1、第第 3 3 课时课时 空间中直线、平面的垂直空间中直线、平面的垂直 1设直线 l1，l2的方向向量分别为 a(2,2,1)，b(3，2，m)，若 l1l2，则 m 等于( ) A2 B2 C10 D6 答案 C 解析 因为 ab，所以 a b0， 即232(2)m0， 解得 m10. 2若平面 ， 的法向量分别为 a(1,2,4)，b(x，1，2)，且 ，则 x 的值为( ) A10 B10 C.1 2 D1 2 答案 B 解析 因为 ，所以它们的法向量也互相垂直， 所以 a b(1,2,4) (x，1，2)0， 解得 x10. 3已知点 A(0,1,0)，B(1,0，1)，C(2,1,1)
2、，P(x，0，z)，若 PA平面 ABC，则点 P 的坐 标为( ) A(1,0，2) B(1,0,2) C(1,0,2) D(2,0，1) 答案 C 解析 由题意知AB (1，1，1)，AC(2,0,1)，AP(x，1，z)，又 PA平面 ABC， 所以有AB AP(1，1，1) (x，1，z)0，得x1z0. AC AP(2,0,1) (x，1，z)0，得 2xz0， 联立得 x1，z2，故点 P 的坐标为(1,0,2) 4在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，若 E 为 A1C1的中点，则直线 CE 垂直于( ) ABD BAC CA1D DA1A 答案 A 解析 以 D 为坐标原点，
3、DA，DC，DD1所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐 标系 Dxyz.设正方体的棱长为 1. 则 C(0,1,0)，B(1,1,0)，A(1,0,0)，D(0,0,0)，C1(0,1，1)，A1(1,0,1)，E 1 2， 1 2，1 ， CE 1 2， 1 2，1 ，AC (1,1,0)， BD (1，1,0)，A1D (1,0，1)，A 1A (0,0，1)， CE BD (1)1 2(1) 1 2 010， CEBD. 5 (多选)在正方体 ABCDA1B1C1D1中， O 是底面 ABCD 的中心， M， N 分别是棱 DD1， D1C1 的中点，则直线 OM( )
4、 A和 AC 垂直 B和 AA1垂直 C和 MN 垂直 D与 AC，MN 都不垂直 答案 AC 解析 以 D 为原点，DA，DC，DD1所在的直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系 设正方体的棱长为 2a， 则 D(0,0，0)，D1(0,0,2a)，M(0,0，a)，A(2a，0,0)，C(0,2a，0)，O(a，a，0)，N(0，a，2a) OM (a，a，a)，MN (0，a，a)，AC (2a，2a，0) OM MN 0，OM AC 0， OMAC，OMMN.OM 和 AA1显然不垂直， 故选 AC. 6已知直线 l 与平面 垂直，直线 l 的一个方向向量 u(1，3，z)，
5、向量 v(3，2,1)与 平面 平行，则 z_. 答案 9 解析 由题意得 uv，u v36z0， z9. 7在空间直角坐标系中，已知直角三角形 ABC 的三个顶点为 A(3，2,1)，B(1，1， 1)，C(5，x，0)，则 x 的值为_ 答案 0 或 9 解析 A(3，2,1)，B(1，1，1)，C(5，x，0)， AB (2,1，2)，BC(4，x1,1)，AC(2，x2，1) 分三种情况： A 为直角，AB AC0，4x220，x0； B 为直角，AB BC0，8x120，x9； C 为直角，AC BC0，8(x1)(x2)10，x23x90，方程无解 综上，x 的值为 0 或 9.
6、8在ABC 中，A(1，2，1)，B(0，3,1)，C(2，2,1)若向量 n 与平面 ABC 垂直， 且|n| 21，则 n 的坐标为_ 答案 (2,4,1)或(2，4，1) 解析 据题意，得AB (1，1,2)，AC(1,0,2) 设 n(x，y，z)，n 与平面 ABC 垂直， n AB 0， n AC 0， 即 xy2z0， x2z0， 可得 xy 2， zy 4. |n| 21， x2y2z2 21， 解得 y4 或 y4. 当 y4 时，x2，z1；当 y4 时，x2，z1. n 的坐标为(2,4,1)或(2，4，1) 9.如图，在四面体 ABOC 中，OCOA，OCOB，AOB1
7、20 ，且 OAOBOC1，设 P 为 AC 的中点，Q 在 AB 上且 AB3AQ，证明：PQOA. 证明 如图，连接 OP，OQ，PQ，取 O 为坐标原点，以 OA，OC 所在直线为 x 轴、z 轴，建 立空间直角坐标系 Oxyz(如图所示) 则 A(1,0,0)，C(0,0,1)，B 1 2， 3 2 ，0 . P 为 AC 的中点，P 1 2，0， 1 2 . AB 3 2， 3 2 ，0 ， 又由已知，可得AQ 1 3AB 1 2， 3 6 ，0 . 又OQ OA AQ 1 2， 3 6 ，0 ， PQ OQ OP 0， 3 6 ，1 2 . PQ OA 0，PQ OA ，即 PQO
8、A. 10.如图， 在四棱锥 EABCD 中， AB平面 BCE， CD平面 BCE， ABBCCE2CD2， BCE120 ， 求证：平面 ADE平面 ABE. 证明 取 BE 的中点 O，连接 OC， 又 AB平面 BCE， 所以以 O 为原点建立空间直角坐标系 Oxyz(如图所示) 则有 C(1,0,0)，B(0， 3，0)，E(0， 3，0)，D(1,0,1)，A(0， 3，2) 于是AE (0，2 3，2)，DA (1， 3，1) 设平面 ADE 的法向量为 n(a，b，c)， 则 n AE (a，b，c) (0，2 3，2)2 3b2c0， n DA (a，b，c) (1， 3，1
9、)a 3bc0. 令 b1，则 a0，c 3， 所以 n(0,1， 3) 又 AB平面 BCE，OC平面 BCE， 所以 ABOC. 因为 BEOC，ABBEB，AB，BE平面 ABE， 所以 OC平面 ABE. 所以平面 ABE 的法向量可取为 m(1,0,0) 因为 n m(0,1， 3) (1,0,0)0，所以 nm， 所以平面 ADE平面 ABE. 11在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F 分别在 A1D，AC 上，且 A1E2 3A1D，AF 1 3AC， 则( ) AEF 至多与 A1D，AC 中的一个垂直 BEFA1D，EFAC CEF 与 BD1相交 DEF 与 BD1
10、异面 答案 B 解析 以 D 为坐标原点，分别以 DA，DC，DD1所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角 坐标系 Dxyz， 设正方体的棱长为 1，则 A1(1,0,1)，D(0,0,0)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，E 1 3，0， 1 3 ，F 2 3， 1 3，0 ， B(1,1,0)，D1(0,0,1)， A1D (1,0，1)，AC (1,1,0)， EF 1 3， 1 3， 1 3 ，BD1 (1，1,1)， EF 1 3BD1 ，A1D EF 0，AC EF0， 从而 EFBD1，EFA1D，EFAC，故选 B. 12如图，PA平面 ABCD，四边形 ABCD
11、 为正方形，E 是 CD 的中点，F 是 AD 上一点， 当 BFPE 时，AFFD 的比值为( ) A.1 2 B1 C3 D2 答案 B 解析 以 A 为坐标原点，AB，AD，AP 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空 间直角坐标系 Axyz， 设正方形边长为 1，PAa， 则 B(1,0,0)，E 1 2，1，0 ，P(0,0，a) 设点 F 的坐标为(0，y，0)， 则BF (1，y，0)，PE 1 2，1，a . 因为 BFPE，所以BF PE0， 解得 y1 2，即点 F 的坐标为 0，1 2，0 ， 所以 F 为 AD 的中点，所以 AFFD11. 13.如图
12、， 四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 是边长为 1 的正方形， PD底面 ABCD， 且 PD1， 若 E，F 分别为 PB，AD 的中点，则直线 EF 与平面 PBC 的位置关系是_ 答案 垂直 解析 以 D 为原点，DA，DC，DP 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系(图略)， 则 P(0,0,1)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，E 1 2， 1 2， 1 2 ，F 1 2，0，0 ， EF 0，1 2， 1 2 ，设平面 PBC 的一个法向量 n(x，y，z)，则 n PB xyz0， n BC x0， 取 y1，则 z1， 平面 PBC 的法向量 n(0,1
13、,1)， EF 1 2n， EF n， EF平面 PBC. 14.如图，已知点 E，F 分别是正方体 ABCDA1B1C1D1的棱 AB，AA1的中点，点 M，N 分别 是线段 D1E，C1F 上的点，则与平面 ABCD 垂直的直线 MN 有_条 答案 1 解析 假设存在满足条件的直线 MN，建立空间直角坐标系如图所示，不妨设正方体的棱长 为 2，则 D1(2,0,2)，E(1,2,0)， 设 M(x，y，z)，D1M mD 1E (0m1)， 所以(x2，y，z2)m(1,2，2)，x2m，y2m，z22m， 所以 M(2m，2m，22m)， 同理，若设C1N nC 1F (0n1)，可得
14、N(2n，2n，2n)， MN (m2n2,2n2m，2mn)， 又因为 MN平面 ABCD，CD (2,0,0)，CB (0,2,0)， 所以 m2n20， 2n2m0， 解得 m2 3， n2 3， 即存在满足条件的直线 MN，有且只有一条 15如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，侧棱 AA1底面 A1B1C1，BAC90 ，ABACAA1 1， D 是棱 CC1的中点， P 是 AD 的延长线与 A1C1的延长线的交点， 若点 Q 在线段 B1P 上， 则下列结论正确的是( ) A当点 Q 为线段 B1P 的中点时，DQ平面 A1BD B当点 Q 为线段 B1P 的三等分点时，DQ平面
15、 A1BD C在线段 B1P 的延长线上，存在一点 Q，使得 DQ平面 A1BD D不存在 DQ 与平面 A1BD 垂直 答案 D 解析 以 A1为坐标原点，A1B1，A1C1，A1A 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐 标系(图略)，则由已知得 A1(0,0,0)，B1(1,0,0)，C1(0,1,0)，B(1,0,1)， D 0，1，1 2 ， P(0,2,0)， A1B (1,0,1)， A 1D 0，1，1 2 ， B1P (1,2,0)， DB 1 1，1，1 2 . 设平面 A1BD 的法向量为 n(x，y，z)，则 n A1B xz0， n A1D y1 2z0
16、， 取 z2，则 x2，y1， 所以平面 A1BD 的一个法向量为 n(2,1，2) 假设 DQ平面 A1BD，且 B1QB1P (1,2,0)(，2，0)， 则DQ DB1 B 1Q 1，12，1 2 ， 因为DQ 也是平面 A1BD 的法向量， 所以 n(2,1， 2)与DQ 1，12，1 2 共线， 于是有1 2 12 1 1 2 2 1 4成立， 但此方程关于 无解故不存在 DQ 与平面 A1BD 垂直 16已知正方体 ABCDA1B1C1D1中，E 为棱 CC1上的动点 (1)求证：A1EBD； (2)若平面 A1BD平面 EBD，试确定 E 点的位置 (1)证明 以 D 为坐标原点
17、，以 DA，DC，DD1所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直 角坐标系 设正方体棱长为 a，则 A(a，0,0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，A1(a，0，a)，C1(0，a，a) 设 E(0，a，b)(0ba)， A1E (a，a，ba)， BD (a，a，0)， A1E BD a2a2(ba) 00， A1E BD ，即 A1EBD. (2)解 设平面 A1BD，平面 EBD 的法向量分别为 n1(x1，y1，z1)，n2(x2，y2，z2) DB (a，a，0)，DA1 (a，0，a)，DE (0，a，b)， ax1ay10， ax1az10， ax2ay20， ay2bz20. 取 x1x21， 得 n1(1，1，1)，n2 1，1，a b ， 由平面 A1BD平面 EBD，得 n1n2， 2a b0，即 b a 2. 当 E 为 CC1的中点时，平面 A1BD平面 EBD.
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