1、1.21.2 空间向量基本定理空间向量基本定理 第第 1 1 课时课时 空间向量基本定理空间向量基本定理 学习目标 1.掌握空间向量基本定理. 2.会用空间向量基本定理对向量进行分解 . 知识点一 空间向量基本定理 如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对任意一个空间向量 p，存在唯一的有序实数组(x，y， z)，使得 pxaybzc. 我们把a，b，c叫做空间的一个基底，a，b，c 都叫做基向量 思考 零向量能否作为基向量？ 答案 不能. 零向量与任意两个向量 a，b 都共面 知识点二 空间向量的正交分解 1单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是 1，那么这个基底
2、叫做单位正交 基底 ，常用i，j，k表示 2向量的正交分解 由空间向量基本定理可知，对空间任一向量 a，均可以分解为三个向量 xi，yj，zk 使得 axi yjzk. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量， 叫做把空间向量进行正交分解 1只有两两垂直的三个向量才能作为空间的一个基底( ) 2若a，b，c为空间的一个基底，则 a，b，c 全不是零向量( ) 3如果向量 a，b 与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有 a 与 b 共线( ) 4对于三个不共面向量 a1，a2，a3，不存在实数组(x，y，z)，使 0 xa1ya2za3.( ) 一、空间的基底 例 1 已知e1，e2
3、，e3是空间的一个基底，且OA e12e2e3，OB 3e1e22e3，OC e1e2e3，试判断OA ，OB ，OC 能否作为空间的一个基底 解 假设OA ，OB ，OC 共面 则存在实数 ， 使得OA OB OC ， e12e2e3(3e1e22e3)(e1e2e3) (3)e1()e2(2)e3， e1，e2，e3不共面， 31， 2， 21 此方程组无解， OA ，OB ，OC 不共面， OA ，OB ，OC 可以作为空间的一个基底 反思感悟 基底的判断思路 (1)判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就 可以作为一个基底 (2)判断基底时，常常依
4、托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶 点出发的三条棱对应的向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断 跟踪训练 1 (1)设 xab，ybc，zca，且a，b，c是空间的一个基底，给出下列 向量组：a，b，x，b，c，z，x，y，abc，其中可以作为空间一个基底的向 量组有( ) A1 个 B2 个 C3 个 D0 个 答案 B 解析 因为 xab，所以向量 x，a，b 共面 如图， 令 aAB ，bAA 1 ，cAD ，则 xAB1 ，yAD1 ，zAC ， abcAC1 . 可知向量 b，c，z 和 x，y，abc 不共面，故选 B. (2)已知空间的一个基
5、底a，b，c，mabc，nxaybc，若 m 与 n 共线，则 xy _. 答案 0 解析 因为 m 与 n 共线，所以 xaybcz(abc) 所以 xz， yz， 1z. 所以 x1， y1. 所以 xy0. 二、空间向量基本定理 例 2 如图，在三棱柱 ABC ABC中，已知AA a，ABb，ACc，点 M，N 分别 是 BC，BC的中点，试用基底a，b，c表示向量AM ，AN . 解 连接 AN(图略) AM AB 1 2BC AB1 2(BC CC ) AB 1 2BC 1 2CC AB1 2(AC AB)1 2AA 1 2AB 1 2AC 1 2AA 1 2(abc) AN AA
6、AN AA 1 2(AB AC ) AA 1 2(AB AC)a1 2b 1 2c. 延伸探究 若把本例中“AA a”改为“AC a”，其他条件不变，则结果是什么？ 解 因为 M 为 BC的中点，N 为 BC的中点， 所以AM 1 2(AB AC ) 1 2a 1 2b. AN 1 2(AB AC ) 1 2(AB BB AC ) 1 2AB 1 2CC 1 2AC 1 2AB 1 2(AC AC)1 2AC 1 2AB AC 1 2AC 1 2ba 1 2c. 反思感悟 用基底表示向量的步骤 (1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底 (2)找目标：用确定的基底(或已
7、知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法 则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果 (3)下结论：利用空间的一个基底a，b，c可以表示出空间所有向量表示要彻底，结果中 只能含有 a，b，c，不能含有其他形式的向量 跟踪训练 2 如图，四棱锥 P-OABC 的底面为一矩形，PO平面 OABC，设OA a，OC b， OP c，E，F 分别是 PC 和 PB 的中点，试用 a，b，c 表示BF ，BE，AE，EF. 解 连接 BO， 则BF 1 2BP 1 2(BO OP ) 1 2(BA AO OP ) 1 2(cba) 1 2a 1 2b 1 2c. BE
8、BCCEa1 2CP a1 2(CO OP ) a1 2b 1 2c. AE APPEAO OP 1 2(PO OC ) ac1 2(cb)a 1 2b 1 2c. EF 1 2CB 1 2OA 1 2a. 1下列结论错误的是( ) A三个非零向量能构成空间的一个基底，则它们不共面 B两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线 C若 a，b 是两个不共线的向量，且 cab(，R 且 0)，则a，b，c构成空间的 一个基底 D若OA ，OB ，OC 不能构成空间的一个基底，则 O，A，B，C 四点共面 答案 C 解析 由基底的概念可知 A，B，D 正确，对于 C，因为满
9、足 cab，所以 a，b，c 共面， 不能构成基底，故错误 2已知 a，b，c 是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是( ) A3a，ab，a2b B2b，b2a，b2a Ca，2b，bc Dc，ac，ac 答案 C 解析 对于 A，有 3a2(ab)a2b，则 3a，ab，a2b 共面，不能作为基底；同理可 判断 B，D 中的向量共面故选 C. 3在长方体 ABCDA1B1C1D1中，可以作为空间一个基底的是( ) A.AB ，AC，AD B.AB ，AA 1 ，AB 1 C.D1A1 ，D1C1 ，D1D D.AC1 ，A 1C ，CC 1 答案 C 解析 在长方体 ABC
10、DA1B1C1D1中，只有 C 中的三个向量D1A1 ，D1C1 ，D1D 不共面，可以 作为空间的一个基底 4 正方体 ABCDABCD中， O1， O2， O3分别是 AC， AB， AD的中点， 以AO1 ， AO2 ，AO 3 为基底，AC xAO 1 yAO 2 zAO 3 ，则( ) Axyz1 2 Bxyz1 Cxyz 2 2 Dxyz2 答案 B 解析 AC ABBC ABBB BCABAA AD 1 2(AB AD )1 2(AB AA )1 2(AA AD ) 1 2AC 1 2AB 1 2AD AO 1 AO 2 AO 3 ， 对比AC xAO 1 yAO 2 zAO 3 ，得 xyz1. 5在四面体 OABC 中，OA a，OB b，OC c，D 为 BC 的中点，E 为 AD 的中点，则OE _.(用 a，b，c 表示) 答案 1 2a 1 4b 1 4c 解析 OE OA 1 2AD OA 1 2 1 2(AB AC)OA 1 4(OB OA OC OA ) 1 2OA 1 4OB 1 4OC 1 2a 1 4b 1 4c. 1知识清单： (1)空间的基底 (2)空间向量基本定理 2方法归纳： 转化化归 3常见误区： (1)基向量理解错误，没有注意到基向量的条件 (2)运算错误：利用基底表示向量时计算要细心
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