1、1 11.21.2 空间向量的数量积运算空间向量的数量积运算 1已知向量 a 和 b 的夹角为 120 ,且|a|2,|b|5,则(2ab) a 等于( ) A12 B8 13 C4 D13 答案 D 解析 (2ab) a2a2b a2|a|2|a|b|cos 120 2425 1 2 13. 2 已知两异面直线的方向向量分别为 a, b, 且|a|b|1, a b1 2, 则两直线的夹角为( ) A30 B60 C120 D150 答案 B 解析 设向量 a,b 的夹角为 ,则 cos a b |a|b| 1 2,所以 120 , 则两个方向向量对应的直线的夹角为 180 120 60 .
2、3已知 e1,e2为单位向量,且 e1e2,若 a2e13e2,bke14e2,ab,则实数 k 的值 为( ) A6 B6 C3 D3 答案 B 解析 由题意可得 a b0,e1 e20,|e1|e2|1, 所以(2e13e2) (ke14e2)0, 所以 2k120, 所以 k6. 4 已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线的长都等于 a, 点 E, F 分别是 BC, AD 的中点, 则AE AF的值为( ) Aa2 B.1 2a 2 C.1 4a 2 D. 3 4 a2 答案 C 解析 AE AF1 2(AB AC)1 2AD 1 4(AB AD AC AD ) 1 4 aa1 2
3、aa 1 2 1 4a 2. 5已知四边形 ABCD 为矩形,PA平面 ABCD,连接 AC,BD,PB,PC,PD,则下列各组 向量中,数量积不为零的是( ) A.PC 与BD B.DA 与PB C.PD 与AB D.PA 与CD 答案 A 解析 可用排除法因为 PA平面 ABCD,所以 PACD,PA CD 0,排除 D. 又由 ADAB,ADPA 可得 AD平面 PAB,所以 ADPB,所以DA PB 0, 同理PD AB 0,排除 B,C,故选 A. 6已知|a|13,|b|19,|ab|24,则|ab|_. 答案 22 解析 |ab|2a22a bb21322a b192242, 2
4、a b46,|ab|2a22a bb253046484,故|ab|22. 7已知 a3b 与 7a5b 垂直,且 a4b 与 7a2b 垂直,则a,b_. 答案 60 解析 由条件知(a3b) (7a5b)7|a|215|b|216a b0, (a4b) (7a2b)7|a|28|b|230a b0,两式相减得 46a b23|b|2,所以 a b1 2|b| 2, 代入上面两个式子中的任意一个,得|a|b|, 所以 cosa,b a b |a|b| 1 2|b| 2 |b|2 1 2,所以a,b60 . 8 如图,在正四棱台 ABCDA1B1C1D1中, O,O1分别是对角线 AC,A1C1
5、的中点, 则 AO , OC _, AO ,O1C1 _, OO1 ,A 1B1 _. 答案 0 0 90 解析 由题意得AO ,OC 方向相同,是在同一条直线 AC 上,故AO ,OC 0 ;O1C1 可平 移到直线 AC 上,与OC 方向相同,故AO ,O1C1 0 ;由题意知 OO1是正四棱台 ABCD A1B1C1D1的高,故 OO1平面 A1B1C1D1,所以 OO1A1B1,故OO1 ,A 1B1 90 . 9.如图所示,在正方体 ABCDA1B1C1D1中,求异面直线 A1B 与 AC 所成的角 解 不妨设正方体的棱长为 1, 设AB a,AD b,AA1 c, 则|a|b|c|
6、1, a bb cc a0,A1B ac,ACab. A1B AC(ac) (ab) |a|2a ba cb c1, 而|A1B |AC| 2, cosA1B ,ACA1B AC |A1B |AC| 1 2 2 1 2, 0 A1B ,AC180 , A1B ,AC60 . 异面直线 A1B 与 AC 所成的角为 60 . 10.如图,正四棱锥 PABCD 的各棱长都为 a. (1)用向量法证明 BDPC; (2)求|AC PC|的值 (1)证明 BD BC CD , BD PC (BCCD ) PC BC PCCD PC |BC |PC| cos 60 |CD |PC |cos 120 1
7、2a 21 2a 20. BD PC , BDPC. (2)解 AC PCABBCPC, |AC PC|2|AB|2|BC|2|PC|22AB BC2AB PC2BC PC a2a2a202a2cos 60 2a2cos 60 5a2, |AC PC| 5a. 11设平面上有四个互异的点 A,B,C,D,已知(DB DC 2DA ) (AB AC)0,则ABC 是( ) A直角三角形 B等腰三角形 C等腰直角三角形 D等边三角形 答案 B 解析 因为DB DC 2DA (DB DA )(DC DA )AB AC, 所以(AB AC) (ABAC)|AB|2|AC|20,所以|AB|AC|, 即
8、ABC 是等腰三角形 12已知 a,b 是异面直线,A,Ba,C,Db,ACb,BDb,且 AB2,CD1,则 a 与 b 所成的角是( ) A30 B45 C60 D90 答案 C 解析 AB ACCD DB , AB CD (AC CD DB ) CD AC CD CD 2DB CD 01201, 又|AB |2,|CD |1. cosAB ,CD AB CD |AB |CD | 1 21 1 2. 异面直线所成的角是锐角或直角, a 与 b 所成的角是 60 . 13已知空间向量 a,b,c 满足 abc0,|a|3,|b|1,|c|4,则 a bb cc a 的值 为( ) A13 B
9、5 C5 D13 答案 A 解析 abc0,(abc)20, a2b2c22(a bb cc a)0, a bb cc a3 21242 2 13. 14. 已知棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1的上底面 A1B1C1D1的中心为 O1,则AO1 AC的 值为_ 答案 1 解析 由于AO1 AA 1 A 1O1 AA1 1 2(A1B1 A 1D1 )AA1 1 2(AB AD ),而AC ABAD , 则AO1 AC AA1 1 2AB AD (AB AD )1 2(AB AD )21. 15 等边ABC中, P在线段AB上, 且AP AB, 若CP ABPA PB, 则实数的值
10、为_ 答案 1 2 2 解析 如图,CP ACAPACAB, 故CP AB(ABAC) AB |AB |2|AB|AC|cos A PA PB(AB) (1)AB(1)|AB|2, 设|AB |a(a0),则 a21 2a 2(1)a2, 解得 1 2 2 1 2 2 舍 . 16.如图所示,已知线段 AB 在平面 内,线段 AC,线段 BDAB,且 AB7,ACBD 24,线段 BD 与 所成的角为 30 ,求 CD 的长 解 由 AC,可知 ACAB, 过点 D 作 DD1, D1为垂足,连接 BD1, 则DBD1为 BD 与 所成的角, 即DBD130 , 所以BDD160 , 因为 AC,DD1,所以 ACDD1, 所以CA ,DB 60 ,所以CA ,BD 120 . 又CD CA ABBD , 所以|CD |2(CA ABBD )2 |CA |2|AB|2|BD |22CA AB2CA BD 2AB BD . 因为 BDAB,ACAB, 所以BD AB 0,AC AB0. 故|CD |2|CA |2|AB|2|BD |22CA BD 2427224222424cos 120 625, 所以|CD |25,即 CD 的长为 25.