1、一一 二维形式的柯西不等式二维形式的柯西不等式 学习目标 1.认识二维形式的柯西不等式的代数形式、向量形式和三角形式，理解它们的 几何意义.2.会用柯西不等式证明一些简单的不等式，会求某些特定形式的函数的最值 知识点 二维形式的柯西不等式 思考 1 (a2b2)(c2d2)与 4abcd 的大小关系如何？那么(a2b2)(c2d2)与(acbd)2的大小 关系又如何？ 答案 (a2b2)(c2d2)4abcd， (a2b2)(c2d2)(acbd)2. 思考 2 当且仅当 ab 且 cd 时，(a2b2)(c2d2)4abcd，那么在什么条件下(a2b2)(c2 d2)(acbd)2? 答案
2、当且仅当 adbc 时，(a2b2) (c2d2)(acbd)2. 思考 3 若向量 (a，b)，向量 (c，d)，你能从向量的数量积与向量模的积之间的关系 发现怎样的不等式？ 答案 a2b2 c2d2|acbd|. 梳理 (1)二维形式的柯西不等式 定理 1：若 a，b，c，d 都是实数，则(a2b2)(c2d2)(acbd)2，当且仅当 adbc 时， 等号成立 二维形式的柯西不等式的推论： a2b2 c2d2|acbd|(a，b，c，dR)； a2b2 c2d2|ac|bd|(a，b，c，dR) (2)柯西不等式的向量形式 定理 2：设 ， 是两个向量，则| | |，当且仅当 是零向量，
3、或存在实数 k，使 k 时，等号成立 (3)二维形式的三角不等式 定理 3： x21y21 x22y22 x1x22y1y22(x1，y1，x2，y2R) 当且仅当三点 P1，P2与原点 O 在同一直线上，并且 P1，P2点在原点 O 两旁时，等号成立 推论：对于任意的 x1，x2，x3，y1，y2，y3R，有 x1x32y1y32 x2x32y2y32 x1x22y1y22. 事实上，在平面直角坐标系中，设点 P1，P2，P3的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)， 根据P1P2P3的边长关系有|P1P3|P2P3|P1P2|，当且仅当三点 P1，P2，P3在同一直线上，
4、 并且点 P1，P2在 P3点的两旁时，等号成立 类型一 利用柯西不等式证明不等式 例 1 已知 a1，a2，b1，b2R，求证：(a1b1a2b2) a1 b1 a2 b2 (a1a2)2. 证明 a1，a2，b1，b2R， (a1b1a2b2) a1 b1 a2 b2 a1b12 a2b22 a1 b1 2 a2 b2 2 a1b1 a1 b1 a2b2 a2 b2 2 (a1a2)2. (a1b1a2b2) a1 b1 a2 b2 (a1a2)2. 反思与感悟 利用柯西不等式的代数形式证明某些不等式时， 有时需要将待证不等式进行变 形，以具备柯西不等式的运用条件，这种变形往往要认真分析题
5、目的特征，根据题设条件， 利用添项、拆项、分解、组合、配方、数形结合等方法 跟踪训练 1 已知 为锐角，a，bR， 求证： a2 cos2 b2 sin2(ab) 2. 证明 a2 cos2 b2 sin2 a2 cos2 b2 sin2 (cos2sin2) a cos cos b sin sin 2(ab)2， a2 cos2 b2 sin2(ab) 2. 例 2 若实数 x，y，z 满足 x24y2z23，求证：|x2yz|3. 证明 因为 x24y2z23， 所以由柯西不等式得 x2(2y)2z2(121212)(x2yz)2 当且仅当x 1 2y 1 z 1，即xz1， y1 2或x
6、z1，y 1 2时，等号成立 . 整理得(x2yz)29，即|x2yz|3. 反思与感悟 (1)抓住柯西不等式的特征“方、和、积”，构造使用柯西不等式的条件 (2)此类题也可以用三角不等式，把ABO 的三个顶点分别设为 O(0,0)，A(x1，x2)，B(y1， y2)即可 跟踪训练 2 设 a，b，c 为正数，求证： a2b2 b2c2 a2c2 2(abc) 证明 由柯西不等式知， a2b2 1212ab， 即 2 a2b2ab， 同理， 2 b2c2bc， 2 a2c2ac. 将上面三个同向不等式相加， 得 2( a2b2 b2c2 a2c2)2(abc)， a2b2 b2c2 a2c2
7、 2(abc) 类型二 利用柯西不等式求最值 例 3 若 3x4y2，试求 x2y2的最小值及最小值点 解 由柯西不等式(x2y2)(3242)(3x4y)2， 得 25(x2y2)4，所以 x2y2 4 25， 当且仅当x 3 y 4时等号成立，点(x，y)为所求最小值点， 解方程组 3x4y2， x 3 y 4， 得 x 6 25， y 8 25. 因此，当 x 6 25，y 8 25时，x 2y2取得最小值，最小值为4 25，最小值点为 6 25， 8 25 . 反思与感悟 利用柯西不等式求最值 (1)先变形凑成柯西不等式的结构特征，是利用柯西不等式求解的前提条件； (2)有些最值问题从
8、表面上看不能利用柯西不等式，但只要适当添加上常数项或和为常数的 各项，就可以应用柯西不等式来解，这也是运用柯西不等式解题的技巧； (3)有些最值问题的解决需要反复利用柯西不等式才能达到目的，但在运用过程中，每运用 一次前后等号成立的条件必须一致，不能自相矛盾，否则就会出现错误多次反复运用柯西 不等式的方法也是常用技巧之一 跟踪训练 3 已知 a，bR，且 9a24b218，求 3a2b 的最值 解 由柯西不等式，得(9a24b2)(1212)(3a2b)2， 9a24b218， 36(3a2b)2. |3a2b|6. 当 3a2b， 9a24b218， 即 a1， b3 2 或 a1， b3
9、2 时等号成立 当 a1，b3 2时，3a2b 有最大值 6. 当 a1，b3 2时，3a2b 有最小值6. 1已知 a，bR，a2b24，则 3a2b 的最大值为( ) A4 B2 13 C8 D9 答案 B 解析 (a2b2)(3222)(3a2b)2，当且仅当 3b2a 时取等号，所以(3a2b)2413.所以 3a2b 的最大值为 2 13. 2已知 a0，b0，且 ab2，则( ) Aab1 2 Bab1 2 Ca2b22 Da2b23 答案 C 解析 (a2b2)(1212)(ab)24， a2b22. 3设 xy0，则 x2 4 y2 y21 x2 的最小值为_ 答案 9 解析
10、x2 4 y2 y2 1 x2 x24 y2 1 x2y 2 (12)29， 当且仅当 xy 2 xy，即 xy 2时，取等号 最小值为 9. 4设 a，b，m，nR，且 a2b25，manb5，则 m2n2的最小值为_ 答案 5 解析 (a2b2)(m2n2)(manb)225， m2n25. m2n2 5. 当且仅当 anbm 时取等号 5已知 a2b21，求证：|acos bsin |1. 证明 1a2b2(a2b2) (cos2sin2) (acos bsin )2， |acos bsin |1. 1利用柯西不等式的关键是找出相应的两组数，应用时要对照柯西不等式的原形，进行多 角度的尝试 2柯西不等式取等号的条件也不容易记忆，如(a2b2) (c2d2)(acbd)2等号成立的条件 是 adbc，可以把 a，b，c，d 看成等比，则 adbc 来联想记忆
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