1、2020 年四川省雅安市中考数学试卷年四川省雅安市中考数学试卷 一选择题：本大题共一选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 3分，共分，共 36 分不需写出解答过程，请把最后结果填分不需写出解答过程，请把最后结果填 在题后括号内在题后括号内 1. 2020 的相反数是（ ） A. 2020 B. 2020 C. 1 2020 D. 1 2020 【答案】B 【解析】 【分析】 直接利用相反数的定义得出答案 【详解】解：2020的相反数是：2020 故选：B 【点睛】此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键 2. 不等式组 2 1 x x 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
2、A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 先得出不等式组的解集，再找到对应的数轴表示即可 【详解】解：由题意可得： 不等式组的解集为：-2x1， 在数轴上表示为： 故选 A. 【点睛】 此题主要考查了不等式组解集在数轴上的表示方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来 （， 向右画；，向左画） ，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不 等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集有几个就要几个在表示解集时“”，“”要用实心圆点表 示；“”，“”要用空心圆点表示 3. 一个几何体由若干大小相同的小正方体组成，它的俯视图和左视图如图所示，那么组成该几何体所
3、需小 正方体的个数最少为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】 在“俯视打地基”的前提下， 结合左视图知俯视图上一行三个小正方体的上方 （第 2层） 至少还有 1个正方体， 据此可得答案. 【详解】解：由俯视图与左视图知，该几何体所需小正方体个数最少分布情况如下图所示： 所以组成该几何体所需小正方体的个数最少为 5， 故选：B 【点睛】本题主要考查由三视图判断几何体，解题的关键是掌握口诀“俯视打地基，主视疯狂盖，左视拆违 章” 4. 下列式子运算正确的是（ ） A. 2 235xxx B. ()xyxy C. 235 xxx? D. 44 xxx 【答案
4、】C 【解析】 【分析】 根据合并同类项、去括号、同底数幂的乘法进行计算即可求解 【详解】解：A、235xxx，故选项错误； B、( )xyxy ，故选项错误； C、 235 xxx?，故选项正确； D、 44 xxx和 x 不是同类项，不能合并，故选项错误； 故选 C. 【点睛】本题考察了合并同类项、去括号、同底数幂的乘法，要掌握运算法则. 5. 下列四个选项中不是命题的是（ ） A. 对顶角相等 B. 过直线外一点作直线的平行线 C. 三角形任意两边之和大于第三边 D. 如果ab ac，那么bc 【答案】B 【解析】 【分析】 判断一件事情语句，叫做命题根据定义判断即可 【详解】解：由题意
5、可知， A、对顶角相等，故选项是命题； B、过直线外一点作直线的平行线，是一个动作，故选项不是命题； C、三角形任意两边之和大于第三边，故选项是命题； D、如果abac，那么bc ，故选项是命题； 故选：B 【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为 假命题；经过推理论证的真命题称为定理注意：疑问句与作图语句都不是命题 6. 已知2|2 | 0aba ，则2ab的值是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】 直接利用绝对值和二次根式的性质分别化简得出答案 【详解】解：2|2 | 0aba ， a-2=0，
6、b-2a=0， 解得：a=2，b=4， 故 a+2b=10 故选：D 【点睛】此题主要考查了非负数的性质，正确得出 a，b的值是解题关键 7. 若分式 2 1 1 x x 的值为 0，则 x的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 1 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式值为 0的条件，分子为 0分母不为 0列式进行计算即可得. 【详解】分式 2 x1 x1 的值为零， 2 10 10 x x ， 解得：x=1， 故选 B 【点睛】 本题考查了分式值为 0 的条件， 熟知分式值为 0 的条件是分子为 0分母不为 0 是解题的关 键. 8. 在课外活动中，有 10名同学进行了投篮比赛，
7、限每人投 10次，投中次数与人数如下表： 投中次数 5 7 8 9 10 人数 2 3 3 1 1 则这 10人投中次数的平均数和中位数分别是（ ） A. 3.97， B. 6.47.5， C. 7.48 ， D. 7.47.5， 【答案】D 【解析】 【分析】 直接根据加权平均数和中位数的定义求解即可得 【详解】解：这 10 人投中次数的平均数为 5 27 38 39 10 10 =7.4， 中位数为（7+8）2=7.5， 故选 D. 【点睛】本题主要考查中位数，解题的关键是掌握中位数和加权平均数的定义 9. 如图，在Rt ACB中，900.5CsinB， ，若6AC ，则BC的长为（ ）
8、A. 8 B. 12 C. 6 3 D. 12 3 【答案】C 【解析】 【分析】 利用正弦定义得出 AB 的长，再用勾股定理求出 BC. 【详解】解：sinB= AC AB =0.5， AB=2AC， AC=6， AB=12， BC= ABAC =6 3， 故选 C. 【点睛】本题考查了正弦的定义，以及勾股定理，解题的关键是先求出 AB的长. 10. 如果关于x的一元二次方程 2 310kxx 有两个实数根，那么k的取值范围是（ ） A. 9 4 k B. 9 4 k且0k C. 9 4 k且0k D. 9 4 k 【答案】C 【解析】 【分析】 根据关于 x 的一元二次方程 kx2-3x+
9、1=0 有两个实数根，知=（-3）2-4k10 且 k0，解之可得 【详解】解：关于 x的一元二次方程 kx2-3x+1=0有两个实数根， =（-3）2-4k10且 k0， 解得 k 9 4 且 k0， 故选：C 【点睛】 本题主要考查根的判别式与一元二次方程的定义， 一元二次方程 ax2+bx+c=0 （a0） 的根与=b2-4ac 有如下关系：当0 时，方程有两个不相等的两个实数根；当=0 时，方程有两个相等的两个实数 根；当0 时，方程无实数根上面的结论反过来也成立 11. 如图，ABC内接于圆，90ACB， 过点C的切线交AB的延长线于点 28PP ， 则CAB （ ） A 62 B.
10、 31 C. 28 D. 56 【答案】B 【解析】 【分析】 连接 OC，根据切线的性质得出OCP=90，再由P=28得出COP，最后根据外角的性质得出CAB. 【详解】解：连接 OC， CP 与圆 O相切， OCCP， ACB=90， AB为直径， P=28， COP=180-90-28=62， 而 OC=OA， OCA=OAC=2CAB=COP， 即CAB=31， 故选 B. 【点睛】本题考查了切线的性质，三角形内角和，外角，解题的关键是根据切线的性质得出COP. 12. 已知，等边三角形ABC和正方形DEFG边长相等，按如图所示的位置摆放（C点与 E点重合） ，点 BCF、 、共线，A
11、BC沿BF方向匀速运动，直到 B点与 F点重合设运动时间为t，运动过程中两图 形重叠部分的面积为S，则下面能大致反映s与t之间关系的函数图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 分点 C在 EF中点的左侧、点 C在 EF中点的右侧、点 C在 F点右侧且 B在 EF中点的左侧，点 C在 F点右 侧且 B在 EF中点的右侧四种情况，分别求出函数的表达式即可求解 【详解】解：设等边三角形 ABC和正方形 DEFG 的边长都为 a，运动速度为 1， 当点 C在 EF的中点左侧时， 设 AC交 DE 于点 H， 则 CE=t，HE=ECtanACB=t 3=3t， 则 S=S
12、CEH= 1 2 CE HE= 1 2 t 3t= 2 3 2 t， 可知图象为开口向上的二次函数， 当点 C在 EF的中点右侧时，设 AB与 DE 交于点 M， 则 EC=t，BE=a-t，ME=3BE3(a t)=-， S= 2 222 3333 3 4224 aattata ， 可知图象为开口向下的二次函数； 当点 C在 F点右侧且 B 在 EF中点的左侧时， S= 2 222 3333 3 4224 atatata ， 可知图象为开口向下二次函数； 当点 C在 F点右侧且 B 在 EF中点的右侧时， 此时 BF=2a-t，MF=3BF3(2at)=-， 222 333 S(2at)t2
13、 3att 222 =-=-+， 可知图象为开口向上的二次函数； 故选：A 【点睛】本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进 而求解 二填空题：本大题共二填空题：本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 15 分不需写出解答过程，请把最后结果填分不需写出解答过程，请把最后结果填 在题中横线上在题中横线上 13. 如图，/a b c，与ab，都相交，150 ，则2 _ 【答案】130 【解析】 【分析】 根据平行线的性质可得1=3，再用补角的定义得出2. 【详解】解：ab， 1=3=50， 2=180-50=130， 故答案为 130.
14、 【点睛】本题考查了平行线的性质和补角的定义，解题的关键掌握两直线平行，同位角相等. 14. 如果用3 表示温度升高 3 摄氏度，那么温度降低 2摄氏度可表示为_ 【答案】-2 【解析】 【分析】 直接利用正负数的意义分析得出答案 【详解】解：如果用+3表示温度升高 3 摄氏度， 那么温度降低 2 摄氏度可表示为：-2 故答案为：-2 【点睛】此题主要考查了正数和负数，正确理解正负数的意义是解题关键 15. 从 1 ,1,1,2,5 2 中任取一数作为a，使抛物线 2 yaxbxc的开口向上的概率为_ 【答案】 3 5 【解析】 【分析】 使抛物线 y=ax2+bx+c 的开口向上的条件是 a
15、0，据此从所列 5 个数中找到符合此条件的结果，再利用概率 公式求解可得 【详解】解：在所列的 5个数中任取一个数有 5 种等可能结果，其中使抛物线 y=ax2+bx+c 的开口向上的有 3 种结果， 使抛物线 y=ax2+bx+c的开口向上的概率为 3 5 ， 故答案为： 3 5 . 【点睛】本题考查概率公式的计算，根据题意正确列出概率公式是解题的关键 16. 若 2 2222 560 xyxy，则 22 xy_ 【答案】6 【解析】 【分析】 将 22 xy 看作一个整体，然后采用十字相乘法进行因式分解，可解出答案. 【详解】解： 2 2222 560 xyxy 2222 106xyxy
16、22=6 xy或 22= 1 xy 又 22 0 xy， 22=6 xy 【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，将 22 xy 看作一个整体，当作一个未知数看待是关键， 最后还要注意 22 xy 是非负数，舍去负根. 17. 对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线 ACBD、交于点O若24ADBC，则 22 ABCD_ 【答案】20 【解析】 【分析】 由垂美四边形的定义可得 ACBD，再利用勾股定理得到 AD2+BC2=AB2+CD2，从而求解. 【详解】四边形 ABCD是垂美四边形， ACBD， AOD=AOB=BOC=COD=90 ，
17、由勾股定理得，AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2， AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2， AD2+BC2=AB2+CD2， AD=2，BC=4， 22 ABCDAD2+BC2=22+42=20， 故答案为：20. 【点睛】本题主要考查四边形的应用，解题的关键是理解新定义，并熟练运用勾股定理. 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 7 个小题，共个小题，共 69 分）解答要求写出必要的文字说明、演算步骤或推理分）解答要求写出必要的文字说明、演算步骤或推理 过程过程 18. （1）计算： 2 20200 2 ( 1)(1) 3 ； （2）先化简 22 2 1 1 121
18、 xx x xxx ，再从101， ，中选择合适的x值代入求值 【答案】 （1）13 4 ； （2） 1 1x ，-1 【解析】 【分析】 （1）先计算乘方、零指数幂、负整数指数幂，再计算乘法，最后计算加法即可得； （2）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的 x的值代入计算可得 【详解】解： （1）原式=1+19 4 =1+ 9 4 =13 4 ； （2）原式= 22 2 111 11 1 xxxx xx x = 11 11 x xx = 1 1x ， （x+1） （x-1）0， x1， 取 x=0， 则原式=-1 【点睛】本题主要考查实数的混合运算与分式的化简求值
19、，解题的关键是掌握零指数幂和负整数指数幂的 规定及分式的混合运算顺序和运算法则 19. 从某校初三年级中随机抽查若干名学生摸底检测的数学成绩 （满分为 120分） ， 制成如图的统计直方图， 已知成绩在 8090 分（含 80 分，不含 90分）的学生为抽查人数的15%，且规定成绩大于或等于 100分为 优秀 （1）求被抽查学生人数及成绩在 100110分的学生人数m； （2）在被抽查的学生中任意抽取 1名学生，则这名学生成绩为优秀的概率； （3）若该校初三年级共有 300 名学生，请你估计本次检测中该校初三年级数学成绩为优秀的人数 【答案】 （1）5； （2） 2 5 ； （3）120 【解
20、析】 【分析】 （1） 用成绩在 8090 分 （含 80 分， 不含 90分） 的学生有人数除以抽查人数的百分比可得被调查的总人数， 再根据各分数段人数之和等于总人数可得 m的值； （2）用成绩为优秀的人数除以被调查的总人数即可得； （3）用总人数乘以样本中数学成绩为优秀的人数所占比例即可得 【详解】解： （1）成绩在 8090 分（含 80分，不含 90分）的学生有 3 人，占抽查人数的 15%， 被抽查的学生人数为 3 15%=20（人） ， 则成绩在 100110 分的学生人数 m=20-（2+3+7+3）=5； （2）这名学生成绩为优秀的概率为 532 205 ； （3）估计本次检测
21、中该校初三年级数学成绩为优秀的人数为 3002 5 =120人. 【点睛】本题主要考查概率公式，解题的关键是根据 8090 分的学生人数及其所占百分比求出总人数、概 率公式及样本估计总体思想的运用 20. 某班级为践行“绿水青山就是金山银山”的理念，开展植树活动如果每人种 3棵，则剩 86棵；如果 每人种 5棵，则最后一人有树种但不足 3 棵请问该班有多少学生？本次一共种植多少棵树？（请用一元一 次不等式组解答） 【答案】共有 45名学生，一共种植 221棵树. 【解析】 【分析】 设共有 x 人，根据如果每人种 3棵，则剩 86 棵；如果每人种 5棵，则最后一人有树种但不足 3棵，可列出 不
22、等式组 【详解】解：设共有 x名学生，依题意有： 38651 386513 xx xx ， 解得：44x45.5， x为整数， x=45， 3x+86=221 答：共有 45名学生，一共种植 221棵树. 【点睛】本题考查一元一次不等式组的应用，理解题意的能力，设出人数就能表示出植树棵数，然后根据 每人种 5棵，则最后一人有树种但不足 3 棵，可列出不等式组 21. 如图，已知边长为 10的正方形ABCDE，是BC边上一动点（与BC、不重合） ，连结AEG，是BC 延长线上的点，过点E作AE的垂线交DCG的角平分线于点F，若FGBG （1）求证：ABEEGF； （2）若2EC ，求CEF的面积
23、； （3）请直接写出EC为何值时，CEF的面积最大 【答案】 （1）见解析； （2）8； （3）5 【解析】 【分析】 （1）先判断出 CG=FG，再利用同角的余角相等，判断出BAE=FEG，进而得出ABEEGF，即可 得出结论； （2）先求出 BE=8，进而表示出 EG=2+FG，由BAEGEF，得出 ABBE EGFG ，求出 FG，最后用三角 形面积公式即可得出结论； （3）同（2）的方法，即可得出 SECF= 2125 5 22 x，即可得出结论. 【详解】解： （1）四边形 ABCD 是正方形， DCG=90 ， CF平分DCG， FCG= 1 2 DCG=45 ， G=90 ， G
24、CF=CFG=45 ， FG=CG， 四边形 ABCD是正方形，EFAE， B=G=AEF=90 ， BAE+AEB=90 ，AEB+FEG=90 ， BAE=FEG， B=G=90 ， BAEGEF； （2）AB=BC=10，CE=2， BE=8， FG=CG， EG=CE+CG=2+FG， 由（1）知，BAEGEF， ABBE EGFG ， 108 2FGFG ， FG=8， SECF= 1 2 CEFG= 1 2 2 8=8； （3）设 CE=x，则 BE=10-x， EG=CE+CG=x+FG， 由（1）知，BAEGEF， ABBE EGFG ， 1010 x xFGFG ， FG=1
25、0-x， SECF= 1 2 CE FG= 1 2 x（10-x）= 2125 5 22 x， 当 x=5时，SECF最大= 25 2 ， 当 EC=5 时，CEF的面积最大. 【点睛】此题是相似形综合题，主要考查了正方形的性质，角平分线，相似三角形的判定和性质，三角形 的面积公式，判断出BAEGEF是解本题的关键 22. 已知，如图，一次函数 y=kx+b（k、b 为常数，k0）的图象与 x 轴、y轴分别交于 A、B两点，且与反 比例函数 n y x （n为常数且 n0） 的图象在第二象限交于点 CCDx轴， 垂直为D， 若OB=2OA=3OD=6 （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （
26、2）求两函数图象的另一个交点坐标； （3）直接写出不等式；kx+b n x 的解集 【答案】 （1）y=2x+6 20 y x ;(2) 另一个交点坐标为（5，4）(3) 2x0或 x5 【解析】 【分析】 （1）先求出 A、B、C坐标，再利用待定系数法确定函数解析式 （2）两个函数的解析式作为方程组，解方程组即可解决问题 （3）根据图象一次函数的图象在反比例函数图象的下方，即可解决问题，注意等号 【详解】 （1）OB=2OA=3OD=6， OB=6，OA=3，OD=2， CDOA， DCOB， OBAO CDAD ， 63 5OD ， CD=10， 点 C（2，10） ，B（0，6） ，A（
27、3，0） ， 6 30 b kb 解得： 2 6 k b ， 一次函数的表达式为 y=2x+6 反比例函数的表达式 n y x 经过点 C（2，10） ， n=20， 反比例函数的表达式为 20 y x ； （2）由 26 20 yx y x ， 解得 2 10 x y 或 5 4 x y ， 故另一个交点坐标为（5，4） ； （3）由图象可知 n kxb x 的解集为：2x0 或 x5 23. 如图，四边形ABCD内接于圆，60ABC，对角线BD平分ADC （1）求证：ABC是等边三角形； （2）过点B作/BE CD交DA的延长线于点E，若23ADDC，求BDE的面积 【答案】 （1）见解析
28、； （2） 25 3 4 ； 【解析】 【分析】 （1）根据三个内角相等的三角形是等边三角形即可判断； （2）过点 A 作 AECD，垂足为点 E，过点 B 作 BFAC，垂足为点 F根据 S四边形ABCD=SABC+SACD， 分别求出ABC，ACD的面积，即可求得四边形 ABCD 的面积，然后通过证得EABDCB（AAS） ， 即可求得BDE 的面积=四边形 ABCD 的面积= 25 3 4 . 【详解】解： （1）证明：四边形 ABCD内接于O ABC+ADC=180 ， ABC=60 ， ADC=120 ， DB平分ADC， ADB=CDB=60 ， ACB=ADB=60 ，BAC=C
29、DB=60 ， ABC=BCA=BAC， ABC是等边三角形； （2）过点 A作 AMCD，垂足为点 M，过点 B作 BNAC，垂足为点 N AMD=90 ADC=120 ， ADM=60 ， DAM=30 ， DM= 1 2 AD=1，AM= 22 3ADDM ， CD=3， CM=CD+DE=1+3=4， SACD= 1 2 CD-AM= 1 2 33= 3 3 2 ， 在 RtAMC中，AMD=90 ， AC= 22 19AMCM ， ABC是等边三角形， AB=BC=AC= 19， BN= 357 22 BC ， SABC= 1 2 19 57 2 =19 3 4 ， 四边形 ABCD
30、的面积=19 3 4 + 3 3 2 = 25 3 4 ， BECD， E+ADC=180 ， ADC=120 ， E=60 ， E=BDC， 四边形 ABCD内接于O， EAB=BCD， 在EAB和DCB 中， EBDC EABDCB ABBC ， EABDCB（AAS） ， BDE的面积=四边形 ABCD 的面积= 25 3 4 . 【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积等知识，解 题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型 24. 已知二次函数 2 0yaxbxc a（）的图象与x轴交于10AB，两点，与y轴交于点
31、(0, 3)C ， （1）求二次函数的表达式及A点坐标； （2）D是二次函数图象上位于第三象限内的点，求点D到直线AC的距离取得最大值时点D的坐标； （3）M是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点N使以MNBO、 、 、为顶点的 四边形是平行四边形？若有，请写出点N的坐标（不写求解过程） 【答案】 （1） 2 23yxx，A（-3，0） ； （2） （ 3 2 ， 15 4 ） ； （3） （-2，-3）或（0，-3）或（2，-5）. 【解析】 【分析】 （1）根据点 C 坐标求出 c，再利用两根之积求出点 A的横坐标，再利用待定系数法求解； （2）根据题意得出当点D到直线AC
32、的距离取得最大值时，求出 AC 表达式，将直线 AC向下平移 m（m 0）个单位，得到直线 l，当直线 l与二次函数图像只有一个交点时，该交点为点 D，此时点 D到直线 AC 的距离最大，联立直线 l和二次函数表达式，得到方程 2 30 xxm ，当方程有两个相同的实数根时， 求出 m的值，从而得到点 D的坐标； （3）分当 OB是平行四边形的边和 OB 是平行四边形的对角线时，利用平行四边形的性质求出点 N 的坐标 即可. 【详解】解： （1）二次函数 2 0yaxbxc a 图像与x轴的交点为 B（1，0） ，与y轴交于点(0, 3)C， 将 C代入，得：c=-3，则 2 3yaxbx，
33、方程 2 30axbx对应的两根之积为-3， 又 B（1，0） ， 可得 A（-3，0） ，将 A，B两点代入二次函数，得： 03 0933 ab ab ， 解得： 1 2 a b ， 二次函数表达式为： 2 23yxx； （2）当点D到直线AC的距离取得最大值时， A（-3，0） ，( 0 , 3 )C， 设直线 AC的表达式为：y=kx+n， ，将 A和 C代入， 3 3 okn n ，解得： 1 3 k n ， 直线 AC的表达式为 y=-x-3，将直线 AC向下平移 m（m0）个单位，得到直线 l， 当直线 l与二次函数图像只有一个交点时，该交点为点 D，此时点 D到直线 AC 的距离
34、最大， 此时直线 l的表达式为 y=-x-3-m， 联立： 2 23 3 yxx yxm ，得： 2 30 xxm ， 令= 2 34 10m ，解得：m= 9 4 ， 则解方程： 2 9 30 4 xx，得 x= 3 2 ， 点 D的坐标为（ 3 2 ， 15 4 ） ； （3）M在抛物线对称轴上，设 M坐标为（-1，t） ， 当 OB为平行四边形的边时， 如图 1，可知 MN和 OB 平行且相等， 点 N（-2，t）或（0，t） ，代入抛物线表达式得： 解得：t=-3， N（-2，-3）或（0，-3） ； 当 OB为平行四边形对角线时， 线段 OB的中点为（ 1 2 ，0） ，对角线 MN的中点也为（ 1 2 ，0） ， M坐标为（-1，t） ， 可得点 N（2，-t） ，代入抛物线表达式得： 4+4-3=-t， 解得：t=-5， 点 N的坐标为（2，-5） ， 综上：以MNBO、 、 、为顶点的四边形是平行四边形时，点 N 的坐标为（-2，-3）或（0，-3）或（2，-5）. 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了求二次函数表达式，二次函数与一元二次方程的关系，平行四边 形的性质，最值问题，解题的关键是要结合函数图像，得到结论.
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