1、一一 平面直角坐标系平面直角坐标系 学习目标 1.了解平面直角坐标系的组成，领会坐标法的应用.2.理解平面直角坐标系中的伸 缩变换.3.能够建立适当的平面直角坐标系，运用解析法解决数学问题. 知识点一 平面直角坐标系 思考 1 在平面中，你最常用的是哪种坐标系？坐标的符号有什么特点？ 答案 直角坐标系；在平面直角坐标系中，第一象限内的点的横纵坐标均为正，第二象限内 的点的横坐标为负，纵坐标为正，第三象限内的点的横纵坐标均为负，第四象限内的点的横 坐标为正，纵坐标为负. 思考 2 坐标法解问题的关键是什么？如何建立恰当的坐标系？ 答案 建立平面直角坐标系；通常选图形的特殊点为坐标原点，边所在直线
2、为坐标轴.比如， 对称中心为图形的顶点，为原点，对称轴边所在直线为坐标轴. 梳理 (1)平面直角坐标系的概念 定义：在同一个平面上相互垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称直角 坐标系. 相关概念： 数轴的正方向：水平放置的数轴向右的方向、竖直放置的数轴向上的方向分别是数轴的正方 向. x 轴或横轴：坐标轴水平的数轴. y 轴或纵轴：坐标轴竖直的数轴. 坐标原点：坐标轴的公共点 O. 对应关系：平面直角坐标系内的点与有序实数对(x，y)之间一一对应. (2)坐标法解决几何问题的“三部曲”：第一步，建立适当坐标系，用坐标和方程表示问题中 涉及的几何元素，将几何问题转化为代数问题；第二
3、步，通过代数运算解决代数问题；第三 步：把代数运算结果翻译成几何结论. 知识点二 平面直角坐标系中的伸缩变换 思考 1 如何由 ysin x 的图象得到 y3sin 2x 的图象？ 答案 ysin x 横坐标缩为原来的1 2 纵坐标不变 ysin 2x 纵坐标伸长为原来的3倍 横坐标不变 y3sin 2x. 思考 2 伸缩变换一定会改变点的坐标和位置吗？ 答案 不一定，伸缩变换对原点的位置没有影响.但是会改变除原点外的点的坐标和位置，但 是象限内的点伸缩变换后仍在原来的象限. 梳理 平面直角坐标系中伸缩变换的定义 (1)平面直角坐标系中方程表示图形，那么平面图形的伸缩变换就可归结为坐标的伸缩变
4、换， 这就是用代数方法研究几何变换. (2)平面直角坐标系中的坐标伸缩变换： 设点 P(x， y)是平面直角坐标系中任意一点， 在变换 ： xx0， yy0 的作用下，点 P(x，y)对应到点 P(x，y)，称_为平面直角坐标系中 的坐标伸缩变换，简称伸缩变换. 类型一 坐标法的应用 命题角度 1 研究几何问题 例 1 已知ABC 中，ABAC，BD，CE 分别为两腰上的高，求证：BDCE. 证明 如图， 以 BC 所在直线为 x 轴，BC 的垂直平分线为 y 轴建立平面直角坐标系. 设 B(a,0)，C(a,0)，A(0，h). 则直线 AC 的方程为 yh axh， 即 hxayah0.
5、直线 AB 的方程为 yh axh， 即 hxayah0. 由点到直线的距离公式，得 |BD| |2ah| a2h2，|CE| |2ah| a2h2 . |BD|CE|，即 BDCE. 反思与感悟 根据图形的几何特点选择适当的直角坐标系的一些规则：如果图形有对称中 心，选对称中心为原点；如果图形有对称轴，可以选对称轴为坐标轴；使图形上的特殊 点尽可能多地在坐标轴上. 跟踪训练 1 在ABCD 中，求证：|AC|2|BD|22(|AB|2|AD|2). 证明 如图，以 A 为坐标原点，AB 所在的直线为 x 轴，建立平面直角坐标系. 设 B(a，0)，C(b，c)， 则 AC 的中心 E b 2
6、， c 2 ， 由对称性知 D(ba，c)， 所以|AB|2a2，|AD|2(ba)2c2， |AC|2b2c2，|BD|2(b2a)2c2， |AC|2|BD|24a22b22c24ab 2(2a2b2c22ab)， |AB|2|AD|22a2b2c22ab， 所以|AC|2|BD|22(|AB|2|AD|2). 命题角度 2 求轨迹方程 例 2 如图，圆 O1与圆 O2的半径都是 1，|O1O2|4，过动点 P 分别作圆 O1，圆 O2的切线 PM，PN(M，N 分别为切点)，使得|PM| 2|PN|，试建立适当的坐标系，并求动点 P 的轨迹 方程. 解 如图，以直线 O1O2为 x 轴，
7、线段 O1O2的垂直平分线为 y 轴，建立平面直角坐标系，则 O1(2,0)，O2(2,0). 设 P(x，y)，则 |PM|2|O1P|2|O1M|2(x2)2y21， |PN|2|O2P|2|O2N|2(x2)2y21. |PM| 2|PN|，|PM|22|PN|2， (x2)2y212(x2)2y21， 即 x212xy230，即(x6)2y233. 动点 P 的轨迹方程为(x6)2y233. 反思与感悟 建立坐标系的几个基本原则：尽量把点和线段放在坐标轴上；对称中心一 般放在原点；对称轴一般作为坐标轴. 跟踪训练 2 在ABC 中，B(3,0)，C(3,0)，直线 AB，AC 的斜率之
8、积为4 9，求顶点 A 的轨 迹方程. 解 设 A(x，y)，则 kAB y x3，kAC y x3(x 3). 由 kAB kAC y x3 y x3 4 9，化简可得 x2 9 y2 41， 所以顶点 A 的轨迹方程为x 2 9 y2 41(x 3). 类型二 伸缩变换 例 3 求圆 x2y21 经过 ： x3x， y4y 变换后得到的新曲线的方程，并说明新曲线的形 状. 解 x3x， y4y， x1 3x， y1 4y， 把 x，y 代入方程 x2y21，得x 2 9 y 2 16 1. 即所求新曲线的方程为x 2 9 y2 161. 新曲线是以长轴为 8，短轴为 6，焦点在 y 轴上的
9、椭圆. 引申探究 1.若曲线 C 经过 x1 2x， y1 3y 变换后得到圆 x2y21，求曲线 C 的方程. 解 曲线 C 经过 x1 2x， y1 3y 变换后得到的圆为 x2y21. (x，y)满足 x2y21，即 x2y21. 1 2x 2 1 3y 21， x 2 4 y2 91 即为曲线 C 的方程. 2.若圆 x2y21 经过变换 后得到曲线 C：x 2 25 y2 161，求 的坐标变换公式. 解 设 ： xx0， yy0， xx ， yy ， 代入 x2y21，得x 2 2 y 2 2 1. 曲线 C的方程为x 2 2 y2 21. 又已知曲线 C的方程为x 2 25 y2
10、 161， 225， 216， 5， 4. ： x5x， y4y. 反思与感悟 (1)平面直角坐标系中的方程表示图形，则平面图形的伸缩变换就可归结为坐标 的伸缩变换，这就是用代数的方法研究几何变换. (2)平面直角坐标系中的坐标伸缩变换：设点 P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变 换 ： xx0， yy0 的作用下，点 P(x，y)对应到点 P(x，y)，称 为平面直角坐标 系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换. 跟踪训练 3 在同一直角坐标系中，将直线 x2y2 变成直线 2xy4，求满足条件的 伸缩变换. 解 设满足条件的伸缩变换为 xx0， yy0， 将其代入方程 2xy4， 得
11、2xy4， 与 x2y2 比较，将其变成 2x4y4.比较系数得 1，4. 所以 xx， y4y. 直线 x2y2 图象上所有点的横坐标不变， 纵坐标扩大到原来的 4 倍可得到 直线 2xy4. 1.在同一平面直角坐标系中，将曲线 y3sin 2x 变为曲线 ysin x的伸缩变换是( ) A. x2x， y1 3y B. x2x， y1 3y C. x2x， y3y D. x2x， y3y 答案 B 2.在同一平面直角坐标系中， 曲线 y3sin 2x 经过伸缩变换 x2x， y3y 后， 所得曲线为( ) A.ysin x B.y9sin 4x C.ysin 4x D.y9sin x 答案
12、 D 解析 伸缩变换 x2x， y3y， x1 2x， y1 3y， 代入 y3sin 2x，可得1 3y3sin x， 即 y9sin x.故选 D. 3.已知ABCD 中三个顶点 A， B， C 的坐标分别是(1,2)， (3,0)， (5,1)， 则点 D 的坐标是( ) A.(9，1) B.(3,1) C.(1,3) D.(2,2) 答案 C 解析 由平行四边形对边互相平行，即斜率相等，可求出点 D 的坐标.设 D(x，y)， 则 kABkDC， kADkBC， 即 20 13 y1 x5， 2y 1x 01 35. 解得 x1， y3. 故点 D 的坐标为(1,3). 4.在ABC
13、中， B(2,0)， C(2,0)， ABC 的周长为 10， 则 A 点的轨迹方程为_. 答案 x2 9 y2 51(y0) 解析 ABC 的周长为 10，|AB|AC|BC|10，而|BC|4，|AB|AC|64.A 点的轨迹为除去长轴两顶点的椭圆，且 2a6，2c4.a3，c2，b2a2c25. A 点的轨迹方程为x 2 9 y2 51(y0). 5.用解析法证明：若 C 是以 AB 为直径的圆上的任意一点(异于 A，B)，则 ACBC. 证明 设 AB2r，线段 AB 的中心为 O，以线段 AB 所在的直线为 x 轴，O 为坐标原点建立 平面直角坐标系，则圆 O 的方程为 x2y2r2
14、.设 A(r，0)，B(r，0)，C(x，y)， 则 kAC y xr，kBC y xr，则 kAC kBC y xr y xr y2 x2r2， 又 x2y2r2，所以 y2r2x2， 所以 kAC kBCr 2x2 x2r21， 所以 ACBC. 1.平面直角坐标系的作用与建立 平面直角坐标系是确定点的位置、 刻画方程的曲线形状和位置的平台， 建立平面直角坐标系， 常常利用垂直直线为坐标轴，充分利用图形的对称性等特征. 2.伸缩变换的类型与特点 伸缩变换包括点的伸缩变换，以及曲线的伸缩变换，曲线经过伸缩变换对应的曲线方程就会 变化，通过伸缩变换可以领会曲线与方程之间的数形转化与联系. 二二
15、 极坐标系极坐标系 第第 1 课时课时 极坐标系的概念极坐标系的概念 学习目标 1.了解极坐标系的实际背景.2.理解极坐标系的概念.3.理解极坐标的多值性 知识点 极坐标系 思考1 某同学说他家在学校东偏北60 ， 且距学校1公里处， 那么他说的位置能惟一确定吗？ 这个位置是由哪些量确定的？ 答案 能惟一确定；位置是由角和距离两个量确定的 思考 2 类比平面直角坐标系，怎样建立用角与距离确定平面上点的位置的坐标系？ 答案 选一个点 O 为基点，射线 OA 为参照方向 梳理 极坐标系的概念 (1)极坐标系的定义 取极点：平面内取一个定点 O； 作极轴：自极点 O 引一条射线 Ox； 定单位：选定
16、一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向) (2)点的极坐标 定义：有序数对(，)叫做点 M 的极坐标，记为 M(，)； 意义：|OM|，即极点 O 与点 M 的距离(0) xOM，即以极轴 Ox 为始边，射线 OM 为终边的角 类型一 由极坐标画出点 例 1 根据下列极坐标作出各点 (1)A 1， 3 ，B 2， 3 ，C 3， 3 ； (2)D 2， 6 ，E 2， 2 ，F 2，2 3 ，G 2， 3 . 解 如图， 反思与感悟 由极坐标作点，先由极角线找点所在角的终边，再由极径确定点的位置通过 作点可以看出“极角确定，极径变，点在一条线” ， “极径不变，极
17、角变，点在圆上转” 跟踪训练 1 根据下列极坐标，作出各点 A(5,0)，B 3， 6 ，C 4，3 2 ，D 2，3 2 . 解 在极坐标系中，点 A，B，C，D 的位置是确定的 类型二 求点的极坐标 例 2 设点 A 2， 3 ，直线 l 为过极点且垂直于极轴的直线，分别求点 A 关于极轴，直线 l， 极点的对称点的极坐标(限定 0，) 解 如图所示， 关于极轴的对称点为 B 2， 3 . 关于直线 l 的对称点为 C 2，2 3 . 关于极点 O 的对称点为 D 2，2 3 . 引申探究 1若将极角 限定为 00,00，0,2) 解 作出图形，可知 A 3， 6 关于直线 2的对称点是
18、3，5 6 . 类型三 极坐标系中两点间的距离 例 3 在极坐标系中，点 O 为极点，已知点 A 6， 6 ，B 6，2 3 ，求|AB|的值 解 如图AOB2 3 6 2， AOB 为直角三角形， |AB|OA|2|OB|26 2. 引申探究 在本例条件不变的情况下，求 AB 的中点的极坐标 解 取 AB 的中点 M，连接 OM， 在AOB 中，AOB 2，OAOB， AOM 4，xOM 4 6 5 12. 又|OM|6cos 43 2， M 的极坐标为 3 2，5 12 . 反思与感悟 在极坐标系中，如果 P1(1，1)，P2(2，2)，那么两点间的距离公式|P1P2| 2122212co
19、s12的两种特殊情形为 当 122k，kZ 时，|P1P2|12|； 当 122k，kZ 时，|P1P2|12|. 跟踪训练 3 (1)在极坐标系中， 已知两点 P 3，2 3 ， Q 4， 6 ， 则线段 PQ 的长度为_ 答案 5 解析 作出图形，如图所示，可知 OP 与 OQ 垂直，所以线段 PQ 的长度|PQ| 32425. (2)在极坐标系中，若ABC 的三个顶点为 A 5，5 2 ，B 8，5 6 ，C 3，7 6 ，判断三角形的 形状 解 因为|AB|25282258cos 5 2 5 6 49， |AC|25232253cos 5 2 7 6 49， |BC|28232283c
20、os 5 6 7 6 49. 所以ABC 是等边三角形 1极坐标系中，下列与点(1，)相同的点为( ) A(1,0) B(2，) C(1,2 016) D(1,2 017) 答案 D 2点 M 的直角坐标是(1， 3)，则点 M 的极坐标为( ) A. 2， 3 B. 2， 3 C. 2，2 3 D. 2，2k 3 (kZ) 答案 C 3在极坐标系中，与点 3， 3 关于极轴所在直线对称的点的极坐标是( ) A. 3，2 3 B. 3， 3 C. 3，4 3 D. 3，5 3 答案 B 解析 根据极坐标的对称关系知，点 3， 3 关于极轴所在直线对称的点的极坐标是 3， 3 . 4在极坐标系中
21、，已知 A 1，3 4 ，B 2， 4 两点，则|AB|_. 答案 5 解析 |AB| 1222212cos 3 4 4 5. 1极坐标系的四要素 极点；极轴；长度单位；角度单位和它的正方向四者缺一不可 2在极坐标系中找点的位置，应先确定极角，再确定极径，最终确定点的位置 3确定点的极坐标的方法 点 P 的极坐标的一般形式为(，2k)，kZ，则 (1) 为点 P 到极点的距离，是个定值 (2)极角为满足 2k，kZ Z 的任意角，不惟一，其中 是始边在极轴上，终边过OP的任 意一个角，一般取绝对值较小的角 第第 2 课时课时 极坐标和直角坐标的互化极坐标和直角坐标的互化 学习目标 1.了解极坐
22、标和直角坐标互化的条件.2.掌握极坐标与直角坐标互化的公式，能进 行极坐标和直角坐标间的互化.3.掌握极坐标系的简单应用 知识点 极坐标和直角坐标的互化 思考 1 平面内的一个点 M 的坐标既可以用直角坐标表示也可以用极坐标表示，那么这两个 坐标之间能否转化？ 答案 可以 思考 2 要进行极坐标和直角坐标的互化，两个坐标系有什么联系？ 答案 直角坐标的原点为极点；x 轴的正半轴为极轴；单位长度相同 梳理 互化的条件及互化公式 (1)互化的前提条件：极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；极轴与 x 轴的正半 轴重合；两种坐标系取相同的长度单位 (2)互化公式 极坐标化直角坐标： xcos ，
23、 ysin . 直角坐标化极坐标： 2x2y2， tan y xx0. 类型一 点的极坐标化直角坐标 例 1 把下列点的极坐标化为直角坐标 (1)A 2，7 6 ；(2)B 3， 4 ；(3)M 6，5 6 . 解 由公式 xcos ， ysin ， 得 (1)x2cos 7 6 3，y2sin 7 6 1， 点 A 的直角坐标为( 3，1) (2)x3cos 4 3 2 2 ，y3sin 4 3 2 2 ， 点 B 的直角坐标为 3 2 2 ，3 2 2 . (3)x6cos5 6 3 3，y6sin5 6 3， 点 M 的直角坐标为(3 3，3) 反思与感悟 由极坐标化直角坐标是惟一的由公
24、式 xcos ， ysin 惟一确定 跟踪训练 1 已知点的极坐标分别为 A 2，2 3 ， B 3 2 ， ， C 4， 2 ， 求它们的直角坐标 解 根据 xcos ，ysin ， 得 A(1， 3)，B 3 2 ，0 ，C(0，4) 类型二 点的直角坐标化极坐标 例 2 分别把下列点的直角坐标化为极坐标(限定 0,02) (1)(2,2 3)；(2)( 6， 2)；(3) 3 2 ，3 2 . 解 (1) x2y2222 324， tan y x 3，0,2) 由于点(2,2 3)在第二象限，2 3 . 点的直角坐标(2,2 3)化为极坐标为 4，2 3 . (2) x2y2 62 22
25、2 2，tan y x 3 3 ，0,2)，由于点( 6， 2) 在第四象限， 11 6 . 点的直角坐标( 6， 2)化为极坐标为 2 2，11 6 . (3) x2y2 3 2 2 3 2 23 2 2 ，tan y x1，0,2) 由于点 3 2 ，3 2 在第一象限，所以 4. 点的直角坐标 3 2 ，3 2 化为极坐标为 3 2 2 ， 4 . 引申探究 1若规定 R，上述点的极坐标还惟一吗？ 解 (1) 4，2 3 2k (kZ) (2) 2 2，11 6 2k (kZ) (3) 3 2 2 ， 42k (kZ) 极坐标不惟一 2若点的直角坐标为(1)(0,2 3)，(2)(0，
26、2)，(3) 3 2 ，0 化为极坐标(0,00,00,02，则点 M 的极坐标是_ 答案 6，4 3 解析 323 326， 由 6cos 3，得 cos 1 2， 又 00，sin y ，cos x ，所以 xcos ，ysin ， 2x2y2，tan y x(x0) 三三 简单曲线的极坐标方程简单曲线的极坐标方程 第第 1 课时课时 圆的极坐标方程圆的极坐标方程 学习目标 1.了解极坐标方程的意义.2.掌握圆的极坐标方程.3.能根据极坐标方程研究曲线 的有关性质 知识点一 曲线的极坐标方程 (1)在极坐标系中，如果曲线 C 上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程 f(，)0，并且 坐标适
27、合方程 f(， )0 的点都在曲线 C 上， 那么方程 f(， )0 叫做曲线 C 的极坐标方程 (2)建立曲线的极坐标方程的方法步骤 建立适当的极坐标系，设 P(，)是曲线上任意一点； 列出曲线上任意一点的极径与极角之间的关系式； 将列出的关系式整理、化简； 证明所得方程就是曲线的极坐标方程 知识点二 圆的极坐标方程 思考 1 在极坐标系中，点 M(，)的轨迹方程中一定含有 或 吗？ 答案 不一定 思考 2 圆心在极点，半径为 2 的圆的极坐标方程是什么？ 答案 2. 梳理 圆的极坐标方程 圆心位置 极坐标方程 图形 圆心在极点(0,0) r(02) 圆心在点(r,0) 2rcos 2 2
28、圆心在点 r， 2 2rsin (0) 圆心在点(r，) 2rcos 2 3 2 圆心在点 r，3 2 2rsin (0) 类型一 求圆的极坐标方程 例 1 求圆心在(0，0)，半径为 r 的圆的方程 解 在圆周上任取一点 P(如图)， 设其极坐标为(，)， 由余弦定理知， CP2OP2OC22OP OCcosCOP， 故其极坐标方程为 r220220cos(0) 引申探究 若圆心在(3,0)，半径 r2，求圆的极坐标方程 解 设 P(，)为圆上任意一点， 则|CP|2|OP|2|OC|22|OP| |OC| cos COP， 22296cos ， 即 26cos 5. 当 O，P，C 共线时
29、此方程也成立 反思与感悟 求圆的极坐标方程的步骤 (1)设圆上任意一点的极坐标为 M(，) (2)在极点、 圆心与 M 构成的三角形中运用余弦定理或解直角三角形列出方程 f(， )0 并化 简 (3)验证极点、圆心与 M 三点共线时，点 M(，)的极坐标也适合上述极坐标方程 跟踪训练1 在极坐标系中， 已知圆 C 的圆心为C 3， 6 ， 半径为 r3.求圆 C的极坐标方程 解 设 M(，)为圆 C 上任一点， 易知极点 O 在圆 C 上，设 OM 的中点为 N， OCM 为等腰三角形， 则|ON|OC|cos 6 ， |OM|23cos 6 ， 则 6cos 6 即为圆 C 的极坐标方程 类
30、型二 极坐标方程与直角坐标方程的互化 命题角度 1 直角坐标方程化极坐标方程 例 2 把下列直角坐标方程化为极坐标方程 (1)x2y21； (2)x2y24x40； (3)x2y22x2y20. 解 把 xcos ， ysin 代入方程化简， (1)(cos )2(sin )21，21，即 1. (2)(cos )2(sin )24cos 40， 24cos 40. (3)(cos )2(sin )22cos 2sin 20. 22(cos sin )20， 22 2sin 4 20. 反思与感悟 在进行两种坐标方程间的互化时，要注意 (1)互化公式是有三个前提条件的，即极点与直角坐标系的原点
31、重合、极轴与直角坐标系的横 轴的正半轴重合，两种坐标系的单位长度相同 (2)由直角坐标求极坐标时，理论上不是惟一的，但这里约定只在 02 范围内求值 跟踪训练 2 把下列直角坐标方程化为极坐标方程 (1)y24x；(2)x2y22x10. 解 (1)将 xcos ，ysin 代入 y24x， 得(sin )24cos ，化简，得 sin24cos . (2)将 xcos ，ysin 代入 x2y22x10， 得(cos )2(sin )22cos 10， 化简，得 22cos 10. 命题角度 2 极坐标方程化直角坐标方程 例 3 把下列极坐标方程化为直角坐标方程 (1)2cos 21；(2)
32、2cos 4 ； (3)cos 4 2 2 ；(4) 1 2cos . 解 (1)2cos 21，2cos22sin21， 化为直角坐标方程为 x2y21. (2)2cos cos 42sin sin 4 2cos 2sin ， 2 2cos 2sin ， 化为直角坐标方程为 x2y2 2x 2y0. (3)cos 4 2 2 ， cos cos 4sin sin 4 2 2 ， cos sin 10. 又 cos x，sin y，xy10. (4) 1 2cos ，2cos 1， 2 x2y2x1.化简，得 3x24y22x10. 反思与感悟 由极坐标方程化为直角坐标方程时要注意变形的等价性
33、，通常总要用 去乘方 程的两端，应该检查极点是否在曲线上，若在，是等价变形，否则，不是等价变形 跟踪训练 3 把下列直角坐标方程与极坐标方程进行互化 (1)x2y22x0；(2)cos 2sin ；(3)2cos2. 解 (1)x2y22x0， 22cos 0.2cos . (2)cos 2sin ，2cos 2sin . x2y2x2y，即 x2y2x2y0. (3)2cos2，42cos2(cos )2. (x2y2)2x2， 即 x2y2x 或 x2y2x. 类型三 直角坐标与极坐标方程互化的应用 例 4 若曲线 C 的极坐标方程为 2sin 4cos ，以极点为原点，极轴为 x 轴的正
34、半轴建 立直角坐标系 (1)求曲线 C 的直角坐标方程； (2)若曲线 sin 4 0 与曲线 C 相交于 A，B，求|AB|的值 解 (1) xcos ， ysin ， 2x2y2， 由 2sin 4cos ，得 22sin 4cos ， x2y24x2y0，即(x2)2(y1)25. (2)由 sin 4 0，得 2 2 sin 2 2 cos 0， 即 sin cos 0，xy0. 由于圆(x2)2(y1)25 的半径为 r 5， 圆心(2,1)到直线 xy0 的距离为 d|21| 2 1 2， |AB|2r2d23 2. 反思与感悟 在研究曲线的性质时，如交点、距离等，如果用极坐标不方
35、便，可以转化为直 角坐标方程，反之，可以转化为极坐标方程 跟踪训练 4 在极坐标系中，曲线 C1和 C2的方程分别为 sin2cos 和 sin 1，以极点 为平面直角坐标系的原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线 C1和 C2交 点的直角坐标为 答案 (1,1) 1极坐标方程分别为 cos 和 sin 的两个圆的圆心距是( ) A3 B. 2 C1 D. 2 2 答案 D 2将极坐标方程 2cos 0 化为直角坐标方程为( ) Ax2y20 或 y1 Bx1 Cx2y20 或 x1 Dy1 答案 C 3在极坐标系中，圆 2sin 的圆心的极坐标是( ) A(1，) B. 2
36、， 2 C. 1， 2 D(1,0) 答案 C 解析 由 2sin ， 得 22sin ， 化为直角坐标方程为 x2y22y0， 即 x2(y1)21， 圆心坐标为(0,1)，化为极坐标为 1， 2 . 44sin2 25 表示的曲线是( ) A圆 B椭圆 C双曲线的一支 D抛物线 答案 D 解析 4sin2 254 1cos 2 522cos 5. x2y2，cos x， 代入上式得 2 x2y22x5，两边平方并整理， 得 y25x25 4 ， 它表示的曲线为抛物线 5在极坐标系中，已知圆 C 的圆心为 C 2， 6 ，半径为 1，求圆 C 的极坐标方程 解 在圆 C 上任取一点 P(，)
37、，在POC 中， 由余弦定理可得 CP2OC2OP22OC OP cosPOC， 即 14222cos 6 ， 化简可得 24cos 6 30. 当 O，P，C 共线时，此方程也成立， 故圆 C 的极坐标方程为 24cos 6 30. 1曲线的极坐标方程与直角坐标方程的区别 由于平面上点的极坐标的表示形式不惟一，即(，)，(，2)，(，)，(， )都表示同一点的坐标，这与点的直角坐标的惟一性明显不同所以对于曲线上的点的极 坐标的多种表示形式， 只要求至少有一个能满足极坐标方程即可 例如对于极坐标方程 ， 点 M 4， 4 可以表示为 4， 42 或 4， 42 或 4， 5 4 等多种形式，其
38、中，只有 4， 4 的极坐标满足方程 . 2求曲线的极坐标方程，就是在曲线上任找一点M(，)，探求 ， 的关系，经常需利用 三角形知识和正弦、余弦定理来求解 第第 2 课时课时 直线的极坐标方程直线的极坐标方程 学习目标 1.掌握直线的极坐标方程.2.能熟练进行曲线的极坐标方程和直角坐标方程间的 互化.3.能用极坐标方程解决相关问题 知识点 直线的极坐标方程 思考 1 直线 l 的极坐标方程 f(，)0 应该有什么要求？ 答案 直线 l 上任意一点 M 至少有一个极坐标适合方程 f(，)0； 以 f(，)0 的解为坐标的点都在直线 l 上 思考 2 过极点 O 且倾斜角 6的直线的极坐标方程是
39、什么？ 答案 6(R) 梳理 直线的极坐标方程(R) 直线位置 极坐标方程 图形 过极点，倾斜角为 (1)(R)或 (R) (2)(0)和 (0) 过点(a,0)，且与极轴垂直 cos a 2 2 过点 a， 2 ， 且与极轴平行 sin a(0) 类型一 求直线的极坐标方程 例 1 在极坐标系中，求过点(3，)且与极轴的倾斜角为 4的直线的极坐标方程 解 令 A(3，)，设直线上任意一点 P(，)， 在OAP 中，APO 4， 由正弦定理 3 sin 4 sin 4 ， 得 sin 4 3 2 2 . 又因为点 A(3，)适合上式， 故所求直线的极坐标方程为 sin 4 3 2 2 . 引申
40、探究 在本例条件下，若倾斜角改为 2，求直线的极坐标方程 解 设 P(，)为直线上的任意一点， 在AOP 中， cos()3 2 3 2 ， cos 3 2 3 2 . 又点 A(3，)适合 cos 3， 直线的方程为 cos 3 20)，l：cos 3 3 2，C 与 l 有且仅有 一个公共点 (1)求 a 的值； (2)O 为极点，A，B 为曲线 C 上的两点，且AOB 3，求|OA|OB|的最大值 解 (1)由曲线 C：2acos (a0)， 得 22acos ，化为直角坐标方程为(xa)2y2a2， 直线 l：cos 3 3 2， 即 cos cos 3sin sin 3 3 2， 得
41、1 2x 3 2 y3 20，即 x 3y30， 由于直线与圆有且只有一个公共点， 所以 d|a3| 2 a，解得 a1，a3(舍去) (2)不妨设 A 的极角为 ，B 的极角为 3， 则|OA|OB|2cos 2cos 3 3cos 3sin 2 3cos 6 . 当 6时，|OA|OB|取得最大值 2 3. 1过点 2， 4 且平行于极轴的直线的极坐标方程是( ) Acos 4 Bsin 4 Csin 2 Dcos 2 答案 C 解析 由题意可得，所求直线的直角坐标方程为 y2sin 4 2， 再根据 ysin ，将化为极坐标方程可得 sin 2. 2在极坐标系中，圆 2cos 的垂直于极
42、轴的两条切线方程分别为( ) A0(R)和 cos 2 B 2(R)和 cos 2 C 2(R)和 cos 1 D0(R)和 cos 1 答案 B 37cos 2sin 0 表示( ) A直线 B圆 C椭圆 D双曲线 答案 A 解析 两边同乘以 ，得 7cos 2sin 0. 即 7x2y0，表示直线 4极坐标方程 cos 2 2 (0)表示的曲线是( ) A余弦曲线 B两条相交直线 C一条射线 D两条射线 答案 D 解析 cos 2 2 ， 42k(kZ) 又0，cos 2 2 表示两条射线 5 已知直线的极坐标方程为 sin 4 2 2 ， 则点 A 2，7 4 到这条直线的距离是 答案
43、2 2 解析 点 A 2，7 4 的直角坐标为( 2， 2) 直线 sin 4 2 2 ， 即 sin cos 4cos sin 4 2 2 的直角坐标方程为 2 2 x 2 2 y 2 2 ，即 xy1. 点 A( 2， 2)到直线 xy10 的距离为 d| 2 21| 11 2 2 . 四四 柱坐标系与球坐标系简介柱坐标系与球坐标系简介 学习目标 1.了解柱坐标系、球坐标系的特征.2.掌握柱坐标系、球坐标系与空间直角坐标系 的关系， 并掌握坐标间的互化公式.3.能利用柱坐标、 球坐标与空间坐标的转化解决相关问题 知识点一 柱坐标系 思考 要刻画空间一点的位置，就距离和角的个数来说有什么限制
44、？ 答案 空间点的坐标都是三个数值，其中至少有一个是距离 梳理 柱坐标系的概念 (1)定义：建立空间直角坐标系 Oxyz，设 P 是空间任意一点，它在平面 Oxy 上的射影为 Q， 用(，)(0,02)表示点 Q 在平面 Oxy 上的极坐标这时点 P 的位置可用有序数组(， ，z)(zR)表示，这样，我们建立了空间的点与有序数组(，z)之间的一种对应关系，把 建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系， 有序数组(， ， z)叫做点 P 的柱坐标， 记作 P(， ，z)，其中 0,02，zR. (2)空间点 P 的直角坐标(x，y，z)与柱坐标(，z)之间的变换公式为 xcos ， ysin ， z
45、z. 知识点二 球坐标系 思考 要刻画空间一点的位置，在空间直角坐标系中，用三个距离来表示，在柱坐标系中， 用两个距离和一个角来表示，那么，能否用两个角和一个距离来表示 答案 可以 梳理 球坐标系的概念 (1)定义：建立空间直角坐标系 Oxyz，设 P 是空间任意一点，连接 OP，记|OP|r，OP 与 Oz 轴正向所夹的角为 ，设 P 在 Oxy 平面上的射影为 Q，Ox 轴按逆时针方向旋转到 OQ 时所转 过的最小正角为 .这样点 P 的位置就可以 用有序数组(r，)表示这样，空间的点与有序数组(r，)之间建立了一种对应关系， 把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系)，有序数组(r，)叫做点 P 的球坐标，记作 P(r，)，其中 r0,0，00， 2.点 M 的柱坐标为 1， 2，2 . (2)由变换公式 xcos ， ysin ，得 zz， x2cos 20，y
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