1、知识点知识点 43 尺规作图尺规作图 一、选择题一、选择题 7 （2020 台州）如图，已知线段 AB，分别以 A，B 为圆心，大于1 2AB 同样 长为半径画弧，两弧交于点 C，D，连接 AC，AD，BC，BD，CD，则下 列说法错误的是（ ） AAB 平分CAD BCD 平分ACB CABCD DABCD 【分析】根据作图判断出四边形 ACBD 是菱形，再根据菱形的性质：菱形的 对角线平分一组对角、菱形的对角线互相垂直平分可得出答案 【解答】解：由作图知 ACADBCBD，四边形 ACBD 是菱形，AB 平分CAD、CD 平分 ACB、ABCD，不能判断 ABCD，故选：D 8 （2020
2、衢州）过直线 l 外一点 P 作直线 l 的平行线，下列尺规作图中错误的是（ ） 答案D解析 A 选项是作出了角平分线和等腰三角形，可以得出内错角相等，从而两直线平行；B 选项直接作出了同位角相等，所以可以得出两直线平行；C 选项是过点 P 作出了 l 的垂线，然后又作 出了与该垂线垂直的直线，所以也作出了直线 l 的平行线；D 选项从作图痕迹来看，不能找到平行线 的依据，因此本题选 D 9 （2020 贵阳） （3 分）如图，Rt ABC 中，C90 ，利用尺规在 BC，BA 上分别截取 BE，BD， 使 BEBD；分别以 D，E 为圆心、以大于1 2DE 的长为半径作弧，两弧在CBA 内交
3、于点 F；作射 线 BF 交 AC 于点 G若 CG1，P 为 AB 上一动点，则 GP 的最小值为（ ） A无法确定 B1 2 C1 D2 答案 C解析解：如图，过点 G 作 GHAB 于 H 由作图可知，GB 平分ABC，GHBA，GCBC，GHGC1， 根据垂线段最短可知，GP 的最小值为 1，故选：C 7（2020 襄阳）如图，RtABC 中，ABC90，根据尺规作图的痕迹判断以下结论错误的是 （ ） ADBDE BABAE CEDCBAC DDACC 第 7 题图 E D C BA 答案D 解析由尺规作图可知：AD 平分BAC，DEAC 于点 DAD 平分BAC，DEAC，DBAB，
4、 DBDE于是 RtABDRtAED（HL） ，ABAEEDCC90，BACC 90，EDCBAC从图中不能得到DACC，故选 D 8（2020深圳）如图，在ABC 中，ABAC，在 AB，AC 上分别截取 AP，AQ，使 APAQ，再 分别以点 P，Q 为圆心，以大于1 2PQ 的长为半径作弧，两弧在BAC 内交于点 R，作射线 AR，交 BC 于点 D若 BC6，则 BD 的长为（ ） A2 B3 C4 D5 答案B 解析由尺规作图可知 AD 平分BAC；由 ABAC，根据“等腰三角形三线合一” ，可得 BD1 2BC 1 263，因此本题选 B 6 （2020湘西州）已知AOB，作AOB
5、 的平分线 OM，在射线 OM 上截取线段 OC，分别以 O、C 为圆心，大于 1 2 OC 的长为半径画弧，两弧相交于 E，F画直线 EF，分别交 OA 于 D，交 OB 于 G那么ODG 一定是（ ） A锐角三角形 B钝角三角形 C等腰三角形 D直角三角形 答案C 解析本题考查了基本作图以及等腰三角形的判定依据已知条件即可得到ODEOGE，即可得 到 ODOG，进而得出ODG 是等腰三角形如图所示，OM 平分AOB，AOCBOC， 由题可得，DG 垂直平分 OC，OEDOEG90，ODEOGE，ODOG，ODG 是等腰三角形，因此本题选 C （ 第 6 题答图） （2020包头） 12、
6、如图， 在Rt ABC中，90ACB，BCAC， 按以下步骤作图： （1） 分别以点 ,A B 为圆心，以大于 1 2 AB的长为半径作弧，两弧相交于,M N两点（点 M在AB的上方） ； （2）作直线MN 交AB于点 O，交BC于点 D； （3）用圆规在射线OM上截取OEOD=连接,AD AE BE，过点 O 作 OFAC，垂足为 F，交AD于点 G下列结论： 2CDGF； 222 BDCDAC； 2 BOEAOG SS；若6,9ACOFOA，则四边形ADBE的 周长为 25 其中正确的结论有（ ） A1 个 B2个 C3个 D4 个 答案D 解析由题意可知，直线 MN 是线段 AB 的垂直
7、平分线，点 O 是线段 AB 的中点，ABDE. ACB=90,OFAC, OFBC. 点 G、F 分别是 AD、AC 的中点.CD=2FG.故正确；又OD=OE, 四边形 ADBE 是菱形.在 RtAOD 中， 1 2 OGAD. 22222 BDCDADCDAC.故正确； 2 BOEAOD SSS AOG . 故 正 确 ； OF+OA=9, BC+AB=18. 222 ABACBC, 222 6ABBC, 2ABBC，AB=10,BC=8.在 RtACD 中， 222 ADACCD.设 BD=x， 222 6(8)xx，解得 25 4 x .四边形 ADBE 的周长为 25.故正确.故选
8、 D. 6（2020 河北） 如4-1，已知ABC，用尺规作它的角平分线. 如图4-2，步骤如下. 第一步：以 为圆心，以a为半径画弧，分别交射线BA，BC于点D，E； 第二步:分别以D，E为圆心，以b为半径画弧，两弧在ABC内部交于点P； 第三步：画射线BP，射线BP即为所求. O G F E N M D C B A 图4-2 第三步第二步第一步 图4-1 E D A B CCB A D E E D A B C C B A P P 下列正确的是 A.a，b 均无限制 B.a0，b 1 2 DE 的长 C.a 有最小限制，b 无限制 D.a0，b 1 2 DE 的长 答案B解析当a0时， 以B
9、为圆心以a为半径的弧才能分别与射线BA,BC相交于点D,E；当b 1 2DE 的长时，以D,E为圆心以b为半径的两弧才能相交于点P,故选项B正确. 9. （2020 安顺安顺） 如图，Rt ABC中，90C， 利用尺规在BC，BA上分别截取BE，BD， 使B E B D； 分别以D，E为圆心、以大于 1 2 DE为长的半径作弧，两弧在CBA内交于点F；作射线BF交AC 于点G，若1CG，P为AB上一动点，则GP的最小值为（ ） A.无法确定 B. 1 2 C.1 D.2 答案C解析 由作图过程可知，BG 是ABC 的平分线.若 GP 取最小值，则GPAB，所以 GP=GC=1. 6（2020通
10、辽）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功地找到三角形内心的是（ ） A B C D 答案B 解析三角形的内心是三角形角平分线的交点 7 （2020广西北部湾经济区）如图，在ABC 中，BABC，B80，观察图中尺规作图的痕迹， 则DCE 的度数为（ ） A60 B65 C70 D75 答案 B 解析BABC，B80， AACB= 1 2（18080）50， ACD180ACB130， 第 9 题图 观察作图过程可知： CE 平分ACD， DCE= 1 2 ACD65， DCE 的度数为 65，因此本题选 B 二、填空题二、填空题 13 （2020新疆）如图，在 x 轴、y 轴上分别截取 OA、OB
11、，使 OAOB，再分别以点 A、B 为圆心， 以大于 1 2 AB 长为半径画弧，两弧交于点 P若点 P 的坐标为（a，2a3） ，则 a 的值为_ 答案3 解析本题考查了点的坐标的特征以及基本的尺规作图作一个角的平分线由作法可知，射线 OP 是AOB 的平分线，由“角的内部到角两边的距离相等”得点 P（a，2a3）到 x，y 轴的距离相 等，所以 a2a3，解得 a3 17 （2020扬州）如图，在ABC 中，按以下步骤作图： 以点 B 为圈心，任意长为半径作弧，分别交 AB、BC 于点 D、E. 分别以点 D、E 为圆心，大于 2DE 的同样长为半径作弧，两弧交于点 F. 作射线 BF 交
12、 AC 于点 G. 如果 AB=8，BC= 12，ABG 的面积为 18.则CBG 的面积为 . （第 17 题图） 答案27 解析本题考查了角平分线的性质和三角形面积公式作 GMAB 于 M， GNAC 于 N， 如图， SABG 1 2 GMAB，即 18 1 2 GM8，GM 2 9 ，BD 平分ABC，GMAB，GNBC， GNGM 2 9 ，SCBG 1 2 GNCB 1 2 9 2 12=27 因此本题答案为 27 （第 17 题答图） 13 （2020湖北荆州）已知ABC，求作：ABC 的外接圆.作法：分别作线段 BC，AC 的垂直平分 线 EF 和 MN，它们相交于点 O；以点
13、 O 为圆心，OB 的长为半径画圆.如图，O 即为所求.以上作图 用到的数学依据有： （只需写一条）. 答案线段垂直平分线的性质，或填“三角形外心的定义” 、 “圆的定义” 、 “垂径定理”等与作图相关 的正确依据，均不扣分. 解析本题考查了线段垂直平分线性质、三角形外接圆的定义等知识，解题关键是结合图形读懂作 法我们知道“线段垂直平分线上一点到这条线段两个端点的距离相等” ，所以根据中的作法，可 推断出 OA=OB=OC，所以 A、B、C 三点在同一个圆上，故O 即为所求，据此可填写的依据有“线段垂 直平分线的性质” 、 “不在同一条直线上任意三点确定一个圆” 、 “圆的定义”等同时由知弦
14、AC、 BC 的中垂线一定经过圆心，所以两条中垂线的交点即为圆心，故也可填写“垂径定理”等 18 （2020 天津）如图，在每个小正方形的边长为 1 的网格中，的顶点均落在格点上，点 B 在网格线上，且 ABC,A C 5 3 AB （）线段的长等于_； （）以为直径的半圆与边相交于点 D，若分别为边上的动点，当取得 最小值时，请用无刻度 的直尺，在如图所示的网格中，画出点，并简要说明点的位置是如 何找到的（不要求证明）_ 答案（1）13； （2）详见解析 解析本题考查作图-应用与设计，勾股定理，轴对称-最短问题，垂线段最短等知识，解题的关键是 学会利用轴对称，根据垂线段最短解决最短问题，属于
15、中考常考题型 （1）将 AC 放在一个直角三角 形，运用勾股定理求解； （2）取格点 M，N，连接 MN，连接 BD 并延长，与 MN 相交于点；连接，与半圆相交于点 E， 连接 BE，与 AC 相交于点 P，连接并延长，与 BC 相交于点 Q，则点 P，Q 即为所求 （）如图， 在 RtAEC 中，CE=3,AE=2,则由勾股定理，得 AC=； （）如图，取格点 M，N，连接 MN，连接 BD 并延长，与 MN 相交于点；连接，与半圆相 交于点 E，连接 BE，与 AC 相交于点 P，连接并延长，与 BC 相交于点 Q，则点 P，Q 即为所求 （2020本溪）16 （3 分）如图，在 RtA
16、BC 中，ACB90，AC2BC，分别以点 A 和 B 为圆 心，以大于1 2AB 的长为半径作弧，两弧相交于点 M 和 N，作直线 MN，交 AC 于点 E，连接 BE， 若 CE3，则 BE 的长为 AC BCAC,P Q,AC BCBPPQ ,P Q,P Q B BC B P 2222 32CEAE13 B BC B P 答案5 解析由作图可知，MN 垂直平分线段 AB， AEEB， 设 AEEBx， EC3，AC2BC， BC= 1 2（x+3） ， 在 RtBCE 中，BE2BC2+EC2， x232+1 2（x+3） 2， 解得，x5 或3（舍弃） ， BE5 15 （2020 广
17、东）如题 15 图，在菱形 ABCD 中，A30 ，取大于 1 2 AB的长为半径，分别以点 A， B为圆心作弧相交于两点， 过此两点的直线交AD边于点E （作图痕迹如图所示） ， 连接BE， BD.则EBD 的度数为 . 答案45 解析本题考查了尺规作图、垂直平分线的性质、等边对等角、菱 形的性质、两直线平行同旁内角互补、角的计算，垂直平分线上的点到被平 分线段两端点的距离相等，菱形的对角线平分每一组内角与对边平行，由尺 规作图可知点 E 是线段 AB 垂直平分线上的一点，因此有 EAEB，由等边 对等角可得AEBA30 ， 再由菱形的性质可得： ADBC， 因此ABC 180 A150 ，
18、所以 1 75 2 ABDABC? ，故EBDABDEBA45 ，因此本题答案 是 45 15.(2020潍坊)如图，在Rt ABC中，90C，20B ，PQ垂直平分AB，垂足为 Q，交BC于 点 P按以下步骤作图：以点 A 为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交边 ,AC AB于点 D，E； 分别以点 D，E 为圆心，以大于 1 2 DE的长为半径作弧，两弧相交于点 F；作射线AF若AF 与PQ的夹角为，则 题题15图图 E D A B C 答案55解析根据直角三角形两锐角互余得BAC=70 ，由角平分线的定义得BAF=35 ，由线段 AB 垂直平分线 PQ 可得 AQM 是直角三角形，故可得
19、AMQ=55 ，最后根据对顶角相等求出 16（2020 抚顺本溪辽阳）如图，在 Rt ABC 中，ACB90 ，AC2BC，分别以点 A 和 B 为圆 心，以大于 1 2 AB 的长为半径作弧，两弧相交于点 M 和 N，作直线 MN，交 AC 于点 E，连接 BE， 若 CE3，则 BE 的长为 答案5解析根据尺规作图痕迹，可知 MN 是线段 AB 的垂直平分线，再结合线段垂直平分线的性 质及勾股定理， 列方程进行解答 根据题意可知 MN 是 AB 的垂直平分线， BEAE， 设 BCx， 则 AC2BC2xAEACCE2x3，BEAE2x3在 Rt BCE 中，BE2CE2 BC2，即(2x
20、3) 232x2，解得 x10（舍），x24，BE2x35 20（2020 毕节）如图，RtABC 中，BAC90 ，AB6，sinC 3 5 ，以点 A 为圆心，AB 长为 半径作弧交 AC 于点 M，分别以点 B，M 为圆心，以大于 1 2 BM 长为半径作弧，两弧相交于点 N，射 线 AN 与 BC 相交于点 D，则 AD 的长为_ 答案 24 2 7 ， 解析本题考查尺规作图，相似三角形的性质 解：过点 D 作 DEAB 于 E，DFAC 于 F AD 平分BAC，DEDFBAC90 ， 四边形 AEDF 是正方形 DEAC，DFAB ABCFDC，EDBACD Q PF E D C
21、BA M Q PF E D C BA A B C N M E D N C M B A EBDFDC BE DF DE CF BAC90 ，sinC 3 5 ， 设 AB3k，BC5k，AC 22 BCAB4k tanC 3 4 AB AC 3 4 AB6，AC8 设正方形 AEDF 的边长是 x， 6x x 8 x x 解得 x 24 7 AD 22 xx 24 2 7 故答案为 24 2 7 15 （2020 海南）如图，在 ABC 中，BC9，AC4，分别以点 A、B 为圆心，大于 1 2 AB 的长为 半径画弧，两弧相交于点 M、N，作直线 MN，交 BC 边于点 D，连接 AD，则AC
22、D 的周长为_. 答案13 解析 由尺规作图可知 MN 是 AB 的垂直平分线，ADBD，故 ACD 的周长为 ACBC13. 16.（2020郴州）如图，在矩形ABCD中，8, 4ABAD.分别以点DB,为圆心，以大于BD 2 1 的长 为 半 径 画 弧 ， 两 弧 相 交 于 点E和F. 作 直 线EF分 别 与ABDBDC,交 于 点NOM,， 则 MN 答案2 解析连接 DN， 在矩形 ABCD 中， AD4， AB8， 根据勾股定理可得 BD 的长， 根据作图过程可得， MN 是 BD 的垂直平分线， 所以 DNBN， 在 RtADN 中， 根据勾股定理得 DN 的长， 在 RtD
23、ON 中，根据勾股定理得 ON 的长，进而可得 MN 的长 如图，连接 DN，在矩形 ABCD 中，AD4，AB8，BD4，根据作图过程可 E F D N C M B A 知： MN 是 BD 的垂直平分线，DNBN，OBOD2，ANABBNABDN8DN，在 RtADN 中，根据勾股定理，得：DN2AN2AD2，DN2（8DN）242，解得 DN5，在 RtDON 中， 根据勾股定理， 得： ON， CDAB， MDONBO， DMO BNO，ODOB，DMOBNO（AAS） ，OMON，MN2故答案为： 2 14 （2020邵阳）如图，线段 AB=10cm,用习尺规作图法按如下步骤作图：
24、（1）过点 B 作 AB 的垂线，并在垂线上取 BC= 2 1 AB， （2）连接 AC，以点 C 为圆心，CB 为半径画弧，交 AB 于点 E， （3）以点 A 为圆心，AE 为半径画弧，交 AB 于点 D，即点 D 为线段 AB 的黄金分割点.则线段 AD 的 长度约为 cm. （结果保留两位小数，参考数据：21.414，31.732，52.236） 答案6.18 解析本题考查了尺规作图，勾股定理等知识，根据作图步骤得到相关已知条件是解题关键 解：由作图得 ABC 为直角三角形， 1 5cm 2 CEBCAB，AE=AD, 2222 1055 5ACABBC cm， 5 55551AEAC
25、CEcm， 5516.18ADAEcm因此本题答案为 6.18 14 （2020宁夏）如图，在ABC 中，C84，分别以点 A、B 为圆心，以大于AB 的长为 半径画弧，两弧分别交于点 M、N，作直线 MN 交 AC 点 D；以点 B 为圆心，适当长为半径画弧， 分别交 BA、BC 于点 E、F，再分别以点 E、F 为圆心，大于EF 的长为半径画弧，两弧交于点 P， 作射线 BP，此时射线 BP 恰好经过点 D，则A 32 度 【解析】由作图可得，MN 是线段 AB 的垂直平分线，BD 是ABC 的平分线， ADBD， AABD， AABDCBD， A+ABC+C180，且C84， A+2AB
26、D180C， 即 3A18084， A32 故答案为：32 三、解答题三、解答题 22(2020绥化)(1)如图 7，已知线段AB和点O利用直尺和圆规作ABC，使点O是ABC的内心 (不写作法，保留作图痕迹)； (2)在所画的ABC中，若C90，AC6，BC8，则ABC的内切圆半径是_ 解析(1)三角形的内心是内角平分线的交点利用基本作图“作一个角等于已知角”作出射线 AC， BC，从而得到ABC； (2)若直角三角形的两直角边为 a，b，斜边为 c，则其内切圆的半径 r 1 2 (abc) 答案解：(1)作法：如图#所示 作射线 AO，BO； 以点 A 为圆心，任意长为半径画弧分别交线段 A
27、B，射线 AO 于点 D，E； 以点 E 为圆心，DE 长为半径画弧，交上一步所画的弧于点 F同理作出点 M； 作射线 AF，BM 相交于点 C，则ABC 即所求 (2)2提示：AB 22 ACBC 10所求半径 1 2(6810)2 17 （2020 陕西）如图，已知 ABC，ACAB，C45 ，请用尺规作图法，在 AC 边上求作一点 P， 使PBC45 （保留作图痕迹，不写作法） 第 17 题图 解析若发现PBCC，由等腰三角形的性质可作 BC 的垂直平分线交 AC 于 P，点 P 为所求；若 发现PBCC45 ， PBC 是直角三角形，则可作 BPAC，垂足为 P，点 P 为所求；还可以
28、直 接作一个角等于已知角，即在 BC 的上方作PBCC，交 AC 于 P，点 P 为所求 答案解：法一：作 BC 的垂直平分线交 AC 于 P，点 P 为所求如答图所示： C B A 图# O A B C P M N F D E 图 7 O A B 第 17 题答图 法二：作 BPAC，垂足为 P，点 P 为所求如答图所示： 第 17 题答图 法三：在 BC 的上方作PBCC，交 AC 于 P，点 P 为所求如答图所示： 第 17 题答图 15 （2020青岛）已知：ABC. 求作：O,使它经过点 B 和点 C,并且圆心 O 在A 的平分线上. 解析本题考查了角平分线的作图、线段垂直平分线作图
29、、圆的作图 答案解：如图所示： 24 （2020无锡）如图，已知ABC 是锐角三角形（AC AB） （1）请在图 1 中用无刻度的直尺和圆规作图；作直线 l，使 l 上的各点到 B、C 两点的距离相等； 设直线 l 与 AB、BC 分别交于点 M、N，作一个圆，使得圆心 O 在线段 MN 上，且与边 AB、BC 相切； （不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若 BM5 3，BC=2，则O 的半径为 C A B P C P B A C A B P 解析本题考查了角平分线及垂直平分线的作法，还考查了切线性质、相似三角形性质根据题意作 出辅助线，构造出相似三角形是解答此题的关键 答案解
30、： （1）先作 BC 的垂直平分线分别交 AB、BC 于 M、N； 再作ABC 的角平分线与线段交点即为 O； 以 O 为圆心，ON 为半径画圆. 圆 O 即为所求 （2）过点 O 作 OEAB，垂足为 E，设 ON=OE=r BM=5 3，BC=2，BN=1，MN= 4 3 根据面积法，SBMN=SBNO+SBMO 1 21 4 3= 1 21r+ 1 2 5 3r，解得 r= 1 2 20 （2020 北京）已知：如图，ABC 为锐角三角形，AB=AC，CDAB. 求作：线段 BP，使得点 P 在直线 CD 上，且ABP= 1 2 BAC 作法：以点 A 为圆心，AC 长为半径画圆，交直线
31、 CD 于 C，P 两点； 连接 BP，线段 BP 就是所求作线段 图2 图1 A BC CB A O N M CB A E A BC M N O A B C D （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明 证明：CDAB， ABP= . AB=AC， 点 B 在A 上. 又BPC= 1 2 BAC（ ） （填推理依据） ABP= 1 2 BAC 解析本题考查了尺规作图以及圆周角与圆心角之间的关系只要按照作图步骤作图即可 答案解： BPC；在同圆或等圆中同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。 23 （2020福建）如图，C为线段AB外一点. （1）求作四边形A
32、BCD，使得CDAB，且2CDAB； （要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕 迹） （2） 在 （1） 的四边形ABCD中，AC，BD相交于点P，AB，CD的中点分别为,M N， 求证：, ,M P N 三点在同一条直线上. 解析本题考查了尺规作图、平行线的判定与性质、相似三角形的性质与判定 （1）根据要求尺规 作图； （2）先证ABPCDP，再证APMCPN，最后由180CPNCPM证明结论。 解： （1） 则四边形ABCD就是所求作的四边形. P A B C D （2）ABCD，ABPCDP，BAPDCP， ABPCDP， ABAP CDCP . ,M N分别为AB，CD的中点， 2ABA
33、M，2CDCN， AMAP CNCP . 连接MP，NP，又BAPDCP， APMCPN，APMCPN， 点P在AC上180APMCPM，180CPNCPM， , ,M P N三点在同一条直线上. （2020江西）16.如图，在正方形网格中，ABC的顶点在格点上，请仅用无刻度直尺完成以下作 图（保留作图痕迹）. （1）在图 1 中，作ABC关于点O对称的A B C； （2）在图 2 中，作ABC绕点A顺时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上的A B C. 【解析】作图如下： 21.（2020盐城） 如图，点O是正方形，ABCD的中心. 1用直尺和圆规在正方形内部作一点E(异于点O)，使得 ;EBE
34、C(保留作图痕迹，不写作法) 2连接 ,EBECEO、求证:BEOCEO. 21解析：本题考查了正方形的性质、轴对称图形的性质、三角形全等的判定与性质行规知识，解题 的关键是： （1）通过作线段 BC 的垂直平分线，得 EB=EC； （2）利用三角形全等的判定与性质求出 BEOCEO 解：(1)如图所示，点 E 即为所求 （2）连接 OB、OC 由（1）得：EBEC， O 是正方形 ABCD 的中心， OBOC， 在BEO 和CEO 中， EBEC EOEO OBOC BEOCEO（SSS） BEOCEO. （2020济宁）18.(7 分)如图,在ABC 中,AB=AC，点 P 在 BC 上.
35、 (1)求作:PCD,使点 D 在 AC 上，且PCDABP；(要求:尺规作图，保留作图痕迹,不写作法) (2)在(1)的条件下,若APC=2ABC，求证:PD/AB. 解析(1)用尺规作CPD=BAP，点 D 在 AC 上； （2）利用三角形内角和定理的推论，结合（1）中结论，只须证明ABC=CPD 即可. 答案解：解：(1)如图，用尺规作CPD=BAP， 在ABC 中,AB=AC，B=C，此时，PCDABP； (2)证明：如图，APC=ABC+BAP， 又APC=2ABC， BAP=ABC， 由作图，得CPD=BAP， ABC=CPD， PDAB. 19.（2020达州）如图，点O在ABC
36、的边BC上，以 OB 为半径作O，ABC的平分线BM交O 于点D，过点D作DEBA于点E （1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹） ，补全图形； （2）判断O 与DE交点的个数，并说明理由 解析（1）分别作ABC 的平分线和过点 D 作直线 AB 的垂线即可； （2）判断O 与 DE 交点的个 数实际就是证明 DE 与O 相切，即只有一个交点. 答案 （1） （2）如图，连结 OD， OB=OD，ODB=OBD， 又BM 平分ABC，OBD=ABD， ODB=ABD，ODAB， 由作图可知：BED=90，ODE=90，即 DE 与O 相切， DE 与O 只有一个交点. 20 （2020南通）
37、（2）如图 2，A 为O 上一点，按以下步骤作图 连接 OA以 A 为圆心，AO 长为半径作弧，交O 于点 B在射线 OB 上截取 BCOA连 接 AC，若 AC3，求O 的半径 解析（2）连接 AB，由已知可得OAB 为等边三角形，可证得OAC90 ，设O 的半径为 r，利 用勾股定理求半径 答案解： （2）连接 AB， OAABOB， OAB 为等边三角形， OBABACC60 ， ABBC, BACC30 ， OACOABBAC90 ， 在 RtOAC 中，设O 的半径为 r, 222 3(2 )rr, 3r 21 （2020泰州）如图，已知线段a，点A在平面直角坐标系xOy内， B O
38、 C A O A B C （1） 用直尺和圆规在第一象限内作出点P， 使点P两坐标轴的距离相等， 且与点A的距离等于a （保 留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，若2 5a ，A点的坐标为3,1，求P点的坐标 解析（1）本题考查角平分线的性质和圆的集合性定义，点 P 到两坐标轴的距离相等且在第一象限， 说明点 P 在第一、三象限的角平分线上，又点 P 到点 A 的距离等于 a,说明点 P 在以点 A 为圆心，a 为半径的圆上，所以只要作第一、三象限的角平分线 l 和以点 A 为圆心，a 为半径的圆，它们的交点 即为所求 （2）结合 45 角和 A 点坐标，构造等腰直角三角形，再结合
39、垂径定理求解 答案解： （1）画图 （2）过点 A 作 x 轴的垂线，分别交 x 轴和直线 l 于点 B、C,过点 A 作 ADl 于点 D,连接 AP 由（1）得BOC=45 A(3,1) OB=BC=3 ，OC=3 2 又AB=1 AC=2 而ACD 为等腰直角三角形 AD=CD=2 OD=2 2 在 RtADP 中，DPAPAD 22 52（2） （） 18 DP=3 2 OPOD+DP=2 2+3 2=5 2 过 P 作 PHx 轴于 H，又POH45 则在 RtOPH 中，OP=PH=5 P(5，5) 19（2020 长沙） 人教版初中数学教科书八年级上册第 48 页告诉我们一种作已
40、知角的平分线的方法： 已知：AOB 求作：AOB 的平分线 做法： （1）以 O 为圆心，适当长为半径画弧，交 OA 于点 M,交 OB 于点 N. （2）分别以点 M,N 为圆心，大于MN 2 1 的长为半径画弧，两弧在AOB 的内部相交于点 C. （3）画射线 OC，射线 OC 即为所求（如图）. 请你根据提供的材料完成下面问题： （1）这种作已知角平分线的方法的依据是_(填序号). SSS SAS AAS ASA （2）请你证明 OC 为AOB 的平分线. 解析本题考查了三角形判定的应用，画图的过程实际就是构造全等条件的过程，想明白这一点就能 很容易得出答案 答案解： （1） （2）由基
41、本作图方法可得：OMON，OCOC，MCNC， 则在OMC 和ONC 中， NCMC OCOC ONOM ， OMCONC（SSS） ， AOCBOC， C M N O A B C B A D C O B A D F E C O B A D 即OC为AOB的平分线 23(2020青海)如图 10，在 RtABC 中，C90 (1)尺规作图：作 RtABC 的外接圆O；作ACB 的角平分线交O 于点 D，连接 AD (不写作法，保留作图痕迹) (2)若 AC6，BC8，求 AD 的长 解析(1)直角三角形斜边的中点即是该直角三角形外接圆的圆心作 AB 的垂直平分线得到 AB 的中 点 O，以点
42、O 为圆心、OA 为半径画出ABC 的外接圆；(2)用勾股定理求出斜边 AB推出ADB 是 等腰直角三角形根据等腰直角三角形直角边与斜边的数量关系求出 AD 的长 答案解：(1)如图#所示； (2)连结 BDAB 22 ACBC10ACB90 ，ADB90 CD 平分ACB，DAB DCB45 ，DBA45 ADB 是等腰直角三角形ADAB252 23 （2020广州）如图 10，ABD 中，ABD =ADB （1） 作点 A 关于 BD 的对称点 C； （要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）所作的图中，连接 BC，DC，连接 AC，交 BD 于点 O 求证：四边形 ABC
43、D 是菱形； 取 BC 的中点 E，连接 OE，若 13 2 OE ，10BD ，求点 E 到 AD 的距离 解析本题考查了过直线外一点作已知直线的垂线以及菱形的性质和判定 （1） 根据轴对称的性质 “对应点的连线被对称轴垂直平分” ， 因此， 作点 A 关于 BD 的对称点 C， 首先应作出过点 A 垂直于 BD 的射线，即过直线外一点作已知直线的垂线，然后构造“平分”即可； （2）因为菱形的对角线互相平分，所以 O 是 AC 的中点，由 E 是 BC 的中点，可以由中位线定理求 出菱形的边长，再根据勾股定理求出菱形对角线 AC 的长.因为平行线间的距离处处相等，因此点 E 到 AD 的距离
44、就是菱形的高，最后，根据等面积法可以求出题目所要求的距离. 答案解： （1）如图所示： （2）点 A、C 关于 BD 对称， BDAC，OA=OC， ABDADB , ABAD, OBOD. 四边形 ABCD 是平行四边形. BDAC, ABCD是菱形. 过点 E 作EFAD于点 F, D C A B O 图# 则EF是点 E 到 AD 的距离. 在菱形ABCD中， ABAD, 1 ,=5. 2 OAOC OBBD E 是 BC 中点， OE 是ABC 的中位线， 213.ABOE 在Rt AOB中, 2222 13512.OAABOB 224.ACOA 1 , 2 ABCD sAC BDAD
45、 EF 菱形 1 24 1013, 2 EF 120 =, 13 EF 点 E 到 AD 的距离是 120 . 13 20 （2020武汉）在 85 的网格中建立如图的平面直角坐标系，四边形 OABC 的顶点坐标分别为 O（0，0） ，A（3，4） ，B（8，4） ，C（5，0） 仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列步骤完成画图， 并回答问题： （1）将线段 CB 绕点 C 逆时针旋转 90 ，画出对应线段 CD； （2）在线段 AB 上画点 E，使BCE45 （保留画图过程的痕迹） ； （3）连接 AC，画点 E 关于直线 AC 的对称点 F，并简要说明画法 解析本题考查了利用图形的判定和性质
46、来画出符合特殊条件的几何图形， （1）利用直角三角形的全 等就能构造出 90角及相等的线段； （2）结合（1）问中线段得到等腰 RtDCB，所以（2）问可以 利用等腰 RtDCB 的性质“三线合一”得到 45； （3）利用轴对称性质中的对应点的连线被对称轴 垂直且平分来找到点（方法不唯一） 答案(1)画图如图: (2) 画图如图: 1 2 3 4 5 12345678 O C B A x y 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 422468101214 D C BA O 画法不唯一，只要能找到 BD 中点即可. (3)画图如图: 连接 OE 交 AC 于点 H，连接 B
47、H 并延长交 OA 于点 F（方法不唯一） 20 （2020昆明）如图，点 P 是O 的直径 AB 延长线上的一点(PBOB)，点 E 是线段 OP 的中点. (1)尺规作图：在直径 AB 上方的圆上作一点 C，使得 EC=EP，连接 EC，PC(保留清晰作图痕迹，不要 求写作法)；并证明 PC 是O 的切线； (2)在(1)的条件下，若 BP=4，EB=1，求 PC 的长. 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 422468101214 E D C BA O 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 422468101214 E C BA O F A B EO P 解析本题考查了尺规作图、切线的判定、直三角形的判定、勾股定理 （1）以点 E 为圆心、EP 为半径画弧，交O 于
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