BEDF是平行四边形. 证明： 四边形 ABCD 是平行四边形 AD/BC,且 AD=BC 又 1 3 BEBC ， 1 3 FDAD BE=FD 四边形BEDF是平行四边形. 18.（2020湖北孝感）如图，在ABCD中，点 E 在 AB 的延长线上，点 F 在 CD 的延长线 上，满足 BE=DF.连接 EF,分别与 BC、AD 交于
34、点 G、H. 求证：EG=FH. （第 18 题图） 解析本题考查平行四边形性质和全等三角形的判定.先利用平行四边形的的性质得到 AD BC，进而推出FHD=EGB,E=F.结合已知 BE=DF.于是可证明BEGDFH.从而得到 EG=FH. 答案证明：四边形 ABCD 是平行四边形 ABCD, ABC=CDA E=F, EBG=FDH. 在EBG 和FDH 中， EF BEDF EBGFDH EBGFDH(ASA) EG=FH. 18 （2020 鄂州）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点 O，点 M，N 分 别为OA、OC的中点，延长BM至点 E，使EMBM，连接DE （1
35、）求证：AMBCND； （2）若2BDAB，且5AB，4DN ，求四边形DEMN的面积 解析本题考查了平行四边形的性质、矩形的判定和性质、矩形的面积公式等，熟练掌握其 性质和判定方法是解决此类题的关键 (1)由四边形 ABCD是平行四边形得出 ABCD，AB/CD，进而得到BACDCA，再结合 AOCO，M,N 分别是 OA和 OC 中点即可求解； (2)证明ABO是等腰三角形， 结合 M是 AO 的中点， 得到BMOEMO90 ， 同时DOC 也是等腰三角形，N 是 OC 中点，得到DNO90 ，得到 EM/DN，再由(1)得到 EMDN， 得出四边形 EMND为矩形，进而求出面积 答案解：
36、(1)证明：四边形 ABCD是平行四边形， ABCD，AB/CD，OAOC， BACDCA， 又点 M，N 分别为OA、OC的中点， 11 22 AMAOCOCN， 在AMB和CND中， ABCD BACDCA AMCN ， ()AMBCND SAS (2)BD2BO，又已知 BD2AB， BOAB，ABO 为等腰三角形； 又 M为 AO的中点， 由等腰三角形的“三线合一”性质可知：BMAO， BMOEMO90 ， 同理可证DOC 也为等腰三角形， 又 N 是 OC 的中点， 由等腰三角形的“三线合一”性质可知：DNCO， DNO90 ， EMODNO90 90 180 ， EM/DN， 又已
37、知 EMBM，由(1)中知 BMDN， EMDN， 四边形 EMND平行四边形， 又EMO90 ，四边形 EMND 为矩形， 在 RtABM中，由勾股定理有： 2222 543AMABBM ， AMCN3， MNMOONAMCN336， 6 424 EMND SMN ME 矩形 18 （2020 黄冈）如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，BCE 使边 BC 上一点，且 DEDC 求证：ADBE 第 18 题图 E O C D B A 解析本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识点由ABCD 可得 ADBC，所以DAO=E，由对顶角相等有AOD=EOC，而 DO=CO 可由点
38、 O 是 CD 的中点证出，由“AAS”可证出 AODEOC，所以 AD=EC 答案解：ABCD，ADBC，CDAO 点 O 为 CD 的中点， DOCO 又AOD=EOC， AODEOC ADCE 25（2020通辽）中心为 O 的正六边形 ABCDEF 的半轻为 6cm，点 P，Q 同时分别从 A， D 两点出发，以 1cm/s 的速度沿 AF，DC 向终点 F，C 运动，连接 PB，PE，QB，QE，设运 动时间 为 t（s） （1）求证：四边形 PBQE 为平行四边形； （2）求矩形 PBQE 的面积与正六边形 ABCDEF 的面积之比 解析（1）证ABPDQE，PEFQBC，分别得到
39、两组对应边相等，根据“有两组 对边相等的四边形是平行四边形”推理出四边形 PBQE 为平行四边形； （2）将六边形看成 6 个全等的等边三角形拼接而成，先求出一个等边三角形面积，既而求出 六边形面积； 将矩形 PBQE看成 2 个全等的BQE和PBE拼接而成， 先求出BQE的面积， 既而求出矩形面积，然后进行比值求解 答 案 证 明证 明 ： （ 1 ） 在 正 六 边 形ABCDEF中 ， AB=AF=FE=ED=DC=BC=6 ， A=F=D=C=120 ， VP=VQ=1cm/s，AP=DQ=t， PF=AFAP=6t，CQ=CDDQ=6t， PF=CQ=6t， 在ABP 和DQE 中，
40、 AP=DQ=t，A =D =120 ，AB=DE=6， ABPDQE，BP=EQ， 同理可证PEFQBC，PE=QB， 四边形 PBQE 为平行四边形 （2）连结 BE，CO，DO，作 CGBE 于点 G，QHBE 于点 H 四边形 PBQE 是矩形，BQE=90 ， BE 是正六边形 ABCDEF 的外接圆直径， 即 BE 过点 O，且 BE=12， ED=DC=BC=6， EOD=COD=BOC =60 ， O Q P F E D C B A 又OE=OD=OC=OB， EOD，COD，BOC 是全等的等边三角形， CG=COsinBOC=COsin60=6 3 2 =3 3， SDOE
41、= SCOD= SBOC= 1 2 BOCG= 1 2 63 3=9 3， BCD+CBO=180 ，CDBE， CGBE，QHBE， QH=CG=3 3， SBEQ= 1 2 BEQH= 1 2 123 3=18 3， 正六边形ABCDEF是以直线BE为对称轴的轴对称图形， 矩形PBQE关于点O成中心对称， S PBQE ABCDEF S矩形 六边形 = 2 6 BEQ COB S S V V = 2 18 3 6 9 3 = 2 3 21 （2020广西北部湾经济区）如图，点 B，E，C，F 在一条直线上，ABDE，ACDF， BECF （1）求证：ABCDEF； （2）连接 AD，求证：四边形 ABED 是平行四边形 解： （1）证明：BECF， BE+ECCF+EC， BCEF， 在ABC 和DEF 中， = = = ， ABCDEF（SSS） ； （2）证明：由（1）得：ABCDEF， BDEF， ABDE， 又ABDE， HGO Q P F E D C B A 四边形 ABED 是平行四边形
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