1、第第 2 2 课时课时 夹角问题夹角问题 1已知 A(0,1,1)，B(2，1,0)，C(3,5,7)，D(1,2,4)，则直线 AB 与直线 CD 所成角的余弦值为 ( ) A.5 22 66 B5 22 66 C.5 22 22 D5 22 22 答案 A 解析 AB (2，2，1)，CD (2，3，3)， cosAB ，CD AB CD |AB |CD | 5 3 22 5 22 66 ， 直线 AB，CD 所成角的余弦值为5 22 66 . 2已知两平面的法向量分别为 m(0,1,0)，n(0,1,1)，则两平面夹角为( ) A45 B135 C45 或 135 D90 答案 A 解析
2、 cosm，n m n |m|n| 1 1 2 2 2 ，即m，n45 .所以两平面的夹角为 45 . 3设直线 l 与平面 相交，且 l 的方向向量为 a， 的法向量为 n，若a，n2 3 ，则 l 与 所成的角为( ) A.2 3 B. 3 C. 6 D. 5 6 答案 C 解析 线面角的范围是 0， 2 . a，n2 3 ，l 与法向量所在直线所成角为 3， l 与 所成的角为 6. 4若平面 的一个法向量为 n(4,1,1)，直线 l 的一个方向向量为 a(2，3,3)，则 l 与 所成角的余弦值为( ) A4 11 33 B.4 11 33 C 913 33 D. 913 33 答案
3、 D 解析 设 与 l 所成的角为 ， 则 sin |cosa，n|2，3，3 4，1，1| 499 1611 4 3 11 4 11 33 ， 故直线 l 与 所成角的余弦值为1 4 11 33 2 913 33 . 5正方形 ABCD 所在平面外一点 P，PA平面 ABCD，若 PAAB，则平面 PAB 与平面 PCD 的夹角为( ) A30 B45 C60 D90 答案 B 解析 如图所示，建立空间直角坐标系， 设 PAAB1，则 A(0,0,0)，D(0,1,0)，P(0,0,1) 于是AD (0,1,0)，取 PD 的中点 E，则 E 0，1 2， 1 2 ， AE 0，1 2， 1
4、 2 ，易知AD 是平面 PAB 的法向量，AE 是平面 PCD 的法向量， cosAD ，AE 2 2 ， 平面 PAB 与平面 PCD 的夹角为 45 . 6.如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1中，M 是 C1C 的中点，O 是底面 ABCD 的中心，P 是 A1B1上的任意点，则直线 BM 与 OP 所成的角为_ 答案 2 解析 建立如图所示的空间直角坐标系， 设正方体棱长为 2，A1Px， 则 O(1,1,0)，P(2，x，2)，B(2,2,0)，M(0,2,1)， OP (1，x1,2)，BM (2,0,1) 所以OP BM 0， 所以直线 BM 与 OP 所成的角为 2.
5、7如图所示，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AA11，则 BC1与平面 BB1D1D 所成角的正弦值为_ 答案 10 5 解析 如图所示，建立空间直角坐标系， 则 D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0，2,0)，D1(0,0,1)，C1(0,2,1)， BC1 (2,0,1) 连接 AC，易证 AC平面 BB1D1D， 平面 BB1D1D 的一个法向量为 aAC (2,2,0) 所求角的正弦值为|cosa，BC1 |a BC1 | |a|BC1 | 4 8 5 10 5 . 8 已知点 E， F 分别在正方体 ABCDA1B1C1D1的棱 BB1， C
6、C1上， 且 B1E2EB， CF2FC1， 则平面 AEF 与平面 ABC 夹角的余弦值等于 _. 答案 3 11 11 解析 如图，建立空间直角坐标系 设正方体的棱长为 1， 平面 ABC 的法向量为 n1(0,0,1)， 平面 AEF 的法向量为 n2(x，y，z) 所以 A(1,0,0)，E 1，1，1 3 ，F 0，1，2 3 ， 所以AE 0，1，1 3 ，EF 1，0，1 3 ， 则 n2 AE 0， n2 EF 0， 即 y1 3z0， x1 3z0. 取 x1，则 y1，z3.故 n2(1，1,3) 所以 cosn1，n2 n1 n2 |n1|n2| 3 11 11 . 所以
7、平面 AEF 与平面 ABC 夹角的余弦值为3 11 11 . 9.如图所示，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，ABAC，ABAC2，AA14，点 D 是 BC 的中 点求异面直线 A1B 与 C1D 所成角的余弦值 解 以点 A 为原点，AB，AC，AA1所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系 Axyz， 则 A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，A1(0,0,4)，D(1,1,0)，C1(0,2,4)， A1B (2,0，4)，C 1D (1，1，4)， cosA1B ，C 1D A1B C 1D |A1B |C 1D | 3 10 10 ， 异面直线
8、A1B 与 C1D 所成角的余弦值为3 10 10 . 10四棱锥 PABCD 的底面是正方形，PD底面 ABCD，点 E 在棱 PB 上 (1)求证：平面 AEC平面 PDB； (2)当 PD 2AB 且 E 为 PB 的中点时，求 AE 与平面 PDB 所成角的大小 (1)证明 如图，以 D 为原点建立空间直角坐标系 Dxyz， 设 ABa，PDh， 则 A(a，0,0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，D(0,0,0)，P(0,0，h)， AC (a，a，0)，DP (0,0，h)，DB (a，a，0)， AC DP 0，AC DB 0， ACDP，ACDB，又 DPDBD，DP，D
9、B平面 PDB， AC平面 PDB， 又 AC平面 AEC， 平面 AEC平面 PDB. (2)解 当 PD 2AB 且 E 为 PB 的中点时， P(0,0， 2a)，E 1 2a， 1 2a， 2 2 a ， 设 ACBDO，O a 2， a 2，0 ， 连接 OE，由(1)知 AC平面 PDB， AEO 为 AE 与平面 PDB 所成的角， EA 1 2a， 1 2a， 2 2 a ，EO 0，0， 2 2 a ， cosAEO EA EO |EA | |EO | 2 2 ， AEO45 ，即 AE 与平面 PDB 所成角的大小为 45 . 11如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，CA
10、CC12CB，则直线 BC1与直线 AB1所成角的余 弦值为( ) A. 5 5 B. 5 3 C.2 5 5 D.3 5 答案 A 解析 不妨设 CACC12CB2， 则AB1 (2,2,1)，C 1B (0，2,1)， 所以 cosAB1 ，C 1B AB1 C 1B |AB1 |C 1B | 202211 9 5 5 5 . 所以所求角的余弦值为 5 5 . 12已知在长方体 ABCDA1B1C1D1中，ABBC1，AA12，E 是侧棱 BB1的中点，则直 线 AE 与平面 A1ED1所成角的大小为( ) A60 B90 C45 D以上都不对 答案 B 解析 以点 D 为原点，分别以 D
11、A，DC，DD1所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐 标系，如图 由题意知，A1(1,0,2)，E(1,1,1)，D1(0,0,2)，A(1,0,0)， 所以A1E (0,1，1)，D 1E (1,1，1)，EA(0，1，1) 设平面 A1ED1的一个法向量为 n(x，y，z)， 则 n A1E 0， n D1E 0， 得 yz0， xyz0， 令 z1，得 y1，x0，所以 n(0,1,1)， cosn，EA n EA |n|EA | 2 2 21， 设直线与平面 A1ED1所成角为 ，则 sin 1， 所以直线 AE 与平面 A1ED1所成的角为 90 . 13在空间中，已知
12、平面 过(3,0,0)和(0,4,0)及 z 轴上一点(0,0，a)(a0)，如果平面 与平面 xOy 的夹角为 45 ，则 a_. 答案 12 5 解析 平面 xOy 的法向量 n(0,0,1)， 设平面 的法向量为 u(x， y， z)， 则 3x4y0， 3xaz0， 即 3x4yaz，取 z1，则 u a 3， a 4，1 . 而 cosn，u 1 a2 9 a 2 161 2 2 ，又a0，a12 5 . 14 已知正ABC与正BCD所在平面垂直， 则平面ABD与平面BDC夹角的余弦值为_ 答案 5 5 解析 取 BC 的中点 O，连接 AO，DO，建立如图所示的空间直角坐标系 设
13、BC1，则 A 0，0， 3 2 ，B 0，1 2，0 ，D 3 2 ，0，0 . 所以OA 0，0， 3 2 ，BA 0，1 2， 3 2 ，BD 3 2 ，1 2，0 . 由于OA 0，0， 3 2 为平面 BCD 的一个法向量 设平面 ABD 的法向量为 n(x，y，z)， 则 n BA 0， n BD 0， 所以 1 2y 3 2 z0， 3 2 x1 2y0， 取 x1，则 y 3，z1，所以 n(1， 3，1)， 所以 cosn，OA 5 5 . 15如图，在三棱锥 VABC 中，顶点 C 在空间直角坐标系的原点处，顶点 A，B，V 分别在 x 轴、y 轴、z 轴上，D 是线段 A
14、B 的中点，且 ACBC2，VDC 3，则异面直线 AC 与 VD 所成角的余弦值为_ 答案 2 4 解析 ACBC2，D 是 AB 的中点， C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，D(1,1,0) 当 3时，在 RtVCD 中，CD 2， V(0,0， 6)， AC (2,0,0)，VD (1,1， 6)， cosAC ，VD AC VD |AC |VD | 2 22 2 2 4 . 异面直线 AC 与 VD 所成角的余弦值为 2 4 . 16.如图所示，在棱长为 a 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F 分别是 BC，A1D1的中点 (1)求直线 A1C 与 DE
15、所成角的余弦值； (2)求直线 AD 与平面 B1EDF 所成角的余弦值； (3)求平面 B1EDF 与平面 ABCD 夹角的余弦值 解 以 A 为坐标原点，分别以 AB，AD，AA1所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐 标系 Axyz. (1)A1(0,0，a)，C(a，a，0)，D(0，a，0)，E a，a 2，0 ， A1C (a，a，a)，DE a，a 2，0 ， cosA1C ，DE A1C DE |A1C |DE | 15 15 ， 故 A1C 与 DE 所成角的余弦值为 15 15 . (2)连接 DB1，ADEADF， AD 在平面 B1EDF 内的射影在EDF
16、的平分线上 又四边形 B1EDF 为菱形，DB1为EDF 的平分线， 故直线 AD 与平面 B1EDF 所成的角为ADB1. 由 A(0,0,0)，B1(a，0，a)，D(0，a，0)， 得DA (0，a，0)，DB1 (a，a，a)， cosDA ，DB1 DA DB1 |DA |DB1 | 3 3 ， 又直线与平面所成角的范围是 0， 2 ， 故直线 AD 与平面 B1EDF 所成角的余弦值为 3 3 . (3)由已知得 A(0,0,0)，A1(0,0，a)，B1(a，0，a)，D(0，a，0)，E a，a 2，0 ， 则ED a，a 2，0 ，EB1 0，a 2，a ， 平面 ABCD 的一个法向量为 mAA1 (0,0，a) 设平面 B1EDF 的一个法向量为 n(1，y，z)， 由 n ED 0， n EB1 0， 得 y2， z1， n(1,2,1)，cosn，m m n |m|n| 6 6 ， 平面 B1EDF 与平面 ABCD 夹角的余弦值为 6 6 .
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