1、第一章第一章 二次函数综合测试二次函数综合测试 一一选择题选择题 1. 将抛物线 y=x2向上平移 2 个单位后，所得的抛物线的函数表达式为（ ） A.y=x2+2 B.y=x2-2 C.y=(x+2)2 D.y=(x-2)2 2. 某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为 x 轴，出水点为原点，建立平面直角 坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线 y=-x2+4x（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是 （ ） A.4 米 B.3 米 C.2 米 D.1 米 3. 将函数 y= x2x 化为 y=a（xm）2+k 的形式，得( ) A. y= （x1）2 B. y= （x ）2+ C
2、. y= （x1）2+ D. y= （x ）2 4. 抛物线 y=ax 2+bx+c(a0)的图象如图所示,则下列说法正确的是( ) A. b 2-4ac0 B. abc0 C. D. a-b+c0 5. 进价为 80 元的商品，按 90 元一个售出时，可卖出 400 个已知这种商品每个涨价 1 元，其 销售量就减少 20 个，则获得利润最大时售价应为（ ） A. 90 元 B. 95 元 C. 100 元 D. 105 元 6. 对于二次函数 y=(x-1)2+2 的图象，下列说法正确的是（） A.开口向下 B.对称轴是 x=-1 C.顶点坐标是（-1，2） D.与 x 轴没有交点 7. 从
3、地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度 h(m)与小球运动时间 t(s)之间的函数关系式为 y=30t5t2 ，那么小球从抛出至回落到地面所需要的时间是( ) A.6 s B.4 s C.3 s D.2 s 8. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y=ax 2+c（a0）的图象过正方形 ABOC 的三个顶点 A， B，C，则 ac 的值是_ A.-2 B.-1 C. D. 9. 某校校园内有一个大正方形花坛，如图甲所示，它由四个边长为 3 米的小正方形组成，且每个 小正方形的种植方案相同，其中的一个小正方形 ABCD 如图乙所示，AE=AF=x 米，DE=DG，在 五边形 EFBCG 区域上种
4、植花卉，则大正方形花坛种植花卉的面积 y 与 x 的函数图象大致是 （ ） A. B. C. D. 10.已知函数 y=3-(x-m)(x-n)，其中 mn. a,b是方程 3-(x-m)(x-n)=0 的两个根，其中 ab，则实数 m,n,a,b的大小关系是（ ） A.mnab B.manb C.ambn D.amnb 二二填空题填空题 11. 若抛物线 y=（m-1 ）x|m|-1开口向下，则 m 的值为 。 12. 若点 A（3，y 1）、B（0，y2）是二次函数 y=2（x1）2+3 图象上的两点，那么 y1与 y2的大小关系是_ （填 y1y2、y1=y2或 y1y2） 13. 已知
5、二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，则点 P（a，bc）在第_象限. 14. 小敏用一根长为 8cm 的细铁丝围成矩形，则矩形的最大面积是_ 15. 二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，则的值为 _ ；的取值范围为 _ 16. 二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的顶点为 P，其图象与 x 轴有两个交点 A（-m，0），B（1， 0），交 y 轴于点 C（0，-3am+6a），以下说法： m=3； 当APB=120 时，a=； 当APB=120 时，抛物线上存在点 M（M 与 P 不重合），使得 ABM 是顶角为 120 的等腰 三角形； 抛物线上存在点 N，当
6、 ABN 为直角三角形时，有 a 正确的是 .（填序号） 三三解答题解答题 17. 已知抛物线与 x 轴交于 A、B 两点 （1）求证：抛物线的对称轴在 y 轴的左侧； （2）若（O 为坐标原点），求抛物线的解析式； （3）设抛物线与 y 轴交于点 C，若 ABC 是直角三角形求 ABC 的面积 18. 有一座抛物线形拱桥，正常水位时，抛物线拱桥下的水面宽为 20m，水面上升 3m 达到该地 警戒水位时，桥下水面宽为 10m （1）在恰当的平面直角坐标系中求出水面到桥孔顶部的距离 y（m）与水面宽 x（m）之间的函 数关系式； （2）如果水位以 0.2m/h 的速度持续上涨，那么达到警戒水位后
7、，再过多长时间此桥孔将被淹没？ 19. 对于二次函数 y=x2-2ax+2a+3，分别满足下列条件，求系数 a 的值 （1）函数的最小值为零； （2）当 x5 时，y 随 x 增大而增大，且 x5 时，y 随 x 增大而减小； （3）图象在 x 轴上截得的线段长是 3，且与 y 轴交于正半轴 20. 请阅读下列解题过程 解一元二次不等式：x2-5x0 解：设 x2-5x=0，解得：x1=0，x2=5，则抛物线 y=x2-5x 与 x 轴的交点坐标为（0，0）和（5， 0）画出二次函数 y=x2-5x 的大致图象（如图所示），由图象可知：当 x0，或 x5 时函数图 象位于 x 轴上方，此时 y
8、0，即 x2-5x0，所以，一元二次不等式 x2-5x0 的解集为：x0， 或 x5 通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题： （1）上述解题过程中，渗透了下列数学思想中的_和_（只填序号） 转化思想 分类讨论思想 数形结合思想 （2）一元二次不等式 x2-5x0 的解集为_ （3）用类似的方法解一元二次不等式：x2-2x-30 21. 某跳水运动员进行 10 米跳台跳水训练，身体（将运动员看成一点）在空中运动的路线是如 图所示坐标系经过原点 O 的抛物线（图中标出的数据为已知数据）在跳某个规定动作时，正常 情况下，该运动员在空中最高处距水面米，入水处距池边 4 米同时，运
9、动员在距水面高度 5 米以前，必须完成规定的翻腾、打开动作，并调整好入水姿势，否则就会失误 （1）求这条抛物线的关系式； （2）某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入 水姿势时距池边的水平距离为米，问此次跳水会不会失误？通过计算说明理由 22. (本题满分 12 分) 如图，在平面直角坐标系中，已知矩形 ABCD 的三个顶点 B(1，0)，C(3，0)，D(3，4).以 A 为顶 点的抛物线 y=ax2+bx+c 过点 C.动点 P 从点 A 出发，沿线段 AB 向点 B 运动.同时动点 Q 从点 C 出发，沿线段 CD 向点 D 运动.点 P，Q 的
10、运动速度均为每秒 1 个单位.运动时间为 t 秒.过点 P 作 PEAB 交 AC 于点 E. (1)直接写出点 A 的坐标，并求出抛物线的解析式； (2)过点 E 作 EFAD 于 F，交抛物线于点 G，当 t 为何值时， ACG 的面积最大？最大值为多 少？ (3)在动点 P，Q 运动的过程中，当 t 为何值时，在矩形 ABCD 内(包括边界)存在点 H，使以 C， Q，E，H 为顶点的四边形为菱形？请直接写出 t 的值. 参考答案参考答案 1. - 答案：A. 解：抛物线 y=x2的顶点坐标为（0，0）， 向上平移 2 个单位后的图象的顶点坐标为（0，2）， 所以，所得图象的解析式为 y
11、=x2+2. 故选 A. 【考点提示】 本题主要考查二次函数的图象的平移规律，解题的关键是求出平移后的解析式的顶点坐标； 【解题方法提示】 先得到抛物线 y=x2的顶点坐标为（0，0），因为点（0，0）向上平移 2 个单位得到的点的坐标为（0，2）； 接下来利用顶点式，即可得到平移后的抛物线的解析式. 2. - 答案：A. 解：水在空中划出的曲线是抛物线 y=-x2+4x 的一部分， 水喷出的最大高度就是抛物线 y=-x2+4x 的顶点坐标的纵坐标. y=-x2+4x=-(x-2)2+4， 此抛物线的顶点坐标为（2，4）， 水喷出的最大高度为 4 米. 故选 A. 1、认真分析题意，观察所给图
12、形，想想水喷出的最大高度是什么？ 2、由于水在空中划出的曲线是抛物线 y=-x2+4x，故水喷出的最大高度就是抛物线 y=-x2+4x 的顶点坐标的纵坐标； 3、然后对抛物线的解析式进行配方便不难得到其顶点坐标，问题就可迎刃而解了，试试吧！ 3. - A 【解答】解：y= x2x （x22x+1） = （x1）2 ， 故选 A 【分析】利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式 4. - C 由抛物线的开口方向判断 a 与 0 的关系,由抛物线与 y轴的交点判断 c 与 0 的关系,然后根据对称轴及抛物线与 x 轴交 点情况进行推理,进而对所得
13、结论进行判断 解：由抛物线的开口向下知 a0, 与 y轴的交点为在 y轴的正半轴上, c0, 对称轴为 y轴,即 -1, A,应为 b 2-4ac0,故本选项错误; B,abc0,故本选项错误; C,即 -1,故本选项正确; D,x=-1 时函数图象上的点在第二象限,所以 a-b+c0,故本选项错误 故选 C 5. - 答案：B 分析：假设售价在 90 元的基础上涨 x 元，从而得到销售量，进而可以构建函数关系式，利用二次函数求最值的方法 求出函数的最值 解答：解：设售价在 90 元的基础上涨 x 元 因为这种商品每个涨价 1 元，其销售量就减少 20 个，所以若涨 x 元，则销售量减少 20
14、 x，按 90 元一个能全部售出， 则按 90+x 元售出时，能售出 400-20 x 个，每个的利润是 90+x-80=10+x 元 设总利润为 y元，则 y=（10+x）（400-20 x）=-20 x2+200 x+4000，对称轴为 x=5 所以 x=5 时，y有最大值，售价则为 95 元 所以售价定为每个 95 元时，利润最大 故选 B 点评：本题考查函数模型的构建，考查求二次函数的最值，解题的关键是读懂题意，列出函数解析式 6. - 答案：D. 解： 由二次函数 y=(x-1)2+2，可知： 函数图象开口向上，顶点坐标为（1，2），对称轴为直线 x=1，抛物线与 x 轴没有公共点.
15、 故选 D. 7. - 解：小球从抛出到落到地面运动的路径为 0，即 y=0 3t-5t =0 解得：t1=0(舍去) t2=6, 即小球从抛出到落到地面所 有的时间是 6 秒. 应选 A.故答案为：A 小球从抛出到落到地面这个过程中运动的路径为 0，即 y=0，30t-5t =0，解方程组即得答案. 8. - 答案： A 【解答】解：设正方形的对角线 OA 长为 2m， 则 B（m，m），C（m，m），A（0，2m）； 把 A，C 的坐标代入解析式可得： c=2m，am2+c=m， 代入得：m2a+2m=m，解得：a= ， 则 ac= 2m=2 故答案为：A 【分析】可设正方形的对角线 OA
16、 长为 2m，即可得到点 B，C，A 的坐标，再把 A，C 的坐标代入解析式可得 ac 的 值。 9. - 【答案】 A 解：S AEF=AEAF=x2，S DEG= DGDE=（3-x）2=x2-3x+， S五边形EFBCG=S正方形ABCD-S AEF-S DEG=9-x2-x2+3x-=-x2+3x+， 则 y=-x2+3x+，AEAD， x3， 综上可得：y=-x2+3x+，（0 x3） 故选：A 先求出 AEF 和 DEG 的面积，然后可得到五边形 EFBCG 的面积，继而可得 y 与 x 的函数关系式 本题考查了动点问题的函数图象，解答本题的关键是求出 y与 x 的函数关系式，对于
17、有些题目可以不用求出函数关系 式，根据走势或者特殊点的值进行判断 10. - 【答案】 D 11. - -3 12. - 第 1 空：y1y2 【解答】解：当 x=3 时，y1=2（x1）2+3=29； 当 x=0 时，y2=2（x1）2+3=1； 291， y1y2 ， 故答案为：y1y2 【分析】分别计算自变量为2、3 时的函数值，然后比较函数值的大小即可 13. - 答案：三. 解： 抛物线开口向下， a0. 抛物线与 y轴正半轴相交， c0. 由图象知，对称轴-0. a0，-0， b0. 综上所述，可知 a0，bc0， 点 P（a，bc）在第三象限. 1、要求点 P（a，bc）在哪一象
18、限，需要知道 a、b、c 这三个数的正负值； 2、由抛物线开口、与 y轴交点的纵坐标可以判断出 a0、c0，至此你还能想到什么？ 3、利用抛物线对称轴-0，即可求出 b 的符号，这样问题就可以解决了，试试吧！ 14. - 答案设矩形的长为 xcm，则矩形的宽为（4-x）cm， 矩形的面积=x（4-x）=-x2+4x， =-（x2-4x+4）+4， =-（x-2）2+4， 所以，当 x=2 时，矩形的面积有最大值，最大值为 4cm2 故答案为：4cm2 15. - 解析 解：抛物线的对称轴为直线 x=1， x=-=1，即=-2； 当 x=-2 时，y0，即 4a-2b+c0 ， 当 x=-1 时
19、，y0，即 a-b+c0 ， 将 b=-2a 代入、得：c-8a，c-3a， 又a0， -8-3， 故答案为：-2，-8-3 根据抛物线的对称轴为 x=1 可得=-2，由当 x=-2 时 y0，即 4a-2b+c0 ，当 x=-1 时 y0，即 a-b+c0， 将 b=-2a 代入可得的取值范围 本题考查了抛物线图象与系数的关系，其中 a 由抛物线的开口方向决定，a 与 b 同号对称轴在 y轴左边；a 与 b 异号 对称轴在 y轴右边，c 的符合由抛物线与 y轴的交点在正半轴或负半轴有关 答案 -2；-8-3 16. - 【解答】解：点 A（-m，0）、B（1，0）在抛物线 y=ax2+bx+
20、c 上， ， 由-得 am2-bm-a-b=0， 即（m+1）（am-a-b）=0 A（-m，0）与 B（1，0）不重合， -m1 即 m+10， m=， 点 C 的坐标为（0，3a-3b）， 点 C 在抛物线 y=ax2+bx+c 上， c=3a-3b， 代入得 a+b+3a-3b=0，即 b=2a， m=3，故正确； m=3，A（-3，0）， 抛物线的解析式可设为 y=a（x+3）（x-1）， 则 y=a（x2+2x-3）=a（x+1）2-4a， 顶点 P 的坐标为（-1，-4a） 根据对称性可得 PA=PB， PAB=PBA=30 设抛物线的对称轴与 x 轴的交点为 G， 则有 PGx
21、轴， PG=AGtanPAG=2=， 4a=， a=，故正确； 在第一象限内作MBA=120 ，且满足 BM=BA，过点 M 作 MHx 轴于 H，如图 1， 在 Rt MHB 中，MBH=60 ， 则有 MH=4sin60 =4=2，BH=4cos60 =4 =2， 点 M 的坐标为（3，2）， 当 x=3 时，y=（3+3）（3-1）=2， 点 M 在抛物线上，故正确； 点 N 在抛物线上，ABN90，BAN90 当 ABN 为直角三角形时，ANB=90 ， 此时点 N 在以 AB 为直径的G 上， 因而点 N 在G 与抛物线的交点处， 要使点 N 存在，点 P 必须在G 上或G 外，如图
22、 2， 则有 PG2，即 4a2，也即 a ，故正确 故选 D 【分析】把 A、B 两点的坐标分别代入抛物线的解析式得到式和式，将两式相减即可得到 m=，即可得到 C（0，3a-3b），从而得到 c=3a-3b，代入式，就可解决问题； 设抛物线的对称轴与 x 轴的交点为 G，则有 PGx 轴，只需求出点 P 的坐标就可解决问题； 在第一象限内作MBA=120 ，且满足 BM=BA，过点 M 作 MHx 轴于 H，如图 1，只需求出点 M 的坐标，然后 验证点 M 是否在抛物线上，就可解决问题； 易知点 N 在抛物线上且 ABN 为直角三角形时，只能ANB=90 ，此时点 N 在以 AB 为直径
23、的G 上，因而点 N 在G 与抛物线的交点处，要使点 N 存在，点 P 必须在G 上或G 外，如图 2，只需根据点与圆的位置关系就可 解决问题 17. - 【解答】（1）证明：m0， x=-=-0， 抛物线的对称轴在 y轴的左侧； （2）解：设抛物线与 x 轴交点为 A（x1，0），B（x2，0）， 则 x1+x2=-m0，x1x2=- m20， x1与 x2异号， 又= 0， OAOB， 由（1）知：抛物线的对称轴在 y轴的左侧， x10，x20， OA=|x1|=-x1， OB=x2， 代入得：= ， = ， 从而， 解得 m=2， 经检验 m=2 是原方程的根， 抛物线的解析式为 y=x
24、2+2x-3； （3）解：当 x=0 时，y=- m2 点 C（0，- m2）， ABC 是直角三角形， AB2=AC2+BC2， （x1-x2）2=x12+（- m2）2+x22+（- m2）2 -2x1x2= m4 -2（- m2）= m4， 解得 m=， S ABC= ABOC= |x1-x2|= 2m m2= 【分析】（1）证明抛物线的对称轴0 即可证明抛物线的对称轴在 y轴的左侧； （2）根据题中已知条件求出 m 的值，进而求得抛物线的解析式； （3）先设出 C 点坐标，根据的 x1与 x2关系求出 m 值，进而可求得 ABC 的面积 18. - 【答案】（1）建立如图 1 所示设抛
25、物线的解析式为 y=ax2，可知点 A 的坐标为（10，h），则点 B 的坐标为（5， h+3），解出抛物线解析式，把将（，-y）代入，可得桥孔顶部的距离 y（m）与水面宽 x（m）之间的函数关系式， （2）首先求出警戒水位到桥面的距离，再求出时间 t （1）建立如图 1 所示设抛物线的解析式为 y=ax2，（1 分） 可设点 A 的坐标为（10，h），则点 B 的坐标为（5，h+3） 可得二元一次方程组：h=100a（1 分） h+3=25a（1 分） 解得：，h=-4，（2 分） （1 分） 将（，-y）代入， 故桥孔顶部的距离 y（m）与水面宽 x（m）之间的函数关系式为：（2 分） （
26、2）10.2=5h（1 分） 答：达到警戒水位后，再过 5h 此桥孔将被淹没（1 分） 19. - 【解答】解：（1）y=x2-2ax+2a+3=（x-a）2-a2+2a+3， 其最小值为-a2+2a+3， 令其为 0，可得-a2+2a+3=0， 解得 a=3 或-1； （2）由（1）可知二次函数对称轴为 x=a， 当 x5 时，y随 x 增大而增大，且 x5 时，y随 x 增大而减小， 其对称轴为 x=5， a=5； （3）令 y=0 可得 x2-2ax+2a+3=0， 设该方程的两根分别为 m，n， 则 m+n=2a，mn=2a+3， （m-n）2=（m+n）2-4mn=4a2-8a-12
27、， 根据题意可知（m-n）2=32=9， 即 4a2-8a-12=9，解得 a= 或- 【分析】（1）可化为顶点为式求得顶点坐标，可求得最小值，令最小值为 0，可求得 a 的值； （2）由条件可知其对称轴为 x=5，代入可求得 a 的值； （3）令 y=0，所得一元二次方程的两根为二次函数与 x 轴交点的横坐标，根据根与系数的关系可表示出两点间的线 段长度，可求得 a 20. - 分析 （1）观察图象即可写出一元二次不等式：x2-5x0 的解集； （2）先设函数解析式，根据 a 的值确定抛物线的开口向上，再找出抛物线与 x 轴相交的两点，就可以画出抛物线， 根据 y0 确定一元二次不等式 x2
28、-2x-30 的解集 解答 解：（1）由例题的图形可得：一元二次不等式 x2-5x0 的解集为：0 x5； 故答案为：0 x5； （2）设 y=x2-2x-3，则 y 是 x 的二次函数 a=10， 抛物线开口向上 又当 y=0 时，x2-2x-3=0， 解得：x1=-1，x2=3 由此得抛物线 y=x2-2x-3 的大致图象如图所示 观察函数图象可知：当 x-1 或 x3 时，y0 x2-2x-30 的解集是：x-1 或 x3 点评 本题主要考查了二次函数与不等式以及在直角坐标系中利用二次函数图象解不等式，利用作图结合交点直观求 解集是解题关键 21. - 【答案】（1）根据题意可求起跳点，
29、入水处的坐标及顶点的纵坐标，结合对称轴的位置可求出解析式； （2）距池边的水平距离为 3 米处的横坐标是 1 ，可求出纵坐标，再根据实际求出距水面的距离，与 5 进行比较， 得出结论 （1）如答图所示，在给定的直角坐标系中，设最高点为 A，入水点为 B A 点距水面米，跳台支柱 10 米， A 点的纵坐标为 由题意可得 O（0，0），B（2，-10） 设该抛物线的关系式为 y=ax2+bx+c， 把 O（0，0），B（2，-10）代入上式， 得， 解得或 抛物线的对称轴在 y轴的右侧， -0， 又抛物线开口向下， a0， b0， a=-，b=，c=0， 所求抛物线的关系式为 y= （2）试跳会
30、出现失误，当 x=时， y= 此时，运动员距水面的高为， 试跳会出现失误 22. - 解：(1) A(1，4).1 分由题意知，可设抛物线解析式为 y=a(x-1) 2+4 因抛物线过点 C(3，0)，0=a(3-1)2+4a=-1 所以抛物线的解析式为 y=-(x-1) 2+4，即 y=- x2+2x+3. 2 分(2)A(1，4)，C(3，0)， 可求直线 AC 的解析式为 y=-2x+6. 点 P(1，4- t).3 分 将 y=4-t 代入 y=-2x+6 中，解得点 E 的横坐标为 x=1+.4 分点 G 的横 坐标为 1+t/2，代入抛物线的解析式中，可求点 G 的纵坐标为 4-t2/4.GE=(4-)-(4-t)=t-.5 分 又点 A 到 GE 的距离为 t/2，C 到 GE 的距离为 2-t/2，即 S ACG=S AEG+S CEG=1/2 EG t/2+1/2 EG(2-t/2)= 2(t-)=-(t- 2)2+1.7 分当 t=2 时，S ACG的最大值为 1.8 分(3)t=或 t=20- 8.12 分
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