1、知识点知识点 26 全等三角形全等三角形 一、选择题一、选择题 10.(2020 宁波)BDE和FGH是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置 在等边三角形ABC内.若求五边形DECHF的周长，则只需知道 AABC的周长 BAFH的周长C四边形FBGH的周长 D四边形ADEC的 周长 答案A 解析本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，五边形 DECHF 的周长为 DE CECHFHDF，ABC 和FGH 是两个等边三角形，AFHCHG，CHAF BDE 和FGH 是两个全等的等边三角形，DEFHBDBE，DECECHFHDF BECECHBDDFBCBFCHBCBA，只需要
2、知道ABC 的周长就可以求得五边 形 DECHF 的周长，因此本题选 A （2020四川甘孜州）9如图，等腰ABC 中，点 D，E 分别在腰 AB，AC 上，添加下列条件， 不能判定ABEACD 的是( ) AADAE BBECD CADCAEB DDCBEBC 答案B 解析本题考查了全等三角形的判定由全等三角形的判定“SAS”、“AAS”、“ASA”可得， 添加选项 A、C、D 都能判定两三角形全等；而添加选项 B 则不能判定两三角形全等，故选 B 7（2020 绵阳）如图，在四边形 ABCD 中，AC90，DFBC，ABC 的平分线 BE 交 DF 于点 G，GHDF，点 E 恰好为 DH
3、 的中点若 AE3，CD2，则 GH（ ） A1 B2 C3 D4 答案B 解析延长 HG 交 BC 于点 MDFBC，GHDF，GMCMGDC90，四边 形GMCD为矩形， MGCD2， BE平分ABC， ABEEBC， 又ABMG90， ABEMBG，BG2EG，HGD90，点 E 为 DH 的中点，DH 2EG2ED，DHBG，EGED，EGDEDG,DFBC，EGDGBM, EDGGBM,又HGDBMG90， DHGBGM， HGGM2 故选项 B 正确 8 （2020 鄂州）如图，在AOB 和COD 中，OAOB，OCOD，OAOC， 36AOBCOD 连接AC、BD交于点M，连接O
4、M下列结论： 36AMB ；ACBD；OM平分 AOD；MO平分AMD 其中正确的结论个数有（ ）个 A4 B3 C2 D1 答案B 解析本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；证明三 角形全等是解题的关键由 SAS 证明AOCBOD，得到OACOBD，由三角形的外角性 质得：AMBOBDAOBOAC，得出AMBAOB36 ，正确； 根据全等三角形的性质得出OCAODB，ACBD，正确； 作 OGAC 于 G，OHBD于 H，如图所示：则OGCOHD90 ，由 AAS 证明OCG ODH（AAS） ，得出 OGOH，由角平分线的判定方法得出 MO平分AMD，正
5、确； 由AOBCOD，得出当DOMAOM 时，OM才平分BOC，假设DOMAOM，由 AOCBOD得出COMBOM，由 MO 平分BMC 得出CMOBMO，推出COM BOM，得 OBOC，而 OAOB，所以 OAOC，而OAOC，故错误；即可得出结论 正确的有； 故选 B BE BG AE MG 2 3 11如图，在中，将绕点 C 顺时针旋转得到 ，使点 B 的对应点 E 恰好落在边上， 点 A 的对应点为 D， 延长交于点 F， 则下列结论一定正确的是 （ ） A. B. C. D. 答案D 解析本题考查旋转的性质以及全等三角形的性质， 证明过程常用角的互换、 直角互余作为解题工 具，另外
6、证明题当中反证法也极为常见，需要熟练利用可通过旋转的性质得出ABC 与DEC 全等，故可判断 A 选项；可利用相似的性质结合反证法判断 B，C 选项；最后根据角的互换，直 角互余判断 D 选项 由已知得：ABCDEC，则 AC=DC，A=D，B=CED，故 A 选项错误； A=A，B=CED=AEF， 故AEFABC，则 ， 假设 BC=EF，则有 AE=AB， 由图显然可知 AEAB，故假设 BC=EF 不成立，故 B 选项错误； 假设AEF=D，则CED=AEF=D， 故CED 为等腰直角三角形，即ABC 为等腰直角三角形， 因为题干信息ABC 未说明其三角形性质，故假设AEF=D 不一定
7、成立，故 C 选项错误； ACB=90 ， A+B=90 又A=D， B+D=90 故 ABDF，D 选项正确 故选：D 7 （2020淄博）如图，若ABCADE，则下列结论中一定成立的是（ ） AACDE BBADCAE CABAE DABCAED 【解析】ABCADE， ACAE，ABAD，ABCADE，BACDAE， BACDACDAEDAC， 即BADCAE故 A，C，D 选项错误，B 选项正确， 故选：B ABC90ACBABCDEC ACDEAB ACDEBCEF AEFD ABDF EFAE BCAB = 6. （2020 永州） 如图， 已知 ,ABDCABCDCB 能直接判断
8、ABCDCB的方法是 （ ） A. SAS B. AAS C. SSS D. ASA 【答案】A 【详解】在ABC 和DCB中， ABDC ABCDCB BCCB , ABCDCB(SAS), 故选：A. 7 （2020邵阳）如图，四边形 ABCD 是平行四边形，点 E,B,D,F 在同一条直线上，请添加一个条 件使得ABECDF,下列不正确的是（ ） A.AE=CF B.AEB=CFD C.EAB=FCD D.BE=DF 答案 A 解析本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，四边形 ABCD是平行四 边形， AB=CD，ABCD， ABD=BDC， ABE+ABD=BDC+
9、CDF， ABE=CDF， A.若添加AECF，则无法证明ABE CDF，故 A错误； B.若添加 AEBCFD ，运用 AAS可以证明ABECDF，故选项 B正确； C.若添加EABFCD，运用 ASA可以证明 ABECDF，故选项 C 正确； D.若添加BEDF，运用 SAS 可以证明 ABECDF，故选项 D正确因此本题选 A 二、填空题二、填空题 18 （2019 上海）在ABC 和A1B1C1中，已知CC190 ，ACA1C13，BC4，B1C12， 点 D、D1分别在边 AB、A1B1上，且ACDC1A1D1，那么 AD 的长是 答案 5 3 解析如图， 在 ABC 和 A1B1C
10、1 中，CC190 ，ACA1C13，BC4，B1C12， AB 22 34 5，设 ADx，则 BD5x， ACDC1A1D1，C1D1ADx，A1C1D1A，A1D1C1CDA， C1D1B1BDC， B90 A，B1C1D190 A1C1D1，B1C1D1B，C1B1 D1BCD， 1111 BDBC C DC B ，即 5x x 2，解得 x 5 3 .AD 的长为 5 3 . 13 （2020 黑龙江龙东） 如图， Rt ABC 和 Rt EDF 中， BCDF， 在不添加任何辅助线的情况下， 请你添加一个条件 ，使 Rt ABC 和 Rt EDF 全等 答案 ABED 答案不唯一
11、解析本题考查了三角形全等的条件，解：Rt ABC 和 Rt EDF 中，BACDEF90 ， BCDF，DFEBCA，添加 ABED，在 Rt ABC 和 Rt EDF 中 DFE = BCA DEF = BAC AB = ED ，Rt ABCRt EDF（AAS） ，故答案为：ABED 答案不唯一 14 （2020 北京）在ABC 中，AB=AC，点 D 在 BC 上（不与点 B，C 重合）.只需添加一个条件 即可证明ABDACD，这个条件可以是 （写出一个即可） 答案答案不唯一，BAD=CAD 或者 BD=CD 或 ADBC 解析根据等腰三角形三线合一的性质可得，要使ABDACD，则可以填
12、BAD=CAD 或者 BD=CD 或 ADBC 均可 13 （2020齐齐哈尔如图，已知在ABD 和ABC 中，DABCAB，点 A、B、E 在同一条直 线上，若使ABDABC，则还需添加的一个条件是 （只填一个即可） 答案 ADAC（DC 或ABDABC 等） 解析利用全等三角形的判定方法添加条件DABCAB，ABAB， 当添加 ADAC 时，可根据“SAS”判断ABDABC； 当添加DC 时，可根据“AAS”判断ABDABC； 当添加ABDABC 时，可根据“ASA”判断ABDABC 故答案为 ADAC（DC 或ABDABC 等） 14（2020 怀化） 如图， 在ABC 和ADC 中，
13、ABAD， BCDC， B130， 则D 答案130 解析根据全等三角形的判定定理得出ABCADC，根据平行线的性质得出DB，代入求 出即可 证明：在ADC 和ABC 中 = = = ， ABCADC（SSS） ， DB， B130， D130， 故答案为：130 15（2020 抚顺本溪辽阳）如图，在 ABC 中，M，N 分别是 AB 和 AC 的中点，连接 MN，点 E 是 CN 的中点，连接 ME 并延长，交 BC 的延长线于点 D，若 BC4，则 CD 的长为 答案2解析本题可根据三角形中位线定理，及三角形全等的知识求解M，N 分别是 AB 和 AC 的中点，MN 1 2BC2，MNB
14、CNMED，NECE，NEMCED， NEMCED，CDMN2 E A DBC M N 三、解答题三、解答题 18（2020 温州） 如图,在ABC和DCE中,ACDE,BDCE 90 ,点A,C,D依次在同一直线上,且AB/ DE. (1)求证:ABCDCE. (2)连结AE,当BC5,AC12时,求AE的长. 解析本题考查了平行线的性质、全等三角形的判定、勾股定理等知识（1）由AB/DE,得到 BACD. 又因为BDCE90 ,ACDE，所以 ABC DCE(AAS). （2）由（1）知BCCE，从而在Rt ACE中，利用勾股定理求 AE. 答案解： (1): AB/DE,BACD. 又B
15、DCE90 ,ACDE,ABC DCE(AAS). (2)由（1）知ABCDCE,CE BC5. 在Rt ACE中，AC12, CE 5, 22 51213AE . 21 （2020 台州）如图，已知 ABAC，ADAE，BD 和 CE 相交于点 O （1）求证：ABDACE； （2）判断BOC 的形状，并说明理由 【分析】 （1）由“SAS”可证ABDACE； （2）由全等三角形的性质可得ABDACE，由等腰三角形的性质可得ABC ACB，可求OBCOCB，可得 BOCO，即可得结论 【解答】证明： （1）ABAC，BADCAE，ADAE，ABDACE（SAS） ； （2）BOC 是等腰三角
16、形，理由如下：ABDACE，ABDACE，ABAC， ABCACB， ABCABDACBACE， OBCOCB， BOCO， BOC 是等腰三角形 20（2020铜仁）如图，BE，BFEC，ACDF求证：ABCDEF 解析由已知条件“BFEC”结合图形可知：BCEF，欲证ABCDEF，目前已经知道的条 件是一边 （BFEC） 、 一角 （BE） ， 所以可以考虑全等三角形的判定定理AAS、 SAS或ASA， 再次分析已知条件，发现由ACDF可得出ACBDFE，所以考虑由ASA定理证得结果 答案证明：ACDF，ACBDFE. 又BFCE，BCEF.在ABC和DEF中，ABCDEF（ASA） E
17、D C B A 26（2020 常德）已知 D是 斜边 AB的中点， = 90， = 30，过点 D作 Rt 使 = 90， = 30，连接 CE并延长 CE到点 P，使 = ，连接 BE， FP，BP，设 BC 与 DE 交于 M，PB与 EF交于 N (1)如图 1，当 D，B，F共线时，求证： = ； = 30； (2)如图 2，当 D，B，F不共线时，连接 BF，求证： + = 30 解析 ( )证明 CB 是直角三角形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得结论； 根据同位角相等可得BC EF，由平行线的性质得B EF，可得 EF 是线段 BP 的垂直平分线， 根据等腰三角形三
18、线合一的性质可得 FE = BFE = ； ( )如图 2， 延长 DE 到 Q， 使E = DE， 连接 CD， PQ， FQ， 证明 E DEC( A )， 则 = DC = DB， 由 E = DE，DEF = 9 ，知 EF 是 DQ 的垂直平分线，证明 F FDB( A )，再由 EF 是 DQ 的垂直平分线，可得结论 答案解：证明( ) ACB = 9 ，ABC = ， A = 9 = ，同理EDF = ， A = EDF = ， AC DE， D B = ACB = 9 ， D是 ABC斜边 AB 的中点， AC D ， = = ， 即M是BC的中点， E = CE， 即E是PC
19、的中点， ED B ， CB = D B = 9 ， CB 是直角三角形， BE = C = E ； ABC = DFE = ， BC EF，由知：CB = 9 ， B EF， EB = E ， EF是线段 BP 的垂直平分线， F = BF， FE = BFE = ； ( )如图 2，延长 DE 到 Q，使E = DE，连接 CD，PQ，FQ， EC = E ，DEC = E ， E DEC( A )，则 = DC = DB， E = DE， DEF = 9 EF是 DQ 的垂直平分线， F = DF， CD = AD， CDA = A = ， CDB = ， FDB = FDC = ( +
20、 EDC) = EDC = E = F ， F FDB( A )， F = BFD， EF是 DQ 的垂直平分线， FE = EFD = ， F + EF = ， BFD + EF = 25 （2020黔东南州）如图 1，ABC 和DCE 都是等边三角形 探究发现 （1）BCD 与ACE 是否全等？若全等，加以证明；若不全等，请说明理由 拓展运用 （2）若 B、C、E 三点不在一条直线上，ADC30，AD3，CD2，求 BD 的长 （3）若 B、C、E 三点在一条直线上（如图 2） ，且ABC 和DCE 的边长分别为 1 和 2，求 ACD 的面积及 AD 的长 解析（1）依据等式的性质可证明
21、BCDACE，然后依据 SAS 可证明ACEBCD； （2）由（1）知：BDAE，利用勾股定理计算 AE 的长，可得 BD 的长； （3）如图 2，过点 A 作 AFCD 于 F，先根据平角的定义得ACD60，利用特殊角的三角函 数可得 AF 的长（也可以利用含 30 度角的直角三角形的性质） ，由三角形面积公式可得ACD 的 面积，最后根据勾股定理可得 AD 的长 答案解： （1）全等.理由是： ABC 和DCE 都是等边三角形，ACBC，DCEC，ACBDCE60， ACB+ACDDCE+ACD，即BCDACE，在BCD 和ACE 中， CD = CE BCD = ACE BC = AC
22、，ACEBCD（ SAS） ； （2）如图 3，由（1）得：BCDACE， BDAE，DCE 都是等边三角形，CDE60，CDDE2， ADC30，ADEADC+CDE30+6090， 在 RtADE 中，AD3，DE2，AE= AD + DE = 9 + 4 = ，BD= ； （3）如图 2，过 A 作 AFCD 于 F， B、C、E 三点在一条直线上，BCA+ACD+DCE180， ABC 和DCE 都是等边三角形， BCADCE60， ACD 60， 在 RtACF 中，sinACF= F ，AFACsinACF1 3 = 3 ， SACD= CD AF = 3 = 3 ，CFACcos
23、ACF1 = ， FDCDCF2 = 3 ，在 RtAFD 中，AD2AF2+FD2= ( 3 ) + (3 ) =3，AD= 23（2020安徽）如图1，已知四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，AEAD.EC与BD相交于 点G，与AD相交于点F，AFAB. (1)求证：BDEC； (2)若AB1，求AE的长； (3)如图2，连接AG，求证：EG-DG 2AG . 图1 图2 解析(1)证明AEFADB，结合已知条件，等量代换求EGB90即可； (2)证明AEFDCF，代入已知与等量，转化成方程求解； (3)以AG为腰构造等腰直角三角形，将EG、DG和 2AG转化到同一条直线中求解.
24、答案(1)证明:因为四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，所以EAFDAB90， 又AEAD， AFAB， 所以AEFADB， AEFADB.所以GEBGBEADBABD90， 即EGB90，故BDEC. (2)解:由矩形性质知 AE/CD.所以AEFDCF，EAFCDF, 所以AEFDCF， AEAF DCDF ，即AE DFAF DC.设AEADa(a0)，则有a (a1)1，化简 得a 2 a10，解得a 15 2 或 15 2 (舍)，所以AE的长为 15 2 . (3)证明:方法一:如图1，在线段EG上取点P，使得EPDG，在AEP与ADG中， AEAD，AEPADG，EPDG
25、，所以AEPADG，所以APAG，EAPDAG， 所以PAGPADDAGPADEAPDAE90，PAG为等腰直角三角形. 于是EGDGEGEPPG 2AG. 方法二，如图2，过点A作AG的垂线，与DB的延长线交于点Q.在AEG与ADQ中， AEAD，AEGADQ，EAG90DAGDAQ，所以AEGADQ ， 所以EGDQ，AGAQ，AGQ为等腰直直角三角形，于是EGDGDQDGQG 2AG. 图1 图2 2424（2020哈尔滨）已知：在ABC中，ABAC，点D、点E在边BC上，BDCE，连接AD、AE. （1）如图1，求证：ADAE； （2）如图2，当DAEC45时，过点B作BFAC交AD的
26、延长线于点F，在不添加任何辅助 线的情况下，请直接写出图2中的四个等腰三角形，使写出的每个等腰三角形的顶角都等于 45. G C EB D A F G C EBA D F 解析本题考查了全等判定与等腰三角形判定，（1） 只需要证明ABD ACE即可得出结论， （2） 根据（1）中的结论知道ADE中DAE45，ADAE，所以45和ADE或AED的所有相等的角 所在三角形为符合条件的三角形答案 (1)证明:如图1ABACABCACBBDCE ABD ACEADAE (2)如图2 ADE BDF BAE CAD 23（2020江苏徐州）如图，ACBC，DCEC，AC=BC，DC=EC，AE与BD交于
27、点F. （1）求证：AE=BD； （2）求AFD的度数. （第23题） 解析 （1）先利用边角边证明ACEBCD，然后由全等三角形的性质得到 AE=BD；（2）利用全等三角形的性质以及三角形的内角和定理来进行证明. 答案解：（1）ACCB，CDEC，ACB=ECD=90,ACE=BCD， 在ACE和BCD中， ACBC ACEBCD CECD ,ACEBCD，AE=BD. （2）ACEBCD，A=B，AGC=BGF，BFA=ACB=90，AFD=BFA=90. 26. （2020 苏州） 问题1： 如图， 在四边形ABCD中，90BC ，P是BC上一点，PAPD， 90APD. 求证：AB C
28、DBC. 问题2：如图，在四边形ABCD中，45BC ，P是BC上一点，PAPD，90APD. 求 AB C CD B 的值. 解析问题1：证法一：证明 ABPPCD ；证法二：根据三角函数求解； 问题2：分别过点A、D作BC的垂线，垂足为E、F转化为问题1求解。 答案解：问题1：证法一： 90B ，90APBBAP. G F D B A C E F D B A C E 90APD，90APBCPD.BAPCPD . 在 ABP 和 PCD 中， BC BAPCPD PADP ， ABPPCD AAS . AB PC ，BP CD ，AB CD BPPCBC . 证法二：由证法一，可设 BAP
29、CPD . 在Rt ABP 中， sinBPPA ， cosABPA ， 在Rt PCD 中， sinCDPD ， cosPCPD ， 又PA PD AB PC ，BP CD ，AB CD BPPCBC . 问题2：如图，分别过点A、D作BC的垂线，垂足为E、F. 由（1）可知AE DFEF ，在Rt ABE 和Rt DFC 中， 45BC ， AE BE ，DF CF ， 2 sin45 AE ABAE ， 2 sin45 DF CDDF . 2BCBEEFCFAEDF ， 2ABCDAEDF . 2()2 2()2 ABCDAEDF BCAEDF . 21（2020 衡阳）如图，在 ABC
30、中，B=C，过BC的中点D作DEAB， DFAC，垂足分别为点EF. (1)求证：DE=DF； (2)若BDE =40 ，求BAC的度数. (第21题图) 解析本题考查了三角形全等、 三角形内角和定理等知识， 解题的关键是找到证明线段相等以及求 角的途径.（1）借助AAS证 BEDCFD即可得出结论； （2）先借助B与BDE的互余关系求B，再利用三角形内角和定理求BAC 答案解：（1）证明：DEAB，DFAC，BED=CFD=90 ， AB=AC，B=C（等边对等角）D是BC的中点，BD=CD 在 BED和 CFD中， BEDCFD， BC， BDCD， BEDCFD （AAS） DE=DF；
31、 （2） 由 （1） BED =90 ， B+BDE=90 ， 又BDE =40 ， B=50 ， 又B=C， C=50 ， ABC中，BAC+B+C=180 ，BAC=180 -B-C=100 19 （2020南京）如图，点 D 在 AB 上，点 E 在 AC 上，ABAC，BC. 求证：BDCE. 解析运用 ASA 判定ACD 和ABE 全等得到 ADAE，由此推算结论. 答案证明：AA，ACAB，CB， ACDABE. ADAE. ABADACAE，即 BDCE. 21 （2020无锡）如图，已知 ABCD，AB=CD，BE=CF. 求证： （1）ABFDCE； （2）AFDE 解析（1
32、）由等式的性质就可以得出 BF=CE，由平行线的性质就可以得出B=C，根据 SAS 就 可以得出结论； （2）由 ABFDCE 就可以得出AFB=DEC 就可以得出结论 答案证明：BECF，BEEFCFEF，BFCE ABCD，BC 在ABF 和DCE 中 ABCD BC BFCE ，ABFDCE（SAS） ； （2）ABFDCE， AFBDEC，AFEDEF，AFDE 18 （2020福建）如图，点,E F分别在菱形ABCD的边BC，CD上，且BEDF. A BC DE DC E F BA 求证： BAEDAF. 解析本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质，根据菱形性质证明ABEADF
33、 答案证明：四边形ABCD是菱形， BD，ABAD. 在ABE和ADF中， ABAD BD BEDF ABEADF， BAEDAF. (2020南充）18.如图，点 C 在线段 BD 上，且 ABBD,DEBD，ACCE，BC=DE，求证：AB=CD. 证明：ABBD，EDBD，ACCE， ACEABCCDE90， ACB+ECD90，ECD+CED90， ACBCED 在ABC和CDE中， ACBCED BCDE ABC CDE ABCCDE（ASA） ， ABCD （2020德州）24.（12 分）问题探究： 小红遇到这样一个问题：如图 1，ABC 中，AB=6，AC=4，AD 是中线，求
34、 AD 的取值范围. 她的做 法是：延长 AD 到 E，使 DE=AD，连接 BE，证明BEDCAD，经过推理和计算使问题得到解决. 请回答： （1）小红证明BEDCAD 的判定定理是 ； （2）AD 的取值范围是 ； 方法运用： （3） 如图 2， AD 是ABC 的中线， 在 AD 上取一点 F， 连接 BF 并延长交 AC 于点 E， 使 AE=EF， 求证： BF=AC. （4）如图 3，在矩形 ABCD 中， 1 2 AB BC ,在 BD 上取一点 F，以 BF 为斜边作 RtBEF，且 1 2 EF BE , 点 G 是 DF 的中点，连接 EG，CG，求证：EG=CG. 解析（
35、1）根据满足两三角形全等条件回答. （2）把已知的 AB=6，AC=4 转化到ABE 中，根据三角形三边关系解答. （3）仿照（1） （2）提供的解题思路解答. （4）结合图形，从点 G 是 DF 的中点联想（3）的证明方法作辅助线，再利用相似三角形证得CEH 是直角三角形，再根据直角三角形斜边上的中线的性质求解. 答案解： （1）AD 是ABC 的中线，BD=CD， 又 DE=AD，ADC=EBD， BEDCAD（SAS） 故答案为 SAS. （2）BEDCAD，AC=BE=4， DE=AD，AE=2AD， 在ABE 中，,ABBEADABBE即15.AD 故答案为15.AD （3）证明：延
36、长 AD 至点 A，使 AD=AD， AD 是ABC 的中线，BD=CD, 在ADC 和ADB 中， ADAD ADCADB CDBD , ADCADB, ,CADA ACA B 又AE=CE，CAD=AFE, .AAFE AFEBFD ，=BFD A , BFA B, ABAC ,BFAC. （4）证明：延长 CG 至点 H，使 HG=CG，连接 HF，CE，HE， G 为 FD 的中点，FG=DG. 在HGF 和CGD 中， HGCG HGFCGD FGDG , HGFCGD, HF=CD，HFG=CDG. 在 RtBEF 中， 1 2 EF BE ，tanEBF= 1 2 . 又矩形 A
37、BCD 中， 1 2 AB BC ， 1 2 AB AD ,tanADB= 1 2 ， EBF=ADB. 又 ADBC,ADB=DBC，EBF=ADB=DBC. 又EFD=EBF+BEF,即EFH+HFD=EBF+90, ADB+BDC=90,EFH+HFD=EBF+ADB+BDC, EFH=2EBF,即EFH=EBC. 在EFH 和EBC 中， 1 2 EF BE ， 1 2 HF BC ， EFHF BEBC . 又EBC=EFH，EFHEBC, FEH=BEC， HEC+CEF=BEF+CEF, HEC=BEF=90,CEH 是直角三角形. G 是 CH 的中点，EG=CG. 18.（2
38、020湖北孝感）如图，在ABCD中，点 E 在 AB 的延长线上，点 F 在 CD 的延长线上，满 足 BE=DF.连接 EF,分别与 BC、AD 交于点 G、H. 求证：EG=FH. （第 18 题图） 解析本题考查平行四边形性质和全等三角形的判定.先利用平行四边形的的性质得到 ADBC，进 而推出FHD=EGB,E=F.结合已知 BE=DF.于是可证明BEGDFH.从而得到 EG=FH. 答案证明：四边形 ABCD 是平行四边形 ABCD, ABC=CDA E=F, EBG=FDH. 在EBG 和FDH 中， EF BEDF EBGFDH EBGFDH(ASA) EG=FH. 17（202
39、0菏泽）如图，在ABC 中，ACB=90 ，点 E 在 AC 的延长线上，EDAB 于点 D， 若 BCED，求证：CEDB 解析先证ABCAED，得相关线段相等，再利用相等线段的和差关系得结论 答案证明：证明：EDAB，ADE=90 ACB=90 ，ACB=ADE 在AED 和ABC 中， , , , EDBC AA ADEACB AEDABC， A B C D E AE=AB，AC=AD， AEAC=ABAD， 即 EC=BD 20 （2020南通） （本小题满分 5+6=11 分） （1）如图 1，点 D 在 AB 上，点 E 在 AC 上，ADAE，BC，求证：ABAC 解析（1）由角
40、角边可以证明ABEACD 从而证得 ABAC 答案解： （1） 在ABE 和ACD 中 BC AA ADAE ， ABEACD（AAS） ABAC 21 （2020 镇江） （本小题满分 6 分） 如图， 是四边形 的对角线， = ，点 、 分别在 、 上， = ， = ，连接 （1）求证： = ； （2）若 , = 78 ，求 的度数 解析（1）可先证明BEFCDA，然后根据全等得到D2； （2）先求278 ，又由 EF AC，BAC278 答案解： （1）在BEF 和CDA 中， A B E FC D 2 1 A B C D E 1 B EC D B B FC A BEFCDA D2 （2
41、）D2，278 EFAC，BAC278 23 （2020常州）(8 分)已知：如图，点 A、B、C、D 在一条直线 A/FB，EAFB，ABCD （1）求证：EF； （2）若A40 ，D80，求E 的度数 答案 , , . E AF B AF B D A CB D EACFBD EF （2）EACFBD，ACED80 AEACE180 ，E60 解析解析： 本题考查了全等三角形的判定和性质， （1）可先证AB，ACBD，然后利用 SAS 来证明两三角形全等； （2）由全等性质，先求出ACED80 ，然后利用三角形内角和定理求 出E 的度数 21 （2020湘西州）如图，在正方形 ABCD 的外
42、侧，作等边三角形 ADE，连接 BE，CE （1）求证：BAECDE； （2）求AEB 的度数 （第 21 题图） 解析本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质和等边三角形的性质 （1）利用等边三 角形的性质得到ADAEDE，EADEDA60，利用正方形的性质得到 ABADCD， BADCDA90，所以EABEDC150，然后根据“SAS”判定BAECDE； （2）先证 ABAE，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算ABE 的度数 答案解： （1）证明：ADE 为等边三角形，ADAEDE，EADEDA60， 四边形 ABCD 为正方形， ABADCD， BADCDA90， EABE
43、DC150， 在BAE 和CDE 中， ABDC EABEDC AEDE ，BAECDE（SAS） ； （2） ABAD， ADAE， ABAE， ABEAEB， EAB150， ABE 1 2 （180 EAB） 1 2 （180150）15 23.（2020株洲）如图所示，BEF的顶点 E在正方形 ABCD对角线 AC 的延长线上，AE与 BF 交于点 G，连接 AF、CF，满足ABFCBE （1）求证：90EBF （2）若正方形 ABCD 的边长为 1，2CE ，求tan AFC的值 答案（1）见解析； （2） 2 2 解析（1）已知ABFCBE，根据全等三角形的对应角相等可得ABF C
44、BE，再由 90ABFCBF， 可得90CBFCBE， 即可证得90EBF；（2） 由A B FC B E， 根据全等三角形的对应角相等可得AFBCEB，由对顶角相等可得FGAEGB，即可证得 90FACEBF；又因正方形边长为 1，2CE ，可得 2AC ，2AFCE在 RtAFC 中，即可求得 2 tan 2 AFC （1）证明：ABFCBE， ABFCBE， 90ABFCBF， 90CBFCBE， 90EBF （2）ABFCBE， AFBCEB， FGAEGB， 90FACEBF， 正方形边长为 1，2CE 2AC ，2AFCE 2 tan 2 AFC 26.（2020 牡丹江） ABC
45、 中，点 D 在直线 AB 上.点 E 在平面内，点 F 在 BC 的延长线上，E BDC，AECD，EAB+DCF180 ； （1）如图，求证 AD+BCBE； （2）如图、图，请分别写出线段 AD，BC，BE 之间的数量关系，不需要证明； （3）若 BEBC，tanBCD 4 3 ，CD10，则 AD_. 解析（1）根据同角的补角相等，容易得出EABBCD，再结合EBDC，AECD， 易证 EABDCB，得到对应线段相等，转化相关线段，得出结论； （2）图中，BA-AD BD，类比（1）的方法，易证 EABDCB，得到对应线段相等， 从而可得 BC-AD BE；图中，AD-AB BD，类比
46、（1）的方法，易证 EABDCB， 得到对应线段相等，从而可得 AD-BC BE； （3）分情况讨论解答. 答案解：（1）证明：EAB+DCF180 ，BCD+DCF180 ，EABBCD， EBDC，AECD，EABDCB，BEBD， ABBCAD+BCAD+ABBD BE； （2） 图结论：BC-AD BE， 图结论：AD-BC BE； （3）14-6 2或 2+62. 18 （2020 内江）如图，点 C，E，F，B 在同一直线上，点 A，D 在 BC 异侧，ABCD，AEDF， AD （1）求证：AB=CD； （2）若 ABCF，B40 ，求D 的度数 答案（1）证明：ABCD，BC，在 ABE 和 CDF 中， BC，AE=DF ，ADAEBDFC ABCD. （2）ABCD，ABCF，CDCF，BC=40 ，D(180 40 ) 270 D C A B F E D B C F A E A B D E C F 图 图 图 （第 26 题图） 解析本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，三角形内角和定理的应用，能根据全 等三角形的判定求出 ABECDF 是解此题的关键 （1）根据平行线的性质求出B=C，根 据 AAS 推出 ABECDF， 根据
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