1、2020 年江苏省南通市如东县中考数学二模试卷年江苏省南通市如东县中考数学二模试卷 一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题） 1在实数，3，0，1 中，最小的数是（ ） A B3 C0 D1 2沪通长江大桥是世界最大跨径公路铁路大桥，该项目总投资约 15000000000 元将数据 15000000000 用科学记数法表示为（ ） A1.51010 B15109 C1.5109 D0.151010 3如图是由一个长方体和一个球组成的几何体，它的主视图是（ ） A B C D 4下列计算正确的是（ ） A5ab3a2b B （3a2b）26a4b2 C2x2x33x5 D2a2bb2a2 5
2、已知 ab，将等腰直角三角形 ABC 按如图所示的方式放置，其中锐角顶点 B，直角顶点 C 分别落在直线 a，b 上，若115，则2 的度数是（ ） A45 B30 C22.5 D15 6若 x1，x2是方程 x23x20 的两个根，则 x1+x2x1x2的值是（ ） A5 B1 C5 D1 7若一组数据 2，4，6，8，x 的方差比另一组数据 5，7，9，11，13 的方差大，则 x 的值 可以为（ ） A12 B10 C2 D0 8如图，将矩形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转得到矩形 ABCD，AB交 CD 于点 E，若 DEBE，AB5，AD4，则 AE 的长为（ ） A3 B2 C D
3、 9已知关于 x 的一次函数 ykx+3k+1，不论 k 为何值，该函数的图象都经过点 P，则点 P 的坐标为（ ） A （3，1） B （1，3） C （3，1） D （1，3） 10如图，C 是线段 AB 上一动点，ACD，CBE 都是等边三角形，M，N 分别是 CD， BE 的中点，若 AB6，则线段 MN 的最小值为（ ） A B C2 D3 二填空题（共二填空题（共 8 小题）小题） 11若式子在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 12如图，ABC 内接于O，若AOB110，则C 度 13计算（ab）2a（a2b） 14正 n 边形的一个外角是 30，则 n 15 九章算术 是我
4、国古代数学名著， 卷七 “盈不足” 中题目译文如下： “今有人合伙买羊， 每人出 5 钱，还差 45 钱；每人出 7 钱，还差 3 钱问合伙人数、羊价各是多少？”设合 伙人数为 x 人，根据题意可列一元一次方程为 16如图，一轮船在 A 处观测灯塔 P 位于南偏西 30方向，该轮船沿正南方向以 15 海里/ 时的速度匀速航行 2 小时后到达 B 处，再观测灯塔 P 位于南偏西 60方向若该轮船继 续向南航行至灯塔 P 最近的位置 C 处，此时 PC 长为 海里 17已知 a+120192+20202，计算： 18如图，矩形 OABC 的两边 OA，OC 分别在 x 轴、y 轴的正半轴上，OA4
5、，OC2，函 数 y（x0）的图象交 AB 于点 P，交 BC 于点 Q，将矩形 OABC 沿直线 PQ 折叠， 若点 B 的对应点恰好落在 OA 上，则 k 三解答题三解答题 19.计算： （1） （） 1+|1 |+4cos45； （2） 20.一只不透明的袋子中，装有 2 个白球和 1 个红球，这些球除颜色外其他都相同搅匀后 从中摸出一个球，记下颜色，放回后搅匀再次摸出一个球，记下颜色，请用树状图（或 列表法）求这两个球都是白球的概率 21.如图，AB 与O 相切于点 C，OAOB，AB8cm （1）若O 的直径为 6cm，求 OA 的长； （2）若 sinA，求图中阴影部分的面积 22
6、.为弘扬传统文化，某校开展了“传承经典文化，阅读经典名著”活动为了解七、八年 级学生（七、八年级各有 200 名学生）的阅读效果，进行了抽样调查，过程如下： 收集数据 从七、八两个年级各随机抽取 20 名学生，进行了经典文化知识竞赛，成绩（百 分制）如下： 七年级 86 74 78 81 76 75 86 70 75 90 75 79 81 70 74 80 87 69 83 77 八年级 80 73 70 82 71 82 83 93 77 80 81 93 81 73 88 79 81 70 40 83 整理、描述数据 按如下分数段整理、描述这两组样本数据： 成绩 x 人数 年级 40 x
7、50 50 x60 60 x70 70 x80 80 x90 90 x100 七 0 0 1 11 7 1 八 1 0 0 7 10 2 （说明：成绩 80 分及以上为优秀，7079 分为良好，6069 分为合格，60 分以下为不 合格） 分析数据 两组样本数据的平均数、中位数、众数如表所示： 校区 平均数 中位数 众数 七 78.3 m 75 八 78 80.5 n 得出结论 （1）m ，n ； （2）推断哪个年级学生对经典文化知识掌握的总体水平较好，试从两个不同的角度说明 理由 23.“绿水青山就是金山银山” ，为了进一步优化居住环境，某社区计划购买甲、乙两种树苗 600 棵，甲、乙两种树
8、苗的相关资料如表： 甲种 乙种 单价（元） 48 60 成活率 80% 90% （1）若购买这两种树苗共用去 33000 元，则甲、乙两种树苗各购买多少棵？ （2） 若要使这批树苗的总成活率不低于 85%， 请设计出最省钱的购买方案， 并说明理由 24.如图，四边形 ABCD 和四边形 AEFG 都是正方形，C，F，G 三点在一直线上，连接 AF 并延长交边 CD 于点 M （1）求证：MFCMCA； （2）求的值， （3）若 DM1，CM2，求正方形 AEFG 的边长 25.已知抛物线 yax2+bx+c（a，b，c 为常数，a0）的对称轴为直线 x1，且与 x 轴只有 一个公共点 （1）试
9、用含 a 的式子表示 b 和 c； （2）若（x1，y1） ， （3，y2）是该抛物线上的两点，y2y1，求 x1的取值范围； （3）若将该抛物线向上平移 2 个单位长度所得新抛物线经过点（3，6） ，且当 pxq 时，新抛物线对应的函数有最小值 2p，最大值 2q，求 pq 的值 26.【定义】 如图 1，在 RtABC 中，点 M，N 分别在直角边 AC，BC 上，若 AM2+BN2MN2，则称 线段 MN 为 RtABC 的“勾股线” 【运用】 （1）如图 1，MN 为 RtABC 的“勾股线” ，AC6，BC4，AM2，求 CN 的长； （2）如图 2，RtABC 中，C90，点 P
10、在边 AC 上，试用没有刻度的直尺和圆规 作出 RtABC 的一条“勾股线”PQ（要求：保留作图痕迹，不写作法） ； （3）如图 3，EF 是 RtABC 的“勾股线” ，BFAE，CFAE，D 是斜边 AB 上一 点，且 ADBD，连接 DF求 tanDFE 的值 2020 年江苏省南通市如东县中考数学二模试卷年江苏省南通市如东县中考数学二模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题） 1在实数，3，0，1 中，最小的数是（ ） A B3 C0 D1 【分析】根据实数大小比较的法则比较即可 【解答】解：301， 在实数，3，0，1 中，最小的实数是
11、3 故选：B 2沪通长江大桥是世界最大跨径公路铁路大桥，该项目总投资约 15000000000 元将数据 15000000000 用科学记数法表示为（ ） A1.51010 B15109 C1.5109 D0.151010 【分析】 根据把一个大于 10 的数记成 a10n的形式， 其中 a 是整数数位只有一位的数， n 是正整数可得答案 【解答】解：15 000 000 0001.51010， 故选：A 3如图是由一个长方体和一个球组成的几何体，它的主视图是（ ） A B C D 【分析】从正面看几何体，确定出主视图即可 【解答】解：几何体的主视图为： 故选：C 4下列计算正确的是（ ） A
12、5ab3a2b B （3a2b）26a4b2 C2x2x33x5 D2a2bb2a2 【分析】根据合并同类项、积的乘方、整式的乘法和除法解答即可 【解答】解：A、5ab 与3a 不是同类项，不能合并，选项错误，不符合题意； B、 （3a2b）29a4b2，选项错误，不符合题意； C、2x2x32x5，选项错误，不符合题意； D、2a2bb2a2，选项正确，符合题意； 故选：D 5已知 ab，将等腰直角三角形 ABC 按如图所示的方式放置，其中锐角顶点 B，直角顶点 C 分别落在直线 a，b 上，若115，则2 的度数是（ ） A45 B30 C22.5 D15 【分析】利用等腰直角三角形的定义
13、求3，再由平行线的性质求出2 即可 【解答】解：如图， ABC 是等腰直角三角形， 1+345， 115， 330， ab， 2330， 故选：B 6若 x1，x2是方程 x23x20 的两个根，则 x1+x2x1x2的值是（ ） A5 B1 C5 D1 【分析】根据根与系数的关系得到 x1+x23，x1x22，然后利用整体代入的方法计算 即可 【解答】解：根据题意得 x1+x23，x1x22， 所以 x1+x2x1x23（2）5 故选：C 7若一组数据 2，4，6，8，x 的方差比另一组数据 5，7，9，11，13 的方差大，则 x 的值 可以为（ ） A12 B10 C2 D0 【分析】利
14、用方差定义判断即可 【解答】 解： 5， 7， 9， 11， 13， 这组数据的平均数为 9， 方差为 S12 （42+22+0+22+42） 8； 数据 2，4，6，8，x 的方差比这组数据方差大，则有 S22S128， 当 x12 时，2，4，6，8，12 的平均数为 6.4，方差为（4.42+2.42+0.42+1.62+5.62） 11.84，满足题意， 故选：A 8如图，将矩形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转得到矩形 ABCD，AB交 CD 于点 E，若 DEBE，AB5，AD4，则 AE 的长为（ ） A3 B2 C D 【分析】根据旋转的性质得到 ABAB5，设 AECEx，根据
15、勾股定理即可得到结 论 【解答】解：将矩形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转得到矩形 ABCD， ABAB5， DEBE， AECE， 设 AECEx， DE5x， D90， AD2+DE2AE2， 即 42+（5x）2x2， 解得：x， AE， 故选：D 9已知关于 x 的一次函数 ykx+3k+1，不论 k 为何值，该函数的图象都经过点 P，则点 P 的坐标为（ ） A （3，1） B （1，3） C （3，1） D （1，3） 【分析】当 k0 时，得出 y1，把 y1，k1 代入解析式得出 x 即可 【解答】解：一次函数 ykx+3k+1，不论 k 为何值，该函数的图象都经过点 P， 当
16、 k0 时，y1， 把 y1，k1 代入 ykx+3k+1 中，可得：x3， 所以点 P 的坐标为（3，1） ， 故选：A 10如图，C 是线段 AB 上一动点，ACD，CBE 都是等边三角形，M，N 分别是 CD， BE 的中点，若 AB6，则线段 MN 的最小值为（ ） A B C2 D3 【分析】连接 CN首先证明MCN90，设 ACa，则 BC6a，构建二次函数， 利用二次函数的性质即可解决问题 【解答】解：连接 CN， ACD 和BCE 为等边三角形， ACCD，BCCE，ACDBCEB60， DCE60， N 是 BE 的中点， CNBE，ECN30， DCN90， 设 ACa，
17、AB6， CMa，CN（6a） ， MN， 当 a时，MN 的值最小为 故选：B 二填空题（共二填空题（共 8 小题）小题） 11若式子在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 x6 【分析】根据被开方数大于等于 0 列式计算即可得解 【解答】解：由题意得，x60， 解得 x6 故答案为：x6 12如图，ABC 内接于O，若AOB110，则C 55 度 【分析】直接根据圆周角定理即可得出结论 【解答】解：C 与AOB 是同弧所对的圆周角与圆心角，AOB110， ACBAOB55 故答案为：55 13计算（ab）2a（a2b） b2 【分析】先根据完全平方公式和单项式乘多项式的法则计算，再合并同
18、类项即可得 【解答】解：原式a22ab+b2a2+2abb2 故答案为：b2 14正 n 边形的一个外角是 30，则 n 12 【分析】利用多边形的外角和即可求出答案 【解答】解：n3603012 故答案为：12 15 九章算术 是我国古代数学名著， 卷七 “盈不足” 中题目译文如下： “今有人合伙买羊， 每人出 5 钱，还差 45 钱；每人出 7 钱，还差 3 钱问合伙人数、羊价各是多少？”设合 伙人数为 x 人，根据题意可列一元一次方程为 5x+457x+3 【分析】设合伙人数为 x 人，根据买羊需要的钱数不变，即可得出关于 x 的一元一次方 程，此题得解 【解答】解：设合伙人数为 x 人
19、， 依题意，得：5x+457x+3 故答案为：5x+457x+3 16如图，一轮船在 A 处观测灯塔 P 位于南偏西 30方向，该轮船沿正南方向以 15 海里/ 时的速度匀速航行 2 小时后到达 B 处，再观测灯塔 P 位于南偏西 60方向若该轮船继 续向南航行至灯塔 P 最近的位置 C 处，此时 PC 长为 15 海里 【分析】根据题意，可以得到PAC30，PBC60，PCBPCA90，AB 15230，然后根据锐角三角函数即可得到 PC 的长，本题得以解决 【解答】解：由题意可得， PAC30，PBC60，PCBPCA90，AB15230， 设 PCx， 则 tanPAC，tanPBC，
20、即， 解得，x15， 即 PC 的长是 15海里， 故答案为：15 17已知 a+120192+20202，计算： 4039 【分析】把 a+120002+20012代入得到，再根据完全平 方公式得到原式，再根 据完全平方公式和二次根式的性质化简即可求解 【解答】解：a+120002+20012， 4039 故答案为：4039 18如图，矩形 OABC 的两边 OA，OC 分别在 x 轴、y 轴的正半轴上，OA4，OC2，函 数 y（x0）的图象交 AB 于点 P，交 BC 于点 Q，将矩形 OABC 沿直线 PQ 折叠， 若点 B 的对应点恰好落在 OA 上，则 k 3 【分析】连接 AC，
21、作 BBPQ 交 OA 于 B，连接 PB，易得到 B是 B 的对应点， 根据同角的余角相等得到ABBPQB， 设 P（4，） ，Q（，2） ，则 PA，CQ，PB2，BQ4，根据三角函 数的定义得到 tanBQPtanACB， 求得BQPACB， 即可得到ACBABB， 根据三角函数的定义求得 AB1，根据勾股定理得到关于 k 的方程，解方程即可求得 k 的值 【解答】解：连接 AC，作 BBPQ 交 OA 于 B，连接 PB， 将矩形 OABC 沿直线 PQ 折叠，若点 B 的对应点恰好落在 OA 上， B是 B 的对应点， ABB+QBB90PQB+QBB， ABBPQB， 四边形 OA
22、BC 是矩形，OA4，OC2， BCOA4，ABOC2， B（4，2） ， 设 P（4，） ，Q（，2） ， PA，CQ， PB2，BQ4， tanPQB， tanACB， PQBACB， ACBABB， tanABB， ， AB1， 在 RtAPB中，PB2PA+PB2， （2）2（）2+12， 解得 k3， 故答案为 3 三解答题三解答题 19.计算： （1） （） 1+|1 |+4cos45； （2） 【考点】2C：实数的运算；6B：分式的加减法；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角 函数值 【专题】11：计算题；44：因式分解；511：实数；513：分式；66：运算能力 【答案】见试
23、题解答内容 【分析】 （1）先按照负整数指数幂、绝对值、立方根和特殊角的三角函数值的运算法则 化简，再合并即可； （2） 先按照分式的基本性质进行变形， 化成同分母的分式的减法运算， 再约分化简即可 【解答】解： （1） （） 1+|1 |+4cos45 2+1+34 2 ； （2） 20.一只不透明的袋子中，装有 2 个白球和 1 个红球，这些球除颜色外其他都相同搅匀后 从中摸出一个球，记下颜色，放回后搅匀再次摸出一个球，记下颜色，请用树状图（或 列表法）求这两个球都是白球的概率 【考点】X6：列表法与树状图法 【专题】12：应用题；65：数据分析观念；69：应用意识 【答案】见试题解答内容
24、 【分析】用树状图列举出所有情况即可，根据摸到两个球都是白球的情况数占所有情况 数的多少即可 【解答】解：根据题意画树状图得可得： 所有情况为 9 种，两个球都是白球的有 4 种情况， 两个球都是白球的概率 21.如图，AB 与O 相切于点 C，OAOB，AB8cm （1）若O 的直径为 6cm，求 OA 的长； （2）若 sinA，求图中阴影部分的面积 【考点】M5：圆周角定理；MC：切线的性质；MO：扇形面积的计算；T7：解直角三角 形 【专题】55A：与圆有关的位置关系；66：运算能力；67：推理能力 【答案】见试题解答内容 【分析】 （1）连接 OC，根据切线的性质得到 OCAB 根据
25、等腰三角形的性质得到 AC CB4，根据勾股定理即可得到结论； （2）根据三角函数的定义得到A30，根据三角形的内角和得到AOC60，求 得AOB2AOC120，根据扇形的面积即可得到结论 【解答】解： （1）连接 OC， AB 与O 相切于点 C， OCAB OAOB， ACCB4， O 的直径为 6， OC3， 在 RtAOC 中，根据勾股定理得：OA5； （2）sinA， A30， AOC60， AOB2AOC120， AC4， OC， 图中阴影部分的面积 22.为弘扬传统文化，某校开展了“传承经典文化，阅读经典名著”活动为了解七、八年 级学生（七、八年级各有 200 名学生）的阅读效果
26、，进行了抽样调查，过程如下： 收集数据 从七、八两个年级各随机抽取 20 名学生，进行了经典文化知识竞赛，成绩（百 分制）如下： 七年级 86 74 78 81 76 75 86 70 75 90 75 79 81 70 74 80 87 69 83 77 八年级 80 73 70 82 71 82 83 93 77 80 81 93 81 73 88 79 81 70 40 83 整理、描述数据 按如下分数段整理、描述这两组样本数据： 成绩 x 人数 年级 40 x50 50 x60 60 x70 70 x80 80 x90 90 x100 七 0 0 1 11 7 1 八 1 0 0 7
27、10 2 （说明：成绩 80 分及以上为优秀，7079 分为良好，6069 分为合格，60 分以下为不 合格） 分析数据 两组样本数据的平均数、中位数、众数如表所示： 校区 平均数 中位数 众数 七 78.3 m 75 八 78 80.5 n 得出结论 （1）m ，n ； （2）推断哪个年级学生对经典文化知识掌握的总体水平较好，试从两个不同的角度说明 理由 【考点】V1：调查收集数据的过程与方法；V5：用样本估计总体；V7：频数（率）分布 表；W1：算术平均数；W4：中位数；W5：众数 【专题】542：统计的应用；65：数据分析观念 【答案】见试题解答内容 【分析】 （1）根据已知数据及中位数
28、和众数的概念求解可得； （2）从中位数和众数两个方面进行分析，即可得出答案 【解答】解： （1）七年级成绩重新排列为：69，70，70，74，74，75，75，75，76，77， 78，79，80，81，81，83，86，86，87，90， 中位数 m77.5； 八年级成绩的众数 n81； 故答案为：77.5，81； （2）八年级的总体水平较好， 八年级的中位数大于七年级的中位数，八年级的众数大于七年级， 八年级的学生对经典文化知识掌握的总体水平较好 23.“绿水青山就是金山银山” ，为了进一步优化居住环境，某社区计划购买甲、乙两种树苗 600 棵，甲、乙两种树苗的相关资料如表： 甲种 乙种
29、单价（元） 48 60 成活率 80% 90% （1）若购买这两种树苗共用去 33000 元，则甲、乙两种树苗各购买多少棵？ （2） 若要使这批树苗的总成活率不低于 85%， 请设计出最省钱的购买方案， 并说明理由 【考点】9A：二元一次方程组的应用；C9：一元一次不等式的应用 【专题】521：一次方程（组）及应用；524：一元一次不等式(组)及应用；69：应用意识 【答案】见试题解答内容 【分析】 （1）设甲种树苗购买 x 棵，乙种树苗购买 y 棵，根据购买两种树苗 600 棵共花 费 33000 元，即可得出关于 x，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买甲种树苗 m 棵，
30、则购买乙种树苗（600m）棵，根据要使这批树苗的总成 活率不低于 85%，即可得出关于 m 的一元一次不等式，解之即可得出 m 的取值范围，设 购买这批树苗的总费用为w元， 根据总价单价数量即可得出w关于m的函数关系式， 再利用一次函数的性质即可解决最值问题 【解答】解： （1）设甲种树苗购买 x 棵，乙种树苗购买 y 棵， 依题意，得：， 解得： 答：甲种树苗购买 250 棵，乙种树苗购买 350 棵 （2）设购买甲种树苗 m 棵，则购买乙种树苗（600m）棵， 依题意，得：80%m+90%（600m）60085%， 解得：m300 设购买这批树苗的总费用为 w 元，则 w48m+60（60
31、0m）12m+36000， 120， w 随 m 的增大而减小， 当 m300 时，w 取得最小值，最小值为 32400 答：购买 300 棵甲种树苗，300 棵乙种树苗最省钱 24.如图，四边形 ABCD 和四边形 AEFG 都是正方形，C，F，G 三点在一直线上，连接 AF 并延长交边 CD 于点 M （1）求证：MFCMCA； （2）求的值， （3）若 DM1，CM2，求正方形 AEFG 的边长 【考点】KD：全等三角形的判定与性质；LE：正方形的性质；S9：相似三角形的判定与 性质 【专题】556：矩形 菱形 正方形；55D：图形的相似；67：推理能力 【答案】 （1）见解析； （2）
32、； （3） 【分析】 （1） 由正方形的性质得ACDAFG45， 进而根据对顶角的性质得CFM ACM，再结合公共角，根据相似三角形的判定得结论； （2）根据正方形的性质得，再证明其夹角相等，便可证明ACFABE，由 相似三角形的性质得出结果； （3）由已知条件求得正方形 ABCD 的边长，进而由勾股定理求得 AM 的长度，再由 MFCMCA，求得 FM，进而求得正方形 AEFG 的对角线长，便可求得其边长 【解答】解： （1）四边形 ABCD 是正方形，四边形 AEFG 是正方形， ACDAFG45， CFMAFG， CFMACM， CMFAMC， MFCMCA； （2）四边形 ABCD 是
33、正方形， ABC90，BAC45， ACAB， 同理可得 AF， ， EAFBAC45， CAFBAE， ACFABE， ； （3）DM1，CM2， ADCD1+23， AM， MFCMCA， ，即， FM， AFAMFM， AF， 即正方形 AEFG 的边长为 25.已知抛物线 yax2+bx+c（a，b，c 为常数，a0）的对称轴为直线 x1，且与 x 轴只有 一个公共点 （1）试用含 a 的式子表示 b 和 c； （2）若（x1，y1） ， （3，y2）是该抛物线上的两点，y2y1，求 x1的取值范围； （3）若将该抛物线向上平移 2 个单位长度所得新抛物线经过点（3，6） ，且当 px
34、q 时，新抛物线对应的函数有最小值 2p，最大值 2q，求 pq 的值 【考点】H3：二次函数的性质；H5：二次函数图象上点的坐标特征；H6：二次函数图象 与几何变换；H7：二次函数的最值；HA：抛物线与 x 轴的交点 【专题】535：二次函数图象及其性质；66：运算能力；67：推理能力 【答案】见试题解答内容 【分析】 （1）根据对称轴方程和图象上点的坐标特征即可求得 b、c； （2）根据二次函数的性质即可求得； （3）先求得平移后的抛物线的解析式，如图根据题意得到 2p2，解得 p1，即可得到 当 xq 时，在 pxq 范围内有最大值 2q，即 2q（q1）2+2，解得 q3，即可求得 结
35、果 【解答】解： （1）抛物线 yax2+bx+c（a，b，c 为常数，a0）的对称轴为直线 x1， 1， b2a， 抛物线与 x 轴只有一个公共点 b24ac0，即（2a）24ac0， ca； （2）（x1，y1） ， （3，y2）是该抛物线上的两点，对称轴为 1， （3，y2）的对称点为（1，y2） ， a0，抛物线开口向上， y2y1时，x1的取值范围是 x13 或 x11； （3）由（1）知：抛物线 yax22ax+aa（x1）2（a0） ， 将该抛物线向上平移 2 个单位长度所得新抛物线为 ya（x1）2+2， 经过点（3，6） ， 64a+2，解得 a1， 新抛物线为 y（x1）2
36、+2， 当 x1 时，抛物线有最小值为 2， 2p2，解得 p1， 1xq， 对称轴为 x1， 当 xq 时，在 pxq 范围内有最大值 2q， 2q（q1）2+2，解得 q3 或 1（舍去） ， pq132 26.【定义】 如图 1，在 RtABC 中，点 M，N 分别在直角边 AC，BC 上，若 AM2+BN2MN2，则称 线段 MN 为 RtABC 的“勾股线” 【运用】 （1）如图 1，MN 为 RtABC 的“勾股线” ，AC6，BC4，AM2，求 CN 的长； （2）如图 2，RtABC 中，C90，点 P 在边 AC 上，试用没有刻度的直尺和圆规 作出 RtABC 的一条“勾股线
37、”PQ（要求：保留作图痕迹，不写作法） ； （3）如图 3，EF 是 RtABC 的“勾股线” ，BFAE，CFAE，D 是斜边 AB 上一 点，且 ADBD，连接 DF求 tanDFE 的值 【考点】KY：三角形综合题 【专题】554：等腰三角形与直角三角形；55D：图形的相似；55E：解直角三角形及其 应用；69：应用意识 【答案】 （1）CN， （2）作图见解析过程； （3）2 【分析】 （1）由“勾股线”定义，列出方程组，可求解； （2）以 P 为圆心，PA 为半径画弧，交 AB 于 E，作 BE 的垂直平分线交 BC 于 Q，连接 PQ，则 PQ 为所求； （3）过点 A 作 AHB
38、C，交 FD 的延长线于 H，连接 EH，通过证明AEHCFE，可 得，AEHCFE，可证FEH90，即可求解 【解答】解： （1）AC6，AM2， CM4， MN2CM2+CN2，AM2+BN2MN2， CM2+CN2AM2+BN2， 16+CN24+（4CN）2， CN； （2） 如图 2， 以 P 为圆心， PA 为半径画弧， 交 AB 于 E， 作 BE 的垂直平分线交 BC 于 Q， 连接 PQ，则 PQ 为所求 （3）如图 3，过点 A 作 AHBC，交 FD 的延长线于 H，连接 EH， 设 AEa，则 BFa，CFa， EF 是 RtABC 的“勾股线” ， EF2AE2+BF24a2， EF2a， CEa， AHBC， ，C+HAC90， HACC90， ADBD， AHBFa， 2，2， 2， 又HACC90， AEHCFE， ，AEHCFE， CFE+CEF90， AEH+CEF90， FEH90， tanDFE
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