1、随州市随州市 20202020 年初中毕业升学考试数学试题年初中毕业升学考试数学试题 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 1010 小题，每小题小题，每小题 3 3 分，共分，共 3030 分，每小题给出的四个选项中，有且只分，每小题给出的四个选项中，有且只 有一个是正确的）有一个是正确的） 1.2020 的倒数是（ ） A. 2020 B. 2020 C. 1 2020 D. 1 2020 【答案】C 【解析】 【分析】 根据倒数的定义解答. 【详解】2020的倒数是 1 2020 ， 故选：C. 【点睛】此题考查倒数的定义，熟记倒数的定义是解题的关键. 2.如图，直线 12 /ll，
2、直线l与 1 l， 2 l分别交于A，B两点，若 160 ，则2的度数是（ ） A. 60 B. 100 C. 120 D. 140 【答案】C 【解析】 【分析】 如图：先运用两直线平行、同位角相等得到3=1=60 ，然后再根据邻补角的性质得到3+2=180 ，最 后计算即可 【详解】解：如图： 12 /ll，1=60 3=1=60 3+2=180 2=180 -3=180 -60 =120 故答案为 C 【点睛】本题考查了平行性质和邻补角的性质，掌握平行线的性质（两直线平行、同位角相等）是正确 解答本题的关键 3.随州 7月份连续 5 天的最高气温分别为：29，30，32，30，34（单位
3、：） ，则这组数据的众数和中位数 分别为（ ） A. 30，32 B. 31，30 C. 30，31 D. 30，30 【答案】D 【解析】 【分析】 根据众数和中位数的求解答案来判断即可 【详解】解：7月份连续 5天的最高气温分别为：29，30，30，32，34（单位：） 这组数据的众数是：30 中位数：30 故选：D 【点睛】本题考查了众数和中位数，注意有偶数个数时中位数就是中间两个数的平均数，而个数有奇数个 时，中位数就是中间的一个数 4.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体为（ ） A. 圆柱 B. 圆锥 C. 四棱柱 D. 四棱锥 【答案】A 【解析】 【分析】 主视图、左视图、俯
4、视图是分别从物体正面、左面和上面看所得到的图形，从而得出答案 【详解】俯视图为圆的几何体为球，圆柱，再根据其他视图，可知此几何体为圆柱 故选：A 【点睛】本题考查由三视图确定几何体的形状，主要考查学生空间想象能力 5. 22 21 42xxx 的计算结果为（ ） A. 2 x x B. 2 2 x x C. 2 2 x x D. 2 (2)x x 【答案】B 【解析】 分析】 先把分母因式分解，再把除法转换为乘法，约分化简得到结果 【详解】 22 21 42xxx = 21 (2)(2)(2)xxx x = 2 2 22 x x xx = 2 2 x x 故选：B 【点睛】本题主要考查了分式的
5、除法，约分是解答的关键 6.我国古代数学著作孙子算经中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足， 问鸡兔各几何”设鸡有x只，兔有y只，则根据题意，下列方程组中正确的是（ ） A. 35 2494 xy xy B. 35 4294 xy xy C. 235 494 xy xy D. 435 294 xy xy 【答案】A 【解析】 【分析】 根据“上有三十五头”和“下有九十四足”两个等量关系列二元一次方程组即可 【详解】解：设鸡有x只，兔有y只 根据上有三十五头，可得 x+y=35； 下有九十四足，2x+4y=94 即 35 2494 xy xy 故答案为 A 【点睛】本题
6、考查了二元一次方程组的应用，弄清题意、找准等量关系是解答本题的关键 7.小明从家出发步行至学校，停留一段时间后乘车返回，则下列函数图象最能体现他离家的距离（s）与出 发时间（t）之间的对应关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据已知条件，确定出每一步的函数图形，再把图象结合起来即可求出结果 【详解】解：小明从家出发步行至学校，可以看作是一条缓慢上升的直线； 中间停留一段时间，可以看作与水平方向平行的直线； 从学校乘车返回家，可以看作是一条迅速下降的直线； 结合四个选项，B符合题意； 故选：B 【点睛】本题主要考查了函数的图象问题，在解题时要根据实际情况确定出
7、函数的图象是解题的关键 8.设边长为a的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为h、r、R，则下列结论不正确 的是 （ ） A. hRr B. 2Rr C. 3 4 ra D. 3 3 Ra 【答案】C 【解析】 【分析】 将图形标记各点,即可从图中看出长度关系证明 A 正确,再由构造的直角三角形和 30特殊角证明 B 正确,利 用勾股定理求出 r和 R,即可判断 C、D 【详解】 如图所示,标上各点，AO为 R，OB 为 r，AB 为 h， 从图象可以得出 AB=AO+OB，即hRr，A正确； 三角形为等边三角形， CAO=30， 根据垂径定理可知ACO=90， AO=2OC，即 R
8、=2r，B正确； 在 RtACO中，利用勾股定理可得：AO2=AC2+OC2，即 2 22 1 2 Rar ， 由 B 中关系可得： 2 2 2 1 2 2 rar ，解得 3 6 ra，则 3 3 Ra ， 所以 C错误，D 正确； 故选：C 【点睛】本题考查圆与正三角形的性质结合,关键在于巧妙利用半径和构建直角三角形 9.将关于x的一元二次方程 2 0 xpxq变形为 2 xpxq，就可以将 2 x表示为关于x的一次多项式， 从而达到“降次”的目的，又如 32 ()xx xx pxq，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法 可以化简次数较高的代数式 根据“降次法”， 已知： 2 10
9、xx ， 且0 x， 则 43 23xxx的值为 （ ） A. 1 5 B. 3 5 C. 1 5 D. 3 5 【答案】C 【解析】 【分析】 先求得 2= +1 xx，代入 43 23xxx即可得出答案 【详解】 2 10 xx ， 2= +1 xx， 2 114 11 15 x 22 ， 43 23xxx = 2 1213x+- x x+ + x = 22 21 223x + x+ - x - x+ x = 2 31-x + x+ =131- x+ + x+ =2x， 15 2 x ，且0 x， 1+ 5 x 2 ， 原式= 1+ 5 2=1+ 5 2 ， 故选：C 【点睛】本题考查了一
10、元二次方程的解，解题的关键是会将四次先降为二次，再将二次降为一次 10.如图所示，已知二次函数 2 yaxbxc的图象与x轴交于( 1,0)A ， (3,0)B 两点，与y轴的正半轴 交于点C，顶点为D，则下列结论：20ab；23cb；当ABC是等腰三角形时，a的值有 2 个；当BCD是直角三角形时， 2 2 a 其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】 根据二次函数对称轴的位置可判断；把两个点代入解析式可得到方程组，解出 B 与 C 的关系即可；由 图象可知，BCAC，从而得以判断；根据直角三角形的 【详解】二次函数 2 yaxbxc
11、的图象与x轴交于( 1,0)A ， (3,0)B 两点， 二次函数的对称轴为 1 3 1 2 x ， 即-1 2 b a ， 20ab 故正确； 二次函数 2 yaxbxc的图象与x轴交于( 1,0)A ， (3,0)B 两点， 0a bc ，930abc ， 又2b a， 36ba ，20aac ， 36ba ，960aac ， 26ca ， 23cb， 故错误； 由图象可知，当ABC是等腰三角形时， BCAC，只能是ABAC或ABBC，故 a 有两个值， 故正确； BCD是直角三角形， 分两种情况BDCD或DCBC， 得到的 a 有两个值， 故错误； 故答案选 B 【点睛】本题主要考查了二
12、次函数图象与系数之间的关系，准确分析判断是解题的关键 二、填空题（本大题共有二、填空题（本大题共有 6 6 小题，每小题小题，每小题 3 3 分，共分，共 1818 分，只需要将结果直接填写在答题卡对分，只需要将结果直接填写在答题卡对 应题号处的横线上）应题号处的横线上） 11.计算： 2 ( 1)9_ 【答案】4 【解析】 【分析】 分别进行乘方运算和开根号，相加即可 【详解】原式=1+3=4 故答案为 4 【点睛】本题主要考查了实数运算，准确进行幂的运算是解题的关键 12.如图， 点A，B，C在O上，AD是 BAC的角平分线， 若 120BOC ， 则 C A D的度数为_ 【答案】30
13、【解析】 【分析】 根据圆周角定理求出BAC，再由角平分线的性质可得到结果； 【详解】 120BOC ， =60BAC， 又AD是BAC 的角平分线， 1 30 2 BADCADBAC ， 故答案为30 【点睛】本题主要考查了圆周角定理的应用，准确运用角平分线的性质是解题的必要步骤 13.幻方是相当古老的数学问题，我国古代的洛书中记载了最早的幻方-九宫图将数字 19分别填入 如图所示的幻方中， 要求每一横行、 每一竖行以及两条斜对角线上的数字之和都是 15， 则m的值为_ 【答案】9 【解析】 【分析】 本题首先根据每一横行数字之和为 15求出第一个方格数字， 继而根据对角线斜边数字和为 15
14、 求出最后一格 数字，最后根据每一竖行数字之和为 15 求出 m 【详解】设第一方格数字为 x，最后一格数字为 y，如下图所示： 由已知得：x+7+2=15，故 x=6； 因为 x+5+y=15，将 x=6 代入求得 y=4； 又因2+m+y=15，将 y=4 代入求得 m=9； 故答案为：9 【点睛】本题考查新题型，本质是一元一次方程的求解，理清题意，按照图示所给信息逐步列方程求解即 可 14.如图，ABC中，点D，E，F分别为AB，AC，BC的中点，点P，M ，N分别为DE，DF， EF的中点，若随机向ABC内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为_ 【答案】 1 16 【解析】 【分析
15、】 根据三角形的中位线定理建立面积之间的关系,按规律求解，再根据概率公式进行求解即可 【详解】根据三角形中位线定理可得第二个三角形各边长都等于最大三角形各边的一半,并且这两个三角 形相似, 那么第二个DEF的面积= 1 4 ABC的面积 那么第三个MPN的面积= 1 4 DEF的面积= 1 16 ABC的面积 若随机向ABC内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为: 1 16 故答案为： 1 16 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，概率公式,解决本题的关键是利用三角形的中位线定理得到第三 个三角形的面积与第一个三角形的面积的关系，以及概率公式 15.如图， 直线AB与双曲线(0) k y
16、k x 在第一象限内交于A、B两点， 与x轴交于点C， 点B为线段AC 的中点，连接OA，若AOC的面积为 3，则k的值为_ 【答案】2 【解析】 【分析】 设 A 点坐标为, k a a ，C 点坐标为( ,0) b ，求出 B 点坐标为, 22 abk a ，根据 B 点在(0) k yk x 上可 得 22 abk k a ，整理得3ba，再根据三角形面积公式得 1 33 2 k a a 可得 k 的值 【详解】解：设 A 点坐标为, k a a ，C点坐标为( ,0) b ， B恰为AC的中点， B点的坐标为 , 22 abk a ， B点在(0) k yk x 的图象上， 22 ab
17、k k a 3ba 3 OAC S 1 3 2 k b a 1 33 2 k a a 2k 故答案为：2 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数图象上点的坐标特征，解题时注意： 反比例函数与一次函数的交点坐标同时满足两个函数的解析式 16.如图，已知矩形ABCD中，3AB ，4BC ，点M，N分别在边AD，BC上，沿着MN折叠矩形 ABCD，使点A，B分别落在E，F处，且点F在线段CD上（不与两端点重合） ，过点M作MHBC 于点H，连接BF，给出下列判断：MHNBCF；折痕MN的长度的取值范围为 15 3 4 MN； 当四边形CDMH为正方形时，N为HC的中点； 若 1
18、 3 DFDC， 则折叠后重叠部分的面积为 55 12 其 中正确的是_ （写出所有正确判断的序号）. 【答案】 【解析】 【分析】 由题意， 逐一判定， 由折叠的性质以及等腰三角形三线合一的性质即可判定； 根据题意点F在线段CD 上（不与两端点重合） ，假设 F分别在 C、D两点，即可得出其取值范围；由相似三角形、正方形的性质 以及勾股定理构建方程，即可判定；由相似三角形以及勾股定理，得出梯形 MEFN 的面积和MEO的面 积，即可得解； 【详解】 由折叠性质，得，BG=FG，BN=FN BFMN BIH=MIG，MHBC HBI=GMI MHN=BCF=90 MHNBCF 故结论正确； 假
19、设 F与 C 重合时，MN取得最小值，即为 3； 假设 F与 D 重合时，MN取得最大值， MHNBCF MHBC MNBF MH=3，BC=4， 2222 435BFBCCF 15 4 MN 点F在线段CD上（不与两端点重合） 折痕MN的长度的取值范围为 15 3 4 MN 故结论正确； 四边形CDMH为正方形 MH=HC=3 BH=1 MHNBCF MHBC HNCF 令HNx，则3CNx ，1FNBNx 22 22 13CFFNNCxx 22 34 13 x xx 1 3 2 x ， 2 3x （不符合题意，舍去） 1 2 HNHC，即N为HC的中点 故结论正确； 1 3 DFDC，AB
20、=CD=3 DF=1，CF=2 2222 422 5BFBCCF BG=GF= 5 MHNBCF MHBC HNCF HN= 3 2 FGNMHN GN= 5 2 2 2 22 55 5 22 FNNGNF 2 222 53 2 22 CNFNCF BH=BC-HN-NC=4- 3 2 - 3 2 =1 EMO=CNF，MEO=NCF=90 MEONCF MENC EOCF EO= 4 3 折叠后重叠部分的面积为： 11151455 131 22222312 MEOMEFN SSMEFNEFMEEO 梯形 故结论正确； 故答案为：. 【点睛】此题主要考查矩形的折叠性质以及相似三角形的综合运用，
21、熟练掌握，即可解题. 三、 解答题 （本大题共三、 解答题 （本大题共 8 8 小题，共小题，共 7272 分，解答应写出必要的演算步骤、文字说明或证明过程）分，解答应写出必要的演算步骤、文字说明或证明过程） 17.先化简，再求值：(2 ) 2 ()a abb ab，其中 5a ， 3b 【答案】 22 2ab ，1 【解析】 【分析】 先根据整式的乘法法则化简整式，再将字母的值代入结果计算求值即可 【详解】(2 )2 ()a abb ab 22 222aababb 22 2ab 当5,3ab时， 原式 22 ( 5)2( 3)561 【点睛】本题主要考查了整式的混合运算-化简求值，解答本题的
22、关键是明确整式化简求值的方法 18.已知关于x的一元二次方程 2 (21)20 xmxm （1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有两个实数根 1 x， 2 x，且 121 2 31xxx x，求m的值 【答案】 （1）见解析； （2）8m 【解析】 【分析】 （1）求出的值即可证明； （2） ，根据根与系数的关系得到 12 12 (21) 2 xxm x xm ，代入 121 2 31xxx x，得到关于 m的方程，然后 解方程即可 【详解】 （1）证明：依题意可得 2 (21)4(2)mm 2 490m 故无论 m 取何值，此方程总有两个不相等的实数根 （2）
23、由根与系数的关系可得： 12 12 (21) 2 xxm x xm 由 121 2 31xxx x，得(21)3(2)1mm，解得8m 【点睛】本题考查了利用一元二次方程根的判别式证明根的情况以及一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的根 与系数的关系：x1，x2是一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的两根时，x1+x2= b a ，x1x2= c a 19.根据公安部交管局下发的通知，自 2020年 6 月 1日起，将在全国开展“一带一盔”安全守护行动，其中就 要求骑行摩托车、电动车需要佩戴头盔某日我市交警部门在某个十字路口共拦截了 50名不带头盔的骑行 者，根据年龄段和性别得到如
24、下表的统计信息，根据表中信息回答下列问题： 年龄x（岁） 人数 男性占比 20 x 4 50% 2030 x m 60% 3040 x 25 60% 4050 x 8 75% 50 x 3 100% （1）统计表中m的值为_； （2）若要按照表格中各年龄段的人数来绘制扇形统计图，则年龄在“3040 x”部分所对应扇形的圆 心角的度数为_； （3）在这 50人中女性有_人； （4）若从年龄在“20 x”的 4人中随机抽取 2 人参加交通安全知识学习，请用列表或画树状图的方法， 求恰好抽到 2名男性的概率 【答案】 （1）10； （2）180； （3）18； （4）P（恰好抽到 2 名男性） 1
25、6 【解析】 【分析】 （1）用 50-4-25-8-3 可求出 m的值； （2）用 360 乘以年龄在“3040 x”部分人数所占百分比即可得到结论； （3）分别求出每个年龄段女性人数，然后再相加即可； （4）年龄在“20 x”的 4人中，男性有 2人，女性有 2人，分别用 A1，A2表示男性，用 B1，B2表示女 性，然后画出树状图表示出所有等可能结果数，以及关注的事件数，然后利用概率公式进行求解即可. 【详解】解： （1）m=50-4-25-8-3=10； 故答案为：10； （2）360 25 50 =180； 故答案为：180； （3）在这 50 人中女性人数为： 4（1-50%）+1
26、0（1-60%）+25（1-60%）+8（1-75%）+3（1-100%） =2+4+10+2+0 =18； 故答案为：18； （4）设两名男性用 12 ,A A表示，两名女性用 12 ,B B表示，根据题意： 可画出树状图： 或列表： 第 2 人 第 1人 1 A 2 A 1 B 2 B 1 A 12 A A 11 AB 12 AB 2 A 21 A A 21 A B 22 A B 1 B 11 B A 12 B A 12 B B 2 B 21 B A 22 B A 21 B B 由上图（或上表）可知，共有 12种等可能的结果，符合条件的结果有 2 种， 故 P（恰好抽到 2名男性） 21
27、126 【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率以及频数分布表用到的知识点为：概率=所求情况数与总情 况数之比 20.如图， 某楼房AB顶部有一根天线BE， 为了测量天线的高度， 在地面上取同一条直线上的三点C，D， A，在点C处测得天线顶端E的仰角为60，从点C走到点D，测得 5CD 米，从点D测得天线底端B的 仰角为45，已知A，B，E在同一条垂直于地面的直线上，25AB米 （1）求A与C之间的距离； （2）求天线BE的高度 （参考数据：31.73，结果保留整数） 【答案】 （1）,A C之间的距离为 30 米； （2）天线BE的高度约为 27米 【解析】 【分析】 （1）根据题意，BAD
28、=90，BDA=45，故 AD=AB，已知 CD=5，不难算出 A 与 C之间的距离 （2）根据题意，在RtACE中，60ACE，利用三角函数可算出 AE的长，又已知 AB，故 EB即可 求解 【详解】 （1）依题意可得，在RtABD中，45ADB ， 25ADAB米， 5CD米，25 530ACADCD 米. 即,A C之间的距离为 30 米 （2）在RtACE中，60ACE，30AC 米， 30 tan6030 3AE （米） ， 25AB米，30 325)(BEAEAB米 由3173 并精确到整数可得27BE 米 即天线BE的高度约为 27米 【点睛】 （1）本题主要考查等腰直角三角形的
29、性质，掌握等腰直角三角形的性质是解答本题的关键 （2）本题主要考查三角函数的灵活运用，正确运用三角函数是解答本题的关键 21.如图， 在Rt ABC中，90ACB ， 以斜边AB上的中线CD为直径作 O， 与BC交于点M， 与AB 的另一个交点为E，过M作MNAB，垂足为N （1）求证：MN是O的切线； （2）若O的直径为 5， 3 sin 5 B ，求ED的长 【答案】 （1）见解析； （2） 7 5 ED 【解析】 【分析】 （1）欲证明 MN为O的切线，只要证明 OMMN （2）连接,DM CE，分别求出 BD=5，BE= 32 5 ，根据EDBEBD求解即可 【详解】 （1）证明：连接
30、OM， OCOM， OCMOMC 在Rt ABC中，CD是斜边AB上的中线， 1 2 CDABBD， DCBDBC， OMCDBC， /OMBD， MNBD，MNOM， MN是O的切线 （2）连接,DM CE，易知,DMBC CEAB， 由（1）可知5BDCD，故 M为BC的中点， 3 sin 5 B ， 4 cos 5 B， 在RtBMD中，cos4BMBDB， 28BCBM 在Rt CEB中， 32 cos 5 BEBCB， 327 5 55 EDBEBD 【点睛】本题考查切线的判定和性质，等腰三角形的性质，解直角三角形等知识；熟练掌握切线的判定定 理是解题的关键 22.2020年新冠肺炎
31、疫情期间，部分药店趁机将口罩涨价，经调查发现某药店某月（按 30 天计）前 5天的某 型号口罩销售价格p（元/只）和销量q（只）与第x天的关系如下表： 第x天 1 2 3 4 5 销售价格p（元/只） 2 3 4 5 6 销量q（只） 70 75 80 85 90 物价部门发现这种乱象后，统一规定各药店该型号口罩的销售价格不得高于 1 元/只，该药店从第 6天起将 该型号口罩的价格调整为 1 元/只据统计，该药店从第 6 天起销量q（只）与第x天的关系为 2 280200qxx （630 x，且x为整数） ，已知该型号口罩的进货价格为 0.5元/只 （1）直接写出 该药店该月前 5天的销售价格
32、p与x和销量q与x之间的函数关系式； （2）求该药店该月销售该型号口罩获得的利润W（元）与x的函数关系式，并判断第几天的利润最大； （3）物价部门为了进一步加强市场整顿，对此药店在这个月销售该型号口罩的过程中获得的正常利润之外 的非法所得部分处以m倍的罚款，若罚款金额不低于 2000元，则m的取值范围为_ 【 答 案 】 （ 1 ）1px，15x 且 x 为 整 数 ，56 5qx，15x 且 x 为 整 数 ； （ 2 ） 2 2 13565 5,15 22 40100,630 xxxx W xxxx 且 为整数 且 为整数 剟 剟 ，第 5 天时利润最大； （3） 8 5 m 【解析】 【
33、分析】 （1）根据表格数据，p是 x 的一次函数，q是 x 的一次函数，分别求出解析式即可； （2）根据题意，求出利润 w与 x的关系式，再结合二次函数的性质，即可求出利润的最大值 （3）先求出前 5天多赚的利润，然后列出不等式，即可求出 m的取值范围 【详解】 （1）观察表格发现 p是 x 的一次函数，q是 x的一次函数， 设 p=k1x+b1， 将 x=1，p=2；x=2，p=3分别代入得： 11 11 2 32 kb kb ， 解得： 1 1 1 1 k b ， 所以1px， 经验证 p=x+1符合题意， 所以1px，15x 且 x 为整数； 设 q=k2x+b2， 将 x=1，q=70
34、；x=2，q=75 分别代入得： 22 22 70 752 kb kb ， 解得： 2 2 5 65 k b ， 所以565qx， 经验证565qx符合题意， 所以565qx，15x 且 x 为整数； （2）当15x 且 x 为整数时， (10.5)(565)Wxx 2 13565 5 22 xx； 当630 x且 x 为整数时， 2 (10.5)280200Wxx 2 40100 xx ； 即有 2 2 13565 5,15 22 40100,630 xxxx W xxxx 且 为整数 且 为整数 剟 剟 ； 当15x 且 x 为整数时，售价，销量均随 x 的增大而增大， 故当5x 时， 4
35、95W 最大 （元） 当630 x且 x 为整数时， 22 40100(20)300Wxxx 故当20 x=时， 300W 最大 （元） ； 由495300，可知第 5天时利润最大 （3）根据题意， 前 5天的销售数量为：7075808590400q （只） ， 前 5 天多赚的利润为： (2 703 754 805 856 90) 1 40016504001250W （元） ， 12502000m， 8 5 m； m的取值范围为 8 5 m 【点睛】此题考查二次函数的性质及其应用，一次函数的应用，不等式的应用，也考查了二次函数的基本 性质，另外将实际问题转化为求函数最值问题，从而来解决实际问
36、题 23.勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一， 西方国家称之为毕达哥拉斯定理 在我国古书 周髀算经 中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图 1）后人称之为“赵爽弦图”，流传至今 （1）请叙述勾股定理； 勾股定理的证明，人们已经找到了 400 多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定 理； （以下图形均满足证明勾股定理所需的条件） （2）如图 4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三 个图形中面积关系满足 123 SSS的有_个； 如图 7所示，分别以直角三角形三边为直径作
37、半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别 为 1 S， 2 S，直角三角形面积为 3 S，请判断 1 S， 2 S， 3 S的关系并证明； （3）如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复 这一过程就可以得到如图 8 所示的“勾股树”在如图 9所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M的 边长为定值m，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，已知123 ， 则当变化时，回答下列问题： （结果可用含m的式子表示） 2222 abcd_； b与c的关系为_，a与d的关系为_ 【答案】 （1）如果直角三角形的两条直角边分别为,
38、a b，斜边为 c，那么 222 abc， （或者：在直角三 角形中， 两条直角边的平方和等于斜边的平方 ） ； 证明见解析；（2） 3， 结论 123 SSS； （3） 2 m， bc， adm 【解析】 【分析】 （1）根据所学的知识，写出勾股定理的内容即可； 根据题意，利用面积相等的方法，即可证明勾股定理成立； （2）根据题意，设直角三角形的三边分别为 a、b、c，利用面积相等的方法，分别求出面积的关系，即 可得到答案； 利用三角形的面积加上两个小半圆的面积，然后减去大半圆的面积，即可得到答案； （3）由（1） （2）中的结论，结合勾股定理的应用可知， 22222 abcdm； 由123
39、 ，则sin1 sin2sin3sin，同理可得cos1cos2cos3cos，利用 解直角三角形以及勾股定理，即可得到答案 【详解】解： （1）如果直角三角形的两条直角边分别为, a b，斜边为 c，那么 222 abc （或者：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方 ） 证明： 在图 1 中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和 即 22 1 4() 2 cabba， 化简得 222 abc 在图 2 中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和 即 22 1 ()4 2 abcab，化简得 222 abc 在图 3 中，梯
40、形的面积等于三个直角三角形的面积的和 即 2 111 ()()2 222 ab ababc，化简 222 abc （2）根据题意，则如下图所示： 在图 4 中，直角三角形的边长分别为 a、b、c，则 由勾股定理，得 222 abc， 123 SSS； 在图 5 中，三个扇形的直径分别为 a、b、c，则 22 1 11 ( ) 228 a Sa， 22 2 11 ( ) 228 b Sb， 22 3 11 ( ) 228 c Sc， 22 12 1 () 8 SSab， 222 abc， 222 11 () 88 abc， 123 SSS； 在图 6 中，等边三角形的边长分别为 a、b、c，则
41、22 1 13 sin60 24 Saa ， 22 2 13 sin60 24 Sbb ， 22 3 13 sin60 24 Scc ， 22 12 3 () 4 SSab， 222 abc， 222 33 () 44 abc， 123 SSS； 满足 123 SSS的有 3个， 故答案为：3； 结论 123 SSS； 222 123 111 222222 abc SSS 222 123 1 8 SSabcS 222 abc ， 123 SSS ； （3）如图 9，正方形 A、B、C、D、E、F、M 中，对应的边长分别为 a、b、c、d、e、f、m，则有 由（1） （2）中的结论可知，面积的关
42、系为：A+B=E，C+D=F，E+F=M， 222 abe， 222 cdf， 222 efm， 22222 abcdm 故答案为： 2 m； 123 ， sin1 sin2sin3sin，cos1cos2cos3cos， 由解直角三角形和正方形的性质，则 cosem，sinbe ， cossinbm ； 同理：sincoscm ； coscosam； sinsindm ； bc， 22 (cossin)adm， 22 cossin1， adm 故答案为：bc；adm 【点睛】本题考查了求扇形的面积，解直角三角形，勾股定理的证明，以及正方形的性质，解题的关键是 掌握勾股定理的应用，注意归纳推理
43、等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、归纳总结能力，是 中档题 24.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 2 1yaxbx的对称轴为直线 3 2 x ，其图象与x轴交于点A和 点(4,0)B，与y轴交于点C （1）直接写出抛物线的解析式和CAO的度数； （2）动点M，N同时从A点出发，点M以每秒 3个单位的速度在线段AB上运动，点N以每秒 2个 单位的速度在线段AC上运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动设运动的时间为 (0)t t 秒，连接MN，再将线段MN绕点M顺时针旋转90，设点N落在点D的位置，若点D恰好落 在抛物线上，求t的值及此时点D的坐标； （3）在（2）的条件
44、下，设P为抛物线上一动点，Q为y轴上一动点，当以点C，P，Q为顶点的三角形 与MDB相似时， 请直接写出 点P及其对应的点Q的坐标（每写出一组正确的结果得 1分， 至多得 4分） 【答案】（1） 2 13 1 44 yxx ，45CAO；（2） t= 3 4 ， D点坐标为 3 2, 2 ； （3）1 349 5,0, 26 PQ ； 22 353 5,0, 222 PQ ； 33 317 1,0, 26 PQ ； 44 337 1,0, 222 PQ ； 55 2591257 ,0, 3918 PQ ； 66 25911151 ,0, 3999 PQ ； 77 71959 ,0, 3918
45、PQ ； 88 719251 ,0, 3999 PQ 99 41 39373 ,0, 11 121242 PQ ； 1010 41 391687 ,0, 11 121363 PQ ； 1111 25 171617 ,0, 11 121242 PQ ； 1212 25 1711613 ,0, 11 121363 PQ 【解析】 【分析】 （1）根据抛物线的对称轴以及点 B 坐标可求出抛物线表达式； （2）过点 N作NEAB于 E，过点 D 作DFAB于 F，证明NEMMFD，得到 ,NEMF EMDF，从而得到点 D坐标，代入抛物线表达式，求出 t值即可； （3）设点 P（m， 2 13 1 4
46、4 mm） ，当点 P 在 y轴右侧，点 Q在 y轴正半轴，过点 P 作 PRy轴于点 R， 过点D作DSx轴于点S， 根据CPQMDB， 得到 CPPR MDDS ， 从而求出m值， 再证明CPQMDB， 求出 CQ长度，从而得到点 Q 坐标，同理可求出其余点 P 和点 Q坐标. 【详解】解： （1）抛物线 2 1yaxbx的对称轴为直线 3 2 x ， 3 22 b a ，则 b=-3a， 抛物线经过点 B（4，0） ， 16a+4b+1=0，将 b=-3a代入， 解得：a= 1 4 ，b= 3 4 ， 抛物线的解析式为： 2 13 1 44 yxx ， 令 y=0，解得：x=4或-1， 令 x=0，则 y=1， A（-1，0） ，C（0，1） ， tanCAO=1 CO AO , 45CAO； （2）由（1）易知1,0A ， 过点 N作NEAB于 E，过点 D作DFAB于 F， DMN=90 ， NME+DMF=90 ，又NME+ENM=90 ， DMF=ENM， NMDM，90DMN ， NEMMFD（AAS） ， ,N
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