1、第3课时三个正数的算术几何平均不等式,第一讲一 不等式,学习目标 1.理解定理3. 2.能用定理3及其推广证明一些不等式. 3.会用定理解决函数的最值或值域问题. 4.能运用三个正数的算术几何平均不等式解决简单的实际问题.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点三项均值不等式,梳理(1)三个正数的算术几何平均不等式(定理3),abc,(3)重要变形及结论,题型探究,类型一用平均不等式求最值,又y(x1)2(32x),当且仅当x1x132x,,解答,即x3时等号成立.即ymin4.,解答,反思与感悟(1)利用三个正数的算术几何平均不等式定理求最值,可简记为“积定和最小,和定积最
2、大”. (2)应用平均不等式定理,要注意三个条件“一正,二定,三相等”同时具备时,方可取得最值,其中定值条件决定着平均不等式应用的可行性,获得定值需要一定的技巧,如:配系数、拆项、分离常数、平方变形等.,解答,类型二用平均不等式证明不等式,证明,引申探究,当且仅当abc时取等号.,证明,反思与感悟证明不等式的方法 (1)首先观察所要证的式子结构特点及题目所给条件,看是否满足“一正、二定、三相等”的条件.若满足即可利用平均不等式证明. (2)若题目不满足该条件,则可灵活利用已知条件构造出能利用三个正数的基本不等式的式子.,跟踪训练2已知x,y,z都是正数,且xyz1, 求证:(1xy)(1xz)
3、(1yz)27.,又xyz1, (1xy)(1xz)(1yz)27, 当且仅当xyz1时,等号成立.,证明,类型三用平均不等式解决实际应用问题,例3如图,将边长为1的正六边形铁皮(图)的六个角各切去一个全等的四边形,再沿虚线折起,做成一个无盖的正六棱柱容器(图).当这个正六棱柱容器的底面边长为多少时,容积最大,并求出最大容积.,解答,解设正六棱柱的底面B1B2B3B4B5B6的边长为x(0 x1), 则OB1B1B2x.,由正六边形A1A2A3A4A5A6的边长为1, 得OA1A1A21,A1B1OA1OB11x. 作B1C1A1A2于点C1, 在RtA1C1B1中, B1A1C160,,于是
4、容器的容积为,当且仅当xx22x,,反思与感悟利用三个正数的基本不等式解决应用问题的一般步骤 (1)理解题意,设变量.设变量时一般要把所求最大值或最小值的变量定为函数. (2)建立相应的函数关系式,把实际问题抽象为求函数的最大值或最小值问题. (3)在定义域内,求出函数的最大值或最小值. (4)验证相等条件,得出结论.,跟踪训练3已知球的半径为R,球内接圆柱的底面半径为r,高为h,则r和h为何值时,内接圆柱的体积最大?,解答,解设内接圆柱的体积为V,,达标检测,1,2,3,4,1.函数f(x) 2x(x0)的最小值为 A.3 B.4 C.5 D.6,答案,5,解析,解析x0,,答案,1,2,3,4,5,解析,1,2,3,4,5,3.已知x为正数,下列各选项求得的最值正确的是,答案,解析,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,4.设a,bR,且ab3,则ab2的最大值为 A.2 B.3 C.4 D.6,答案,解析,当且仅当ab1时,等号成立.,1,2,3,4,5,9,解析因为a0,b0,,解析,答案,1.求实际问题的最值一定要注意变量应在实际允许的范围内取值,在使用三个正数的基本不等式定理求最值时,一定要注意检验等号是否成立.,规律与方法,